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【优化指导】2015高考数学总复习 第1章 第3节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词素能提升演练

【优化指导】 2015 高考数学总复习 第 1 章 第 3 节 简单的逻辑联结 词、全称量词与存在量词课时跟踪检测 理(含解析)新人教版

1.将 a +b +2ab=(a+b) 改写成全称命题是( A.? a,b∈R,a +b +2ab=(a+b)
2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

2

)

B.? a<0,b>0,a +b +2ab=(a+b) C.? a>0,b>0,a +b +2ab=(a+b) D.? a,b∈R,a +b +2ab=(a+b)
2 2 2 2

解析:选 D 命题即为“? a,b∈R,a +b +2ab=(a+b) ”.故选 D. 2.命题“? x0∈R,x0-2x0+4≤0”的否定是( A.? x0∈R,x0-2x0+4>0 B.? x∈R,x -2x+4≤0 C.? x∈R,x -2x+4>0 D. ? x∈R,x -2x+4≥0 解析:选 C “? ”的否定形式为“? ”,“≤”的否定形式为“>”,所以“? x0∈R,
2 2 2 2

2

2

2

)

x -2x0+4≤0”的否定是“? x∈R,x2-2x+4>0”,选 C.
3.已知命题 p:? x∈R,4x +1>4x;命题 q:? x∈R,sin x+cos x= 2,则( A.?p 是假命题 C.p∨q 是真命题
2 2 2

2 0

)

B.?q 是真命题 D.?p∧?q 是真命题
2

解析:选 C 因为 4x +1-4x=(2x-1) ≥0,所以 4x +1≥4x.所以 p 为假命题.显然 π 当 x= 时,满足 sin x+cos x= 2,所以 q 为真命题,所以选 C. 4 4.下列命题中的真命题是( )

3 A.? x0∈R,使得 sin x0cos x0= 5 B.? x0∈(-∞,0),2x0>1 C.? x∈R,x >x-1 D.? x∈(0,π ),sin x>cos x 3 6 解析:选 C 由 sin x0cos x0= ,得 sin 2x0= >1,故 A 错误;结合指数函数和三角函 5 5
2

? 1?2 3 2 数的图象,可知 B,D 错误;因为 x -x+1=?x- ? + >0 恒成立,所以 C 正确. ? 2? 4
5.(2014·雅礼中学检测)设非空集合 M,N 满足 M? N,则( A.? x0∈M,x0?N B.? x∈M,x∈N )

1

C.? x0∈N,x0?M

D.? x∈N,x∈M

解析:选 B 根据 M? N,得? x0∈M,x0∈N,A 不正确;根据子集的定义,? x∈M,x∈

N,所以 B 正确;由 M? N,可能是 M=N,C 不正确;D 显然是错误的.故选 B.
6.(2012·福建高考)下列命题中,真命题是( A.? x0∈R,ex0≤0 B.? x∈R,2 >x
x
2

)

C.a+b=0 的充要条件是 =-1 D.a>1,b>1 是 ab>1 的充分条件 解析:选 D 因为? x∈R,e >0,故排除 A;取 x=2,则 2 =2 ,故排除 B;a+b=0, 取 a=b=0,则不能推出 =-1,故排除 C. 7.(2014·辽宁五校联考)给出命题 p:直线 ax+3y+1=0 与直线 2x+(a+1)y+1=0 互相平行的充要条件是 a=-3,命题 q:若平面 α 内不共线的三点到平面 β 的距离相等, 则 α ∥β .关于以上两个命题,下列结论中正确的是( A.命题“p 且 q”为真 C.命题“p 或?q”为假 )
x
2 2

a b

a b

B.命题“p 或 q”为假 D.命题“p 且?q”为真

解析:选 D 若两直线平行,则必满足 a(a+1)-2×3=0,解得 a=-3 或 a=2,但当

a=2 时两直线重合,所以两直线平行?a=-3,所以命题 p 为真;命题 q 中如果这三点不
在平面 β 的同侧,则不能推出 α ∥β ,所以命题 q 为假,故选 D. 8.若函数 f(x)=-xe ,则下列命题正确的是( 1 A.? a∈(-∞, ),? x0∈R,f(x0)>a e 1 B.? a∈( ,+∞),? x0∈R,f(x0)>a e 1 C.? a∈[ ,+∞],? x0∈R,f(x0)>a e 1 D.? x∈R,? a∈( ,+∞),f(x)>a e 解析:选 A f′(x)=-e (1+x),所以 x∈(-∞,-1)时,
x x

)

f′(x)>0,x∈(-1,+∞)时,f′(x)<0,所以 f(x)的最大值为 f(-1)= ,因此 A
正确,其他选项都不正确.故选 A. π 9.(2014·武汉调研)设命题 p:函数 y=sin 2x 的最小正周期为 ;命题 q:函数 y= 2 π cos x 的图象关于直线 x= 对称.则下列判断正确的是( 2 A.p 为真 B.?q 为假 )

1 e

2

C.p∧q 为假

D.p∨q 为真

解析: 选 C 由函数 y=sin 2x 的最小正周期为 π 可知命题 p 是假命题; 由函数 y=cos

x 的图象关于直线 x=kπ 对称可知命题 q 是假命题,所以 p∧q 为假命题,故选 C.
10.若 f(x)=x -2x,g(x)=ax+2(a>0),? x1∈[-1,2],? x0∈[-1,2],使 g(x1) =f(x0),则 a 的取值范围是( )
2

? 1? A.?0, ? ? 2?
C.[3,+∞)

?1 ? B.? ,3? ?2 ?
D.(0,3]

解析:选 A 由于函数 g(x)在定义域[-1,2]内是任意取值的,且必存在 x0∈[-1,2] 使得 g(x1)=f(x0),因此问题等价于函数 g(x)的值域是函数 f(x)值域的子集,函数 f(x)的 1 值域是[-1,3],函数 g(x)的值域是[2-a,2+2a],则有 2-a≥-1 且 2+2a≤3,即 a≤ , 2

? 1? 又 a>0,故 a 的取值范围是?0, ?. ? 2?
11.命题 p:若 a·b>0,则 a 与 b 的夹角为锐角;命题 q:若函数 f(x)在(-∞,0]及 (0,+∞)上都是减函数,则 f(x)在(-∞,+∞)上是减函数.给出下列结论: ①“p∨q”是真命题 ③?p 为假命题 ②“p∨q”是假命题 ④?q 为假命题

其中所有正确结论的序号为______. 解析:② 当 a·b>0 时,a 与 b 的夹角为锐角或零度角,所以命题 p 是假命题;命题 q
?-x+1,x≤0 ? 是假命题,例如 f(x)=? ?-x+2,x>0. ?
2

故①③④错误,②正确.
2

12.已知命题 p:关于 x 的方程 x -ax+4=0 有实根;命题 q:关于 x 的函数 y=2x

+ax+4 在[3,+∞)上是增函数.若 p∨q 是真命题,p∧q 是假命题,则实数 a 的取值范围 是______. 解析:(-∞,-12)∪(-4,4) 命题 p 等价于 Δ =a -16≥0,解得 a≤-4 或 a≥4; 命题 q 等价于- ≤3,解得 a≥-12.由 p∨q 是真命题,p∧q 是假命题知,命题 p 和 q 一真 4 一假.若 p 真 q 假,则 a<-12;若 p 假 q 真,则-4<a<4.故 a 的取值范围是(-∞,-12) ∪(-4,4). 13.(2014·皖南八校联考)已知 p 和 q 都是命题,则“命题 p∨q 为真命题”是“命题
2

a

p∧q 为真命题”的______条件(填“充分非必要,必要非充分,充要,非充分非必要”四者
之一). 解析:必要非充分 命题 p∨q 为真命题,则 p、q 至少有一个为真即可,而 p∧q 为真 命题,则 p、q 都为真,故“命题 p∨q 为真命题”是“命题 p∧q 为真命题”的必要非充分 条件. 14.下列结论:

3

1 2 ①若命题 p:? x0∈R,tan x0=2;命题 q:? x∈R,x -x+ >0.则命题“p∧(?q)”是 2 假命题; ②已知直线 l1:ax+3y-1=0,l2:x+by+1=0,则 l1⊥l2 的充要条件是 =-3; ③“设 a、b∈R,若 ab≥2,则 a +b >4”的否命题为:“设 a、b∈R,若 ab<2,则 a +b ≤4”. 其中正确结论的序号为______.(把你认为正确结论的序号都填上). 解析:①③ 在①中,命题 p 是真命题,命题 q 也是真命题,故“p∧(?q)”是假命题 是正确的.在②中 l1⊥l2?a+3b=0,所以②不正确.在③中“设 a、b∈R,若 ab≥2,则
2 2 2 2

a b

a2+b2>4”的否命题为:“设 a、b∈R,若 ab<2,则 a2+b2≤4”正确.

1.下列命题中,真命题是(
2 2

)

A.? m∈R,使函数 f(x)=x +mx(x∈R)是偶函数 B.? m∈R,使函数 f(x)=x +mx(x∈R)是奇函数 C.? m∈R,函数 f(x)=x +mx(x∈R)都是偶函数 D.? m∈R,函数 f(x)=x +mx(x∈R)都是奇函数 解析:选 A 当 m=0 时,f(x)=x 为偶函数,故 A 正确. 2.已知命题 p:在△ABC 中,“C>B”是“sin C>sin B”的充分不必要条件;命题 q: “a>b”是“ac >bc ”的充分不必要条件,则下列选项中正确的是( A.p 真 q 假 C.“p∨q”为假 B.p 假 q 真 D.“p∧q”为真
2 2 2 2 2

)

解析:选 C 在△ABC 中,设角 C 与角 B 所对应的边分别为 c,b,由 C>B,知 c>b,由 正弦定理 = 可得 sin C>sin B,当 sin C>sin B 时,易证 C>B,故“C>B”是“sin sin C sin B

c

b

C>sin B”的充要条件.当 c=0 时,由 a>b 得 ac2=bc2,由 ac2>bc2 易证 a>b,故“a>b”是
“ac >bc ”的必要不充分条件, 即命题 p 是假命题, 命题 q 也是假命题, 所以“p∨q”为假, 故选 C. 3.(2014·大庆模拟)设有两个命题,命题 p:关于 x 的不等式(x-3)· x -4x+3≥0 的解集为{x|x≥3},命题 q:若函数 y=kx -kx-8 的值恒小于 0,则-32<k<0,那么( A.“p 且 q”为真命题 B.“p 或 q”为真命题
2 2 2 2

)

C.“?p”为真命题 D.“?q”为假命题 2 解析:选 C 不等式(x-3) x -4x+3≥0 的解集为{x|x≥3,或 x=1},所以命题 p 为 假命题;若函数 y=kx -kx-8 的值恒小于 0,则-32<k≤0,所以命题 q 也是假命题,所以 “?p”为真命题.
2

?1 ? 4.已知 c>0,且 c≠1.设命题 p:函数 f(x)=logcx 为减函数,命题 q:当 x∈? ,2?时, ?2 ?
4

1 1 函数 g(x)=x+ > 恒成立.如果 p 或 q 为真命题,p 且 q 为假命题,则实数 c 的取值范围为

x c

(

)

? 1? A.?0, ? ? 2? ? 1? C.?0, ?∪(1,+∞) ? 2?

B.(1,+∞)

? 1? D.?0, ?∪(1,+∞) ? 2?

1 ?1 ? 解析:选 C 由 f(x)=logcx 为减函数得 0<c<1.当 x∈? ,2?时,因为 g′(x)=1- 2, x ?2 ? 1 ?1 ? ?1 ? 故函数 g(x)在? ,1?上为减函数,在(1,2]上为增函数,所以 g(x)=x+ 在? ,2?上的最小 x ?2 ? ?2 ? 1 1 1 1 ?1 ? 值为 g(1)=2.当 x∈? ,2?时,由函数 g(x)=x+ > 恒成立,得 2> ,解得 c> .如果 p 真 q x c c 2 ?2 ? 1 ? 1? 假,则 0<c≤ ;如果 p 假 q 真,则 c>1,所以实数 c 的取值范围为?0, ?∪(1,+∞). 2 ? 2? 5.(2014·深圳模拟)已知命题 p:? x0∈R,使 tan x0=1,命题 q:x -3x+2<0 的解 集是{x|1<x<2},现有以下结论: ①命题“p 且 q”是真命题; ②命题“p 且?q”是假命题; ③命题“?p 或 q”是真命题; ④命题“?p 或?q”是假命题. 其中正确结论的序号为__________.(写出所有正确结论的序号). 解析:①②③④ ∵命题 p:? x0∈R,使 tan x0=1 为真命题,命题 q:x -3x+2<0 的解集是{x|1<x<2}也为真命题,∴“p 且 q”是真命题,“p 且?q”是假命题,“?p 或 q” 是真命题,“?p 或?q”是假命题,故①、②、③、④都正确. 6.给出下列结论: ①如果命题“?p”与命题“p 或 q”都是真命题,那么命题 q 一定是真命题 ②命题“若 a=0,则 ab=0”的否命题是:若“a≠0,则 ab≠0” ③若命题 p:? x0∈R,ln(x0+1)<0,则?p:? x∈R,ln(x +1)≥0 1 ④“sin θ = ”是“θ =30°”的充分不必要条件 2 其中所有正确结论的序号为______. 解析:①②③ ①中,“?p”是真命题,则 p 为假命题,又“p 或 q”为真命题,故 q 为真命题,正确;②中,由否命题定义知正确;③中,由定义知正确;④中,当 θ =30° 1 1 时,sin θ = ,反之不成立,故“sin θ = ”是“θ =30°”的必要不充分条件,故错误. 2 2 7.设 p:方程 x +2mx+1=0 有两个不相等的正根;q:方程 x +2(m-2)x-3m+10=0 无实根.则使 p∨q 为真,p∧q 为假的实数 m 的取值范围是______. 解析: ( -∞,- 2] ∪ [ - 1,3) 设方程 x + 2mx + 1 = 0 的两根分别为 x1 , x2 ,由
5
2 2 2 2 2 2 2

?Δ 1=4m -4>0, ? ? ?x1+x2=-2m>0, ?

2

得 m<-1,
2 2

所以 p:m<-1;由方程 x +2(m-2)x-3m+10=0 无实根,可得 Δ 2=4(m-2) -4(- 3m+10)<0,知-2<m<3,所以 q:-2<m<3.
? 由 p∨q 为真, p∧q 为假, 可知命题 p, q 一真一假, 当 p 真 q 假时, ?m≥-1, ? 此时 m≤-2;当 p 假 q 真时,? ?-2<m<3, ? ? ?m<-1, ?m≥3或m≤-2, ?

此时-1≤m<3,所以 m 的取值范围是 m≤-2

或-1≤m<3.

6


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