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江苏省响水中学高中数学第三章《第12课时函数模型及其应用(一)》导学案苏教版必修1

第 12 课时 函数模型及其应用(一) 1.了解和体会函数模型在实际中的广泛应用. 2.理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义以及三种函数模型性质的比较. 3.会分析具体的实际问题,能够建模解决实际问题. 1859 年,有人把几只兔子从欧洲带到澳大利亚,由于澳大利亚没有鹰、 狐狸和狼这些天敌,而且 气候宜人,牧草茂盛,于是,一场几乎不受任何限制的可怕扩张开始了,不到 100 年,兔子数量达 到 75 亿只,每十只兔子就能吃掉相当于一只羊所吃的牧草,使得澳大利亚的农业和畜牧业蒙 受了巨大损失,直到 20 世纪 50 年代,科学家采用黏液瘤病毒杀死了 90%的野兔,才使澳大利亚 人松了一口气. 问题 1:情境中的生物入侵已成为世界性难题,如果建立一种函数模型来描述兔子的这种增长, 那么应选用的函数模型是 . 问题 2:截止到目前我们学习过的基本函数类型有 6 种,分别是一次函数、二次函数、反比例 函数、 、 、 . 问题 3:对比函数 y=kx+b(k>0),y=x2,y=ax(a>1),y=logax(a>1)在(0,+∞)的单调性和图象,比较它 们的增长差异. (1)这几个函数的共同点都是在(0,+∞)上是 . (2) 通过它们的函数图象可以发现 , 增长速度由慢到快的函数模型依次是 模型、 模型、 模型、 模型. (3)一次函数、二次函数模型属于幂函数 y=xn(n∈N*)模型,n 越大,增长的速度就 ,但 增长速度最终不会超过 模型,而最终会比 模型增长速度快. 问题 4:如何正确理解指数函数、幂函数、对数函数三种模型增长的差异性? 对于函数 y=ax(a>1),y=logax(a>1)和 y=xn(n>0)在 x∈(0,+∞)上都为增函数,我们常用它们来描 述一些增长现象 .但它们增长的快慢不同 ,y=ax(a>1)“先慢后快 ”“随着 x 的增大逐渐加快增 大”;y=logax(a>1)“先快后慢”“随着 x 的增大逐 渐减慢增大”;事实上,总存在一个 x0,当 x>x0 时, 有 logax<xn<ax,即所谓的“对数增长”“直线上升”(当 y=xn 中 n=1 时)和“指数爆炸”. 1 1.某山区加强环境保护,绿色植被的面积每年都比上一年增长 10.4%,那么,经过 x 年,绿色植被 面积可增长为原来的 y 倍,则函数 y=f(x)的大致图象为 . 2.一个矩形的周长是 40,则矩形的长 y 关于宽 x 的函数解析式为下列选项中的 . ①y=20-x,0<x<10;②y=20-2x,0<x<20;③y=40-x,0<x<10;④y=40-2x,0<x<20. 3.用长度为 24 的材料围一矩形场地,中间用该材料加两道隔墙,要使矩形的面积最大,则隔墙 的长度为 . 4.在不考虑空气阻力的情况下,火箭的最大速度 v m/s 和燃料质量 M kg、 火箭(除燃料外)质量 m kg 的关系是 v=2000 ln(1+ ),则当燃料质量是火箭质量的多少倍时,火箭的最大速度可达 12 km/s? 一次函数、二次函数模型 某公司试销一种新产品,规定试销时销售单价不低于成本单价 500 元/件,又不高于 800 元/件, 经试销调查,发现销售量 y(件)与销售单价 x(元/件),可近似看作一次函数 y=kx+b 的关系(图象 如图所示). (1)根据图象,求一次函数 y=kx+b 的表达式; (2)设公司获得的毛利润(毛利润=销售总价-成本总 价)为 S 元. ①求 S 关于 x 的函数表达式; ②求 该公司可获得的最大毛利润,并求出此时相应的销售单价. 指数函数、对数函数和幂函数模型 我国辽东半岛普兰店附近的泥炭层中 ,发掘出古莲子,至今大部分还能发芽开花.古莲子出土 2 时 14C(半衰期为 5730 年)的残余量约占原始含量的 87.9%,试推算古莲子的生活年代(经过科 学鉴定,若 14C 的原始含量为 Q0,则经过 t 年后的残余量 Q 与 Q0 之间满足 Q=Q0· e-kt). 对指数函数、幂函数不同增长速度的应用 函数 f(x)=2x 和 g(x)=x3 的图象如图所示.设两函数的图象交于点 A(x1,y1),B(x2,y2),且 x1<x2. (1)请指出图中曲线 C1,C2 分别对应的函数; (2)结合函数图象,判断 f(8),g(8),f(2015),g(2015)的大小. 据市场分析,烟台某海鲜加工公司,当月产量在 10 吨至 25 吨时,其月生产总成本 y(万元)可以 看成月产量 x(吨)的二次函数;当月产量为 10 吨时,月总成本为 20 万元;当月产量为 15 吨时, 月总成本最低为 17.5 万元,为二次函数的顶点. (1)写出月总成本 y(万元)关于月产量 x(吨)的函数关系式. (2)已知该产品销售价为每吨 1.6 万元,那么月产量为多少时,可获最大利润? 燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬,研究燕子的科学家发现,两岁燕子的飞行速度可以表 示为函数 v=5log2 ,单位是 m/s,其中 Q 表示燕子的耗氧量. (1)计算:燕子静止时的耗氧量是多少个单位? (2)当一只燕子的耗氧量是 80 个单位时,它的飞行速度是多少? 函数 f(x)=lg x,g(x)=0.3x-1 的图象如图所示. (1)试根据函数的增长差异指出曲线 C1,C2 分别对应的函数; (2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点,对 f(x)、g(x)的大小进行比较). 3 1.对于函数 f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,当 x∈(4,+∞)时,三个函数的增长速度的比较,下列选项 中正确的是 . ①f(x)>g(x)>h(x);②g(x)>f(x)>h(x);③g(x)>h(x)>f(x);④f(x)>h(x)>g(x). 2.李老师骑自行车上班,最初以某一速度匀速行进,中途由于自行车发生故障,停下修车耽误了 一段时间,为了按时到校,李老师加

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