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江苏省百校联考2018届高三上学期第一次联考数学试题

高三数学模拟试卷

数学Ⅰ
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1. 本试卷共 4 页,包含填空题(共 14 题) 、解答题(共 6 题) ,满分为 160 分,考试时 间为 120 分钟。考试结束后,请将答题卡交回。 2. 答题前,请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填写 在答题卡上。 3. 作答试题必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置, 在其它位 置作答一律无效。如有作图需要,可用 2B 铅笔作答,并请加黑、加粗,描写清楚。 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上 . ........

2 3? ,则 A ? B ? 1.集合 A ? ?x 0 ≤ x ≤ 2? , B ? ??1,,



. ▲ .

2.若复数 z 满足 z ? i ? 2 ? i ? (i 是虚数单位) ,则复数 z 的模 z ?

3.某市交通部门对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控,从速度在 50~90km/h 的汽车中抽 取 200 辆进行分析,得到数据的频率分布直方图(如图所示) ,则速度在 70km/h 以下的汽车 有 ▲ 辆.
频率 组距 0.04 0.03 0.02 0.01 50 60 70 80 90 速度(km/h) 输入 x 开始

x≤0

Y
y←2x 输出 y 结束

N
y←log2x

(第 3 题图)

4.如图,若输入的 x 为 16,则相应输出的值 y 为





(第 4 题图)

? x ≥ 1, ? 5.已知变量 x,y 满足条件 ? x ? y ≤ 0 , 则 x ? y 的最大值是 ?3x ? y ? 6 ≤ 0 , ?





6.某校高三年级学生会主席团共有 4 名同学组成,其中有 2 名同学来自同一班级,另外两名同 学来自另两个不同班级.现从中随机选出两名同学参加会议,则选出的两名同学来自不同班

级的概率为



. ▲ .

7.已知一个圆锥的母线长为 2,侧面展开图是半圆,则该圆锥的体积为 8.双曲线

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0 , b ? 0? 的一条渐近线方程是 3x ? 4 y ? 0 ,则该双曲线的离心率为 ▲ . a 2 b2

9.在等差数列 ?an ? 中,若 a4 ? 4 , a7 2 ? a12 ? 96 ,则数列 ?an ? 前 10 项和 S10 的值为 ▲ . 10.将函数 y= sin 2 x ? 心对称,则 φ=

?

π π 的图象向右平移 φ 0 ? ? ? 个单位后,所得的函数图象关于原点成中 3 2

?

?

?




A B D O

? x 2 ? 2mx ? m 2 ? 1 , 0 ? x ≤ 1, ? 11.已知函数 f ? x ? ? ? x 在区间 ? 0 , ? ?? 上有且 ? 2m , x ?1 ? ? ln x

只有三个不同的零点,则实数 m 的取值范围是





12.如图,已知点 O 是平面四边形 ABCD 的外接圆的圆心,AB=2,
??? ? ??? ? BC=6,AD=CD=4,则 BO ? CD =
C





(第 12 题图)

13.在平面直角坐标系 xOy 中,已知 AB 是圆 O: x2 ? y 2 ? 1 直径, 若直线 l: kx ? y ? 3k ? 1 ? 0 上存在点 P,连接 AP 与圆 O 交于点 Q,满足 BP ∥ OQ ,则实数 k 的取值范围是 ▲ . , 则实数 k 的最大值是 ▲.

b ≥ k b c 14. 在△ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c, 若 2c 2 ?a

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域 内作答.解答时应写出文字说明、 ....... 证明过程或演算步骤. 15.在三棱锥 P-ABC 中,D,E 分别为 AB,AC 的中点,且 PA=PB, ?PDC 为锐角. (1)求证:BC∥平面 PDE; (2)若平面 PCD⊥平面 ABC,求证:AB⊥PC.
P

A D

E

C

B (第 15 题图)

16.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 sin B sin B ? (1)求 ?B ; (2)求 sinA+sinC 的取值范围.

?

π 3 ? . 3 4

?

17.在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C : 椭圆 C 上. (1)求椭圆 C 的方程;

3 x2 y 2 ,且点 ? 2 ? 1? a ? b ? 0? 的离心率为 2 2 a b

?

2,

2 在 2

?

(2)设 P 为椭圆上第一象限内的点,点 P 关于原点 O 的对称点为 A ,点 P 关于 x 轴的对称点

??? ? ??? ? 为 Q ,设 PD ? ? PQ ,直线 AD 与椭圆 C 的另一个交点为 B ,若 PA⊥PB,求实数 ? 的值.
y P

O D A Q (第 17 题图)

B

x

18.一块圆柱形木料的底面半径为 6cm,高为 16cm.要将这块木料加工成一只笔筒,在木料一端 中间掏去一个小圆柱,使小圆柱与原木料同轴,并且掏取的圆柱体积是原木料体积的三分之 一.设小圆柱底面半径为 r,高为 h,要求笔筒底面的厚度超过 1cm. (1)求 r 与 h 的关系,并指出 r 的取值范围; (2)笔筒成形后进行后续加工,要求笔筒上底圆环面、桶内侧面、外表侧面都喷上油漆,其 中上底圆环面、外表侧面喷漆费用均为 a(元/cm2) ,桶内侧面喷漆费用是 2a(元/cm2) , 而筒内底面铺贴金属薄片,其费用是 7a(元/ cm2) (其中 a 为正常数) . ①将笔筒的后续加工费用 y(元)表示为 r 的函数; ②求出当 r 取何值时,能使笔筒的后续加工费用 y 最小,并求出 y 的最小值.

19.已知函数 f ? x ? ? x ? ln x ? ax ? ( a ? R ) . (1)当 a ? 0 时,求函数 f ? x ? 的最小值; (2)若函数 f ? x ? 既有极大值又有极小值,求实数 a 的取值范围;

(第 18 题图)

(3)设 g ? x ? ? ax2 ? ? a ? 1? x ? a ,若对任意的 x ? ?1, ? ? ? ,都有 f ? x ? ? g ? x ? ? 0 ,求整数 ..a 的 最大值.

20.已知数列{an}的首项 a1 ? 0 ,其前 n 项的和为 Sn,且 Sn=3an-2a1 对任意正整数 n 都成立. (1)求证:数列{an}为等比数列; (2)若 a1=
an 3 ,设 bn ? ,求数列{bn}的前 n 项的和为 Tn; 2 ? an ? 1?? an ?1 ? 1?

(3)若 a1,ak( k ≥ 3 , k ? N * )均为正整数,如果存在正整数 q,使得 a1 ≥ q k ?1 , ak ≤ ? q ? 1?
k ?1

,求证:a1= 2 k ?1 .

高三数学模拟试卷
Ⅱ卷(理科附加)
21. 【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答 . ................... 若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.[选修 4-1:几何证明选讲] 在△ABC 中,已知 CM 是∠ACB 的平分线,△AMC 的外接圆交 BC 于点 N,且 BN ? 2AM. 求证:AB ? 2 AC. M A O

B

N
(第 21—A 题)

C

B.[选修 4-2:矩阵与变换] 已知矩阵 A=?

? 3 0? - ,A 的逆矩阵 A 1=? 3 ?2 a? ? ? b
1

0? ?

?. 1?

(1)求 a,b 的值; (2)求 A 的特征值.

C.[选修 4-4:坐标系与参数方程]
?x= 3 +cosθ, ? 在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C 的参数方程为? (θ 为参数),以原点 O 为 ? ?y=sinθ π 3 极点,以 x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 ? sin ? ? ? .若点 6 2

?

?

P 是圆 C 上的动点,求点 P 到直线 l 的距离的最小值.

D.[选修 4-5:不等式选讲] 已知 a,b,c 均为正数,证明: a 2 ? b 2 ? c 2 ?

?

1 1 1 ? ? a b c

? ≥6 3 .
2

【必做题】第 22、23 题,每小题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出 ....... 文字说明、证明过程或演算步骤. 22.如图,已知直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AB ? AC , AB ? 3 , AC ? 4 , B1C ? AC1 . (1)求 AA1 的长. (2)若 BP=1,求二面角 P ? A1C ? A 的余弦值.
B1 A1

C1

P B

A

C

(第 22 题图)

23.某书店有不同类型的数学杂志 n 种,数学教师张老师购买每种类型杂志的概率都是

1 ,且任何 2

两种不同类型杂志其是否购买相互独立,设 X 表示张老师购买的杂志种类数与没有购买的杂志 种类数的差的绝对值. (1)当 n=3 时,求 X 的概率分布及数学期望; (2)当 n=2k+1, k ? N * 时,求 X 的概率分布及数学期望.


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