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苏教版高中数学(选修2-3)2.4《二项分布》word教案2篇

2.4 二项分布(1) 教学目标 (1)理解 n 次独立重复试验的模型( n 重伯努利试验)及其意义。 (2)理解二项分布,并能解决一些简单的实际问题。 教学重点,难点 二项分布公式的发现与应用二项分布的分布列. 教学过程 一.问题情境 1.情景 射击 n 次,每次射击可能击中 目标,也可能不中目标,而且当射击条件不变时, 可以认为每次击中目标的概率 p 是不变的 [ 抛掷一颗质地均匀的筛子 n 次,每一次抛掷可能出现“ 5 ” ,也可能不出现“ 5 ” ,而且 每次掷出“ 5 ”的概率 p 都是 1 ; 6 种植 n 粒棉花种子,每一粒种子可能出苗,也可能不出苗,其出苗率是 67% 。 2.问题 上述试验有什么共同特点? 二.学生活动 由 n 次试验构成,且每次试验相互独立完成,每次试验的结果仅有两种对立的状态,每 次试验中 P( A) ? p ? 0 。 三.建构数学 1. n 次独立重复试验 一般地,由 n 次试验构成,且每次试验相互独立完成,每次试验的结果仅有两种对 立的状态,即 A 与 A ,每次试验中 P( A) ? p ? 0 。我们将这样的试验称为 n 次独立重 复试验,也称为伯努利试验。 思考:在 n 次独立重复试验中,每次试验事件 A 发生的概率均为 p ,那么,在这 n 次试验中,事件 A 恰好发生 k 次的概率是多少? 我们先研究下面的问题:射击 3 次,每次射中目标的概率都为 p ? 0 。设随机变量 X 是 射中目标的次数,求随 机变量 X 的概率分布。 分析 1 这是一个 3 次独立重复试验,设“射中目标”为事件 A ,则 q) ,用下面的树形图来表示该试验的过程和结果。 (图 P( A)? p, P( A) ? 1 ? (记为 p 略) 由树形图可见,随机变量 X 的概率分布如下表所示。 X 0 1 2 3 P q3 3 pq 2 3 p2q p3 分析 2 在 X ? k 时, 根据试验的独立性, 事件 A 在某指定的 k 次发生时, 其余的 (3 ? k ) 次则不发生,其概率为 p q k 3? k k ,而 3 次试验中发生 k 次 A 的方式有 C3 种,故有 k k 3?k P( X ? k ) ? C3 p q , k ? 0,1, 2,3 。因此,概率分布可以表 示为下表 [ X 0 0 3 C3 q 1 1 C3 pq2 2 3 3 3 C3 p P C32 p 2 q 一般地,在 n 次独立重复试验中,每次试验事件 A 发生的概率均为 p(0 ? p ? 1) ,即 由于试验的独立性,n 次试验中, 事件 A 在某指定的 k 次 P(A) ? p, P(A) ? 1 ?p ?q 。 发生,而在其余 n ? k 次不发生的概率为 p k q n ?k 。又由于在 n 次试验中,事件 A 恰好发 k k n ?k 生 k (0 ? k ? n) 次的概率为 P , k ? 0,1, 2,?, n 。它恰好是 (q ? p)n 的 n (k ) ? Cn p q 二项展开式中的第 k ? 1 项。 2.二项分布 k k n? k 若随机变量 X 的分布列为 P( X ? k ) ? Cn p q , 其中 0 ? p ? 1, p ? q ? 1, k ? 0,? n 则称 X 服从参数为 n , p 的二项分布,记作 X ? B(n, p) 。 四.数学运用 1.例题 例 1:求随机抛掷 100 次均匀硬 币,正好出现 50 次正面的概率。 分析 将一枚均匀硬币随机抛掷 100 次,相当于做了 100 次独立重复试验,每次试验有 两个可能结果,即出现正面 ( A) 与出现反面 ( A) ,且 P( A) ? 0.5 。 解 设 X 为抛掷 100 次硬币出现正面的次数,依题意,随机变量 X ? B(100, 0.5) ,则 50 50 100?50 50 P( X ? 50) ? C100 p q ? C100 0.5100 ? 8% 。 答 随机抛掷 100 次均匀硬币,正好出现 50 次正面的概率约为 8% 。 思考: “随机抛掷 100 次均匀硬币正好出现 50 次反面”的概率是多少? 例 2:设某保险公司吸收 10000 人参加人身意外保险,该公 司规定:每人每年付给公司 120 元,若意外死亡,公司将赔偿 10000 元。如果已知每人每年意外死亡的概率为 0.006 ,问:该公司赔本及盈利额在 400000 元以上的概率分别有多大? 解 设 这 10000 人 中 意 外 死 亡 的 人 数 为 X , 根 据 题 意 , X 服 从 二 项 分 布 k B(10000, 0.006) : P( X ? k ) ? C10000 0.006k (1 ? 0.006)n?k ,死亡人数为 X 人时,公 司要赔偿 X 万元,此时公司的利润为 (120 ? X ) 万元。由上述分布,公司赔本的概率为 k P(120 ? X ? 0) ? 1 ? P( X ? 120) ? 1 ? ? P( X ? k ) ? 1 ? ? C10000 0.006k ? 0.99410000?k ? 0 k ?0 k ?0 120 120 。这说明,公司几乎不会赔本。 利润不少于 400000 元的概率为 k P(120 ? X ? 40) ? P( X ? 80) ? ? P( X ? k ) ? ? C10000 0.006k ? 0.99410000?k ? 0.994 k ?0 k ?0 80 80 ,即公司约有 99.4% 的概率能赚到 400000 元以上。 例 3. 一盒零件中有 9 个正品和 3 个次品, 每次取一个零件, 如果取出的次品不再放回, 求在取得正品前已取出的次品数 X 的概率分布。 分析:由于题设中要求取出次品 不再放回,故应仔细分析每一个 X 所对应的事件的准 确含义

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