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【卓越学案】2017高考理科数学新课标一轮复习练习:4.5三角函数的图象与性质.doc


一、选择题

1.函数 f(x)=sin x 在区间[a,b]上是增函数,且 f(a)=-1,f(b)=1,则 cos ( )[Zxxk.Com] A.0 C.-1 B. 2 2

a+b = 2

D.1

a+b π π [导学号 03350319] 解析:选 D.不妨令 a=- ,b= ,则 cos =cos 0=1,故选 2 2 2 D. 2.y=|cos x|的一个单调增区间是( π π? A.? ?-2,2? 3π? C.? ?π, 2 ? B.[0,π] 3π ? D.? ? 2 ,2π? )

[导学号 03350320] 解析:选 D.将 y=cos x 的图象位于 x 轴下方的图象关于 x 轴对称, x 轴上方(或 x 轴上)的图象不变,即得 y=|cos x|的图象(如图).故选 D.

π? 3.若函数 y=2cos(2x+φ)是偶函数,且在? ?0,4?上是增函数,则 φ 可能是( π A.- 2 π C. 2 B.0 D .π

)

[导学号 03350321] 解析: 选 D.将各选项代入检验知, 当 φ=π 时, 函数 y=2cos(2x+π) π? =-2cos 2x,此时函数是偶函数,且在? ?0,4?上是增函数,故选 D. 4.将函数 y= 3cos x+sin x(x∈R)的图象向左平移 m(m>0)个单位长度后,所得到的图 象关于 y 轴对称,则 m 的最小值是( π A. 12 π B. 6 )

π C. 3

5π D. 6

π? [导学号 03350322] 解析:选 B.y= 3cos x+sin x=2cos? ?x-6?,将该函数图象向左平 π? 移 m 个单位长度后得到的图象的解析式为 y=2cos? ?x+m-6?,该函数图象关于 y 轴对称, π π 则 m- =kπ,k∈Z,又 m>0,所以当 k=0 时,mmin= .故选 B. 6 6 2π? 5.设 ω 是正实数,函数 f(x)=2cos ωx 在? ?0, 3 ?上单调递减,那么 ω 的值可以是( 1 A. 2 C.3 B.2 D.4 )

T? [导学号 03350323] 解析:选 A.因为函数 f(x)=2cos ωx 在? ?0,2?上单调递减,所以要 2π? 2π T 4π 2π 4π 使函数 f(x)=2cos ωx(ω>0)在? ?0, 3 ?上单调递减,则 3 ≤2 ,即 T≥ 3 ,所以 T= ω ≥ 3 ,解得 3 1 ω≤ .结合选项知,ω 的值可以是 .故选 A. 2 2 6.已知函数 f(x)=cos xsin 2x,下列结论中错误的是( A.y=f(x)的图象关于点(π,0)中心对称 π B.y=f(x)的图象关于直线 x= 对称 2 C.f(x)的最大值为 3 2 )

D.f(x)既是奇函数,又是周期函数 [导学号 03350324] 解析:选 C.因为 f(π+x)+f(π-x)=0,所以 f(x)的图象关于点(π, π ? ?π ? 0)中心对称,排除选项 A;因为 f? ?2+x?=f?2-x?=sin xsin 2x,所以 f(x)的图象关于直线 x π = 对称,排除选项 B;由正、余弦函数的性质可知,f(x)既是奇函数,又是周期函数,排除 2 选项 D.故选 C. 二、填空题 π ? ?π ? 7.函数 y=sin? ?2+x?cos?6-x?的最大值为________. π ? π ? ?π ? [导学号 03350325] 解析:y=sin? cos? ?2+x?· ?6-x?=cos xcos?6-x? π π ? =cos x? ?cos6cos x+sin6sin x? = 3 2 1 cos x+ sin xcos x 2 2



3 1+cos 2x 1 × + sin 2x 2 2 4

π 2+ 3 1 3 2x- ?+ ,所以函数的最大值是 = cos? . 6? 4 2 ? 4 2+ 3 答案: 4 π? π 8.函数 y=cos(2x+φ)(-π≤φ≤π)的图象向右平移 个单位长度后,与函数 y=sin? ?2x+3? 2 的图象重合,则 φ=________. π ? [导学号 03350326] 解析:因为 y=cos(2x+φ)=cos(-2x-φ)=sin? ?2-?-2x-φ??= π π ? sin ? ?2x+2+φ? , 将 该 函 数 的 图 象 向 右 平 移 2 个 单 位 长 度 后 所 得 图 象 的 解 析 式 为 y = π π? π π ? ? sin? ?2x-2+φ?,该函数图象与 y=sin?2x+3?的图象重合,所以 φ-2=3+2kπ,k∈Z,又- 5π π≤φ≤π,所以 φ= . 6 5π 答案: 6 9.函数 y=sin(πx+φ)(φ>0)的部分图象如图所示,设 P 是图象的最高点,A,B 是图象 与 x 轴的交点,记∠APB=θ,则 sin 2θ 的值是________.

[导学号 03350327] 解析:由周期公式知函数的周期为 2,

∴AB=2.如图,过点 P 作 PD⊥AB 于点 D,由函数的最大值为 1,知 PD=1. 1 3 根据函数的图象,得 AD= ,BD= . 2 2 在 Rt△APD 和 Rt△BPD 中,sin∠APD= ∠BPD= 2 , 13 8 , 65 1 2 3 ,cos∠APD= ,sin∠BPD= ,cos 5 5 13

所以 sin θ=sin(∠APD+∠BPD)=

cos θ=cos(∠APD+∠BPD)= 故 sin 2θ=2sin θcos θ=2× 16 答案: 65 三、解答题

1 , 65

8 1 16 × = . 65 65 65

1 10.已知函数 f(x)=cos x(sin x+cos x)- . 2 π 2 (1)若 0<α< ,且 sin α= ,求 f(α)的值; 2 2 (2)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间. π [导学号 03350328] 解:(1)因为 0<α< , 2 sin α= 2 2 ,所以 cos α= . 2 2 2 ? 2 2? 1 1 × - = . 2 ?2+2? 2 2 1 2

所以 f(α)=

(2)因为 f(x)=sin xcos x+cos2x- 1+cos 2x 1 1 = sin 2x+ - 2 2 2 1 1 = sin 2x+ cos 2x 2 2 =

π 2 ? 2π sin?2x+4? ?,所以 T= 2 =π. 2

π π π 由 2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ ,k∈Z,得[来源:] 2 4 2 kπ- 3π π ≤x≤kπ+ ,k∈Z. 8 8

3π π? 所以 f(x)的单调递增区间为? ?kπ- 8 ,kπ+8?,k∈Z. π? 3 2 11.已知函数 f(x)=cos x· sin? ?x+3?- 3cos x+ 4 ,x∈R. (1)求 f(x)的最小正周期; π π? (2)求 f(x)在闭区间? ?-4,4?上的最大值和最小值. [导学号 03350329] 解:(1)由已知,有 f(x)=

?1sin x+ 3cos x?- 3cos2x+ 3 cos x· 4 2 ?2 ?

1 3 3 = sin x· cos x- cos2x+ 2 2 4 1 3 3 = sin 2x- (1+cos 2x)+ 4 4 4 1 3 = sin 2x- cos 2x 4 4 π 1 2x- ?. = sin? 3? 2 ? 2π 所以 f(x)的最小正周期 T= =π. 2 π π π π - ,- ?上是减函数,在区间?- , ?上是增函数. (2)因为 f(x)在区间? 4 12 12 4? ? ? ? π π 1 1 - ?=- ,f?- ?=- , 且 f? 4 12 ? ? ? 4 ? 2 π? 1 ?-π,π?上的最大值为1,最小值为-1. f? = ,所以函数 f ( x ) 在闭区间 ?4? 4 ? 4 4? 4 2 π? π? 2ωx ? 12.已知函数 f(x)=sin? ?ωx+6?+sin?ωx-6?-2cos 2 ,x∈R(其中 ω>0). (1)求函数 f(x)的值域; (2)若对任意的 a∈R,函数 y=f(x),x∈(a,a+π]的图象与直线 y=-1 有且仅有两个不 同的交点,试确定 ω 的值 (不必证明),并求函数 y=f(x),x∈R 的单调增区间. [导学号 03350330] 解:(1)f(x)= =2? 3 1 ?-1 ? 2 sin ωx-2cos ωx? 3 1 3 1 sin ωx+ cos ωx+ sin ωx- cos ωx-(cos ωx+1) 2 2 2 2

π? =2sin? ?ωx-6?-1. π? 由-1≤sin? ?ωx-6?≤1, π? 得-3≤2sin? ?ωx-6?-1≤1, ∴函数 f(x)的值域为[-3,1]. 2π (2)由题设条件及三角函数的图象和性质可知,y=f(x)的周期为 π,又由 ω>0,得 =π, ω 即得 ω=2. π? π π π π π 于是有 f(x)=2sin? 再由 2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ (k∈Z), 解得 kπ- ≤x≤kπ+ (k ?2x-6?-1, 2 6 2 6 3 ∈Z). π π kπ- ,kπ+ ?(k∈Z). 所以 y=f(x)的单调增区间为? 6 3? ?


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