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【创新方案】2013年高考数学一轮复习 第九篇 解析几何 第5讲 椭 圆教案 理 新人教版


第5讲 椭 圆
【2013 年高考会这样考】 1.考查椭圆的定义及利用椭圆的定义解决相关问题. 2.考查椭圆的方程及其几何性质. 3.考查直线与椭圆的位置关系. 【复习指导】 1.熟练掌握椭圆的定义及其几何性质会求椭圆的标准方程. 2.掌握常见的几种数学思想方法——函数与方程、数形结合、转化与化归等.体会解析几 何的本质问题——用代数的方法解决几何问题.

基础梳理 1.椭圆的概念 在平面内到两定点 F1、F2 的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆.这 两定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做焦距. 集合 P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中 a>0,c>0,且 a,c 为常数: (1)若 a>c,则集合 P 为椭圆; (2)若 a=c,则集合 P 为线段; (3)若 a<c,则集合 P 为空集. 2.椭圆的标准方程和几何性质

标准方程

x2 y 2 + =1 a2 b 2
(a>b>0)

y2 x2 + =1 a2 b2
(a>b>0)





续表 范 围 -a≤x≤a -b≤y≤b 对称轴:坐标轴 -b≤x≤b -a≤y≤a 对称中心:原点

对称性 顶点 性 轴

A1(-a,0),A2(a,0) B1(0,-b),B2(0,b)

A1(0,-a),A2(0,a) B1(-b,0),B2(b,0)

长轴 A1A2 的长为 2a;短轴 B1B2 的长为 2b

1



焦距 离心率

|F1F2|=2c

c e= ∈(0,1) a c2=a2-b2

a,b,c
的关系

一条规律 椭圆焦点位置与 x ,y 系数间的关系: 给出椭圆方程 + =1 时,椭圆的焦点在 x 轴上?m>n>0;椭圆的焦点在 y 轴上?0<m<
2 2

x2 y2 m n

n.
两种方法 (1)定义法:根据椭圆定义,确定 a 、b 的值,再结合焦点位置,直接写出椭圆方程. (2)待定系数法:根据椭圆焦点是在 x 轴还是 y 轴上,设出相应形式的标准方程,然后根据 条件确定关于 a、b、c 的方程组,解出 a 、b ,从而写出椭圆的标准方程. 三种技巧 (1)椭圆上任意一点 M 到焦点 F 的所有距离中,长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最 小距离,且最大距离为 a+c,最小距离为 a-c. (2)求椭圆离心率 e 时,只要求出 a,b,c 的一个齐次方程,再结合 b =a -c 就可求得 e(0 <e<1). (3)求椭圆方程时,常用待定系数法,但首先要判断是否为标准方程,判断的依据是:①中 心是否在原点;②对称轴是否为坐标轴. 双基自测 1.(人教 A 版教材习题改编)若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长的和为 18,焦距为 6,则椭圆的方程为( A. + =1 9 16 C. + =1 或 + =1 25 16 16 25 ). B. + =1 25 16
2 2 2 2 2 2 2

x

2

y

2

x2

y2

x2

y2

x2

y2

D.以上都不对
2 2 2

解析 ∵2a+2b=18,∴a+b=9,又∵2c=6,∴c=3,则 c =a -b =9,故 a-b=1,从 而可得 a=5,b=4,∴椭圆的方程为 + =1 或 + =1. 25 16 16 25 答案 C 2.(2012·合肥月考)设 P 是椭圆 + =1 上的点,若 F1、F2 是椭圆的两个焦点,则|PF1| 25 16

x2

y2

x2

y2

x2

y2

2

+|PF2|等于( A.4 B.5

). C.8 D.10

解析 依椭圆的定义知:|PF1|+|PF2|=2×5=10. 答案 D 3.(2012·兰州调研)“-3<m<5”是“方程 + =1 表示椭圆”的 ( 5-m m+3 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

x2

y2

).

?5-m>0, ? 解析 要使方程 + =1 表示椭圆,应满足?m+3>0, 5-m m+3 ?5-m≠m+3, ?
x2 y2 m≠1,因此“-3<m<5”是“方程
答案 B

解得-3<m<5 且

x2

5-m



y2

m+3

=1 表示椭圆”的必要不充分条件.

x y 4 4.(2012·淮南五校联考)椭圆 + =1 的离心率为 ,则 k 的值为( 9 4+k 5
A.-21 19 C.- 或 21 25 解析 若 a =9,b =4+k,则 c=
2 2

2

2

).

B.21 D. 5-k, 19 或 21 25

c 4 5-k 4 19 由 = 即 = ,得 k=- ; a 5 3 5 25
若 a =4+k,b =9,则 c=
2 2

k-5,

c 4 k-5 4 由 = ,即 = ,解得 k=21. a 5 4+k 5
答案 C 5.(2011·全国新课标)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心为原点,焦点 F1,F2 在 x 轴上,离心率为 为________. 解析 根据椭圆焦点在 x 轴上,可设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0).∵e= 2 .过 F1 的直线 l 交 C 于 A,B 两点,且△ABF2 的周长为 16,那么 C 的方程 2

x2 y2 a b

2 c 2 ,∴ = , 2 a 2

根据△ABF2 的周长为 16 得 4a=16,因此 a=4,b=2 2,所以椭圆方程为 + =1. 16 8 答案 + =1 16 8

x2

y2

x2

y2

3

考向一 椭圆定义的应用 【例 1】? (2011·青岛模拟)已知 F1、F2 是椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的两个焦点,P 为椭 → → 圆 C 上的一点,且PF1⊥PF2.若△PF1F2 的面积为 9,则 b=________. → → [审题视点] 关键抓住点 P 为椭圆 C 上的一点,从而有|PF1|+|PF2|=2a,再利用PF1⊥PF2, 进而得解. → → 解析 由题意知|PF1|+|PF2|=2a,PF1⊥PF2, ∴|PF1| +|PF2| =|F1F2| =4c , ∴(|PF1|+|PF2|) -2|PF1||PF2|=4c , ∴2|PF1||PF2|=4a -4c =4b . ∴|PF1||PF2|=2b , 1 ∴S△PF1F2= |PF1||PF2| 2 1 2 2 = ×2b =b =9. 2 ∴b=3. 答案 3 椭圆上一点 P 与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”, 利用定义 可求其周长,利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|;通过整体代入可求其面积等. 【训练 1】 已知△ABC 的顶点 B,C 在椭圆 +y =1 上,顶点 A 是椭圆的一个焦点,且椭圆 3 的另外一个焦点在 BC 边上,则△ABC 的周长是( A.2 3 C.4 3 ). B.6 D.12
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

x2 y2 a b

x2

2

解析 由椭圆的定义知:|BA|+|BF|=|CA|+|CF|=2a, ∴周长为 4a=4 3(F 是椭圆的另外一个焦点). 答案 C 考向二 求椭圆的标准方程 【例 2】? (1)求与椭圆 + =1 有相同的离心率且经过点(2,- 3)的椭圆方程. 4 3 (2)已知点 P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上,且 P 到两焦点的距离分别为 5、3,过 P 且与长

x

2

y

2

4

轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点,求椭圆的方程. [审题视点] 用待定系数法求椭圆方程,但应注意椭圆的焦点位置是否确定. 解 (1)由题意,设所求椭圆的方程为 + =t(t>0), 4 3 2 ? - 3? ∵椭圆过点(2,- 3),∴t= + 4 3 故所求椭圆标准方程为 + =1. 8 6 (2)设所求的椭圆方程为
2 2

x 2 y2

=2,

x2 y2

x2 y2 y2 x2 2+ 2=1(a>b>0)或 2+ 2=1(a>b>0), a b a b
?2a=5+3, ? 由已知条件得? 2 2 2 ? ?? 2c? =5 -3 ,

解得 a=4,c=2,b =12. 故所求方程为 + =1 或 + =1. 16 12 16 12 运用待定系数法求椭圆标准方程,即设法建立关于 a、b 的方程组,先定型、再 定量,若位置不确定时,考虑是否两解,有时为了解题需要,椭圆方程可设为 mx +ny =1(m >0,n>0,m≠n),由题目所给条件求出 m、n 即可. 【训练 2】 (1)求长轴是短轴的 3 倍且经过点 A(3,0)的椭圆的标准方程. (2)已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的一个焦点是 F(1,0),若椭圆短轴的两个三等分点 M,N 与
2 2

2

x2

y2

y2

x2

x2 y2 a b

F 构成正三角形,求椭圆的方程.
解 (1)若椭圆的焦点在 x 轴上, 设方程为 2+ 2=1(a>b>0), 9 ∵椭圆过点 A(3,0),∴ 2=1,a=3,

x2 y2 a b

a

∵2a=3·2b,∴b=1,∴方程为 +y =1. 9 若椭圆的焦点在 y 轴上, 设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0), 0 9 ∴椭圆过点 A(3,0),∴ 2+ 2=1,∴b=3,
2

x2

2

y2 x2 a b

a

b

又 2a=3·2b,∴a=9,∴方程为 + =1. 81 9

y2

x2

5

综上所述,椭圆方程为 +y =1 或 + =1. 9 81 9 (2)由△FMN 为正三角形,则 c=|OF|= 圆方程为 + =1. 4 3 考向三 椭圆几何性质的应用 【例 3】? (2011·北京)已知椭圆 G: +y =1.过点(m,0)作圆 x +y =1 的切线 l 交椭圆 G 4 于 A,B 两点. (1)求椭圆 G 的焦点坐标和离心率; (2)将|AB|表示为 m 的函数,并求|AB|的最大值. [审题视点] (1)由椭圆方程可直接求出 c,从而求出离心率.(2)可设出直线方程与椭圆方 程联立得一元二次方程,由弦长公式列出|AB|长的表达式从而求出|AB|的最大值. 解 (1)由已知得,a=2,b=1, 所以 c= a -b = 3. 所以椭圆 G 的焦点坐标为(- 3,0),( 3,0), 离心率为 e= =
2 2

x2

2

y2

x2

3 3 2 2 2 2 |MN|= × b=1.∴b= 3.a =b +c =4.故椭 2 2 3

x2 y2

x2

2

2

2

c a

3 . 2

(2)由题意知,|m|≥1. 当 m=1 时,切线 l 的方程为 x=1,点 A,B 的坐标分别为?1, = 3. 当 m=-1 时,同理可得|AB|= 3. 当|m|>1 时,设切线 l 的方程为 y=k(x-m).

? ?

3? ? 3? ?,?1,- ?,此时|AB| 2? ? 2?

?y=k? x-m? , ? 由?x2 2 ? 4 +y =1. ?

得(1+4k )x -8k mx+4k m -4=0.

2

2

2

2 2

设 A,B 两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则

x1+x2=

8k m 4k m -4 2,x1x2= 2 . 1+4k 1+4k
2 2

2

2 2

又由 l 与圆 x +y =1 相切,得 即 m k =k +1. 所以|AB|= ?
2 2 2

|km|

k2+1

=1,

x2-x1?

2

+? y2-y1?

2



6

? 1+k ? ?

2

[?

x1+x2?
4 2

2

-4x1x2]=
2

? 64k m2 2 1+k ? ? ?? 1+4k ?

4? -

4k m -4? ? 2 ? 1+4k ?

2 2

4 3|m| = 2 . m +3 由于当 m=±1 时,|AB|= 3, 4 3|m| 所以|AB|= 2 ,m∈(-∞,-1]∪[1,+∞). m +3 4 3|m| 因为|AB|= 2 = m +3 4 3 3 ≤2,

|m|+ |m|

且当 m=± 3时,|AB|=2,所以|AB|的最大值为 2. (1)求椭圆的离心率,其法有三:一是通过已知条件列方程组,解出 a,c 的值; 二是由已知条件得出关于 a,c 的二元齐次方程,然后转化为关于离心率 e 的一元二次方程 求解;三是通过取特殊值或特殊位置,求出离心率. (2)弦长公式 l= 1+k |x1-x2|= 1+k
2 2

? x1+x2?

2

-4x1x2.

【训练 3】 (2012·武汉质检)在 Rt△ABC 中,AB=AC=1,如果一个椭圆通过 A,B 两点, 它的一个焦点为点 C,另一个焦点在 AB 上,则这个椭圆的离心率为________. 解析

设另一个焦点为 F,如图所示,∵|AB|=|AC|=1,△ABC 为直角三角形, 2+ 2 ∴1+1+ 2=4a,则 a= , 4 设|FA|=x,

?x+1=2a, ∴? ?1-x+ 2=2a,
∴c= 答案

∴x=

2 ? 2? 2 2 ,∴1+? ? =4c , 2 ?2?

6 c ,e= = 6- 3. 4 a 6- 3

考向四 椭圆中的定值问题

7

【例 4】? (2011·重庆)如图,椭圆的中心为原点 O,离心率 e= =2 2. (1)求该椭圆的标准方程;

2 , 一条准线的方程为 x 2

(2)设动点 P 满足:O P =O M +2O N ,其中 M、N 是椭圆上的点,直线 OM 与 ON 的斜率之积为 1 - .问:是否存在两个定点 F1,F2,使得|PF1|+|PF2|为定值?若存在,求 F1,F2 的坐标; 2 若不存在,说明理由. [审题视点] (1)由离心率和准线方程即可求出椭圆方程.(2)充分利用椭圆的定义和性质, 利用设而不求的方法求出 P 点.







2 c 2 a 解 (1)由 e= = , =2 2, a 2 c

解得 a=2,c= 2,b =a -c =2, 故椭圆的标准方程为 + =1. 4 2 (2)设 P(x,y),M(x1,y1),N(x2,y2), 则由 O P =O M +2O N 得 (x,y)=(x1,y1)+2(x2,y2)=(x1+2x2,y1+2y2), 即 x=x1+2x2,y=y1+2y2. 因为点 M、N 在椭圆 x +2y =4 上, 所以 x1+2y1=4,x2+2y2=4, 故 x +2y =(x1+4x2+4x1x2)+2(y1+4y2+4y1y2) =(x1+2y1)+4(x2+2y2)+4(x1x2+2y1y2) =20+4(x1x2+2y1y2). 设 kOM,kON 分别为直线 OM,ON 的斜率, 由题设条件知 kOM·kON=
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

2

x2 y2







y1y2 1 =- , x1x2 2

8

因此 x1x2+2y1y2=0, 所以 x +2y =20. 所以 P 点是椭圆 ?
2 2

x2
2 5?

+ 2 ?

y2
10?

2

=1 上的点,

设该椭圆的左、右焦点为 F1,F2, 则由椭圆的定义|PF1|+|PF2|为定值. 又因 c= ? 2 5?
2

-?

10?

2

= 10,

因此两焦点的坐标为 F1(- 10,0),F2( 10,0). 本题考查椭圆方程的求法和椭圆中的定点、定值等综合问题,可先设出动点 P, 利用设而不求的方法求出 P 点的轨迹方程,从而找出定点. 【训练 4】 (2010·安徽)如图,

1 已知椭圆 E 经过点 A(2,3),对称轴为坐标轴,焦点 F1,F2 在 x 轴上,离心率 e= . 2 (1)求椭圆 E 的方程; (2)求∠F1AF2 的角平分线所在直线 l 的方程.

x2 y2 解 (1)设椭圆 E 的方程为 2+ 2=1(a>b>0), a b
1 c 1 2 2 2 2 由 e= ,即 = ,得 a=2c,得 b =a -c =3c . 2 a 2 ∴椭圆方程可化为 2+ 2=1. 4c 3c 1 3 将 A(2,3)代入上式,得 2+ 2=1,解得 c=2,

x2

y2

c

c

∴椭圆 E 的方程为 + =1. 16 12 (2)由(1)知 F1(-2,0),F2(2,0),∴直线 AF1 的方程为

x2

y2

y= (x+2),即 3x-4y+6=0,直线 AF2 的方程为 x=2.
由点 A 在椭圆 E 上的位置知,直线 l 的斜率为正数. |3x-4y+6| 设 P(x,y)为 l 上任一点,则 =|x-2|. 5 若 3x-4y+6=5x-10,得 x+2y-8=0(因其斜率为负,舍去).
9

3 4

于是,由 3x-4y+6=-5x+10,得 2x-y-1=0, ∴直线 l 的方程为 2x-y-1=0.

规范解答 16——怎样求解与弦有关的椭圆方程问题 【问题研究】 求椭圆的方程是高考的重中之重,几乎每年必考,有的是以选择题或填空题 的形式出现,多数以解答题的形式出现.虽然考向二中学习了求椭圆方程的方法,但在解答 题中往往结合弦长等知识来求椭圆方程,难度中等偏上. 【解决方案】 解决这类问题首先根据题设条件设出所求的椭圆方程, 再由直线与椭圆联立, 结合根与系数的关系及弦长公式求出待定系数. 【示例】 (本题满分 12 分)(2011·天津)设椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、 ? 右焦点分别为 F1、

x2 y2 a b

F2.点 P(a,b)满足|PF2|=|F1F2|.
(1)求椭圆的离心率 e; (2)设直线 PF2 与椭圆相交于 A,B 两点,若直线 PF2 与圆(x+1) +(y- 3) =16 相交于 M,
2 2

N 两点,且|MN|= |AB|,求椭圆的方程.
第(1)问由|PF2|=|F1F2|建立关于 a、c 的方程;第(2)问可以求出点 A、B 的坐标 或利用根与系数的关系求|AB|均可,再利用圆的知识求解. [解答示范] (1)设 F1(-c,0),F2(c,0)(c>0),因为|PF2|=|F1F2|,所以 ?

5 8

a-c?

2

+b =

2

c c 1 1 ?c?2 c 2c.整理得 2? ? + -1=0,得 =-1(舍),或 = .所以 e= .(4 分) a a 2 2 ?a? a
(2)由(1)知 a=2c,b= 3c,可得椭圆方程为 3x +4y =12c ,直线 PF2 的方程为 y= 3(x -c).
2 2 2

?3x +4y =12c , A、B 两点的坐标满足方程组? ?y= 3? x-c? .
8 =0,x2= c.(6 分) 5 8 ?x =5c, ? ? 3 3 ?y = 5 c. ?
2 2

2

2

2

消去 y 并整理,得 5x -8cx=0.解得 x1

2

?x1=0, 得方程组的解为? ?y1=- 3c,

?8 3 3 ? 不妨设 A? c, c?,B(0,- 3c), 5 ? ?5

10

所以|AB|=

?2 16 ?8c?2+?3 3 ?5 ? ? c+ 3c? = c.(8 分) ? ? ? 5 ? 5

5 于是|MN|= |AB|=2c. 8

|- 3- 3- 3c| 3|2+c| 圆心(-1, 3)到直线 PF2 的距离 d= = .(10 分) 2 2 因为 d +?
2

?|MN|?2=42,所以3(2+c)2+c2=16. ? 4 ? 2 ?
2

整理得 7c +12c-52=0. 26 得 c=- (舍),或 c=2. 7 所以椭圆方程为 + =1.(12 分) 16 12 用待定系数法求椭圆方程时,可尽量减少方程中的待定系数(本题只有一个 c), 这样可避免繁琐的运算而失分. 1 x y 【试一试】 已知直线 y=- x+2 和椭圆 2+ 2=1(a>b>0)相交于 A、B 两点,M 为线段 AB 2 a b 1 的中点,若|AB|=2 5,直线 OM 的斜率为 ,求椭圆的方程. 2 [尝试解答] 设 A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0).
2 2

x2

y2

? ? 则? x y ?a +b =1, ?
2 2 2 2 2 2

x2 y2 1 1 + =1, a2 b2

① ②

y2-y1 b2x1+x2 ①-②得: =- 2 . x2-x1 a y1+y2 b x0 1 ∴kAB=- 2× =- .③ a y0 2 y0 1 又 kOM= = ,④ x0 2
由③④得 a =4b .
2 2 2

?y=-1x+2, ? 2 由? x y ?4b +b =1 ?
2 2 2 2

得:x -4x+8-2b =0,

2

2

∴x1+x2=4,x1·x2=8-2b .

2

11

∴|AB|= 1+k |x1-x2| = = = 5 ? 2

2

x1+x2?

2

-4x1x2

5 2 16-32+8b 2 5 2 8b -16 2

=2 5. 解得:b =4. 故所求椭圆方程为: + =1. 16 4
2

x2

y2

12


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