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2014高考数学题库精选核心考点大冲关专题演练三角化简和求值


考点 12 三角化简和求值
【考点分类】
热点一 利用两角和差的正弦、余弦、正切公式求值
1. (2012 年高考(重庆文) )

sin 47? ? sin17? cos 30? ( cos17?
1 2
C.



A. ?

3 2

B. ?

1 2

D.

3 2

2.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)理】 若 cos x cos y ? sin x sin y ?

1 2 ,sin 2 x ? sin 2 y ? ,则 sin( x ? y) ? ________ . 2 3

3. 【 2013 年普通高等学校统一考试试题新课标Ⅱ数学(理)卷】 设 ? 为第二象限角,若 tan(? +

?
4

)=

1 ,则 2

sin? ? cos ? ? _________.

4.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)理】已知函数 f ( x) ?

? ? ? 2 cos ? x ? ? , x ? R . 12 ? ?

(Ⅰ) 求 f ? ?

? ?? ? 的值; ? 6?

(Ⅱ) 若 cos ? ?

3 ? 3? ? ,? ? ? , 2? ? ,求 5 ? 2 ?

?? ? f ? 2? ? ? . 3? ?

5.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)文科】已知函数 f ( x) ? cos x cos( x ?

?
3

)

2? ) 的值; 3 1 (2) 求使 f ( x) ? 成立的 x 的取值集合. 4
(1) 求 f (

所以

? 5? 11? ? 5? 11? ? k? ? x ? ? k? , k ? Z ? . ? k? ? x ? ? k? , k ? Z ;所以 x 的取值集合为 ? x 12 12 12 ? 12 ?

【方法总结】
两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广,可用α 、β的三角函数表示α ±β的三角函 数,在使用两角和与差的三角函数公式时,特别要注意角与角之间的关系,完成统一角和角与角转 换的目的. (1)运用两角和与差的三角函数公式时,不但要熟练、准确,而且要熟悉公式的逆用及变形,如 tan α +tan β=tan(α +β)·(1-tan α tan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等. (2)应熟悉公式的逆用和变形应用,公式的正用是常见的,但逆用和变形应用则往往容易被忽视,公 式的逆用和变形应用更能开拓思路,培养从正向思维向逆向思维转化的能力,只有熟悉了公式的逆 用和变形应用后,才能真正掌握公式的应用.

热点二 利用倍角公式以及诱导公式求值
6. 【2013 年高考新课标Ⅱ数学(文)卷】 已知 sin2α= ,则 cos2(α+ )=( (A) )

1 6

(B)

1 3

(C)

1 2

(D)

2 3

7.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)文科】已知 sin( A. ?

5? 1 ? ? ) ? ,那么 cos? ? ( 2 5



2 5

B. ?

1 5

C.

1 5

D.

2 5

8.【2013 年普通高等学校统一考 试试题大纲全国文科】已知 a 是第二象限角, sin a ? (A) ?

5 , 则 cosa ? ( 13



12 13

(B) ?

5 13

(C)

5 13

(D)

12 13

9.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)文科】若 sin A. ?

a 3 ,则 cos a ? ( ? 2 3
D.



2 3

B. ?

1 3

C .

1 3

2 3

10. 【2013 年普通高等学校招生全国统一 考试数学浙江理】 已知 ? ? R, sin ? ? 2 cos? ? A.

10 tn 2? ?( , 则a 2



4 3

B.

3 4

C. ?

3 4

D. ?

4 3

sin 2 ? ? 4sin ? cos ? ? 4 cos 2 ? ?

5 sin 2 ? ? 4sin ? cos ? ? 4 cos 2 ? 5 ? ? 2 2 sin 2 ? ? cos 2 ?

11. (2012 年高考(江西文) )若

A.-

3 4

sin ? ? cos ? 1 ? ,则 tan2α = sin ? ? cos ? 2 3 4 B. C.4 3

( D.



4 3

12.

(2012 年高考(山东理) )若 ? ? ?

3 7 ?? ? ? ,则 sin ? ? , ? , sin 2? = 8 ?4 2?
C.





A.

3 5

B.

4 5

7 4

D.

3 4

1 9 3 cos 2? ? 1 ? 2 sin 2 ? ? ? ,所以 sin 2 ? ? , sin ? ? 8 16 4 1 13. (2012 年高考(江西理) )若 tan ? + =4,则 sin2 ? = tan ? 1 1 1 A. B. C. 5 4 3

( D.



1 2

14.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)理科】设 sin 2? ? ? sin ? , ? ? ( 是____________.

?
2

, ? ) ,则 tan 2? 的值

15.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)理】 已知函数 f ( x) ? sin( x ?

?

? x ) ? cos( x ? ).g ( x) ? 2sin 2 . 6 3 2
3 3 .求 g (? ) 的值; 5

(I)若 ? 是第一象限角,且 f (? ) ?

(II)求使 f ( x) ? g ( x) 成立的 x 的取值集合.

【方法总结】
一、利用诱导公式化简求值时的原则 1.“负化正”,运用公式三将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数. 2.“大化小”,利用公式一将大于 360°的角的三角函数化为 0°到 360°的三角函数,利用公式二将 大 于 180°的角的三角函数化为 0°到 180°的三角函数. 3.“小化锐”,利用公式六将大于 90°的角化为 0°到 90°的角的三角函数.

4.“锐求值”,得到 0°到 90°的三角函数后,若是特殊角直接求得,若是非特殊角可由计算器求得. 二、利用倍角公式化简求值 二倍角公式实际就是由两角和公式中令β =α 所得.特别地,对于余弦:cos 2α =cos2α -sin2 α= 2cos2α -1=1-2sin2α ,这三个公式各有用处,同等重要,特别是逆用即为“降幂公式”,

在考题中常有体现.

【考点剖析】
一.明确要求
1.利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角函数式的化简、求值是高考常考的点. 2.考查同角三角函数的基本关系式、考查诱导公式在三角函数化简求值中的运用. 3.考查三角函数中的倍角公式以及转化思想和运算求解能力,属于容易题.

二.命题方向
1.考查利用三角函数的公式对三角函数式进行化简求值. 2.公式逆用、变形应用是高考热点. 3.题型以选择题、解答题为主.

三.规律总结
基础梳理 1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系:sin2α+cos2α=1; sin α (2)商数关系:cos α=tan α. 2.诱导公式 公式一:sin(α+2kπ)=sin α,cos(α+2kπ)=cos_α,其中 k∈Z. 公式二:sin(π+α)=-sin_α,cos(π+α)=-cos_α, tan(π+α)=tan α. 公式三:sin(-α)=-sin_α,cos(-α)=cos_α. 公式四:sin(π-α)=s i n α,cos(π-α)=-cos_α. ?π ? ?π ? 公式五:sin?2-α?= cos_α,cos?2-α?=sin α. ? ? ? ? ?π ? ?π ? 公式六:sin?2+α?=cos_α,cos?2+α?=-sin_α ? ? ? ? 3.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)C(α-β):cos(α-β)=cos_αcos_β+sin_αsin_β;

(2)C(α+β):cos(α+β)=cos_αcos_β-sin_αsin_β; (3)S(α+β):sin(α+β)=sin_αcos_β+cos_αsin_β; (4)S(α-β):sin(α-β)=sin_αcos_β-cos_αsin_β; (5)T(α+β):tan(α+β)= tan α+tan β ; 1-tan αtan β tan α-tan β . 1+tan αtan β

(6)T(α-β):tan (α-β)=

4.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S2α:sin 2α=2sin_αcos_α; (2)C2α:cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α; (3)T2α:tan 2α= 2tan α . 1-tan2α

5.有关公式的逆用、变形等 (1)tan α± tan β=tan(α± β)(1?tan_αtan_β); (2)cos2α=
[来源:学科网 ZXXK]

1+cos 2α 1-cos 2α 2 , sin α = ; 2 2

(3)1+sin 2α=(sin α+cos α)2,1-sin 2α=(sin α-cos α)2, ? π? ?. sin α± cos α= 2sin?α± ? 4? 6.函数 f(α)=acos α+bsin α(a,b 为常数),可以化为 f(α)= a2+b2sin(α+φ)或 f(α)= a2+b2cos(α- φ),其中 φ 可由 a,b 的值唯一确定. 一个口诀 诱导公式的记忆口诀为:奇变偶不变,符号看象限. 三种方法 在求值与化简时,常用方法有: sin α (1)弦切互化法:主要利用公式 tan α=cos α化成正、余弦. (2)和积转 换法:利用(sin θ± cos θ)2=1± 2sin θcos θ 的关系进行变形、转化. π (3)巧用“1”的变换:1=sin2θ+cos2θ=cos2θ(1+tan2θ)=tan4=?. 三个防范 (1)利用诱导公式进行化简求值时,先利用公式 化任意角的三角函数为锐角三角函数,其步骤:去负 -脱周-化锐. 特别注意函数名称和符号的确定. (2)在利用同角三角函数的平方关系时,若开方,要特别注意判断符号. (3)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.

两个技巧 α+β α-β α-β ? β? ?α ? (1)拆角、拼角技巧:2α=(α+β)+(α-β);α=(α+β)-β;β= 2 - 2 ; 2 =?α+2?-?2+β?. ? ? ? ? (2)化简技巧:切化弦、“1”的代换等. 三个变化 (1)变角:目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角,其手法通常是“配凑”. (2)变名:通过变换函数名称达到减少函数种类的目的,其手法通常有 “切化弦”、“升幂与降幂” 等. (3)变式: 根据式子的结构特征进行变形, 使其更贴近某个公式或某个期待的目标, 其手法通常有: “常 值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.

【考点模拟】
一.扎实基础 1. 【2013 年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试长春三模】
已知 cos ? ? A.

9 25

3 ,则 cos 2? ? sin 2 ? 的值为( ) 5 18 23 B. C. 25 25

D.

34 25

2. 【河北省唐山一中、衡水一中 2013 届高三 4 月联考】若 ? 为第三象限角,则
( ) B. ?1 C .1 D.3

cos ? 1 ? sin 2 ?

?

2sin ? 1 ? cos 2 ?

的值为

A. ?3

3. 【湖北黄冈市 2013 年高三年级 4 月份模拟考试】 sin 2013 ? 的值属于区间(
A. ( ?



1 ,0 ) 2

B. (?1,? )

1 2

C. ( ,1)

1 2

D. (0, )

1 2

3 ? ? 4. 【2013 河北省名校名师俱乐部高三 3 月模拟考试】 已知 ? ? (0, ) , cos ? ? ,则 cos(? ? ) ? ( 3 2 6
A.



1 6 ? 2 6

B. 1 ?

6 6

C. ?

1 6 ? 2 6

D . ?1 ?

6 6

∴ cos(? ?

?
6

) ? cos ? cos

?
6

? sin ? sin

?
6

?

3 3 6 1 1 6 ? ? ? ? ? 3 2 3 2 2 6

5.【2013 届河北省重点中学联合考试】已知 sin 2? ?
A.-2 B.-1 C. ?

1 3 ? ( ? 2? ? ? ) , tan(? ? ? ) ? ,则 tan( ? ? ?) ? ( 5 2 2



2 11

D.

2 11

6.【江西省 2013 届百所重点高中阶段性诊断考试】已知 sin( A.

?

3 ? ? ) ? ,则 cos(? ? 2? ) 等于( 2 5



12 25

B. ?

12 25

C. ?

7 25

D.

7 25

7. 【 2013 届 贵 州 天 柱 民 中 、 锦 屏 中 学 、 黎 平 一 中 、 黄 平 民 中 四 校 联 考 】 已 知

? ? ( ? , 2? ) , t ? ? an ?则cos2 , ??

.

8. 【广西百所高中 2013 届高三年级第三届联考】已知 sin x ?

5 ? 3? , x ? ( , ) ,则 5 2 2

tan( x ? ) = 4

?

.

9. 【湖北省黄冈中学 2013 届高三十月月考】 sin163?sin 223? ? sin 253?sin313? ?



1 10. 【安徽省江淮名校 2013 届高考最后一卷】已知 cos(75 0 ? ? ) ? ,则 cos(300 ? 2? ) 的值为 3

.

二.能力拔高

? 11. 【湖北省黄冈市黄冈中学 2013 届高三五月第二次模拟考试】已知 f ( x) ? 2sin(2 x ? ), 若 6 6 ? ? ) f ( x0 ) ? , x0 ? [ , ] ,则 cos 2 x0 ? ( 5 4 2
A.

[来源:学科网 ZXXK]

3? 4 3 10

B.

?3 ? 4 3 10

C.

3? 4 3 10

D.

?3 3 ? 4 10

12. 【广东省华南师大附中 2012-2013 学年度高三第三次月考】设 tan ? ?
值( )

3 3? ,? ? ? ? ,则 sin ? ? cos ? 的 3 2

(A) ?

1 3 ? 2 2

(B) ?

1 3 ? 2 2

(C)

1 3 ? 2 2

(D)

1 3 ? 2 2

[来源:学+科+网 Z+X+X+K]

4 13. 【山 西 省 2012—2013 年度高三第二次诊断考试】已知角α 的终边经过点 P(m, ?3), 且 cos ? ? ? , 则m 等 5
于( )

A. ?

11 4

B.

11 4

C.—4

D.4

14. 【山 西 省 2012—2013 年度高三第二次诊断考试】 tan

?
12

?

1 tan

?
12

等于(



A.4

B.—4

C. 2 3

D.— 2 3

[来源:学科网 ZXXK]

15. 【山东省烟台市 2012-2013 学年度第一学期模块检测】已知 sin 2? ? ?
等于( A. ? )

24 ? ? ? ,? ? ? ? , 0 ? ,则 sin ? ? cos ? 25 ? 4 ?

1 5

B.

1 5

C. ?

7 5

D.

7 5

【答案】B 【解析】由 ? ? ? ?

1 ? ? ? , 0 ? 知 sin ? ? 0, cos? ? 0, | sin ? |?| cos? |, ? sin? ? cos? ? 1 ? sin 2 x ? . 故选 B. 5 ? 4 ? cx o? s 3 ? ? , 且 x?( , ) , 则 8 4 2

16. 【 天 津 一 中 2012 — 2013 学 年 高 三 数 学 一 月 考 】 已 知 s i n x

cos x ? sin x ? _________.

17. 【 天 津 市 新 华 中 学 2011-2012 学 年 度 第 一 学 期 第 二 次 月 考 】
s i2 n? ? c o 2s? ? _____________________. 1? c o 2 s?

已 知 t a? n ??

1 ,则 3

18. 【2012-2013 学年江西省南昌市调研考试】 (本小题满分 12 分)
已知 ? ? 且 cos (0,?) (? -

?

3 )= ,求 cos? . 6 5

已知角 19.【四川省成都市 2013 届高中毕业班第一次诊断性检测】 则 =__________.

,构成公差为 的等差数列.若



20. 【江苏省南通市 2013 届高三第二次调研测试】设 ?,? ? ? ?,?? ,且 sin(? ? ? ) ? 5 , tan ? ? 1 .则 cos ? 的值 2 2 13 为 .

三.提升自我
(本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? 21. 【北京市房山区 2013 届高三上学期期末考试】 (Ⅰ)求函数 f ( x) 的定义域; (Ⅱ)若 f (? ?

sin 2 x ? cos 2 x ? 1 . 2 cos x

?
4

)?

3 2 ,求 cos ? 的值. 5
??????1 分

(Ⅰ)由 cos x ? 0

22. 【 山 东 省 东 阿 县 第 一 中 学 2012-2013 学 年 度 上 学 期 考 试 】 ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 函 数
π f ( x) ? cos 2 ( x ? ) ? sin 2 x . 6 π (1)求 f ( ) 的值; 12 π (2)若对于任意的 x ? [0, ] ,都有 f ( x) ? c ,求实数 c 的取值范围. 2

23. 【广东省潮州市 2012-2013 学年度第一学期期末质量检测】 (本小题共 12 分)已知函数 f ( x) ? sin x ? cos x ,
f ?( x) 是 f ( x) 的导函数.
(1)求函数 g ( x) ? f ( x) ? f '( x) 的最小值及相应的 x 值的集合; (2)若 f ( x) ? 2 f ?( x) ,求 tan( x ?

?
4

) 的值.

1 3 ? 2. 4 ? ∴ tan( x ? ) ? ? 1 4 1 ? tan x tan 1? 4 3 ? 3? 24. 已知函数 f(x)=x2-kx +1,若存在 a ? ( , ) ,使 f(sina)=f(cosa). 2 4

?

tan x ? tan

?

1?

?? 12 分

(I) 当 k=

2 - 时, 求 tana 的值; 2

(II)求实数 k 的取值范围.

25. 【2013 年安徽省马鞍山市高中毕业班第二次教学质量检测】
(Ⅰ)证明: cos 2a + cos 2b = 2cos(a + b ) cos(a - b ) ; (Ⅱ)在 ?ABC 中,若 A =
p ,求 sin 2 B + sin 2 C 的最大值. 3

【考点预测】
1. 已知函数 f ( x) ? e A. k? ?
2 x 2 ?1

,若 f [cos(

?
2

? ? )] ? 1 ,则 ? 的值为(
C.



?
4

B. k ? ?

?
4

k? ? ? 2 4

D. k ? ?

?
4

(其中 k∈Z)

2.已知 ? , ? ? ?

? ? 12 ?? 3 ? ? ? 3? ? , ? ? ,sin( ? ? ? )=- , sin ? ? ? ? ? , 则 cos ?? ? ? =________. 4 ? 13 4? 5 ? 4 ? ? ?

3.已知 tan(? ?

?

sin 2? ? 2 cos2 ? 1 ? 等于( ) ? ? ,且 ? ? ? ? ,则 ? 2 4 2 sin(? ? ) 4
B. ?



A.

2 5 5

3 5 10

C. ?

2 5 5

D. ?

3 10 10

【解析】 cos 2? =

cos 2 ? -sin 2 ? 1-tan 2? 1-4 3 = = =- . cos 2 ? +sin 2 ? 1+tan 2? 4+1 5
? ? 6 2

5.如图, 在直角坐标系 xOy 中, 角 ? 的顶点是原点, 始边与 x 轴正半轴重合, 终边交单位圆于点 A , 且 ? ?? , ) . 将 角 ? 的终边按逆时针方向旋转 (Ⅰ)若 x1 ?

? ,交单位圆于点 B .记 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) . 3

1 ,求 x 2 ; 3

(Ⅱ)分别过 A, B 作 x 轴的垂线,垂足依次为 C , D .记△ AOC

的面积为 S1 ,△ BOD 的面积为 S 2 .若 S1 ? 2 S 2 ,求角 ? 的值. (Ⅰ)解:由三角函数定义,得 x1 ? cos ? , x2 ? cos(? ? ) . 因为 ? ?? , ) , cos ? ? 所以 sin ? ? 1 ? cos 2 ? ?

[来源:Z|xx|k.Com]

? ? 6 2

? 3

??????2 分

1 , 3
2 2 . 3
??????3 分

所以 x2 ? cos(? ?

? 1 3 1? 2 6 . ) ? cos ? ? sin ? ? 3 2 2 6

??????5 分


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