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高数实践课模板2


摘要:

关键词: 英文题目 Abstract: Key words: 1 引言 2 研究问题及成果 2.1 2.2 2.3 3 结束语

参考文献 [1] 张三. 高等数学[M].上海:高教出版社,2008:44-77. [M]表示参考的是书 [J] 表示参考的是杂志上的论文

分工情况 第一部分由张三完成 第二部分由李四完成

华 北 水 利 水 电 学 院 题目:微分中值定理及其应用

课 专 成

程 名 称: 高等数学 A2 业 班 级: 地理信息系统 员 组 成: 张进才 梅柳春 201101116 201101129



系 方 式: 15903606710

2012年 6 月 1 日

摘要:本文首先介绍了微分中值定理之间的内在联系,以及它们的推广;接着再看微分中值 定理在解题中的应用,如:“讨论方程根(零点)的存在性” ,“ 求极限”和“证明不等式” 等方面的应用。 关键词:微分中值定理 联系 推广 应用 举例 Differential mean value theorem and Application Abstract: This paper describes the intrinsic link between the differential mean value theorem, and their promotion; then look at the differential mean value theorem in solving problems, such as: the discussion of the roots (zero) in existence, limit and proof of in equality. Key words: Differential mean value theorem; Contact; Promotion; Application 1 引言 微分中值定理是微分学理论的重要组成部分,在导数应用中起着桥梁作用,也是研究函 数变化形态的纽带,因而在微分学中占有很重要的地位。通过微分学基本定理的介绍,揭示 函数与其导数之间的关系,在知识结构和思想体系中建立起应用导数进一步研究函数性质的 桥梁。在各类大型考试中,微分中值定理占有很重要的位置,是重要的考点,常以该定理的 证明及应用出现,涉及一些理论分析和证明,还有在极值问题中的实际应用,因而对其进行 较深层次的挖掘与探讨就显得很有必要。 2 研究问题及成果 2.1 本课题的研究现状及研究的目的意义 (1)研究现状 人们对微分中值定理的研究,从微积分建立之后就开始了。1637 年,著名法国数学家费 马在《求最大值和最小值的方法》中给出费马定理。教科书中通常将它称为费马定理。1691 年,法国数学家罗尔在《方程的解法》一文中给出多项式形式的罗尔定理,1797 年,法国 数学家拉格朗日在《解析函数论》一书中给出拉格朗日定理,并给出最初的证明。以罗尔定 理, 拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是整个微分学的理论基础, 它们 建立了函数值与导数值之间的定量联系, 中值定理的主要作用在于理论分析和证明; 应用导 数判断函数上升、下降、取极值、凹形、凸形和拐点等项的重要性态。此外,在极值问题中 有重要的实际应用。 微分中值定理是数学分析乃至整个高等数学的重要理论, 它架起了利用 微分研究函数的桥梁。微分中值定理从诞生到现在的近 300 年间,对它的研究时有出现。特 别是近十年来,我国对中值定理的新证明进行了研究,仅在国内发表的文章就近 60 篇。 本课题的目的及研究意义 (2)目的意义 通过对数学分析的学习我们知道,微分学在数学分析中具有举足轻重的地位,它是组 成数学分析的不可缺失的部分。 对于整块微分学的学习, 我们可以知道中值定理在它的所有 定理里面是最基本的定理,也是构成它理论基础知识的一块非常重要的内容。由此可知,对 于深入的了解微分中值定理, 可以让我们更好的学好数学分析。 通过对微分中值定理的研究, 我们可以得到它不仅揭示了函数整体与局部的关系, 而且也是微分学理论应用的基础。 微分 中值定理是一系列中值定理总称,但本文主要是以拉格朗日定理、罗尔定理和柯西定理 三个定理之间的关系,以及它们的推广为研究对象,利用它们来 讨论一些方程根(零

点)的存在性, 和对极限的求解问题,以及一些不等式的证明,及微分中值定理在实际中 的应用举例。 本课题的研究是通过一些相关学科内容的知识的学习,并结合一些相关的参考图书资 料, 以及通过网络收集期刊、 报刊和杂志上的相关内容, 其中还包括自己对这些内容的理解, 还通过多方面的了解和研究, 且在和老师和同学们的一起探讨下, 我们了解到微分中值定理 的内在联系, 也对微分中值定理的推广做了探讨, 接着对微分中值定理的应用做了归纳总结。 对微分中值定理本课题主要是以罗尔定理、拉格朗日定理和柯西定理,三个定理之间 的联系为主要的研究对象,希望通过本课题能让大家加深了对的这三个定理的理解和 应用。 2.2 本课题的研究内容 2.2.1 本课题拟从以下几个方面研究 (1)对微分中值定理的几点证明 1. 微分中值定理的一种统一证法 2. 微分中值定理的一种逆向分析证法 (2)微分中值定理的推广 1. 讨论微分中值定理的内在联系 2. 讨论三个定理的推广形式,并给出简单证明 3. 加强条件之后的深层阐述 (3)微分中值定理的一些应用 1. 微分中值定理在一些定理中的证明,利用几何意义思考解题,讨论导函数零点的存 在性, 2. 研究函数性态,证明等式、不等式和求极限等 2.3 定理证明及相互之间关系 对于,微分中值定理的了解,我们了解到它包含了很多中值定理,可以说它是一系列定 理的总称。而本文主要是以其中的三个定理为对象,进行探讨和发现它们之间的关系。它们 分别是“罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)定理和柯西(Cauchy)定理” 。这三个 定理的具体内容如下: 1) Rolle 定理 若 f ? x ? 在 ? a , b ? 上 连 续 , 在 ? a , b ? 内 可 导 , 且 f ? a? ? f ? b , 则 至 少 存 在 一 点 ?
? ? ? a , b ? ,使 f ? ? ? ? ? 0 。

2) Lagrange 定理 若 f ? x ? 在 ?a, b ? 上 连 续 , 在 ? a, b ? 内 可 导 , 则 至 少 存 在 一 点 ? ? ? a,b ? , 使
f ? ??

?=

f

a ? b? ? f? ? b ? a? ?

3) Cauchy 定理 设 f ? x ? , g ? x ? 在 ? a , b ? 上连续,在 ? a , b ? 内可导,且 g ? ? x ? ? 0 ,则至少存在一点
? ? ? a , b ? ,使得

?a? g ?b ? ? g ?a ?

f ?b ? ? f

?

?。 g ? ?? ?

f ? ??

三个中值定理之间的关系 现在我们来看这三个定理, 从这三个定理的内容我们不难看出它们之间具有一定的关 系。 那它们之间具体有什么样的关系呢?我们又如何来探讨呢?这是我们要关心的问题, 我 们将利用推广和收缩的观点来看这三个定理。 首先我们先对这三个定理进行观察和类比, 从 中可以发现,如果把罗尔定理中的 f ? a ? ? f ? b ? 这一条件给去掉的话,那么定理就会变 成为拉格朗日定理。相反,如果在拉格朗日定理中添加 f ? a ? ? f ? b? 这一条件的话, 显然就该定理就会成为了罗尔定理。通过这一发现,可以得到这样的一个结论:拉格 朗日定理是罗尔定理的推广,而罗尔定理是拉格朗日定理的收缩,或是它的特例。继 续用这一思路来看拉格朗日定理和柯西定理,看看这两者之间又是如何的联系?我们 先对柯西定理进行观察,从观察中会是我们作出这样的假设,如果令定理中的 发现定理成为了拉格朗日定理。 这使得我们发现他们二者之间的联系, g ? ? x ? ? x的话, 拉

格朗日定理是柯西定理收缩, 而柯西定理则是拉格朗日定理的推广。 我们利用这一方法可以 得到它们之间的关系。 总的来说,这三个定理既单独存在,相互之间又存在着联系。我们从上面的讨论中可以总结 得到,罗尔定理是这一块内容的基石,而拉格朗日定理则是这一块内容的核心,那么柯西 定理是这一块内容的推广应用。 如果我们从几何的意义上来看这三个中值定理的话, 那它们之间又是如何的呢?在这里 我们不具体的给予研究,而是直接给予结果。若用几何解释: “若一条连续的曲线,曲线上 端点除外的每一点都有切线存在, 且存在的切线于 x 轴相交的夹角不为直角; 那么像这一类 曲线具有共同的属性——曲线上有一点,它的切线与曲线端点的连线平行” 。

2.4 定理的推广及证明 前面我们已经讨论了定理之间的关系, 接下来我们来看它们的推广。 从前面的内容我们 知道,这三个定理都要求函数
f

? x ? 在 ? a , b ? 上是连续,在 ? a , b ? 内是可导。那么我们如果把

定理中的闭区间 ? a , b ? ,把它推广到无限区间 ? a , ? ? ? 或 ? ? ? , ? ? ? ,再把开区间 ? a , b ? 推广 到无限区间 ? a , ? ? ? 或 ? ? ? , ? ? ? 的话,则这些定理是否还能满足条件,或者我们能得出哪 些相应的定理呢? 通过讨论研究我们知道, 按照以上的想法把中值定理的区间, 推广到无限区间上可以得 到几个相应的定理,本文在此只提到其中的三个,下面给出定理以及证明。 定理 1 若 f ? x ? 在 ? a , ? ? ? 上连续,在 ? a , ? ? ? 内可导,且 lim
x ? ??

f

?x? ?

f

? a ? ,则至

少存在一点 ? ? ? a , ? ? ? ,使 f ? ? ? ? ? 0 成立。 证明: 令
1 x ? a ?1 ?t

,则 x

?

1 t

? a ? 1 ,即可得到关于 t

参数函数 ? ? t ? ? 1 ? a ? 1
t

当 x ? ? a , ? ? ? 时,则 t ? ? 0 , 1? 即 ? ?1 ? ?
a

, lim ? ? t ? ? ? ? ,再令
t? 0

f

? x? ?
f

f ?? ?

? t? ? ?

? g ? t?

?

lim g ? t ? ? lim f ? ? ? t ? ? ? lim f ? ? x ? ?? t? 0 t? 0

?x? ?

?a ? ?

f ?? ?1 ? ? ? g ?1 ? ? ?

? g ? 0 ? ? lim g ? t ?
t? 0

? g ? 0 ? ? g ?1 ?

? g ? t ? 在 ? 0 , 1 ? 上 连 续 , 在 ? 0 , 1? 内 可 导 , 且 g ? 0 ? ? g ? 1 ? , 由 Rolle 定 理 可 得 到
至 少 存 在 一 点 ? ? ? 0,1 ? ,使 g ? ? ? ? ? 0 成立

令?

? ? ??

? ,有 f ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 ,而 ? ? ? ? ? ?

?

1

?

2

? 0.

至 少 存 在 一 点 ? ? ? a , ? ? ? ,使 f ? ? ? ? ? 0 成立

证毕 定理 2 若 f ? x ? 在 ? ? ? , ? ? ? 上连续,在 ? ? ? , ? ? ? 内可导,并且 lim
x ? ??

f

?x? ?

x ? ??

lim f

? x ? ,至

少存在一点 ? ? ? ? ?, ? ?? ,使 f ? ? ? ? ? 0 成立。

定理 2 的证明可以参照定理 1。 定理 3 若 f ? x ? 在 ? a , ? ? ? 上连续,在 ? a , ? ? ? 内可导,并且 lim 一点 ? ? ? a , ? ? ? ,使
f ? ??
x ? ??

f

?x? ?

M

,则至少存在

??

?M ? f ?

? a ? ? 成立。 ? 2 ?? ? 1 ? a ?

证明:设 t ?

1 x ? a ?1

,则 x

?

1 t

? a ? 1 ,即可得到关于 t

参数函数 ? ? t ? ? 1 ? a ? 1
t

当 x ? ? a , ? ? ? 时,则 t ? ? 0 , 1? 即 ? ?1 ? ?
a

, lim ? ? t ? ?
t? 0

??

,再令
?x? ?

f

? x? ?

f ?? ?

? t? ? ?

? g ? t?

?

lim g ? t ? ? lim ? ? t ? ? lim f
t? 0 t? 0 x ? ??

M

? g ? 0 ? ? lim g ? t ? ? M
t? 0

? g ?t ?

在 ? 0 , 1 ? 上连续,在 ? 0 , 1? 内可导,由 Lagrange 定理得
g ?1 ? ? g ? 0 ? 1? 0

至 少 存 在 一 点 ? ? ? 0,1 ? ,使 g ? ? ? ? ?

成立

即 g ??? ? ? f ? a ? ? M 令?
? ? ??

? ,有 g ? ? ? ? ? f ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ,而 ? ? ? ? ? ? ?

1

?

2

? ? ? ? ?1 ?a ?

2



至 少 存 在 一 点 ? ? ? a , ? ? ? ,使
?M ? f ?

f ? ??

??

? a ? ? 成立. ? 2 ? ?1? a? ?

本文主要在于辅助函数 F ? x ? ? ? f ? b ? ? f ? a ? ? x 2 ? ? b 2 ? a 2 ? f ? x ? 的构造, 我们从结论出 ? ? 发,构造辅助函数,使得该题可以利用中值定理来证明,接下来是考虑利用微分中值定理中 的哪一个即可。 对于构造辅助函数我们可以得到 F ? a ? ? 所以选在利用罗尔定理证明。 F ?b ? ,

这是对解该类问题的总结, 也是自己对该类问题解题提出的一个解题思路模式, 大家可以借 鉴。 2.5 微分中值定理的应用 通过上面对定理的研究和探讨, 加深了我们的理解。 我们知道中值定理在解题中具有十 分广泛的应用,现在我们来看看这三个定理的具体运用。我们学知识,不仅仅是为了让我们 知道,更主要的是学了要会用,这才是最关键的。

2.5.1 利用定理证明方程根(零点)的存在性 例 1 若 f ? x ? 在 ?a,b? 上 连 续 , 在 ? a,b ? 内 可 导 ?a ? 0? , 证 明 在 ? a,b ? 内 方 程

2 x ? f ?b ? ? f ?

? a ?? ?

? ?b ? a
2

2

? f ?? x ? 至 少 存 在 一 根 。

分析:由于题目是要求方程 2 x ? f ? b ? ? f ? a ? ? ? ? b 2 ? a 2 ? f ? ? x ? 是否有根存在,所以可以先 ? ? 对 方 程 进 行 变 形 , 把 方 程 变 为 2 x ? f ?b ? ? f ? a ?? ? ?b 2 ? a 2 ? f ?? x ? ? 0 。 那 么 方 程 ? ?
2 x ? f ?b ? ? f ?

? a ?? ?

? ?b ? a
2

2

? f ? ? x ? 有根的话,则原方程也有根。变形之后的方程有 f ? ? x ? 存
2x ? f ?

在,所以可以利用不定积分把方程
? f ?

?b ? ?

f

? a ?? ? ?b ?

2

?a

2

?

f ?? x ? ? 0

,转变为

?b ? ?

f

? a ?? ?

x

2

? ?b

2

?a

2

? f ? x ? ? 0 。现在我们返回来看题目,由题目中我们可以知道
? 0?

f

? x ? 在区间 ? a , b ? 上连续,在区间 ? a , b ? 内可导 ? a

,由函数的连续性和求导的概念,
? 0?

可以得到函数 ? f ? b ? ? f ? a ? ? x 2 ? ? b 2 ? a 2 ? f ? x ? 在 ? a , b ? 上连续,在 ? a , b ? 内可导 ? a ? ? 那么我们不难想到利用罗尔中值定理就可以证明该题了。 证明:令 F ? x ? ? ? f ? b ? ? f ? a ? ? x 2 ? ? b 2 ? a 2 ? f ? x ? , ? ? 显然 F ? x ? 在 ? a , b ? 上连续,在 ? a , b ? 内可导, 而 F ? a ? ? f ?b ? a 2 ? b2 f ? a ? ? F ?b ? . 根据 Rolle 定理, 至少存在一点 ? , 使 2?
? f ?b ? ? f ?



? a ?? ?

? ?b ? a
2

2

? f ?? x ? .
证毕

例2

设 f ? x ? 在? a , b ? 上 连 续 , ? a , b ? 可 导 ? 0 ? a ? b ? , 在 证明: ? a , b ? 内存在一点 ? , 在

使 b f ? b ? ? a f ? b ? ? ? b ? a ? ? f ? ? ? ? ? f ? ? ? ? ? 成立。 ? ? 分析:对于等式 b f ? b ? ? a f ? b ? ? ? b ? a ? ? f ? ? ? ? ? f ? ? ? ? ? ,则可以两边同除以 b ? a ,即等 ? ? 式左端为 b f ? b ? ? a f ? b ? ,这个商式可看为函数 x f ? x ? 在 ? a , b ? 上的改变量与自变量的改变量
b?a

之商,则会考虑利用 Lagrange 定理,那么可构造辅助函数 F ? x ? ? xf ? x ? 。 证明:
F ? x ? ? xf

? x ? ,则 F ? x ? 在 ? a , b ? 上 连 续 ,在 ? a , b ? 可 导 ,

由 Lagrange 定理,存在一点 ? ? ? a , b ? ,使 F ? ? ? ? ? 即 f ?? ? ? ?
f ?? x? ? bf ?b ? ? af b?a

F ?b ? ? F ?a ? b?a



?a ?


f ? ?? ?? ?

即 bf ? b ? ? af ? b ? ? ? b ? a ? ? f ?? ? ? ? ?

证毕 例3 设 f ? x ? 在 ? a , b ? 上 连 续 ,在 ? a , b ? 可 导 ? 0 ? a ? b ? ,证明:在 ? a , b ? 内存在一点 ? ,
f

使 f ?b ? ?

?a? ? ?

b ? ? ? ln ? f ? ? ? a? ?

? 成立。
b a ? ln b ? ln a

b 分 析:等 式 f ? b ? ? f ? a ? ? ? ? ln ? f ? ? ? ? 两边 同除以 ln ? ? ? a?
f ?b ? ? f

,即 该等式的 左端 为

ln b ? ln a

? a ? ,这个商式可看为函数 f x 与 ln x 在闭区间 a , b 上的改变量之商,则我们会想 ? ? ? ?

到利用柯西定理来证明,那么构造辅助函数 g ? x ? ? ln x 。 证明:令 g ? x ? ? 得
f ? ?? 1
ln x

,对 f ? x ? , g ? x ? 在 ? a , b ? 上运用 Cauchy 定理,

?

?

f ?b ? ? f

?a? ,

ln b ? ln a

?



f ? ?? g ? ??

? ?

?

f ?b ? ? f

g ?b ? ? g ?a ?

?a? ,

即 f ?b ? ?

f

?a? ? ?

b ? ? ? ln ? f ? ? ? a? ?

?.

2.5.2 用定理求极限 在求极限的题目里, 有些题目如果运用通常的一些方法来求解的话, 则会使我们在解题 过程中出现很大的计算量,或者比较繁琐的解题过程。但是应用中值定理的话,会为这一类 题目提供一种简单有效的方法。而用中值定理来解题,最关键在于辅助函数的构造,然后在 运用中值定理解题,即可求出极限。 例 1 求 lim n 2 ? a n ?
1 n? ?

?

? ? a n ?1 ? ?
1
1 n

,其中 a ? 0 。
1 n ?1

分析: 由于题目中有 a 和 a
1? ? 1 , ?n ?1 n? ? ?

, 则可以试着构造辅助函数 f ? x ? ? a x , 那么就可以得到 f ? x ? 在

连续,在 ?

1 1? , ? ? ? n ?1 n ?

可导,即可以利用 Lagrange 定理解题了。

解:根据题意,由 Lagrangge 定理,有

? ? 2 lim n ? a n ? a n ? 1 ? n? ? ? ?
1 1

? lim n
n? ?

2

?a ??
n
?

x ??

1 ? ?1 ?? ? ? n n ?1? ?

? lim

n a ln a n ? n ? 1?

2

n? ?

? ln a

其中, ? 例2

1? ? 1 ?? , ? ? n ?1 n ?

已知 a

n

?

1 n ? n ? 1?

?

1 n ?n ? 2?

?? ?

1 n ?n ? n?

,试求 lim a n 。
x? n

解: 令 f ? x ? ? 2 x ,则对于函数 f ? x ? 在 ? n ? n ? k ? , n ? n ? k ? 得:
2 n ? n ? k ? 1? ? 2 n ?n ? k

? 1? ? ?

上满足 Lagrangge 定理可

?

n ? n ? k ? 1? ? n ? n ? k

?

?

1

?

,??

? ? n ? n ? k ? , n ? n ? k ? 1? ?

?

?

1 n ? n ? k ? 1?

? 2

n ? k ?1 n

?2

n?k n

?

1 n ?n ? k

?

当 k ? 0,1, ? , n ? 1 时,把得到的上述 n 个不等式相加得:
1 n ? n ? 1?
? 1 n ?n ? 2?

?

1 n ?n ? 2?
1

?? ?

1 n ?n ? n?

? 2

2 ?2?

1 n
2

?

1 n ? n ? 1?

?? ?

n ? 2 n ? 1?

即 an

? 2

2 ?2?

1 n

? an ?

1 2n

故0 ? 2

2 ? 2 ? an ?

1? 1 ? ?1 ? ? n? 2 ?

? lim a n ? 2
n? ?

2 ?2

2.5.3 证明不等式 对于数学体系来说不等式是一块很重要的内容。 故不等式的证明对数学是很重要的。 当 我们学习了中值定理,知道了它在不等式的证明中起着巨大的作用。 “我们可以根据不等式 两边的代数式选取一个来构造辅助函数, 再应用中值定理得出一个等式后, 对这个等式根据 自变量的取值范围的不同进行讨论,得到不等式” 。下面我们来通过例子来说明定理在证明 中的运用。 例 1 设x
? 0

,对 0 ? ?

? 1 的情况,求证 x

?

?? x ? 1??



分析:证明不等式最常用的方法有做差,做商,对于该题目如果直接应用做差或者做商的话

显然是不行的。 那我们是否能通过变形是, 他们可以应用做差或是做商呢?我们来看下不等 式,不难发现当 x ? 1 时,等式两边就相等了,所以接下来排除 x ? 1 ,分两步讨论。在观察 不等式两边的代数式, 不难看出左边的代数式比较复杂, 则是否可以把左边的代数式构造辅 助函数,是题目可以运用中值定理解题呢?不妨设 f ? x ? ? x ? , F ? x ? ? ? x 。利用 Cauchy 定理即可证明。 证明:当 x ? 1 时结论显然成立,当 x ? 1 时,取 ? x ,1 ? 或 ?1, x ? ,在该区间设
f
f F

?x? ?
?x? ? ?x? ?
x
?

x , F ? x ? ? ? x ,由 Cauchy 定理得:
f ?1 ? F ?1 ?
?

?

?

? F ? ?? ?
??
? ?1

f ? ??

? ? ? x ,1 ? 或 ? ? ? 1, x ?



?1

??

? ?1

? x ??

?

当 x ? 1 时, ? 即
x
?

? ? x ,1 ? , ?

? ?1

?1

?1

? x ??

?1

又? x ? ? 故 x?

??

? x ? 1? ?

0

?1 ? ? x ??

,即 x ? ? 1 ? 1 ? ?
?1

当 x ? 1 时, ? ? ? 1, x ? , ? ? ? 1 则? x ? ? 故 x?
??

? x ? 1? ?

0

?1 ? ? x ??

,即 x ? ? 1 ? 1 ? ?

由此,不等式得证 例 2 已知
f

? x ? 在 ?0, a ? 满 足


f ?? ? x? ?

M

, 且 在 ? 0, a ? 内 取 最 大 值 , 试 证 :

f ? ? 0 ? ? f ? ? a ? ? aM

分析:若能找到点 x 0 ? ? 0 , a ? ,使 f ? ? x 0 ? ? 0 ,则要证的结论便转化为变量的形式:
f ? ? x0 ? ? f ? ? 0 ? ? f ? ? a ? ? f ? ? x0 ? ? a M ,

则根据 Lagrangge 定理证之即可。然而对于 x 0 的寻找,应该从题目中条件的 f ? x ? 在开区 间 ? 0 , a ? 内取到最大值入手。 2.5.4 定理推广的应用

对于中值定理推广到无限区间上, 在于求解一些题目, 如果应用了中值定理的该推广会 比较方便的得到解题,下面我们来看一个例子: 例1 如果函数 f ? x ? ? x e ? x ,求证: ? ?
2

? ? 0 , ? ? ? ,使得 f ? ? ? ? ? 0 。
f ? ? x ? ? 0 ,有 f ? ? x ? ?

分析:对于该题目我们通常会采用这样一种证法,令
?1 ? 2 x ?
2

? xe ? ? e
?x
2

?x

2

? 0 ? x ?

2 2

?

? 0, ?? ?

,即可得证。这种证明的方法,可以说是利用极限方法来证

明的, 我们现在考虑是否还可以运用其它的方法来证明。 若要运用中值定理来证明是否可以 呢?下面给出该方法。 证明: 由题得 f ? x ? 在 ? 0 , ? ? ? 连续,在 ? 0 , ? ? ? 可导,且可得: e ? x ? 1 ? 2 x 2 ? ? 0
2

x ? ??

lim x e

?x

2

? 0 ? f

?0?

那么,由推广定理的定理 1,得到:
? ? ? ? 0 , ? ? ? ,使得 f ? ? ?

??

0

证毕 例 2 设 f ? x ? 在 ? ? ? , ? ? ? 上可得,且 0
f ??
? f

?x? ?

x 1? x
2

,证明: ? ?

? 0 ,使得

??

1??

2 2

?1 ? ? ?
2



证明 问题相当于要找 ? ? 0 ,使 ?

? f ?

?x? ?

1 ? x ?? 2 ? 1? x ?

? 0
?

,因函数

F

? x? ?

f? x ? ?

1? x 1? x
2



? ? ? , ? ? ? 内可导,故 0 ?
又? 0
? lim 0 ? lim f
x ? ?? x ? ??

x ? ??

lim 0 ? lim f
x ? ??

?x? ?

x ? ??

lim

x 1? x
2

? 0 ,即 lim f
x ? ??

?x? ?

0

?x? ?

x ? ??

lim

x 1? x
2

? 0 ,即 lim f ? x ? ? 0
x ? ??

所以 lim

x ? ??

f

?x? ?

x ? ??

lim f

?x? ?

0

由定理 2 知 ? ?

? 0 ,使得 F ? ?

? ? 0 ,即题目得证。
证毕

3 结束语 中值定理的应用广泛, 本文简单介绍了定理的证明及推广证明, 并从几个方面介绍了该 定理的运用及其推广的应用。以上的例题让大家知道,应用这几定理的关键和解题的难点, 是在于对辅助函数的构造。 在论文中通过一些题目的解题过程让大家了解到对于一道题目来 说,他的解题的方法具有多样性,对于方法的选择是解题过程繁简的关键,选择一种简便的 方法可以使我们快速有效的作答。也希望通过这几道例子能让大家对定理加深理解和应用。 参考文献

[1]翁苏骏,王铭,高等数学(上册) (第三版)[M],北京,科学出版社. [2] 同济大学应用数学系,高等数学[M],北京:高等教育出版社,2008. [3] 林源渠,方企勤等.数学分析习题集[M].北京:高等教育出版社,1986. [4] 赵香兰.巧用微分中值定理[J].大同职业技术学院学报,2004(2). [5]盛晓兰.例谈微分中值定理的证题技巧[J].技术监督教育学刊,2009,1. [6] 时统业,周本虎. " ? ? ? " 等式的证明方法[J].大学数学,2006. [7] 党 艳 霞 . 浅 谈 微 分 中 值 定 理 及 其 应 用 [J]. 廊 坊 师 范 学 院 学 报 ( 自 然 科 学 版),2010,1:28-31. [8]杨万必 龙鸣.微分中值定理的推广[J].2005,23. [9]纪华霞.微分中值定理的几个推广结论[J].高等函授学报(自然科学版) ,2006,19.

分工情况: 第一部分(1—2.2):张进才 第二部分(2.3-3):梅柳春 第三部分(结语):张进才,梅柳春

致谢 完成本课题论文,我要特别感谢我的老师王影、程鹏的热心和指导,还有张乐乐同学的 热心帮助,在此真诚地表示感谢。

利用单调性证明不等式: 原理 1: 若 f ↗, 则对 ? ? ? ? , 有不等式 f (? ) ? f ( ? ) .

例 4 证明: 对任意实数 a 和 b ,
a ?b 1? | a ? b |
x 1? x

成立不等式
|a | 1? | a | ? b 1? b .

?



取 f (x) ?

, ( x ? 0 ). f ? ( x ) ?

1 (1 ? x )
2

? 0 , ? 在 [ 0 , ? ? ) 内 f ( x ) ↗↗.

于是, 由 | a ? b | ? | a | ? | b | , 就有 f ( | a ? b | ) ? f ( | a | ? | b | ) , 即
|a ?b| 1? | a ? b | |a |? |b | 1? | a | ? | b | |a | 1? | a | ? | b | |b | 1? | a | ? | b | |a | 1? | a | |b | 1? | b |

?

?

?

?

?

.

2.4.1 凸性的定义及判定: (1)凸性的定义:由直观引入. 强调曲线弯曲方向与上升方向的区别. 定义 设函数 f ( x ) 在区间 [ a , b ] 上连续. 若对 ? x 1 , x 2 ? [ a , b ] ,
f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? x1 ? x 2 ? f? , ? ? 2 2 ? ?

恒有

? 或

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? x1 ? x 2 ? f? . ? ? 2 2 ? ?

?
有严格不等

则称曲线 y ? f ( x ) 在区间 [ a , b ] 上是凹(或凸)的. 若在上式中, 当 x 1 ? x 2 时,

号成立, 则称曲线 y ? f ( x ) 在区间 [ a , b ] 上是严格凹(或严格凸)的. 凹和凸也分别称为 上凸和下凸. (2) 凸性的几何意义: 倘有切线, 与切线的位置关系; 与弦的位置关系; 曲线的弯曲方向. 2.4.2 利用二阶导数判断曲线的凸向: 设函数 f ( x ) 在区间 ( a , b ) 内存在二阶导数, 则在 ( a , b ) 内 ⑴ ⑵
f ?? ( x ) ? 0 , f ?? ( x ) ? 0 , ? ? f ( x ) 在 ( a , b ) 内严格上凸; f ( x ) 在 ( a , b ) 内严格下凸.

该判别法也俗称为“雨水法则”. 证法一 ( 用 Taylor 公式 ) 对 ? x 1 , x 2 ? ( a , b ), 设 x 0 ? 有
f ?? (? 1 ) 2 x1 ? x 2 2

,

把 f ( x ) 在点

x 0 展开成具 Lagrange 型余项的 Taylor 公式,

f ( x 1 ) ? f ( x 0 ) ? f ? ( x 0 )( x 1 ? x 0 ) ?

( x1 ? x 0 ) ,
2

f ( x 2 ) ? f ( x 0 ) ? f ? ( x 0 )( x 2 ? x 0 ) ?

f ?? (? 2 ) 2

(x2 ? x0 ) .
2

其中 ? 1 和 ? 2 在 x 1 与 x 2 之间. 注意到 x 1 ? x 0 ? ? ( x 2 ? x 0 ) ,
f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 2 f ( x 0 ) ? 1 2

就有

? f ??(?

1

2 2 )( x 1 ? x 0 ) ? f ?? (? 2 )( x 2 ? x 0 ) ,

?

于是

若有 f ?? ( x ) ? 0 , ? 上式中 ?? ? ? 0 , ? f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? 2 f ( x 0 ) , 即 f ( x ) 严格上凸. 若有 f ?? ( x ) ? 0 , ? 上式中 ?? ? ? 0 , ? f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? 2 f ( x 0 ) , 即 f ( x ) 严格下凸. 证法二 ( 利用 Lagrange 中值定理. )
x1 ? x 2 2

若 f ?? ( x ) ? 0 , 则有 f ? ( x ) ↗↗,

不妨设

x 1 ? x ,并设 x 0 ? 2
? ? 1 ? ( x 1 , x 0 ),

,分别在区间 [ x 1 , x 0 ] 和 [ x 0 , x 2 ] 上应用 Lagrange 中值定理, 有

?

f ( x 0 ) ? f ( x 1 ) ? f ? (? 1 )( x 0 ? x 1 ) ,

? ? 2 ? ( x 0 , x 2 ),

? f ( x 2 ) ? f ( x 0 ) ? f ? (? 2 )( x 2 ? x 0 ) . ? f ? (? 1 ) ? f ? (? 2 ),

有 x1 ? ? 1 ? x 0 ? ? 2 ? x 2 ,

又由 x 0 ? x 1 ? x 2 ? x 0 ? 0 , ?

f ? (? 1 )( x 0 ? x 1 ) < f ? (? 2 )( x 2 ? x 0 ) ,

?

f ( x 0 ) ? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? f ( x 0 ) , 即

? x1 ? x 2 ? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 2 f ( x 0 ) ? 2 f ? ?, 2 ? ?

f ( x ) 严格下凸.

可类证 f ?? ( x ) ? 0 的情况. 凸区间的分离: f ?? ( x ) 的正、负值区间分别对应函数 f ( x ) 的下凸和上凸区间. 2.4.3 曲线的拐点: 拐点的定义. 例 8 确定函数 f ( x ) ? xe 解
?x
2

的上凸、下凸区间和拐点.

f 的定义域为 ( ? ? , ? ? ),
?x 2 f ?( x ) ? e (1 ? 2 x ),
2

2 ?x f ?? ( x ) ? 2 x ( 2 x ? 3 ) e .

2

令 f ?? ( x ) ? 0 ,

解得

x1 ? ?

3 2

,

x2 ? 0 ,

x3 ?

3 2 3 2

.

在区间 ( ? ? , ?

3 2

), (?

3 2

,0), (0,

), (

3 2

, ? ? ) 内 f ?? 的符号依次为

? , ? , ? , ? ,? ? .

拐点为: ? ?
? ?

?

3 2

,?

3 2

?

3 2

e

? ? ?, (0,0), ? ? ? ? ?

3 2

,

3 ? e 2 ?. ? 2 ?

3

倘若注意到本题中的 f ( x ) 是奇函数, 可使解答更为简捷. 3 函数的最值: 设函数 f ( x ) 在闭区间 [ a , b ] 上连续且仅有有限个可疑点
x1 , x 2 , ? , x n .



x?[ a , b ]

m a x f ( x ) = max { f ( a ), f ( b ), f ( x 1 ), f ( x 2 ), ? , f ( x n ) } ; m i n f ( x ) ? m i n { f ( a ), f ( b ), f ( x 1 ), f ( x 2 ), ? , f ( x n ) } .

x ?[ a , b ]

函数最值的几个特例: ⅰ> 单调函数的最值: ⅱ> 如果函数 f ( x ) 在区间 [ a , b ] 上可导且仅有一个驻点, 则当 x 0 为极大值点时, x 0

亦为最大值点; 当 x 0 为极小值点时, x 0 亦为最小值点. ⅲ> 点. ⅳ> 对具有实际意义的函数, 常用实际判断原则确定最大(或小)值点. 3.1 最值应用问题: 例 17 A 、 B 两村距输电线(直线)分别为 1 km 和 1 . 5 km , CD 长 3 km . . 现 两村合用一台变压器供电. 问变压器设在何处,输电线总长 AE ? BE 最小. 解 设 x ,并设输电线总长为 L ( x ) .则有
L ( x ) ? AE ? EB ? x
2

若函数 f ( x ) 在 R 内可导且仅有一个极大(或小)值点, 则该点亦为最大(或小)值

?1 ?

(3 ? x ) ? 1 .5 ,
2 2

0 ? x ? 3.

L ?( x ) ?

x

(3 ? x ) ? 1 .5
2 2

2

? (3 ? x )
2

x

2

?1



??? 0

(3 ? x ) ? 1 .5

?

x

2

?1
x
2

?

x

(3 ? x ) ? 1 .5
2

2

? (3 ? x )

?1,

? 1 . 25 x

2

? 6 x ? 9 ? 0.

解得

x ? 1 . 2 和 x ? ? 6 ( 舍去 ).


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