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2016-2017数学苏教版必修4 第2章2.4向量的数量积(二) 作业 Word版含解析


[学业水平训练] 1.已知 a=(3,x),|a|=5,则 x=________. 解析:由题意知,|a|= 9+x2=5.∴x=± 4. 答案:± 4 2.若向量 a=(3,m),b=(2,-1),a· b=0,则实数 m 的值为________. 解析:由题意知 6-m=0,∴m=6. 答案:6 3. 若向量 a=(1, 1), b=(2, 5), c=(3, x), 满足条件(8a-b)· c=30, 则 x=__________. 解析:∵a=(1,1),b=(2,5),∴8a-b=(8,8)-(2,5)=(6,3).又∵(8a-b)· c=30, ∴(6,3)· (3,x)=18+3x=30.∴x=4. 答案:4 4.已知向量 a=(2,1),a· b=10,|a+b|=5 2,则|b|=________. 2 解析:∵|a+b|=5 2,∴a +2a· b+b2=50,∴b2=25, ∴|b|=5. 答案:5 5.如图,在矩形 ABCD 中,AB= 2,BC=2,点 E 为 BC 的中点,点 F 在边 CD 上,若 → → → → AB· AF= 2,则AE· BF=________.

解析:法一:以 A 为坐标原点,AB,AD 所在直线为 x 轴,y 轴建立平面直角坐标系(图 → → → 略),则 A(0,0),B( 2,0),E( 2,1),F(x,2).故AB=( 2,0),AF=(x,2),AE=( 2, → 1),BF=(x- 2,2), → → ∴AB· AF=( 2,0)· (x,2)= 2x. → → → 又AB· AF= 2,∴x=1.∴BF=(1- 2,2). → → ∴AE· BF=( 2,1)· (1- 2,2)= 2-2+2= 2. → → → → 法二:设DF=xAB,则CF=(x-1)AB. → → → → → → → → AB· AF=AB· (AD+DF)=AB· (AD+xAB) 2 → =xAB2=2x,∴x= . 2 2 → → → → → ∴BF=BC+CF=BC+( -1)AB. 2 2 → → → → → → ∴AE· BF=(AB+BE)· [BC+( -1)AB] 2 2 → 1→ → → =(AB+ BC)[BC+( -1)AB] 2 2 2 2 1 → 1→ =( -1)AB2+ BC2=( -1)× 2+ × 4= 2. 2 2 2 2 答案: 2 6.设向量 a=(1,2),b=(x, 1),当向量 a+2b 与 2a-b 平行时,a· b 等于__________. 解析:a+2b=(1+2x,4),2a-b=(2-x,3),∵a+2b 与 2a-b 平行,∴(1+2x)× 3- 1 1 1 5 4× (2-x)=0,∴x= ,a· b=(1,2)· ( ,1)=1× +2× 1= . 2 2 2 2

5 答案: 2 7.(2014· 大连高一检测)已知 a=(1,2),b=(-3,2),当 k 为何值时: (1)ka+b 与 a-3b 垂直? (2)ka+b 与 a-3b 平行?平行时它们同向还是反向? 解:(1)ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10, -4).当(ka+b)· (a-3b)=0 时,这两个向量垂直.由(k-3)× 10+(2k+2)× (-4)=0.解得 k= 19,即当 k=19 时,ka+b 与 a-3b 垂直. (2)当 ka+b 与 a-3b 平行时,存在惟一的实数 λ,使 ka+b=λ(a-3b).由(k-3,2k+ 1 k=- , ?k-3=10λ, 3 ? 2)=λ(10,-4),得:? 解得 1 ? ?2k+2=-4λ. λ=- . 3 1 所以当 k=- 时,ka+b 与 a-3b 平行, 3 因为 λ<0,所以 ka+b 与 a-3b 反向. 8.已知 a=(2,-3),求与 a 垂直的单位向量的坐标. 解:设单位向量为 e,其坐标为(x,y). ? ?2x-3y=0, 根据题意有? 2 2 ?x +y =1, ? 3 13 3 13 x1= x2=- 13 13 解得 或 , 2 13 2 13 y1= y2=- 13 13 3 13 2 13 3 13 2 13 所以 e=( , )或(- ,- ). 13 13 13 13 [高考水平训练] → → → → 1.已知向量OA=(2,2),OB=(4,1),在 x 轴上有一点 P 使AP· BP有最小值,则点 P 的坐标是__________. → → → → 解析:设点 P 的坐标为(x,0),则AP=(x-2,-2),BP=(x-4,-1).AP· BP=(x-2)(x → → -4)+(-2)× (-1)=x2-6x+10=(x-3)2+1.当 x=3 时,AP· BP有最小值 1,此时点 P 的坐 标为(3,0). 答案:(3,0) 2.如果向量 a 与 b 的夹角为 θ,那么我们称 a× b 为向量 a 与 b 的“向量积”,a× b 是一个 向量,它的长度为|a× b|=|a|· |b|sin θ.如果|a|=5,|b|=1,a· b=-3,则|a× b|=________. 3 解析: 由于 a· b=|a||b|cos θ=-3,所以 cos θ=- . 5 4 又因为 θ 为向量 a 与 b 的夹角,所以 sin θ= , 5 所以|a× b|=|a||b|sin θ=4. 答案:4 1 3 3.已知 a=( 3,-1),b=? , ?,且存在实数 k 和 t,使得 x=a+(t2-3)b,y=-ka ?2 2 ? k+t2 +tb,且 x⊥y,试求 的最小值. t

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解:由已知得|a|= ( 3)2+(-1)2=2, 2 ?1?+? 3? =1, |b|= ?2? ? 2 ?

1 3 a· b= 3× -1× =0.∵x⊥y,∴x· y=0, 2 2 ∴[a+(t2-3)b]· (-ka+tb)=0. t3-3t 化简得 k= , 4 k+t2 1 2 1 7 ∴ = (t +4t-3)= (t+2)2- , t 4 4 4 2 k+t 7 即当 t=-2 时, 有最小值- . t 4 4.已知 c=ma+nb=(-2 3,2),a 与 c 垂直,b 与 c 的夹角为 120° ,且 b· c=-4,|a| =2 2,求实数 m,n 的值及 a 与 b 的夹角 θ. 解:∵a 与 c 垂直,∴a· c=0. 又∵c=ma+nb,∴c· c=ma· c+nb· c, ∴12+4=-4n,∴n=-4. ∵b· c=|b||c|cos 120° , 1 ∴-4=|b|× 4× (- ),∴|b|=2. 2 2 又 a· c=ma -4a· b,|a|=2 2,∴a· b=2m. 又 b· c=m(a· b)-4b2, ∴-4=2m2-16,∴m2=6,∴m=± 6. 当 m= 6时,a· b=2 6. a· b 2 6 3 ∴cos θ= = = , |a||b| 2 2× 2 2 π 又∵θ∈[0,π],∴θ= . 6 当 m=- 6时,a· b=-2 6. 3 5π ∴cos θ=- ,又∵θ∈[0,π],∴θ= . 2 6 π 5π 因此 m= 6,n=-4 时,θ= ;m=- 6,n=-4 时,θ= . 6 6


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