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高中数学(苏教版选修2-3)双基达标训练:3.1 独立性检验


第3章 3. 1

统计案例 独立性检验

双基达标

?限时15分钟?

1.为了检验两个事件 A,B 是否相关,经过计算得 χ2=8.283,则说明事件 A 和 事件 B________(填“相关”或“无关”). 答案 相关

2.考查某班学生数学、外语成绩得到 2×2 列联表如: 数优 外优 外差 总计 34 15 49 数差 17 19 36 总计 51 34 85

那么,随机变量 χ2 等于________. 解析 答案 85×?34×19-17×15?2 χ2= ≈4.25. 49×36×34×51 4.25

3.如果 χ2 的值为 8.654,可以认为“X 与 Y 无关”的可信度是________. 解析 答案 ∵8.654>6.635,∴有 99%的把握认为 X 与 Y 有关. 1%

4.在研究吸烟与患肺癌的关系中,通过收集数据、整理分析数据得“吸烟与患 肺癌有关”的结论,并且有 99%以上的把握认为这个结论是成立的,下列说 法中正确的是________. ①100 个吸烟者中至少有 99 人患肺癌 ②1 个人吸烟,那么这个人有 99%的概率患肺癌 ③在 100 个吸烟者中一定有患肺癌的人 ④在 100 个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有 解析 答案 99%的把握是指判断的可信度. ④

5.统计推断中,当________时,有 99%的把握说事件 A 与 B 有关,当________

第1页 共5页

时,认为有 95%的把握说事件 A 与 B 有关. 答案 χ2>6.635 χ2>3.841

6.对 196 个接受心脏搭桥手术的病人和 196 个接受血管清障手术的病人进行了 3 年的跟踪研究,调查他们是否又发作过心脏病,调查结果如下所示: 又发作过心脏病 心脏搭桥手术 血管清障手术 合计 39 29 68 未发作过心脏病 157 167 324 合计 196 196 392

比较这两种手术对病人又发作心脏病的影响有没有差别. 解 提出假设 H0:两种手术对病人又发作心脏病的影响没有差别.

根据列联表中的数据, 392×?39×167-29×157?2 可以求得 χ = ≈1.78. 68×324×196×196
2

当 H0 成立时 χ2≈1.78,而 χ2<2.072 的概率为 0.85.所以,不能否定假设 H0, 也就是不能作出这两种手术对病人又发作心脏病的影响有差别的结论.

综合提高

?限时30分钟?

7.为了评价某个电视栏目的改革效果,在改革前后分别从居民点抽取了 100 位 居民进行调查,经过计算 χ2≈99.9,根据这一数据分析,下列说法正确的是 ________(填序号). ①有 99.9%的人认为该栏目优秀; ②有 99.9%的人认为栏目是否优秀与改革有关系; ③有 99.9%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系. 答案 ③

8.某班班主任对全班 50 名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查, 统计数据如下表所示.从表中数据分析,学生学习积极性与对待班级工作的 态度之间有关系的把握有________.

积极参加班

不太主动参加

合计

第2页 共5页

级工作 学习积极性高 学习积极性一般 合计 解析 答案
2

班级工作 7 19 26 25 25 50

18 6 24

50×?18×19-6×7?2 由于 χ = ≈11.5>10.828. 24×26×25×25 99.9%

9.在一个 2×2 列联表中,由其数据计算得 χ2≈13.097,则认为两个变量间有关 系的犯错概率不超过________. 解析 χ2≈13.097>10.828,即在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为两

变量有关. 答案 0.001

10. 某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用,把 500 名使用血清的人与 另外 500 名未用血清的人一年中的感冒记录作比较,提出假设 H0:“这种血 清不能起到预防感冒的作用”,利用 2×2 列联表计算得 χ2≈3.918,经查对 临界值表知 P(χ2≥3.841)≈0.05. p:有 95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”; q:若某人未使用该血清,那么他在一年中有 95%的可能性得感冒; r:这种血清预防感冒的有效率为 95%; s:这种血清预防感冒的有效率为 5%. 则下列结论中,正确结论的序号是 ________(把你认为正确的命题序号都填 上). ①p∧綈 q;②綈 p∧q;③(綈 p∧綈 q)∧(r∨s); ④(p∨綈 r)∧(綈 q∨s). 解析 答案 p 正确而 q、r、s 都错,所以正确的是①④. ①④

11.有甲、乙两个工厂生产同一种产品,产品分为一等品和二等品.为了考察这 两个工厂的产品质量的水平是否一致,从甲、乙两个工厂中分别随机地抽出 产品 109 件,191 件,其中甲工厂一等品 58 件,二等品 51 件,乙工厂一等
第3页 共5页

品 70 件,二等品 121 件. (1)根据以上数据,建立 2×2 列联表; (2)试分析甲、乙两个工厂的产品质量有无显著差别(可靠性不低于 99%). 解 (1) 甲工厂 一等品 二等品 合计 58 51 109 乙工厂 70 121 191 合计 128 172 300

(2)提出假设 H0:甲、乙两个工厂的产品质量无显著差别. 根据列联表中的数据可以求得 300×?58×121-70×51?2 χ= ≈7.781 4>6.635. 109×191×128×172
2

因为当 H0 成立时,P(χ2>6.635)≈0.01,所以我们有 99%以上的把握认为甲、乙两个工厂的产品质量有显著差别. 12.从发生汽车碰撞事故的司机中抽取 2 000 名司机.根据他们的血液中是否含 有酒精以及他们是否对事故负有责任.将数据整理如下: 有责任 有酒精 无酒精 合计 650 700 1 350 无责任 150 500 650 合计 800 1 200 2 000

那么,司机对事故负有责任与血液中含有酒精是否有关系? 解
2

依据公式得

2 000×?650×500-150×700?2 χ= ≈114.738>6.635. 800×1 200×1 350×650 ∴有 99%的把握认为“对事故负有责任与血液中含有酒精之间有关系”. 13.(创新拓展)下表是对某市 8 所中学学生是否吸烟进行调查所得的结果:

吸烟学生 父母中至少有一人吸烟 父母均不吸烟
第4页 共5页

不吸烟学生 3 203 1 168

816 188

(1)在父母至少有一人吸烟的学生中,估计吸烟学生所占的百分比是多少? (2)在父母均不吸烟的学生中,估计吸烟学生所占的百分比是多少? (3)学生的吸烟习惯和父母是否吸烟有关吗?请简要说明理由. (4)有多大的把握认为学生的吸烟习惯和父母是否吸烟有关? 解 (2) (1) 816 ×100%≈20.3%. 816+3 203

188 ×100%≈13.86%. 188+1 168

(3)有关,因为父母吸烟与不吸烟,其子女吸烟的比例有较大的差异. (4)提出假设 H0:学生的吸烟习惯和父母是否吸烟无关.根据列联表中的数据 可以求得 χ2≈27.677>10.828.因为当 H0 成立时,P(χ2>10.828)≈0.001,所以 我们有 99.9%以上的把握认为学生的吸烟习惯和父母是否吸烟有关.

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