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南昌大学第六届高等数学竞赛


南昌大学第六届高等数学竞赛(理工类) 南昌大学第六届高等数学竞赛(理工类)试题
一、 单项选择题(每题 3 分,共 15 分)
1、 f ( x ) = 设

1 1 x arctan , g ( x ) = arctan , x = 0 分别是 f ( x) 和 g ( x ) 的 则 ( x x
(B) 可去间断点、跳跃间断点. (D) 跳跃间断点、无穷间断点.



(A) 可去间断点、无穷间断点. (C) 无穷间断点、可去间断点.

2、设 D = ( x, y ) : x 2 + y 2 ≤ a 2 ,则 lim (A) ∞ . (B) 不存在.

{

}

1 a →0 a 3

∫∫ e
D

? x2 + y2

(

) sin (x + y )dxdy = (



(C)

π.
?z ?z ? y =( ?x ?y

(D) 0. ) (D) xy? ′( xy ) .

3、 设 z = x + ? ( xy ) ,其中 ? (u ) 为可导函数,则 x (A) x . (B) y .

(C)1.

4 、

? x = 2 cos t ? 空 间 曲 线 Γ : ? y = 3 sin t 上 任 一 点 处 的 切 线 ( ? z = 3t ?



(A) 与 z 轴 成 定 角 . (C) 与 yoz 平面成定角. 5、 设级数 ∑ u n 收敛,则级数 ∑
2 n =1 ∞

(B) 与 x 轴 成 定 角 . (D) 与 zox 平面成定角.

un ( ) n =1 n
(B) 条件收敛. (C) 绝对收敛. (D) 发散.



(A) 可能收敛也可能发散.

二、填空题(每空 3 分,共 15 分)

1、 lim

∫0

x2

ln (1 + t )dt 1+ x4 ?1
d dx

x→ 0


2 ∫ 0 tf (x x

.

2、设 f ( x ) 连续,则 3、将 ∫ dx
0 2

? t

2

)dt

=

. .

∫x

3x

f

(

x 2 + y 2 dy 化成极坐标形式的二次积分为

)

4 、 设 L 是 圆 周 x2 + y2 = 4 , L 的 方 向 为 逆 时 针 方 向 , 则

∫L (e

x2

? x 2 y dx + xy 2 dy =
xn 的收敛半径为 n n n =1 a + b


)

5、设 a > b > 0 ,则级数 ∑

.

三、 (本题满分 6 分)
求由方程 x 2 + y 3 ? xy = 0 所确定的函数 y = y ( x ) 在 (0,+∞ ) 内的极值,并判断是 极大值还是极小值.

四、 (本题满分 6 分)
设 u = arctan

x+ y ?u ? 2 u ,求 , . ?x ?x 2 1 ? xy

五、 (本题满分 8 分)
计算曲线积分 I =

∫L

xdy ? ydx ,其中 L 是以点(1,0)为中心、 R 为半径的 4x2 + y2

圆周, R > 0, R ≠ 1 ,取逆时针方向.

六、 (本题满分 7 分)
设函数 f ( x ) 在 (0,+∞ ) 内具有连续的导数,且满足

f (t ) = 2 ∫∫ x 2 + y 2 f
D

(

)

(

x 2 + y 2 dxdy + t 4 ,

)

其中 D 是由 x 2 + y 2 = t 2 所围成的闭区域,求当 x ∈ (0,+∞ ) 时 f ( x ) 的表达式.

七、 (本题满分 6 分)
设 an =

∫0



∞ ? 1 1 x sin x dx ,求级数 ∑ ? ? ? a n+1 n =1 ? a n

? ? 的和. ? ?

八、 (本题满分 7 分)

设 f ( x ) 在 [0,+∞ ) 上连续且单调增加,试证:对任意正数 a , b ,恒有
b ∫a xf (x )dx



b a 1 b ∫0 f ( x )dx ? a ∫0 f ( x )dx . 2

[

]

九、 (本题满分 7 分)
设 ? (u, v ) 具有连续偏导数,由方程 ? ( x ? az, y ? bz ) =0 确定隐函数 z = z ( x, y ) , 求a

?z ?z +b . ?x ?y

十、 (本题满分 7 分)
设 xn = 2 n ?

1 1

?

1 2

???

1 n

,判别数列 {xn }的敛散性.

十一、 (本题满分 8 分)
设半径为 r 的球面 Σ 的球心在球面 Σ 0 : x 2 + y 2 + z 2 = R 2 ( R > 0 ) 上,问当 r 为 何值时,球面 Σ 在球面 Σ 0 内部的那部分面积最大?

十二、 (本题满分 8 分)
1、计算 I =

∫L (x ? 1 )2

x2 + y2 + y
2
3

ds ,其中曲线弧 L 为: x 2 + y 2 = 2 x , y ≥ 0 .
3 2

2. 计 算 曲 面 积 分 I =

∫∫ 2 x dydz + 2 y dzdx + 3 ( z Σ

? 1) dxdy , 其 中 ∑ 是 曲 面

z = 1 ? x 2 ? y 2 被平面 z = 0 所截出部分的上侧.

三、对 x 2 + y 3 ? xy = 0 两边求导得 2 x + 3 y 2 y′ ? ( y + xy′ ) = 0 ,
y′ = y ? 2x , 3y2 ? x
1 8 1 . 4

令 y′ = 0 得 y = 2 x ,代入原方程解得 x = , y =

y′′

1 1 x= , y= 8 4

=

( y′ ? 2 ) ( 3 y 2 ? x ) ? ( y ? 2 x )( 6 yy′ ? 1)

(3 y

2

? x)

2

1 1 x = , y = , y′ = 0 8 4

= ? 32<0. 故当 x =

1 1 时, y 取极大值 . 8 4

答案
一、1、B.
二、1、1. 四、
?u = ?x
2、D. 3、A.
π

4、A.
2 sec θ

5、C.

2、 xf x 2 .

( )
2

3、 ∫π3 dθ ∫
4

0

f (r )rdr .

4、8 π .

5、 a .

1 ? x+ y ? 1+ ? ? 1 ? xy ? ? ? ?

1 ? xy + ( x + y ) y

(1 ? xy )
.

2

=

1 , 1+ x2

? 2u 2x =? ?x 2 1+ x2

(

)

2

五 、 P ( x, y ) =

?y , 4x2 + y 2

Q ( x, y ) =

x , 4x2 + y 2



(x, y ) ≠ (0,0)

时 ,

?P y 2 ? 4x 2 ?Q = = 2 ?y ?x 4x 2 + y 2

(

)

当 0 < R < 1 时 (0,0 ) ? D ,由格林公式知, I = 0 .

ε ? ? x = cos θ 当 R > 1 时, (0,0 ) ∈ D ,作足够小的椭圆曲线 C : ? , θ 从 0 到 2π . 2 ? y = ε sin θ ?
当 ε >0 充分小时, C 取逆时针方向,使 C?D ,于是由格林公式得

∫L+C

?

xdy ? ydx = 0, 4x2 + y 2 xdy ? ydx xdy ? ydx = ∫C 2 2 4x + y 4x2 + y 2

因此 ∫

L

=∫




0

1 2 ε 2 dθ

ε2



六、 f ( t ) = 2∫0 dθ ∫0 r 2 f ( r ) rdr + t 4
t

= 4π 两边对 t 求导得

∫ r f ( r ) dr + t
t 3 0

4

,

f ′ ( t ) = 4π t 3 f ( t ) + 4t 3 ,且 f ( 0 ) = 0 ,
这是一个一阶线性微分方程,解得

f (t ) =

(e π
1

π t4

?1 .

)

七、令 x = nπ ? t ,

则 an = ∫ = nπ ∫

0



0

(nπ ? t ) sin t dt

sin t dt ? a n .

an =

nπ 2





0

sin t dt

=

n 2π 2



π

0

sin t dt =

n 2π 2



π

0

sin tdt = n 2π .
1 ? ?1 ? ? ?. ? n n +1?

1 1 1 ? = an an +1 π

? 1 1 Sn = ∑ ? ? ? a ak +1 k =1 ? k
n

? n 1 ? 1 1 ? 1 ? 1 ? ? ?=∑ ?1 ? ?, ? = ? k =1 π ? k k +1 ? π ? n +1? ? ?

S = lim

n →∞

1 ? 1 ? 1 ?1 ? ?= π ? n +1? π

八、令 F ( x ) = x

∫ f ( t )dt ,
x 0

则 F ′( x) =

∫ f ( t )dt + xf ( x ) ,
x 0

b b x F ( b ) ? F ( a ) = ∫ F ′ ( x )dx = ∫ ? ∫ f ( t )dt + xf ( x ) ?dx ? a a ? 0 ? ?

≤ ∫ ? xf ( x ) + xf ( x ) ?dx ? a ?
b

=2



b

a

xf ( x )dx ,







b

a

xf ( x )dx ≥

b a 1 1 ? F ( b ) ? F ( a ) ? = ?b ∫ f ( x ) dx ? a ∫ f ( x ) dx ? ? ? 2? 0 ? 0 ? ? 2



九、

两边对 x 求偏导得 ?1′ i?1 ? a 两边对 y 求偏导得 ?1′ i? ? a

? ?

?z ? ? ?z ? ? + ? 2′ i? ?b ? = 0 , ?x ? ? ?x ?

? ?

? ?z ? ?z ? ? + ? 2′ i? 1 ? b ? = 0 , ?y ? ?y ? ?

?z ?1′ ?z ?2′ = , = , ?x a?1′ + b? 2′ ?x a?1′ + b? 2′ a ?z ?z + b =1. ?x ?y

十、定义 x0 = 0 ,令 uk = xk ? xk ?1 ,则

∑u
k =1

n

k

= xn ,

当 n ≥ 2 时, un = xn ? xn ?1 = 2 n ?

1 ? 2 n ?1 , n

=

2 n + n ?1

?

1 n ? n ?1 = = n n n + n ?1 n

(

)

(

1 n + n ?1

)

2

.

lim

un 1 = , n →∞ 1 4 n n



∑n
n =1



1 n

可知

∑u
n =1



n

收敛,从而 {xn }收敛.
2

十一、 由对称性可设 Σ 的方程为 x 2 + y 2 + ( z ? R ) = r 2 , 球面 Σ 被球面 Σ 0 所割 部分的方程为 z = R ? r 2 ? x 2 ? y 2 ,

?z x ?z y = , = , 2 2 2 2 ?x ?x r ?x ?y r ? x2 ? y2

? ?z ? ? ?z ? 1+ ? ? + ? ? = ? ?x ? ? ? 2 ?
2 2

r r 2 ? x2 ? y2

.

r4 球面 Σ 与球面 Σ 0 的交线在 xoy 平面的投影曲线方程为 x + y = r ? ,令 4R2
2 2 2

r4 l= r ? 2 4R
2

所求曲面面积为 S ( r ) =

∫∫
D

2π l rρ ? ?z ? ? ?z ? 1 + ? ? + ? ? dxdy = ∫ dθ ∫ dρ , 0 0 ? ?x ? ? ? 2 ? r2 ? ρ 2 2 2

? r2 ? = 2π r ? r ? ?. 2R ? ?
令 S ′ ( r ) = 0 得驻点 r =

4 R, 3

容易判断当 r =

4 R 时,球面 Σ 在球面 Σ 0 内部的那部分面积最大. 3

十二、注:科技学院考生只作第 1 题, 其他考生只作第 2 题. 1.计算 I = ∫

L

( x ? 1)

x2 + y2
2

+y

2

ds ,其中曲线弧 L 为: x 2 + y 2 = 2 x , y ≥ 0 .
(1) ,

y = 2x ?x2 ,

y′ =

1? x 2x ? x
2

ds = 1 + y′2 dx =
将(1)、(2)代入 I = ∫

1 2x ? x2

dx ,

(2)

L

( x ? 1)2 + y 2
2

x2 + y2

ds 得

I = ∫0 2 x
= 2∫ =4. 2.计算曲面积分 I =
2

1 2x ? x
2

dx

0

1 dx 2? x
3 3 2

∫∫ 2 x dydz + 2 y dzdx + 3 ( z Σ

? 1) dxdy ,其中 ∑ 是曲面

z = 1 ? x 2 ? y 2 被平面 z = 0 所截出部分的上侧.
记 Σ 1 为 xoy 平面上被园 x 2 + y 2 = 1 所围成的部分的下侧, ? 为由 Σ 与 Σ 0 围 成的空间闭区域.由高斯公式知

∫∫Σ 2 x dydz + 2 y dzdx + 3 ( z Σ
3 3

2

+

? 1) dxdy = ∫∫∫ 6 ( x 2 + y 2 + z ) dv
?
1 1? r 2

1

=6





0 1

dθ ∫ dr ∫
0

0

( z + r ) rdz
2

= 12π

2 ?1 ? r (1 ? r 2 ) + r 3 (1 ? r 2 ) ?dr ∫0 ? 2 ? ?

=2 π .

∫∫ 2 x dydz + 2 y dzdx + 3 ( z Σ
3 3
1

2

? 1) dxdy = ?

∫∫
x + y ≤1
2 2

?3dxdy =3 π

I = 2π ? 3π = ?π


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