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(江苏版)2018年高考数学一轮复习(讲+练+测): 专题3.1 导数概念及其运算(练)


专题 3.1 导数概念及其运算
基础巩固题组 一、填空题 1.设 y=x e ,则 y′=________. 【答案】(2x+x )e
x
2 2 x

x

【解析】y′=2xe +x e =(2x+x )e . 2. 已知函数 f(x)的导函数为 f′(x), 且满足 f(x)=2x·f′(1)+ln x, 则 f′(1)=________. 【答案】-1 1 【解析】由 f(x)=2xf′(1)+ln x,得 f′(x)=2f′(1)+ ,

2 x

2

x

x

∴f′(1)=2f′(1)+1,则 f′(1)=-1. 3.曲线 y=sin x+e 在点(0,1)处的切线方程是________. 【解析】y′=cos x+e ,故切线斜率为 k=2,切线方程为 y=2x+1,即 2x-y+1=0. 【答案】2x-y+1=0 4.(2017·苏州调研)已知曲线 y=ln x 的切线过原点,则此切线的斜率为________. 1 【答案】 e
x x

5.若曲线 y=ax -ln x 在点(1,a)处的切线平行于 x 轴,则 a=________. 1 【答案】 2 1 【解析】因为 y′=2ax- ,所以 y′|x=1=2a-1.因为曲线在点(1,a)处的切线平行于 x 轴,

2

x

1 故其斜率为 0,故 2a-1=0,解得 a= . 2 6.(2017·南师附中月考)如图,y=f(x)是可导函数,直线 l:y=kx+2 是曲线 y=f(x)在 x =3 处的切线,令 g(x)=xf(x),其中 g′(x)是 g(x)的导函数,则 g′(3)=________.

【答案】0

-1-

1 【解析】由图形可知:f(3)=1,f′(3)=- ,∵g′(x)=f(x)+xf′(x), 3 ∴g′(3)=f(3)+3f′(3)=1-1=0. 1+cos x ?π ? 7. (2017·苏北四市模拟)设曲线 y= 在点? ,1?处的切线与直线 x-ay+1=0 平行, sin x ?2 ? 则实数 a=________. 【答案】-1 -1-cos x 【解析】∵y′= ,∴ 2 sin x 1 由条件知 =-1,∴a=-1.

a

8.(2015·全国Ⅱ卷)已知曲线 y=x+ln x 在点(1,1)处的切线与曲线 y=ax +(a+2)x+1 相切,则 a=________. 【答案】8

2

二、解答题 1 3 2 9.已知点 M 是曲线 y= x -2x +3x+1 上任意一点,曲线在 M 处的切线为 l,求: 3 (1)斜率最小的切线方程; (2)切线 l 的倾斜角 α 的取值范围. 解 (1)y′=x -4x+3=(x-2) -1≥-1, 5 所以当 x=2 时,y′=-1,y= , 3
2 2

? 5? 所以斜率最小的切线过点?2, ?,斜率 k=-1, ? 3?
所以切线方程为 3x+3y-11=0. (2)由(1)得 k≥-1,

? π ? ?3π ,π ?. 所以 tan α ≥-1,所以 α ∈?0, ?∪? ? 2? ? 4 ? ?
10.已知曲线 y=x +x-2 在点 P0 处的切线 l1 平行于直线 4x-y-1=0,且点 P0 在第三象限. (1)求 P0 的坐标; (2)若直线 l⊥l1,且 l 也过切点 P0,求直线 l 的方程.
-23

能力提升题组 11.(2016·山东卷改编)若函数 y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切 线互相垂直,则称 y=f(x)具有 T 性质,下列函数: ①y=sin x;②y=ln x;③y=e ;④y=x . 其中具有 T 性质的是________(填序号). 【答案】① 【解析】若 y=f(x)的图象上存在两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2)), 使得函数图象在这两点处的切线互相垂直,则 f′(x1)·f′(x2)=-1. 对于①:y′=cos x,若有 cos x1·cos x2=-1,则当 x1=2kπ ,x2=2kπ +π (k∈Z)时, 结论成立; 1 1 1 对于②:y′= ,若有 · =-1,即 x1x2=-1,∵x1>0,x2>0,∴不存在 x1,x2,使得 x1x2
x
3

x

x1 x2

=-1; 对于③:y′=e ,若有 e ·e =-1,即 e
2 2 2

x

x1

x2

x1+x2

=-1.显然不存在这样的 x1,x2;

对于④:y′=3x ,若有 3x1·3x2=-1,即 9x1x2=-1,显然不存在这样的 x1,x2. 12.(2017·合肥模拟改编)点 P 是曲线 x -y-ln x=0 上的任意一点,则点 P 到直线 y=x- 2 的最小距离为________. 【答案】 2 【解析】点 P 是曲线 y=x -ln x 上任意一点,当过点 P 的切线和直线 y=x-2 平行时, 点 P 到直线 y=x-2 的距离最小, 直线 y=x-2 的斜率为 1,令 y=x -ln x,
2 2 2

2 2

-3-

1 1 得 y′=2x- =1,解得 x=1 或 x=- (舍去), x 2 故曲线 y=x -ln x 上和直线 y=x-2 平行的切线经过的切点坐标为(1,1), 点(1,1)到直线 y=x-2 的距离等于 2, ∴点 P 到直线 y=x-2 的最小距离为 2. 1 2 13.若函数 f(x)= x -ax+ln x 存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a 的取值范围是________. 2 【答案】[2,+∞)
2

2 14.已知函数 f(x)=x- ,g(x)=a(2-ln x)(a>0).若曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)在 x=1

x

处的切线斜率相同,求 a 的值,并判断两条切线是否为同一条直线. 2 a 解 根据题意有 f′(x)=1+ 2,g′(x)=- .

x

x

曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线斜率为 f′(1)=3, 曲线 y=g(x)在 x=1 处的切线斜率为 g′(1)=-a, 所以 f′(1)=g′(1),即 a=-3. 曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线方程为 y-f(1)=3(x-1). 所以 y+1=3(x-1),即切线方程为 3x-y-4=0. 曲线 y=g(x)在 x=1 处的切线方程为 y-g(1)=3(x-1), 所以 y+6=3(x-1),即切线方程为 3x-y-9=0, 所以,两条切线不是同一条直线.

-4-


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