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2014北京高三期末、一模、二模:平面向量专题答案


2014 北京高三期末、一模、二模:平面向量专题
1. (2014 东城期末文)关于平面向量 a, b, c ,有下列三个命题: ①若 a ? b ? a ? c ,则 b ? c ;②若 a ? (1, k ) , b ? (?2, 6) , a ∥ b ,则 k ? ?3 ; ③非零向量 a 和 b 满足 | a |?| b |?| a ? b | ,则 a 与 a ? b 的夹角为 30 .其中真命题的序号为( C )
?

(A)①②

(B)①③

(C)②③

(D)①②③

BA C 2. (2014 朝阳期末文) 在△ ABC 中, ?A ? 120? ,AB ? AC ? ?1 , 则 A

??? ? ????

? ? ? ?

?

; | BC | 的最小值是

??? ?

. 2, 6

3. (2014 丰台期末文)已知平行四边形 ABCD 中,AB=1,AD=2,∠DAB=60o,则 AB ? AD 等于( D ) (A) 2 3 (B)2 (C) 3 (D)1

uu u r uuu r

4. (2014 西城期末文)在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(1,3) , B(?2, k ) ,若向量 OA ? AB ,则实数 k ? ( A ) (A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) 1

??? ?

??? ?

c) .若 a ? b ? 0 ,则实数 c 的值为( A ) 5. (2014 石景山期末文)已知向量 a ? ( 3 , 1) , b ? (1,
A. ? 3 B. 3 C.

3 3

D. ?

3 3

6. (2014 昌平期末文)已知向量 a ? (3,1), b ? (k ,3) ,若 a ? b ,则 k ? ________ . ?1 7. (2013-2014 朝阳期中文)已知平面向量 a ? (1, ?2) , b ? (2,1) , c = (?4, ?2) ,则下列说法中错误 的是( C ) .. A. c ∥ b B. a ? b

C.对同一平面内的任意向量 d ,都存在一对实数 k1 , k2 ,使得 d ? k1b + k2c D.向量 c 与向量 a ? b 的夹角为

45 ?

8. (2013-2014 朝阳期中文)已知平面向量 a , b 满足 a ? b = 0 , a ? 2 , b ? 3 ,则| a ? b |=________ . 13 9. (2013.12 东城示范校教学质量调研文)若向量 a=(1,2) ,b=(2,1) ,c=(-5,-1) ,则 c+a-2b=( A ) A. (-8,-1) B. (8,1) C. (0,3) D. (0,-3) 10. (2013.11 海淀期中文)已知向量 a ? (1, ?2), b ? (m, ?1) ,且 a / / b ,则实数 m 的值为( C ) A. ?2 B. ?

1 2

C.

1 2

D. 2

??? ? ???? 11. (2013.11 海淀期中文) 向量 AB, AC 在正方形网格中的位置如图所示.设向量

C

???? ??? ? ??? ? a ? AC ? ? AB ,若 a ? AB ,则实数 ? ? __________.3

? ? ? ? ? 12. (2014 顺义期末文) 已知向量 a ? (2,1) , a ? b ? (1, k 2 ?1) , 则k ? 2是a ? b的 ( A )
(A)充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C)充分必要条件

A

B

(D)既不充分也不必要条件
?

1. (2014 朝阳一模文)已知 AB 和 AC 是平面内两个单位向量,它们的夹角为 60 ,则 2 AB ? AC 与 CA 的夹角是 ( C ) (A) 30
?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

(B) 60

?

(C) 90
1

?

(D) 120

?

2. (2014 延庆一模文)正三角形 ABC 中, D 是边 BC 上的点,若 AB ? 3, BD ? 1 ,则 AB ? AD = ( B ) A.

??? ? ????

21 2

B.

15 2

C.

13 2

D.

9 2

3. (2014 房山一模文) 已知正方形 ABCD 的边长为 1 , 记以 A 为起点, 其余顶点为终点的向量分别为 a1 ,a2 ,a3 . 若

i, j ?{1, 2,3} 且 i ? j , 则 (ai ? a j ) ? CD 的 所 有 可 能 取 值 为

??? ?

. ?1 , ? 2 ;

4. (2014 西城一模文)已知平面向量 a ? (2, ?1) , b ? (1,3) ,那么 | a + b | 等于( B ) (A) 5 (B) 13 (C) 17 (D) 13

5. (2014 西城一模文)如图,在直角梯形 ABCD 中, AB //CD , AB ? BC , AB ? 2 , CD ? 1 , BC ? 2 ,P 为 线段 AD(含端点) 上一个动点. 设 AP ? xAD , 记 y ? f ( x) , 则 f1 ) ( ? ____; PB ? PC ? y , 函数 f ( x ) 的值域为_________.1

??? ?

???? ??? ? ??? ?

D P A

C

4 [ , 4] 5

B

6. (2014 大兴一模文)如图,在圆 O 的内接三角形 ABC 中, AB ? 2 , AC ? 3 ,则 ( AB ? AC ) ? AO 等于( C A.

??? ? ??? ? ????

) .

13

B.

13

C.

13 2

D.

13 2

7. (2014 东城一模文)在△ ABC 中, D, E 分别为 BC , AC 的中点, F 为 AB 上的点,

??? ? ??? ? ??? ? 1 | AB | .若 AD ? ? AF ? ? AE ( ? , ? ? R ) ,则 ? ? ? ? . 3 4 ? ? ? ? 8. (2014 丰台一模文)设向量 a = ? 2, x ? 1? , b = ? x ? 1, 4 ? ,则“ x ? 3 ”是“ a // b ”的( A )
且 | AF |? (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 )

9. (2014 海淀一模文)平面向量 a , b 满足 | a |? 2 , | b |? 1 ,且 a , b 的夹角为 60? ,则 a ? (a ? b) =( C A.1 B. 3 C.5 D. 7

10. (2013-2014 东城教学检测文)已知平面向量 a ? (2, 4) , . b ? (1,?2) 若 c ? a ? (a ? b )b , 则 | c 1. (2014 海淀二模文)已知向量 AC , AD 和 AB 在正方形网格中的位置如图所示, 若 AC ? ? AB ? ? AD ,则 ? ? ? ? ( A ) A. 2 B. ?2 C. 3 D. ?3

?

?

?

? ? ?

?

|? ____. 8 2
B

A

D C

解析:以 A 为坐标原点, AB ? (1, 2), AD ? (1,0), AC ? (2, ?2) , (2, ?2) ? (? ? ? , 2? ) ? ? ? ? ? 2 ,所以答案 A. 2. (2014 东城二模文)已知平面向量 a ? (1, 2) , b ? (?2, m) ,且 a ∥ b ,则 b ? 3. (2014 朝阳二模文)已知两点 A ?1,1? , B ? ?1, 2? ,若 BC ?
2

??? ?

??? ?

??? ?

.2 5 . ? 0, ?

??? ?

? 1 ??? BA ,则 C 点的坐标是 2

? ?

3? 2?

4. (2014 昌平二模文)在边长为 2 的菱形 ABCD 中, ?BAD ? 60? ,若 P 为 CD 的中点,则 AP ? BD 的值为____; 若点 E 为 AB 边上的动点,点 F 是 AD 边上的动点,且 AE ? ? AB , AF ? (1 ? ? ) AD , 0 ? ? ? 1 ,则 DE ?BF 的

uu u r uuu r

uuu r

uu u r

uuu r

uuu r

u u r uu u r u

3 2 ? ? ? ? ? ? ? ? 3 5. (2014 丰台二模文)已知 a, b 均为单位向量,若 (2a ? b) ? (2b ? a ) ? ,那么向量 a 与 b 的夹角为_______. 2 ? ? ? ? ? ? ?2 ?2 ? ? ? ? 3 ? ? 1 0 解析: (2a ? b) ? (2b ? a) ? 4a ? b ? 2a ? 2b ? a ? b ? 3a ? b ? ? cos(a, b) ? ?? ? 60 2 2
最大值为________ . 1 ; ? 6.(2014 西城二模文)设平面向量 a , b, c 均为非零向量,则“ a ? (b ? c ) ? 0 ”是“ b ? c ”的( B ).. A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

7.(2014 顺义二模文)已知向量 a ? (1,1) , b ? (?2,3) ,若 ka ? b 与 a 垂直,则实数 k ? ( A ). A.

?

?

? ?

?

1 2

B. ?

1 2

C.

5 2
??? ?

D. ?

5 2
??? ?
.3

8. (2014 海淀查漏补缺文)已知 OA ? (a,0), OB ? (0, a), OC ? (1,2) ,其中 a ? 0 ,若 A、B、C 三点共线,则 a ? 1. (2014 海淀期末理)已知椭圆 C :

??? ?

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,椭圆 C 上点 A 满足 AF2 ? F1F2 . 若点 P 4 3
( B ) A.
?

???? ???? ? 是椭圆 C 上的动点,则 F1P ? F2 A 的最大值为

3 2

B.

3 3 2

C.

9 4

D.

15 4

2. (2014 朝阳期末理)已知平面向量 a , b 的夹角为 120 ,且 a ? b ? ?1 ,则 | a ? b | 的最小值为( A ) A.

6

B. 3

C. 2

D. 1

? ? 3. (2014 东城期末理)在直角梯形 ABCD 中, ?A ? 90 , ?B ? 30 , AB ? 2 3 , BC ? 2 ,点 E 在线段 CD 上,

若 AE ? AD ? ? AB ,则 ? 的取值范围是( C ) (A) [0,1] (B) [0, 3] (C) [0, ]

??? ? ????

??? ?

1 2

(D) [ , 2]

1 2

4. (2014 西城期末理)在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(1,3) , B(?2, k ) ,若向量 OA ? AB ,则实数 k ? _____.4

??? ?

??? ?

, ? 2) 的夹角为 ? , 5. (2014 昌平期末理)连掷两次骰子得到的点数分别为 m 和 n ,若记向量 a = (m,n) 与向量 b ? (1
则 ? 为锐角的概率是 ( B )

2 9 uur 6. (2014 昌平期末理) 如图, 在复平面内, 复数 z 对应的向量为 OA , 则复数 z ? i =_______ .
(A)

5 36

(B)

1 6

(C)

7 36

(D)

1 ? 2i
7. (2014 昌平期末理) 在 ?ABC 中, AB ? 4, BC ? 5, BA ? AC ? 2 ,则 AC ? ________ .

uu r uuu r

5

8. (2013.11 朝阳期中理)已知平面向量 a ? (1, ?2) , b ? (2,1) , c = ( ?4, ?2) ,则下列结论中错误 的是 ( C ) ..

3

A.向量 c 与向量 b 共线

B.若 c ? ?1a ? ?2b ( ?1 , ?2 ? R ) ,则 ?1 ? 0 , ?2 ? ?2

C.对同一平面内任意向量 d ,都存在实数 k1 , k2 ,使得 d ? k1b + k2c D.向量 a 在向量 b 方向上的投影为 0 9. (2013.11 朝阳期中理) 已知平面向量 a 与 b 的夹角为

? ,a ? 3 ,b ? 1, 则 a?b ? 6


; 若平行四边形 ABCD

满足 AB ? a ? b , AD ? a ? b ,则平行四边形 ABCD 的面积为

??? ?

????

1

3

10. (2014 大兴期末理)已知复数 z 对应的向量如图所示,则复数 z+1 所对应的向量正确的是( A )

11. (2014 大兴期末理)若平面向量 a , b 满足 a ? b ? 2 , a ? b 垂直于 x 轴, b ? (3,1) ,则 a ? .

? ?

? ?

?

? ? a ? (3,3)或a ? (3, ?1) ;
12. (2012.12 东城联考理)已知向量 a ? (1, 2), b ? (1,0), c ? (3, 4) .若 ? 为实数, (a ? ? b) ∥ c ,则 ? 的值为 . 13. (2012.12 东城示范校联考理)正三角形 ABC 边长为 2,设 BC ? 2 BD , AC ? 3 AE , 则 AD ?BE ? _____________. ?2 14. (2014 房山期末理)如图,半径为 3 的扇形 AOB 的圆心角为 120 ? ,点 C 在 弧 AB
? 上,且 ?COB ? 30 ,若 OC ? ?OA ? ? OB ,则 ? ? ? ?

??? ?

??? ?

????

??? ?

1 2

???? ???? ?

uuu r

uur

uu u r

。 3

15. (2014 丰台期末理)已知平行四边形 ABCD 中,AB=1,AD=2,∠DAB=60o,则 AC ? AB 等于( C ) (A)1 (B) 3 (C)2 (D) 2 3

uuu r uu u r

16. (2013.11 海淀期中理)在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 O (0,0), A(0,1), B(1, ?2), C ( m,0) ,若 OB / / AC ,则实数

??? ?

????

m 的值为( C )
A. ?2 B. ?

1 2

C.

1 2

D. 2

???? ??? ? ???? 17. (2013.11 海淀期中理)已知 ?ABC 是正三角形,若 a ? AC ? ? AB 与向量 AC 的夹角大于 90? ,则实数 ? 的取值
范围是__________. ? ? 2

1) , b ? (4 , x) ,则“ x ? 2 ”是“ a ∥ b ”的( A 18. (2014 石景山期末理)已知向量 a ? ( x ,
(A) 充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件



(D)既不充分也不必要条件

19. (2014 顺义期末理)已知向量 a ? (2,1) , a ? b ? (1, k 2 ?1) ,则 k ? 2 是 a ? b 的 ( A ) (A)充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件

?

? ?

?

?

4

1. (2014 丰台一模理)已知平行四边形 ABCD 中,点 E 为 CD 的中点, AM ? mAB , AN ? nAD ( m ? n ? 0 ),若

uuur

uu u r

uuu r

uuu r

uuur uuu r n MN ∥ BE ,则 =_______.2 m
2. (2014 延庆一模理)正三角形 ABC 中, D 是边 BC 上的点,若 AB ? 3, BD ? 1 ,则 AB ? AD = ( B ) A.

??? ? ????

21 2

B.

15 2

C.

13 2

D.

9 2

D

N

C

3. (2014 房山一模理)如 图 , 在 梯 形 ABCD 中 , AB // DC , AD ? AB ,

AD ? DC ?

???? ???? 1 AB ? 2 , 点 N 是 CD 边 上 一 动 点 , 则 AN ? AB的最大值为 8 . 8 2 A
? 3 ?? 3 ?? 6
A

B

4. (2014 朝阳一模理)已知平面向量 a , b 满足 a ? b ? 2 , (a + 2b) ? (a ? b) = ?2 ,则 a 与 b 的夹角为( B ) (A)

? 6

(B)

(C)

(D)

???? ??? ? 5. (2014 东城一模理) 如图, 在 △ ABC 中,AB ? 1 ,AC ? 3 ,D 是 BC 的中点, 则 AD ? BC ?
( B A.3 ) . B.4 C.5 D.不能确定
B

D

C

6. (2014 西城一模理)已知平面向量 a ? (2, ?1) ,b ? (1,1) ,c ? (?5,1) . 若 (a ? kb)//c , 则实数 k 的值为( B ) (A) 2 (B)

1 2

(C)

11 4

(D) ?

11 4

7. (2014 西城一模理)如图,在直角梯形 ABCD 中, AB //CD , AB ? BC , AB ? 2 , CD ? 1 , BC ? a(a ? 0) , P 为线段 AD (含端点)上一个动点,设 AP ? xAD , PB ? PC ? y ,对于函数 y ? f ( x) ,给出以下三个结论: ① 当 a ? 2 时,函数 f ( x ) 的值域为 [1, 4] ; ② ?a ? (0, ??) ,都有 f (1) ? 1 成立; ③ ?a ? (0, ??) ,函数 f ( x ) 的最大值都等于 4. A 其中所有正确结论的序号是_________.②③ 8. (2014 东城示范校教学质量调研)设向量 a ? ?1,1 ? x ? , b ? ?3,1 ? x ? ,则“ x ? 2 ”是“ a ? b ”的( A ) (A)充分但不必要条件 (B)必要但不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 B D P C

??? ?

????

??? ? ??? ?

9. (2014 东城示范校教学质量调研) 设 F 为抛物线 y2=4x 的焦点, A、 B、 C 为该抛物线上三点, 若 FA ? FB ? FC ? 0 , 则 FA ? FB ? FC 的值为( C ) (A)3 (B)4 (C)6 (D)9

1. (2014 西城二模理)设平面向量 a , b , c 均为非零向量,则“ a ? (b ? c) ? 0 ”是“ b ? c ”的( B ) (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件

2. (2014 西城二模理)设 ? 为平面直角坐标系 xOy 中的点集,从 ? 中的任意一点 P 作 x 轴、 y 轴的垂线,垂足分
5

别为 M , N ,记点 M 的横坐标的最大值与最小值之差为 x (?) ,点 N 的纵坐标的最大值与最小值之差为 y (?) . 若

? 是边长为 1 的正方形,给出下列三个结论:
① x (?) 的最大值为 2 ;② x(?) ? y (?) 的取值范围是 [2, 2 2] ;③ x(?) ? y (?) 恒等于 0. 其中所有正确结论的序号是( D ) ;向量 a , b 夹 3. (2014 东城二模理)已知平面向量 a , b ,若 a ? 3 , a ? b ? 13 , a ? b ? 6 ,则 b ? 角的大小为 . 4 , 60
?

4. (2014 朝阳二模理) 如图放置的边长为 1 的正 △ PMN 沿边长为 3 的正方形 ABCD 的各边内侧逆时针方向滚动.当
△ PMN 沿正方形各边滚动一周后,回到初始位置时,点 P 的轨迹长度是(

B

).

D

C

A.

8π 3

B.

16π 3

C. 4 π

D. 5π

M A(P) N B

5 .( 2014 朝阳二模理)已知平面向量 a , b 满足 a ? 1 , b ? 2 , a 与 b 的夹角为 60 ? ,则
2a ? b ? __________.

2 3

6. (2014 昌平二模理)如图, AB 是半圆 O 的直径, C , D 是弧 AB 的三等分点, M , N 是线段 AB 的三等分点,若

uuu r uuu r OA ? 6 ,则 MD ? NC 的值是 ( C )
(A) 2 (B) 10 (C) 26 (D) 28

7.(2014 顺义二模理)已知向量 a ? (1,1) , b ? (?1,1) ,若 ka ? b 与 a 垂直,则实数 k ? ( B ). A. ? 1 B. 0 C. 1 D. 2

?

?

? ?

?

uu u r uuu r 8.(2014 通州二模理)已知圆 O: x2 ? y 2 ? 4 及点 A(1,3) , BC 为圆 O 的任意一条直径,则 AB ? AC ? _________.

9. (2013-2014 东城第二学期教学检测理)设 a,b 是两个非零向量.则下列命题为真命题的是 ( C ) A.若|a+b|=|a|-|b|,则 a⊥b C.若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数 λ,使得 a=λb B.若 a⊥b,则|a+b|=|a|-|b| D.若存在实数 λ,使得 a=λb,则|a+b|=|a|-|b|

10. (2014 海淀查漏补缺理) 已知 OA ? (a,0), OB ? (0, a), OC ? (1,2) , 其中 a ? 0 , 若 A、B、C 三点共线, 则a ? 11. (2014 海淀查漏补缺理)已知 A(1,0) ,曲线 C : y ? eax 恒过点 B ,则点 B 的坐标为

??? ?

??? ?

??? ?

.3

,若 P 是曲线 C 上的动点,

??? ? ??? ? 且 AB ? AP 的最小值为 2 ,则 a ?

.

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 解:因为 e0 ? 1 所以 B(0,1) ;考察 AB ? AP 的几何意义,因为 | AB |? 2 ,所以 AB ? AP 取得最小时,点 P 在 AB 上 ??? ? 的投影长应是 2 ,所以 P, B 重合,这说明曲线 C : y ? eax 在点 B(0,1) 处的切线与 AB 垂直,所以

y'

x?0

? aeax

x?0

? a ? 1 .答案: 1 .

6


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