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天津市耀华中学2013年高考数学(文科)解析版

2013 年天津市耀华中学高考数学一模试卷 (文科)
一、选择题:共 8 题,每题 5 分,共 40 分.在每题给出的四个选项中,只有一项是最符合题目要求的, 将答案涂在答题卡上. 1. (5 分) (2009?宁夏)复数 A.0 B .2 ﹣ =( ) C.﹣2i D.2i

考点: 复数代数形式的混合运算. 分析: 直接通分,然后化简为 a+bi(a、b∈R)的形式即可. 解答: 解: ﹣ = ﹣ 故选 D. 点评: 本题考查复数代数形式的混合运算,是基础题. 2. (5 分)下列选项中,p 是 q 的必要不充分条件的是( ) 2 A.p:x=1,q:x =x B. p:m+n 是无理数,q:m 和 n 是无理数 C. p:a+c>b+d,q:a>b 且 c>d D.p:a>1,q:f(x)=logax(a>0,且 a≠1)在(0,+∞)上为增函数

=



=i+i=2i.

考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 常规题型. 分析: 我们可以根据必要而不充分条件的定义,对四个答案逐一进行判断,不难得到正确的结论. 2 解答: 解:A、由于 p:x=1,q:x =x,则 p:x=1,q:x=1 或 x=0,即 p?q,故 p 为 q 的充分而不必要条 件; B、反例验证:若令 m=1,n= ,则 m+n= ,故 p≠>q; 若令 m=﹣ ,n= ,则 m+n=0,故 q≠>p,故 p 为 q 的既不充分而不必要条件; C、若 a>b 且 c>d,则 a+c>b+d,而反之不成立,故 p 为 q 的必要而不充分条件; D、由于若 a>1,则 f(x)=logax(a>0,且 a≠1)在(0,+∞)上必为增函数, 反之,若 f(x)=logax(a>0,且 a≠1)在(0,+∞)上为增函数,则 a>1 也成立, 故 p 为 q 的充要条件. 故答案为 C. 点评: 本题考查的是必要而不充分条件的判定,属于基础题. 判断充要条件的方法是: ① 若 p?q 为假命题且 q?p 为真命题,则命题 p 是命题 q 的必要不充分条件; ② 判断命题 p 与命题 q 所表示的范围,再根据“谁大谁必要,谁小谁充分”的原则,判断命题 p 与命题 q 的关系. 3. (5 分) (2007?海南)如果执行程序框图,那么输出的 S=( )

A.2450

B.2500

C.2550

D.2652

考点: 设计程序框图解决实际问题. 分析: 分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是累加并输出: S=2×1+2×2+…+2×50 的值. 解答: 解:分析程序中各变量、各语句的作用, 再根据流程图所示的顺序,可知: 该程序的作用是累加并输出:S=2×1+2×2+…+2×50 的值. ∵ S=2×1+2×2+…+2×50=2× ×50=2550

故选 C 点评: 根据流程图(或伪代码)写程序的运行结果,是算法这一模块最重要的题型,其处理方法是: :① 分 析流程图(或伪代码) ,从流程图(或伪代码)中即要分析出计算的类型,又要分析出参与计算的数 据(如果参与运算的数据比较多,也可使用表格对数据进行分析管理)?② 建立数学模型,根据第一 步分析的结果,选择恰当的数学模型③ 解模.

4. (5 分)已知 x=lnπ,y=log52, A.x<y<z 考点: 不等式比较大小. 专题: 计算题;压轴题. 分析: B.z<x<y

,则(

) C.z<y<x D.y<z<x

利用 x=lnπ>1,0<y=log52< ,1>z= 解答: 解:∵ x=lnπ>lne=1, 0<log52<log5
0

> ,即可得到答案.

= ,即 y∈(0, ) ;

1=e > ∴ y<z<x.

=



= ,即 z∈( ,1) ,

故选 D. 点评: 本题考查不等式比较大小,掌握对数函数与指数函数的性质是解决问题的关键,属于基础题.

5. (5 分) (2009?辽宁)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 A.2 B. C.

=3,则

=(

) D.3

考点: 等比数列的前 n 项和. 3 分析: 首先由等比数列前 n 项和公式列方程, 并解得 q , 然后再次利用等比数列前 n 项和公式则求得答案. 解答: 3 解:设公比为 q,则 = =1+q =3, 所以 q =2, 所以 = = = .
3

故选 B. 点评: 本题考查等比数列前 n 项和公式.

6. (5 分) (2012?东城区模拟)已知约束条件

若目标函数 z=x+ay(a≥0)恰好在点(2,2)

处取得最大值,则 a 的取值范围为( A. B. 0<a< a≥

) C. a> D. 0<a<

考点: 简单线性规划的应用. 专题: 计算题;数形结合. 分析: 先根据约束条件画出可行域,再利用几何意义求最值的方法,利用直线斜率之间的关系,只需求出 直线 z=x+ay 的斜率的取值范围即可. 解答: 解:画出已知约束条件的可行域为△ ABC 内部(包括边界) , 如图,易知当 a=0 时,不符合题意; 当 a>0 时,由目标函数 z=x+ay 得 y=﹣ x+ , 则由题意得﹣3=kAC<﹣ <0,故 a> . 综上所述,a> . 故选 C.

点评: 本题主要考查了简单的线性规划,以及利用几何意义求最值,属于基础题.由于线性规划的介入, 借助于平面区域,可以研究函数的最值或最优解;借助于平面区域特性,我们还可以优化数学解题, 借助于规划思想,巧妙应用平面区域,为我们的数学解题增添了活力.

7. (5 分) (2010?辽宁)设 ω>0,函数 y=sin(ωx+ 则 ω 的最小值是( A. ) B.

)+2 的图象向右平移

个单位后与原图象重合,

C.

D.3

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 计算题;待定系数法. 分析: 求出图象平移后的函数表达式,与原函数对应,求出 ω 的最小值. 解答: 解:将 y=sin(ωx+ )+2 的图象向右平移 个单位后为 = 所以有 =2kπ,即 , ,

又因为 ω>0,所以 k≥1, 故 ≥ ,

故选 C 点评: 本题考查了三角函数图象的平移变换与三角函数的周期性,考查了同学们对知识灵活掌握的程度.

8. (5 分) 在矩形 ABCD 中, AB=1, AD= 則 A. 的最大值为( B. )

, P 为矩形内一点, 且

, 若

(λ, μ∈R) ,

C.

D.

考点: 向量在几何中的应用. 专题: 压轴题;平面向量及应用. 分析: 由题意正确得出点 P(x,y)所满足的约束条件,利用

=(x,y)=λ(1,0)+μ(0,

)进行坐标变换得出 x,y 满足的约束条件,利用基本不等式的方法找出 x+y 的最大截距即可. 解答: 解:如图所示,在图中,设 P(x,y) . B(1,0) ,D(0, ) ,C(1, ) . 由 ,得 x +y = ,
2 2

则点 P 满足的约束条件为



∵ ∴ x=λ,y= 由于 x+y≤

即(x,y)=λ(1,0)+μ(0, μ,∴ = =x+y. = ,



当且仅当 x=y 时取等号. 則 故选 C. =x+y 的最大值为 .

点评: 本题主要考查了向量在几何中的应用,基本不等式的运用,属于中档题. 二、填空题:共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分,将答案填写在后面的答题卡上; 9. (5 分) (2011?山东)某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有 150、150、400、300 名学生,为了解学生 的就业倾向, 用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取 40 名学生进行调查, 应在丙专业抽取的学生人数 为 16 . 考点: 分层抽样方法. 专题: 计算题. 分析: 根据四个专业各有的人数,得到本校的总人数,根据要抽取的人数,得到每个个体被抽到的概率, 利用丙专业的人数乘以每个个体被抽到的概率,得到丙专业要抽取的人数. 解答: 解:∵ 高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有 150、150、400、300 名学生 ∴ 本校共有学生 150+150+400+300=1000, ∵ 用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取 40 名学生进行调查

∴ 每个个体被抽到的概率是 ∵ 丙专业有 400 人, ∴ 要抽取 400× =16

=



故答案为:16 点评: 本题考查分层抽样方法,是一个基础题,解题的依据是在抽样过程中每个个体被抽到的概率是相等 的,这种题目经常出现在高考卷中. 10. (5 分)某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是 30+6 .

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 根据三视图,可得该三棱锥为如图的三棱锥 A﹣BCD,其中底面△ BCD 中,CD⊥ BC,且侧面 ABC 与 底面 ABC 互相垂直,由此结合题中的数据结合和正余弦定理,不难算出该三棱锥的表面积. 解答: 解:根据题意,还原出如图的三棱锥 A﹣BCD 底面 Rt△ BCD 中,BC⊥ CD,且 BC=5,CD=4 侧面△ ABC 中,高 AE⊥ BC 于 E,且 AE=4,BE=2,CE=3 侧面△ ACD 中,AC= =5

∵ 平面 ABC⊥ 平面 BCD,平面 ABC∩ 平面 BCD=BC,AE⊥ BC ∴ AE⊥ 平面 BCD,结合 CD?平面 BCD,得 AE⊥ CD ∵ BC⊥ CD,AE∩ BC=E ∴ CD⊥ 平面 ABC,结合 AC?平面 ABC,得 CD⊥ AC 因此,△ ADB 中,AB= =2 ,BD= = ,AD= = ,

∴ cos∠ ADB=

=

,得 sin∠ ADB=

=

由三角形面积公式,得 S△ADB= ×

×

×

=6

又∵ S△ACB= ×5×4=10,S△ADC=S△CBD= ×4×5=10 ∴ 三棱锥的表面积是 S 表=S△ADB+S△ADC+S△CBD+S△ACB=30+6 故答案为:30+6

点评: 本题给出三棱锥的三视图,求该三棱锥的表面积,着重考查了三视图的理解、线面垂直与面面垂直 的判定与性质和利用正余弦定理解三角形等知识,属于中档题. 11. (5 分)如图所示,直线 PA 切⊙ O 于点 A,直线 PO 分别与⊙ O 相交子点 B、C,已知 则线段 AB 长 4 . ,

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 计算题. 分析: 由直线 PA 与圆 O 切于点 A,PA=4 ,PB=4,知 PA2=PC?PB,由此能求出 PC,从而得出 BO,进 一步得出 B 是直角三角形 PAO 斜边的中点,从而得出中线 AB 的长. 解答: 解:∵ 直线 PA 与圆 O 切于点 A,PA=4 ,PB=4, ∴ PA =PC?PB, 2 ∴ (4 ) =PC×4, 解得 PC=12. 又 PB=4,∴ BC=8,OB=4, ∵ 直线 PA 切⊙ O 于点 A,∴ ∠ PAO=90°, 在直角三角形 PAO 中,B 斜边的中点,∴ AB=4. 故答案为:4. 点评: 本题考查圆的切线的性质、切割线定理,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答. 12. (5 分)已知圆的方程为 x +y ﹣6x﹣8y=0,设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD, 则四边形 ABCD 的面积为 . 考点: 直线和圆的方程的应用. 专题: 计算题. 分析: 化圆的方程为 x2+y2﹣6x﹣8y=0 为标准方程, 求出圆心和半径, 然后解出 AC、 BD, 可求四边形 ABCD 的面积. 解答: 解:圆的方程为 x2+y2﹣6x﹣8y=0 化为(x﹣3)2+(y﹣4)2=25. 圆心坐标(3,4) ,半径是 5.最长弦 AC 是直径,最短弦 BD 的中点是 E. SABCD=
2 2 2

故答案为: 点评: 本题考查直线与圆的方程的应用,圆的标准方程,是基础题. 13. (5 分)已知实数 x,y∈(0,

) ,且 tanx=3tany,则 x﹣y 的最大值是



考点: 两角和与差的正切函数. 专题: 三角函数的求值. 分析: 先用两角差的正切公式和条件,求出 tan(x﹣y)的表达式,然后再由已知代换,利用均值不等式求 得 tan(x﹣y)的最大值,再已知的条件求出 x﹣y 的范围从而得到结果. 解答: 解:∵ x,y∈(0, ) ,∴ tanx=3tany>0, ∴ tan(x﹣y)= = = ,

∵ ∴ tan(x﹣y)=

≥2

,当且仅当 ≤

时取等号,即 tany= ,即 tan(x﹣y)的最大值为 ,



∵ x,y∈(0, 故答案为:

) ,∴ ﹣ .

<x﹣y<

,则 x﹣y 最大值为



点评: 本题主要考查两角和与差的正切函数,基本不等式的应用,注意角的范围,考查计算能力,属于中 档题.

14. (5 分)函数 f(x)= 数 k 的取值范围是 (0,1) .

,若直线 y=kx﹣1 与函数 y=f(x)有 3 个公共点,则实

考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 压轴题;函数的性质及应用. 分析: 要求满足直线 y=kx﹣1 与函数 y=f (x) 有 3 个公共点时, 实数 k 的取值范围, 我们可以画出直线 y=kx ﹣1 与曲线 y═ f(x)图象,有且仅有三个交点时实数 k 的取值. 解答: 解:直线 y=kx﹣1 与曲线 y=f(x)的图象如图所示, 由图可知直线 y=kx﹣1 与曲线 y=f(x) . 当 k=1 时,有且仅有两个交点, 当 0<k<1 时时,直线 y=kx﹣1 与曲线 y=f(x)有 3 个公共点, 实数 k 的取值范围是(0,1) 故答案为: (0,1) .

点评: 本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断,画出函数的图象,进而利用图象法进行解答是解 答本题的关键. 三.解答题:共 6 个小题,总计 80 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (13 分)已知函数 f(x)=tan(2x+ )

(I)求该函数的定义域,周期及单调区间;

(II)若 f(θ)= ,求

的值.

考点: 正切函数的单调性;两角和与差的正弦函数;二倍角的余弦;三角函数的周期性及其求法. 专题: 三角函数的求值. 分析: (Ⅰ )根据正切函数的周期公式,定义域和单调区间,在把“ ”当成一个整体代入分别求解,再 用集合和区间的形式表示出来; (Ⅱ )先把所求的式子,利用余弦的倍角和正弦的两角和的公式进行化简后,根据特点需要求 tanθ 的值,再把条件代入解析式,利用角的关系求出 tan2θ,再由正切的倍角公式求出 tanθ,代入求值即 可. 解答: 解: (Ⅰ )由题意得,T= 由 由 综上得,函数的周期是 单调增区间是( ≠ (k∈Z)得, , (k∈Z)得, ,定义域是{x| , ) (k∈Z) . <x< ,k∈Z}, ,

(Ⅱ )式子

=

=

① ,

∵ f(θ)= ,∴ tan(

)= ,

则 tan2θ=tan[(

)﹣

]=

=



由 tan2θ=

=

得,tanθ=3 或



把 tanθ=3 代入上式① 得,

=



把 tanθ=

代入上式① 得,

=2.

点评: 本题考查了正且函数的周期、定义域和单调区间的求法,以及正弦的两角和、余弦和正切的倍角公 式的应用,应先对所求的式子化简后再进行求值,注意角之间的关系. 16. (13 分)有 8 名青年志愿者参加天津第九届全国大运会的服务工作,其中有 4 人分配到乒乓球赛场, 有 4 人分配到游泳赛场,每个赛场中的 4 名青年志愿者分别带着 l,2,3,4 号的服务标志,现从这两个赛 场中各抽调 l 名青年志愿者到其他赛场,每个志愿者被抽调的可能性相同. (l)求被抽调的两名青年志愿者服务标志号为相邻整数的概率; (II)求被抽调的两名青年志愿者上服务标志号之和能被 3 整除的概率. 考点: 古典概型及其概率计算公式. 专题: 概率与统计. 分析: 先要列举出所有的基本事件,再由问题得到所求事件包含的基本事件的个数,代入古典概型的计算 公式即可. 解答: 解:设从乒乓赛场和游泳赛场各抽调一名志愿者,其服务编号分别是 x,y,用(x,y)表示抽调的 结果, 则所有可能为(1,1) , (1,2) , (1,3) , (1,4) (2,1) , (2,2) , (2,3) , (2,4) , (3,1) , (3,2) , (3,3) , (3,4) (4,1) , (4,2) , (4,3) , (4,4) ,共十六种. (1)被抽调的两名青年志愿者服务标志号为相邻整数的结果有: (1,2) , (2,1) , (2,3) (3,2) , (3,4) , (4,3)共六种,故所求的概率 P= (3)被抽调的两名青年志愿者上服务标志号之和能被 3 整除的结果有: (1,2) , (2,1) , (2,4) (3,3) , (4,2)共五种,故所求的概率 P= 答: (1)被抽调的两名青年志愿者服务标志号为相邻整数的概率为 ; (II)被抽调的两名青年志愿者上服务标志号之和能被 3 整除的概率为 . ; ;

点评: 本题考查古典概型的概率计算公式,属于基础题.要求考生要熟练掌握此类题的解题方法.

17. (13 分) (2010?山东)如图,在五棱锥 P﹣ABCDE 中,PA⊥ 平面 ABCDE,AB∥ CD,AC∥ ED,AE∥ BC, ∠ ABC=45°,AB=2 ,BC=2AE=4,三角形 PAB 是等腰三角形. (Ⅰ )求证:平面 PCD⊥ 平面 PAC; (Ⅱ )求直线 PB 与平面 PCD 所成角的大小; (Ⅲ )求四棱锥 P﹣ACDE 的体积.

考点: 平面与平面垂直的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积;空间中直线与平面之间的位置关系;直线与平 面所成的角. 专题: 计算题;证明题;综合题;转化思想. 分析: (Ⅰ )要证平面 PCD⊥ 平面 PAC,只需证明平面 PCD 内的直线 CD,垂直平面 PAC 内的两条相交直 线 PA、AC 即可; (Ⅱ )过点 A 作 AH⊥ PC 于 H,说明∠ PBO 为所求角,然后解三角形求直线 PB 与平面 PCD 所成角的 大小,也可以利用空间直角坐标系,求出向量 ,平面 PCD 的一个法向量 ,计算

,即可. (Ⅲ )直接求出底面面积和高,再求四棱锥 P﹣ACDE 的体积. 解答: 解: (Ⅰ )证明:因为∠ ABC=45°,AB=2 所以在△ ABC 中, 由余弦定理得:
2 2 2

,BC=4, , 解得 ,

所以 AB +AC =8+8=16=BC ,即 AB⊥ AC, 又 PA⊥ 平面 ABCDE,所以 PA⊥ AB, 又 PA∩ AC=A,所以 AB⊥ 平面 PAC,又 AB∥ CD,所以 CD⊥ 平面 PAC, 又因为 CD?平面 PCD,所以平面 PCD⊥ 平面 PAC; (Ⅱ )由(Ⅰ )知平面 PCD⊥ 平面 PAC,所以在平 面 PAC 内,过点 A 作 AH⊥ PC 于 H, 则 AH⊥ 平面 PCD,又 AB∥ CD,AB?平面 PCD 内,所以 AB 平行于平面 PCD, 所以点 A 到平面 PCD 的距离等于点 B 到平面 PCD 的距离,过点 B 作 BO⊥ 平面 PCD 于点 O, 则∠ BPO 为所求角,且 AH=BO,又容易求得 AH=2, 所以 ,即∠ BPO=30°,

所以直线 PB 与平面 PCD 所成角的大小为 30°;另解: (Ⅱ )因为△ PAB 为等腰三角形,所以

又 AB∥ CD,所以点 B 到平面 PCD 的距离等于点 A 到平面 PCD 的距离. 由 CD⊥ 平面 PAC,在 Rt△ PAC 中, ,所以 PC=4. 故 PC 边上的高为 2,即点 A 到平面的距离,即点点 B 到平面 PCD 的距离为 2. 设直线 PB 与平面 PCD 所成的角为 θ,则 ,



,所以

. (Ⅱ )由(Ⅰ )知 AB,AC,AP 两两互相垂直,

分别以 AB,AC,AP 为 x,y,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系, 由△ PAB 为等腰直角三角形,所以 , 而 ,则 因为 AC∥ ED,CD⊥ AC,所以四边形 ACDE 是直角梯形. 因为 AE=2,∠ ABC=45°,AE∥ BC,所以∠ BAE=135°,∠ CAE=45°, 故 因此 个法向量, 则 而 ,解得 x=0,y=z.取 y=1,得 . , ,所以 ,设 . 是平面 PCD 的一

设 θ 表示向量

与平面 PCD 的法向量 所成的角,则

因此直线 PB 与平面 PCD 所成角的大小为



(Ⅲ )由(Ⅰ )知 CD⊥ 平面 PAC,所以 CD⊥ AC,又 AC∥ ED,所以四边形 ACDE 是直角梯形,又容易 求得 ,AC= ,所以四边形 ACDE 的面积为 = . ,所以四棱锥 P﹣

ACDE 的体积为

点评: 本题主要考查空间中的基本关系,考查线面垂直、面面垂直的判定以及线面角和几何体体积的计算, 考查识图能力、空间想象能力和逻辑推理能力.

18. (13 分)已知数列{an}满足:

(I)求 a2,a3; (II)设 ,求证:数列{bn}是等比数列,并求其通项公式;

(Ⅲ )求数列{an}前 20 项中所有奇数项的和.

考点: 数列的求和;等比数列的通项公式;等比关系的确定. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ )直接利用数列的递推公式,分别令 n=1,2 依次计算可求得 a2,a3 (II)利用等比数列的定义证出 是一个与 n 无关的常数即可.

(Ⅲ )根据数列的递推公式,先将数列{an}前 20 项中所有奇数项转化为偶数项,再结合相关的求和 方法计算. 解答: 解: (Ⅰ )令 n=1,得 a2= a1+1= ,令 n=2,得 a3=a2﹣4=﹣ .

(II)b1=a2﹣2=﹣ ,且 是一个与 n 无关的常数.

=

=

=

= ,

所以数列{bn}是等比数列,其通项公式 bn=﹣ (Ⅲ )由(II)可得 a2n=2+bn. 数列{an}前 20 项中所有奇数项的和 S=a1+a3+a5+…+a19=a1+ (1+2+4+…18)+ (a2+a4+…a18) + +…+ =1﹣

=﹣90+ (2+b1+2+b2+…2+b9)=﹣90+ (18+

)=﹣90+9﹣ +

=



点评: 本题考查数列的递推公式,等比数列的判定,数列求和.考查逻辑思维、转化、计算论证能力. 19. (14 分)已知点 D(0,﹣2) ,过点 D 作抛物线 C1:x =2py(p>0)的切线 l,切点 A 在第二象限,如 图 (Ⅰ )求切点 A 的纵坐标; (Ⅱ )若离心率为 的椭圆 恰好经过切点 A,设切线 l 交椭圆的另一点为 B,记
2

切线 l,OA,OB 的斜率分别为 k,k1,k2,若 k1+2k2=4k,求椭圆方程.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 综合题. 分析: (Ⅰ )设切点 A(x0,y0) ,且 ,由切线 l 的斜率为 ,得 l 的方程为 ,再

由点 D(0,﹣2)在 l 上,能求出点 A 的纵坐标. (Ⅱ )由得
2 2

,切线斜率
2

,设 B(x1,y1) ,切线方程为 y=kx﹣2,由



得 a =4b ,所以椭圆方程为

,b =p+4,由

,由此能求出椭圆方程. 解答: 解: (Ⅰ )设切点 A(x0,y0) ,且 ,

由切线 l 的斜率为

,得 l 的方程为

,又点 D(0,﹣2)在 l 上,



,即点 A 的纵坐标 y0=2.…(5 分) ,切线斜率
2

(Ⅱ )由(Ⅰ ) 得

, ,得 a =4b ,…(7 分)
2 2

设 B(x1,y1) ,切线方程为 y=kx﹣2,由

所以椭圆方程为

,且过

,∴ b =p+4…(9 分)



,∴

,…(11 分)

=



,b =p+4 代入得:p=32,所以 b =36,a =144,

2

2

2

椭圆方程为

.…(15 分)

点评: 本题考查切点的纵坐标和椭圆方程的求法,解题时要认真审题,注意椭圆标准方程,简单几何性质, 直线与椭圆的位置关系,圆的简单性质等基础知识.考查运算求解能力,推理论证能力;考查函数 与方程思想,化归与转化思想.

20. (14 分)已知函数 (Ⅰ )试用含 a 的代数式表示 b; (Ⅱ )求 f(x)的单调区间;

,且 f'(﹣1)=0

(Ⅲ )令 a=﹣1,设函数 f(x)在 x1,x2(x1<x2)处取得极值,记点 M(x1,f(x1) ) ,N(x2,f(x2) ) , 证明:线段 MN 与曲线 f(x)存在异于 M、N 的公共点. 考点: 利用导数研究函数的单调性;导数的运算;利用导数研究函数的极值. 专题: 计算题;压轴题;分类讨论;反证法. 分析: (Ⅰ ) :已知 f′ (﹣1)=0,根据求导数的方法先求出 f′ (x) ,把 x=﹣1 代入得到关于 a 和 b 的等式 解出 b 即可; (Ⅱ ) :令 f′ (x)=0 求出稳定点时 x 的值 1﹣2a 和﹣1,根据 1﹣2a 和﹣1 的大、小、相等分三种情 况讨论函数的增减性即可; (Ⅲ ) : 利用反证法, 假设线段 MN 与曲线 f (x) 不存在异于 M、 N 的公共点. 推出函数不单调矛盾. 原 结论正确. 2 解答: 解: (Ⅰ )f′ (x)=x +2ax+b 依题意,得 f′ (﹣1)=1﹣2a+b=0 故 b=2a﹣1. (Ⅱ )由(a)得 故 f′ (x)=x +2ax+2a﹣1=(x+1) (x+2a﹣1) 令 f′ (x)=0,则 x=﹣1 或 x=1﹣2a 分情况讨论得: 当 x 变化时,f′ (x)与 f(x)的变化如下表:
2

(1)当 a>1 时,1﹣2a<﹣1 由此得,函数 f(x)的单调增区间为(﹣∞,1﹣2a)和(﹣1,+∞) , 单调减区间为(1﹣2a,﹣1) . (2)当 a=1 时,1﹣2a=﹣1.此时 f′ (x)≥0 恒成立,且仅在 x=﹣1 处 f′ (x)=0 故函数 f(x)的 单调增区间为 R. (3)当 a<1 时,1﹣2a>﹣1 同理可得函数 f(x)的单调增区间为(﹣∞,﹣1)和(1﹣2a,+∞) 单调减区间为(﹣1,1﹣2a) . (Ⅲ )假设线段 MN 与曲线 f(x)不存在异于 M、N 的公共点. 当 a=﹣1 时,由(a)的 b=2a﹣1=﹣3.f(x)= 盾. ﹣x ﹣3x 就不在区间内单调与 a<﹣1 单调减矛
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所以假设错误.故线段 MN 与曲线 f(x)存在异于 M、N 的公共点. 点评: 此题考查学生利用导数研究函数单调的方法,以及反证法的运用.


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