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高考一轮课时训练(理)10.2双曲线 (通用版)


第二节
题号 答案 一、选择题 1 2

双曲线
3 4 5

x2 y2 1.(2009 年全国卷Ⅱ)双曲线 - =1 的渐近线与圆(x-3)2+y2=r2(r>0)相切,则 r=( 6 3 A. 3 B.2 C.3
2

)

D.6
2

x y 2.(2009 年江西卷)设 F1 和 F2 为双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的两个焦点,若 F1、F2、P(0,2b)是正三 a b 角形的三个顶点,则双曲线的离心率为( 3 A. 2 B.2 5 C. 2 ) D.3 )

x2 y2 3.(2009 年福建卷)若双曲线 2- =1(a>0)的离心率为 2,则 a 等于( a 3 A.2 B. 3 3 C. 2 D.1

x2 y2 4.(2008 年重庆卷)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线为 y=kx(k>0),离心率 e= 5k, a b 则双曲线方程为( x y A. 2- 2=1 a 4a
2 2

) x2 y2 B. 2- 2=1 a 5a ) x2 y2 C. 2- 2=1 4b b x2 y2 D. 2- 2=1 5b b

5.“ab<0”是“曲线 ax2+by2=1 为双曲线”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 二、填空题 B.必要不充分条件

D.既不充分又不必要条件

x2 y2 6.(2008 年上海春招)已知 P 是双曲线 2- =1 右支上的一点,双曲线的一条渐近线方程为 3x-y= a 9 0.设 F1、F2 分别为双曲线的左、右焦点.若|PF2|=3,则|PF1|=______. x2 y2 7.(2008 年海南宁夏卷)双曲线 - =1 的右顶点为 A,右焦点为 F.过点 F 平行于双曲线的一条渐近 9 16 线的直线与双曲线交于点 B,则△AFB 的面积为__________. x2 y2 8.已知 F1、F2 分别是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过 F1 且垂直于 x 轴的直线与双曲 a b 线交于 A、B 两点,若△ABF2 是锐角三角形,则该双曲线离心率的取值范围是________. 三、解答题 9.已知双曲线的中心在原点,焦点 F1、F2 在坐标轴上,离心率为 2,且过点(4,- 10). (1)求双曲线方程; (2)若点 M(3,m)在双曲线上,求证:MF1⊥MF2;
1

(3)求△F1MF2 的面积.

x2 10.(2009 年上海卷)双曲线 C: -y2=1,设过 A(-3 2,0)的直线 l 的方向向量 e=(1,k). 2 (1)当直线 l 与双曲线 C 的一条渐近线 m 平行时,求直线 l 的方程及 l 与 m 的距离; (2)证明:当 k> 2 时,在双曲线 C 的右支上不存在点 Q,使之到达直线 l 的距离为 6. 2

参考答案 1.解析:由圆心到渐近线的距离等于 r,可求 r= 3. 答案:A π c 3 2.解析:由 tan = = 有 3c2=4b2=4(c2-a2), 6 2b 3
2

c 则 e= =2,故选 B. a 答案:B a2+3 x2 y2 c 3.解析:由 2 - =1 可知虚半轴 b= 3,而离心率 e= = =2,解得 a=1 或 a=-1(舍去), a 3 a a 选 D. 答案:D

c 4.解析:e= = a

?a=k ? 5k??c = 5k a ? ?a +b =c
b
2 2

, 所以 a2=4b2.

2

答案:C 5.解析:由 ab<0,得 a>0,b<0 或 a<0,b>0. 由此可知 a 与 b 符号相反,则方程表示双曲线,反之亦然. 答案:C 6.解析:由题知 a=1,故|PF1|-|PF2|=2, ∴|PF1|=|PF2|+2=3+2=5. 答案:5 4 7.解析:双曲线的右顶点坐标 A(3,0),右焦点坐标 F(5,0),设一条渐近线方程为 y= x, 3

?y=3?x-5? 建立方程组? x y ? 9 -16=1
4
2 2

32 ,得交点纵坐标 y=- , 15

1 32 32 从而 S△AFB= ×2× = . 2 15 15 32 答案: 15 8.解析:∵△ABF2 是等腰三角形,顶角为∠AF2B. b2 a 1 ∴△ABF2 是锐角三角形? ∠AF2B<45° ? <tan 45° . 2 2c 由 b2 <1?c2-a2<2ac?e2-2e-1<0 2ac

?0<e<1+ 2,又 e>1,∴e 的取值范围是:(1,1+ 2). 答案:(1,1+ 2) c 9.解析:(1)由 e= 2? = 2?c2=2a2?a2=b2. a
3

设双曲线方程为 x2-y2=λ, 将点(4,- 10)代入得:λ=6, 故所求双曲线方程为 x2-y2=6. (2)∵c2=12,∴焦点坐标为(± 3,0) 2 将 M(3,m)代入 x2-y2=4 得:m2=3. → 当 m= 3时,MF1=(-2 3-3,- 3), → MF2=(2 3-3,- 3) → → ∴MF1· 2=(-3)2-(2 3)2+(- 3)2=0, MF ∴MF1⊥MF2, 当 m=- 3时,同理可证 MF1⊥MF2. 1 (3)S△F1MF2= · |m| |2c|· 2 1 = · 3· 3=6. 4 2 10.解析:(1)双曲线 C 的渐近线 m: ∴直线 l 的方程 x± 2y+3 2=0 ∴直线 l 与 m 的距离 d= 3 2 = 6. 1+2 x ± y=0. 2

(2)证明:法一:设过原点且平行与 l 的直线 b:kx-y=0, 则直线 l 与 b 的距离 d= 当 k> 2 时,d> 6. 2 3 2|k| 1+k2

又双曲线 C 的渐近线为 x± 2y=0, ∴双曲线 C 的右支在直线 b 的右下方, ∴双曲线 C 右支上的任意点到直线 l 的距离大于 6. 故在双曲线 C 的右支上不存在点 Q,使之到直线 l 的距离为 6. 法二:双曲线 C 的右支上存在点 Q(x0,y0)到直线 l 的距离为 6,

?|kx0-y0+3 2k| ? = 6, 1+k2 则? ?x2-2y2=2, ② ? 0 0



由①得 y0=kx0+3 2k± 6· 1+k2, 设 t=3 2k± 6· 1+k2.
4

当 k>

2 ,t=3 2k± 6· 1+k2>0. 2

将 y0=kx0+t 代入②
2 得(1-2k2)x0-4ktx0-2(t2+1)=0(*)

∵k>

2 ,t>0,∴1-2k2<0,-4kt<0,-2(t2+1)<0 2

∴方程(*)不存在正根,即假设不成立. 故在双曲线 C 的右支上不存在 Q,使之到直线 l 的距离为 6.

5


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