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2017_2018学年高中数学第一章导数及其应用1.5定积分的概念1.5.3定积分的概念学案含解析新人教A版选修2_2201

1.5.3 定积分的概念

问题 1:求曲边梯形面积的步骤是什么? 提示:分割、近似代替、求和、取极限. 问题 2:你能将区间等分吗? 提示:可以.

定积分的概念

定积分的概念 如果函数 f(x)在区间上连续,用分点 a=x0<x1<…<xi-1<xi<…<xn=b 将区间等分成 n 个

小区间,在每个小区间上任取一点

ξ

n
i(i=1,2,…,n),作和式 ?f(ξ
i=1

n
i)Δ x= ?
i=1

b-a n

f(ξ i).当 n→∞时,上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数 f(x)在区间上的定积

n
分,记作??abf(x)dx,即??abf(x)dx=ln→i∞mi?=1

b-n af(ξ

i).其中 a 与 b 分别叫做积分下限与积分

上限,区间叫做积分区间,函数 f(x)叫做被积函数,x 叫做积分变量,f(x)dx 叫做被积式.

对定积分概念的理解
由定义可得定积分??abf(x)dx 是一个常数,它的值仅取决于被积函数与积分上、下限, 而与积分变量没有关系,即??abf(x)dx=??abf(t)dt=??abf(u)du.
定积分的几何意义

问题 1:根据定积分的定义,求??12(x+1)dx 的值是多少. 提示:??12(x+1)dx=52. 问题 2:??12(x+1)dx 的值与直线 x=1,x=2,y=0,f(x)=x+1 围成的梯形的面积有
什么关系? 提示:相等.

定积分的几何意义
从几何上看,如果在区间上函数 f(x)连续且恒有 f(x)≥0,那么定积分??abf(x)dx 表示 由直线 x=a,x=b,y=0 和曲线 y=f(x)所围成的曲边梯形的面积.这就是定积分??abf(x)dx
的几何意义.
评析定积分的几何意义
关于定积分的几何意义,当函数 f(x)在区间上恒为正时,定积分??abf(x)dx 的几何意义 是以曲线 f(x)为曲边的曲边梯形的面积.一般情况下,如图,定积分??abf(x)dx 的几何意义 是介于 x 轴、函数 f(x)的图象以及直线 x=a,x=b 之间各部分面积的代数和,在 x 轴上方
的面积取正号,在 x 轴下方的面积取负号.

定积分的性质

2

2

2

问题 1:利用定积分的定义,试求??1x2dx,??12xdx,??1(x2+2x)dx.

提示:计算得??12x2dx=73,??122xdx=3,??12(x2+2x)dx=136.

问题 2:由问题 1 计算得出什么结论?

2

2

2

提示:??1x2dx+??12xdx=??1(x2+2x)dx.

问题 3:还有相类似的性质吗?

提示:有.

定积分的性质

(1)??abkf(x)dx=k??abf(x)dx(k 为常数);

(2)??abdx=??abf1(x)dx±??abf2

dx;

(3)??abf(x)dx=??acf(x)dx+??cbf(x)dx(其中 a<c<b).

对定积分的性质的说明

定积分的性质(1)(2)被称为定积分的线性运算,定积分的性质(3)被称为区间的连续可

加性,定积分的性质可以推广为:

①??abdx=??abf1(x)dx±??abf2

dx±…±??abfm(x)dx(m∈N*).



b
??a

f(x)dx



∫c1af(x)dx



??cc21

f(x)dx







??bck

N*).

dx(a<c1<c2<…<ck<b,且 k∈

利用定义求定积分
利用定积分的定义,计算??12(3x+2)dx 的值.
令 f(x)=3x+2. (1)分割
在区间上等间隔地插入 n-1 个分点,把区间等分成 n 个小区间???n+ni-1,n+n i???(i=
n+i n+i-1 1 1,2,…,n),每个小区间的长度为 Δ x= n - n =n.
(2)近似代替、作和 n+i-1
取 ξ i= n (i=1,2,…,n),则

Sn



n
?f
i=1

???n+ni-1???

·Δ

n
x=?
i=1

+i- n

1n
+2·n= ? i=1

???

n2-n

13 3

× n2 +5= 2 -2n.

(3)取极限

??12(3x+2)dx=lin→m∞Sn=lin→m∞ ???123-23n???=123.

- n2

+5n???



3 n2



5



3 2

利用定义求定积分的步骤

利用定积分的定义,计算??12(x+1)dx 的值. 解:f(x)=x+1 在区间上连续,将区间等分成 n 个小区间???1+i-n 1,1+ni???(i=1,2,…,
n),

每个区间的长度为 Δ x=1n.

在???1+i-n 1,1+in???上取 ξ

i-1 i=1+ n (i=1,2,…,n),

i-1 i-1 ∴f(ξ i)=1+1+ n =2+ n ,

n
∴?f(ξ
i=1

n
i)·Δ x=?
i=1

???2+i-n 1???·1n

n
=?
i=1

???2n+i-n2 1???

2

1

=n·n+n2

n-1 1 1 5 1 =2+ 2n =2+2-2n=2-2n,

∴??21(1+x)dx=ln→i∞m ???52-21n???=52.

利用定积分的几何意义求定积分

说明下列定积分所表示的意义,并根据其意义求出定积分的值:

(1)??012dx;(2)??12xdx;(3)

1
??-1

1-x2dx.

(1)??012dx 表示的是图①中阴影部分所示长方形的面积,由于这个长方形的面积为 2,

所以??012dx=2.
(2)??12xdx 表示的是图②中阴影部分所示梯形的面积,由于这个梯形的面积为32,所以??12 xdx=32.
(3)??1-1 1-x2dx 表示的是图③中阴影部分所示半径为 1 的半圆的面积,其值为π2 , 所以??1-1 1-x2dx=π2 .
利用几何意义求定积分的方法
利用定积分所表示的几何意义求??abf(x)dx 的值的关键是确定由曲线 y=f(x),直线 x=
a,直线 x=b 及 x 轴所围成的平面图形的形状.常见形状是三角形、直角梯形、矩形、圆等 可求面积的平面图形.
用定积分表示下图中阴影部分的面积,并根据定积分的几何意义求出定积分的值.
解:图①中,被积函数 f(x)=-1-x 在区间上连续不间断,且 f(x)≤0, 根据定积分的几何意义,图中阴影部分的面积为
S=-??2-1 (-1-x)dx=12×3×3=92,
所以阴影部分的面积为92. 图②中,被积函数 f(x)=- 1-x2在区间上连续不断,且 f(x)≤0, 根据定积分的几何意义,图中阴影部分的面积为

S=-??1-1- 1-x2dx=12π ×12=π2 ,
所以阴影部分的面积为π2 . 利用定积分的性质求定积分
已知??01x3dx=14,??12x3dx=145,??12x2dx=73,??24x2dx=536,求下列各式的值: (1)??02(3x3)dx;(2)??14(6x2)dx;(3)??12(3x2-2x3)dx.
(1)??02(3x3)dx=3??02x3dx=3??01x3dx+??12x3dx=3×???14+145???=12. (2)??14(6x2)dx=6??14x2dx=6????12x2dx+??24x2dx?? =6×???73+536???=126. (3)??12(3x2-2x3)dx=??12(3x2)dx-??12(2x3)dx =3??12x2dx-2??12x3dx=3×73-2×145=-12.
定积分与函数的奇偶性 若函数 f(x)的奇偶性已经明确,且 f(x)在上连续,则:
(1)若函数 f(x)为奇函数,则??-aa f(x)dx=0; (2)若函数 f(x)为偶函数,则??-aaf(x)dx=2??0af(x)dx.
已知??ab dx=12,??abg(x)dx=6, 求??ab3f(x)dx. 解:∵??abf(x)dx+??abg(x)dx=??ab dx, ∴??abf(x)dx=12-6=6, ∴??ab3f(x)dx=3??abf(x)dx=3×6=18.

5.错用定积分的几何意义致误 由 y=cos x 及 x 轴围成的介于 0 与 2π 之间的平面图形的面积,利用定积分应表示 为________.
由 y=cos x 及 x 轴围成的介于 0 与 2π 之间的平面图形可以分成三部分:???0,π2 ???, ???π2 ,32π ???,???3π2 ,2π ???,利用定积分的几何意义可得,所求面积为

3?

?

? ? ? 2 cos xdx-

2

2?

cos xdx+ cos xdx.

? 0

3?

2

2

3?

?

? ? ? 2 cos xdx-

2
cos xdx+

2? cos xdx

?

0

3?

2

2

1.若对定积分的几何意义理解不到位,则易错误地表示为∫20π cos xdx.

2 . 写 定 积 分 时 应 注 意 : 当 f(x)≥0

S=??ab

dx;而

<0时,S=-??ab

dx.

时,

由定积分的几何意义可得??-3 1(3x+1)dx=________.

解析:由直线 x=-1,x=3,y=0 以及 y=3x+1 所围成的图形,如图

所示.

3
??-1

(3x+1)dx 表示由直线 x=-1,x=3,y=0 以及 y=3x+1 所围成

的图形在 x 轴上方的面积减去在 x 轴下方的面积,

∴??-3 1 (3x+1)dx

=12×???3+13???×(3×3+1)-12×???-13+1???×2=530-23=16.

答案:16

1.下列等式不成立的是( )

A.

b
??a

dx=m??abf(x)dx+n??abg(x)dx

B.

b
??a

dx=??abf(x)dx+b-a

C. ??abf(x)g(x)dx=??abf(x)dx·??abg(x)dx

D.??- 2π2π sinxdx=??-0 2π π sin xdx+??02π sin xdx 解析:选 C 利用定积分的性质可判断 A,B,D 成立,C 不成立.

例如??02xdx=2,??022dx=4,??022xdx=4,

??022xdx≠??02xdx·??022dx.

2.图中阴影部分的面积用定积分表示为( )

A.??012xdx B.??01(2x-1)dx C.??01(2x+1)dx D.??01(1-2x)dx 解析:选 B 根据定积分的几何意义,阴影部分的面积为??012xdx-??011dx=??01(2x-1)dx.
3.由 y=sin x,x=0,x=π2 ,y=0 所围成图形的面积写成定积分的形式是________.
解析:∵0<x<π2 ∴sin x>0.
?
? ∴y=sin x,x=0,x=π2 ,y=0 所围成图形的面积写成定积分的形式为 2 sin xdx.
0

?
? 答案: 2 sin xdx
0
4.若??abdx=3,??abdx=1,则??abdx=________. 解析:??abdx =??abdx =??abdx-??abdx
=3-1=2. 答案:2

5.用定积分的几何意义求??1-1 4-x2dx. 解:由 y= 4-x2可知 x2+y2=4(y≥0),其图象如图.

1
??-1

4-x2dx 等于圆心角为 60°的弓形 CD 的面积与矩形 ABCD 的面积之和.

S 弓形=12×π3 ×22-12×2×2sin

π 3

=23π



3,

S 矩形=AB·BC=2 3, ∴??-1 1 4-x2dx=2 3+23π - 3=23π + 3.

一、选择题

1.若??abf(x)dx=1,??abg(x)dx=-3,

则??abdx 等于(

)

A.2

B.-3

C.-1 D.4

解析:选 C ??abdx=2??abf(x)dx+??abg(x)dx=2×1-3=-1.

2.由定积分的几何意义可得??02x2dx 的值等于(

)

A.1 B.2

C.3 D.4

解析:选 A

定积分??02x2dx

等于直线

x y=2与

x=0,x=2,y=0

围成三角形的面积

1 S=2

×2×1=1.

3.已知 f(x)为偶函数,且??06f(x)dx=8,则??6- A.0 B.4

dx等于( )

C.8 D.16

解析:选 D ∵被积函数 f(x)是偶函数,

∴在 y 轴两侧的函数图象对称,从而对应的曲边梯形的面积相等,∴??6-6f(x)dx=2??06

f(x)dx=2×8=16.

4.定积分??13(-3)dx 等于(

)

A.-6 B.6

C.-3 D.3

解析:选 A ??133dx 表示的面积 S=3×2=6,

??13(-3)dx=-??133dx=-6.

5.定积分??01xdx 与??01 xdx 的大小关系是(

)

A.??01xdx=??01 xdx

B.??01xdx>??01 xdx

C.??01xdx<??01 xdx

D.无法确定

解析:选 C

1
由定积分的几何意义结合右图可知??01xdx<??0

xdx.

二、填空题

6.设 f(x)是连续函数,若??01f(x)dx=1,??02f(x)dx=-1,则??12f(x)dx=________.

2
解析:??02f(x)dx=??01f(x)dx+??1

dx,所以??12

dx=??02f(x)dx-??01f(x)dx=

-2.

答案:-2

7.如下图所示的阴影部分的面积用定积分表示为________.

解析:由定积分的几何意义知,S=??2-4x22dx. 答案:??2-4x22dx 8.??2-2(sin x+2x)dx=________. 解析:由定积分的性质可得??2-2(sin x+2x)dx= ??2-2sin xdx+??2-22xdx.又因为 y=sin x 与 y=2x 都是奇函数,故所求定积分为 0.
答案:0

三、解答题

9.求??1-1f(x)dx 的值,其中 f(x)=?????2ex--x,10,≤-x≤1≤1,x<0,

且??0-

- dx=-2,??01e-xdx=1-e-1.

解:对于分段函数的定积分,通常利用积分区间可加性来计算,即??1-1f(x)dx=??0-

1
1f(x)dx+??0

dx

=??0-1(2x-1)dx+??01e-xdx

=-2+1-e-1=-(e-1+1).

10.利用定积分的性质和定义表示下列曲线围成的平面区域的面积.
(1)??1-1|x|dx; (2)??01dx.

解:(1)如下图,因为 A1=A2,
所以??1-1|x|dx=2A1=2×12=1.
(A1,A2 分别表示图中相应各处面积)

1
(2)??01dx=??011dx-??0

1-



2dx,即用边长为 1 的正方形的面积减去圆(x-1)2+y2

=1

1 的面积的4,为

1-π4

.

只要我们坚持了,就没有克服不了的困难。或许,为了将来,为了自己的发展,我们会把一件事情想得非常透彻,对自己越来越严,要求越来越高,对任何机会都不曾错过,其目的也只不过 是不让自己随时陷入逆境与失去那种面对困难不曾屈服的精神。但有时,“千里之行,始于足下。”我们更需要用时间持久的用心去做一件事情,让自己其中那小小的浅浅的进步,来击破打破 突破自己那本以为可以高枕无忧十分舒适的区域,强迫逼迫自己一刻不停的马不停蹄的一直向前走,向前看,向前进。所有的未来,都是靠脚步去丈量。没有走,怎么知道,不可能;没有去 努力,又怎么知道不能实现?幸福都是奋斗出来的。那不如,生活中、工作中,就让这“幸福都是奋斗出来的”完完全全彻彻底底的渗入我们的心灵,着心、心平气和的去体验、去察觉这一 种灵魂深处的安详,侧耳聆听这仅属于我们自己生命最原始最动人的节奏。但,这种聆听,它绝不是仅限于、执着于“我”,而是观察一种生命状态能够扩展和超脱到什么程度,也就是那“幸 福都是奋斗出来的”深处又会是如何?生命不止,奋斗不息!又或者,对于很多优秀的人来说,我们奋斗了一辈子,拼搏了一辈子,也只是人家的起点。可是,这微不足道的进步,对于我们 来说,却是幸福的,也是知足的,因为我们清清楚楚的知道自己需要的是什么,隐隐约约的感觉到自己的人生正把握在自己手中,并且这一切还是通过我们自己勤勤恳恳努力,去积极争取的! “宝剑锋从磨砺出,梅花香自苦寒来。”当我们坦然接受这人生的终局,或许,这无所皈依的心灵就有了归宿,这生命中觅寻处那真正的幸福、真正的清香也就从此真正的灿烂了我们的人生。 一生有多少属于我们的时光?陌上的花,落了又开了,开了又落了。无数个岁月就这样在悄无声息的时光里静静的流逝。童年的玩伴,曾经的天真,只能在梦里回味,每回梦醒时分,总是多 了很多伤感。不知不觉中,走过了青春年少,走过了人世间风风雨雨。爱过了,恨过了,哭过了,笑过了,才渐渐明白,酸甜苦辣咸才是人生的真味!生老病死是自然规律。所以,面对生活 中经历的一切顺境和逆境都学会了坦然承受,面对突然而至的灾难多了一份从容和冷静。这世上没有什么不能承受的,只要你有足够的坚强!这世上没有什么不能放下的,只要你有足够的胸 襟! 一生有多少属于我们的时光?当你为今天的落日而感伤流泪的时候,你也将错过了明日的旭日东升;当你为过去的遗憾郁郁寡欢,患得患失的时候,你也将忽略了沿途美丽的风景,淡 漠了对未来美好生活的憧憬。没有十全十美的生活,没有一帆风顺的旅途。波平浪静的人生太乏味,抑郁忧伤的人生少欢乐,风雨过后的彩虹最绚丽,历经磨砺的生命才丰盈而深刻。见过了 各样的人生:有的轻浮,有的踏实;有的喧哗,有的落寞;有的激扬,有的低回。肉体凡胎的我们之所以苦恼或喜悦,大都是缘于生活里的际遇沉浮,走不出个人心里的藩篱。也许我们能挺 得过物质生活的匮乏,却不能抵挡住内心的种种纠结。其实幸福和欢乐大多时候是对人对事对生活的一种态度,一花一世界,一树一菩提,就是一粒小小的沙子,也有自己精彩的乾坤。如果 想到我们终有一天会灰飞烟灭,一切象风一样无影亦无踪,还去争个什么?还去抱怨什么?还要烦恼什么?未曾生我谁是我?生我之时我是谁?长大成人方是我,合眼朦胧又是谁?一生真的 没有多少时光,何必要和生活过不去,和自己过不去呢。你在与不在,太阳每天都会照常升起;你愁与不愁,生活都将要继续。时光不会因你而停留,你却会随着光阴而老去。 有些事情注定会发生,有的结局早已就预见,那么就改变你可以改变的,适应你必须去适应的。面对幸与不幸,换一个角度,改变一种思维,也许心空就不再布满阴霾,头上就是一片蔚蓝的 天。一生能有多少属于我们的时光,很多事情,很多人已经渐渐模糊。而能随着岁月积淀下来,在心中无法忘却的,一定是触动心灵,甚至是刻骨铭心的,无论是伤痛是欢愉。人生无论是得 意还是失意,都不要错过了清早的晨曦,正午的骄阳,夕阳的绚烂,暮色中的朦胧。经历过很多世态炎凉之后,你终于能懂得:谁会在乎你?你又何必要别人去在乎?生于斯世,赤条条的来, 也将身无长物的离开,你在世上得到的,失去的,最终都会化作尘埃。原本就不曾带来什么,所以也谈不到失去什么,因此,对自己经历的幸与不幸都应怀有一颗平常心有一颗平常心,面对 人生小小的不如意或是飞来横祸就能坦然接受,知道人有旦夕祸福,这和命运没什么关系;有一颗平常心,面对台下的鲜花掌声和头上的光环,身上的浮名都能清醒看待。花不常开,人不常 在。再热闹华美的舞台也有谢幕的时候;再奢华的宴席,悠扬的乐曲,总有曲终人散的时刻。春去秋来,我们无法让季节停留;同样如同季节一样无法挽留的还有我们匆匆的人生。谁会在乎 你?生养我们的父母。纵使我们有千般不是,纵使我们变成了穷光蛋,唯有父母会依然在乎!为你愁,为你笑,为你牵挂,为你满足。这风云变幻的世界,除了父母,不敢在断言还会有谁会 永远的在乎你!看惯太多海誓山盟的感情最后星流云散;看过太多翻云覆雨的友情灰飞烟灭。你春风得意时前呼后拥的都来锦上添花;你落寞孤寂时,曾见几人焦急赶来为你雪中送炭。其实, 谁会在乎你?除了父母,只有你自己。父母待你再好,总要有离开的时日;再恩爱夫妻,有时也会劳燕分飞,孩子之于你,就如同你和父母;管鲍贫交,俞伯牙和钟子期,这样的肝胆相照, 从古至今有几人?不是把世界想的太悲观,世事白云苍狗,要在纷纷扰扰的生活中,懂得爱惜自己。不羡慕如昙花一现的的流星,虽然灿烂,却是惊鸿一瞥;宁愿做一颗小小的暗淡的星子, 即使不能同日月争辉,也有自己无可取代的位置其实,也不该让每个人都来在乎自己,每个人的人生都是单行道,世上绝没有两片完全相同的树叶。大家生活得都不容易,都有自己方向。相 识就是缘分吧,在一起的时候,要多想着能为身边的人做点什么,而不是想着去得到和索取。与人为善,以直报怨,我们就会内心多一份宁静,生活多一份和谐没有谁会在乎你的时候,要学

会每时每刻的在乎自己。在不知不觉间,已经走到了人生的分水岭,回望过去生活的点滴,路也茫茫,心也茫茫。少不更事的年龄,做出了一件件现在想来啼笑皆非的事情:斜阳芳草里,故 作深沉地独对晚风夕照;风萧萧兮,渴望成为一代侠客;一遍遍地唱着罗大佑的《童年》,期待着做那个高年级的师兄;一天天地幻想,生活能轰轰烈烈。没有刀光剑影,没有死去活来,青春 就在浑浑噩噩、懵懵懂懂中悄然滑过。等到发觉逝去的美好,年华的可贵,已经被无可奈何地推到了滚滚红尘。从此,青春就一去不回头。没有了幻想和冲动,日子就像白开水一样平淡,寂 寞地走过一天天,一年年。涉世之初,还有几分棱角,有几许豪情。在碰了壁,折了腰之后,终于明白,生活不是童话,世上本没有白雪公主和青蛙王子,原本是一张白纸似的人生,开始被 染上了光怪陆离的色彩。你情愿也罢,被情愿也罢,生存,就要适应身不由己,言不由衷的生活。人到中年,突然明白了许多:人生路漫漫,那是说给还不知道什么叫人生的人说的,人生其 实很短暂,百年一瞬间;世事难预料,是至理名言,这一辈子,你遇见了谁,擦肩而过了谁,谁会是你真心的良朋益友,谁会和你牵手相伴一生,都是最初估计不到的;没有跨不过去的坎, 只有走不出的心。人生天地间,渺小的如蝼蚁、草芥,即便是叱咤风云的伟人,安息之处亦不过是黄土一抔。纠结不清的是情感,放不下手的是名利,撒手西归,一切皆是过眼云烟。为情苦, 为名困,为物役,多少参不透生活的人为此劳碌一生,辛苦一世。走过了无数个平凡的日子,见惯了生离死别的怅惘,知道了“生亦何欢,死亦何惧”其实就是活着的一种最佳姿态。你无所 畏惧了,命运就该向你低头了,活着,就好好活。忧郁恼的时候听听歌,天空不会总布满阴霾,风雨之后的彩虹更美丽;心情不错的日子走一走,看看每一天的日升日落,那是自然给生命的 美好馈赠。花谢了,有再开的时候;草枯了,还有再荣的时候。青春呢?生命呢?是不是还可以再重新拥有一回?感谢爹娘,给了我生命,虽然历经了风雨,却依然能感觉到生命的厚重和珍 贵;感谢生活,尝尽了酸甜苦辣咸,仍然还会充满感动和感恩;感谢岁月,让我在红尘里褪尽铅华,返璞归真。爱惜自己,珍爱生活。对别人多一份理解和博爱,活着,就好好活。一生能有 多少属于我们的时光?在平凡的日子里,在安静的生活中,且行且珍惜吧。一个人的幸福感,不是来自丰衣足食,而是来自内心丰盈。丰衣足食,获得的是人生的踏实感;内心丰盈,获得的 是灵魂的归属感。前者让人从容赶路,后者给人在路的前方点灯。人的痛苦,有时候不是看不到,而是看到的太多了。每天挣 100 块钱的,其实并不羡慕挣 120 的。问题是,当突然看到有人 可以每天挣到上千块,便开始方寸大乱。不平衡,才是一个人内心宕动和迷乱的根本。无法安放的,永远不是身体,而是一颗野了的心大学谈恋爱,对未来的设想,不过是有一间屋子,只要 能盛得下两个人的欢愉就行。后来发现,我们需要的不只是一间屋子,而是好多房产。当我们把这些归结为生活所需的时候,其实已陷在世俗沉重的背影里了。然后,在虚荣的路上越走越远, 被虚荣长距离放逐,再被虚荣一步一个脚印地打这个世界,快乐最多的地方,不在富商大贾那里,也不在权倾一方的人那里。恰恰是这些人,阴沉着脸,个个蹙眉紧锁。他们的幸福。


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