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1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件


§ 1.2

命题及其关系、充分条件与必要条件

1.命题的概念 (1)一般地,在数学中,我们把用语言、符号或 式子表达的,可以__________的陈述句叫做命题, 其中__________的语句叫做真命题,____________ 的语句叫做假命题. (2)在两个命题中,如果一个命题的条件和结论 分别是另一个命题的结论和条件,我们称这两个命 题为____________. (3)在两个命题中,如果一个命题的条件和结论 恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定,这 样的两个命题称为________________. (4)在两个命题中,如果一个命题的条件和结论 恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定,这 样的两个命题称为________________. (5)一般地,设“若 p,则 q”为原命题,那么 ______________ 就 叫 做 原 命 题 的 逆 命 题 ; ________________ 就 叫 做 原 命 题 的 否 命 题 ; ________________就叫做原命题的逆否命题. 2.四种命题的相互关系 (1)四种命题的相互关系图(请你补全)

(2)①相同 ②没有关系 3.(1)充分条件 必要条件 (2)p?q q?p 充要条件 p?q (3)充分不必要 (4)p q q?p (5)p q q p

(2)真假关系 ①两个命题互为逆否命题,它们具有________ 的真假性,即等价; ②两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真 假性________. 3.充分条件和必要条件 (1)如果 p?q,则称 p 是 q 的________,q 是 p 的_________. (2)如果________,且________,那么称 p 是 q 的充分必要条件,简称 p 是 q 的__________,记作 ________. (3) 如果 p ? q ,但 q p ,那么称 p 是 q 的 ______________条件. (4)如果________,但________,那么称 p 是 q 的必要不充分条件. (5)如果________,且________,那么称 p 是 q 的既不充分也不必要条件. 自查自纠: 1.(1)判断真假 判断为真 判断为假 (2)互逆命题 (3)互否命题 (4)互为逆否命题 (5)若 q,则 p 若綈 p,则綈 q p 2.(1) 若綈 q,则綈

下列语句为命题的是( ) A.对角线相等的四边形 B.a<5 C.x2-x+1=0 D.有一个内角是 90° 的三角形是直角三角形 解:只有选项 D 是可以判断真假的陈述句,故 选 D. (2013·福建)已知集合 A={1,a},B={1, 2,3},则“a=3”是“A?B”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解:a=3?A?B,反之,A?B?a=2 或 3.故 选 A. (2014·上海)设 a,b∈R,则“a+b>4” 是“a>2 且 b>2”的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分又非必要条件 解:当 a=5,b=0 时,满足 a+b>4,但 a>2 且 b>2 不成立,即充分性不成立; 若 a>2 且 b>2, 则必有 a+b>4, 即必要性成 立. 因此,“a+b>4”是“a>2 且 b>2”的必要 非充分条件. 故选 B. 已知 a,b,c∈R,命题“若 a+b+c=3, 则 a2 + b2 + c2 ≥ 3 ” 的 否 命 题 是 ________________________________. 解:∵“=”的否定为“≠”,“≥”的否定 为“<”, ∴ 命题“若 a+b+c=3, 则 a2+b2+c2≥3” 的否命题是“若 a+b+c≠3, 则 a2+b2+c2<3” . 故 填若 a+b+c≠3,则 a2+b2+c2<3. 设 y=f(x)是定义在 R 上的函数, 则“x≠1” 是“f(x)≠f(1)”成立的________条件 解: ∵y = f(x) 是定义在 R 上的函数,∴当 f(x)≠f(1)时,必然有 x≠1;反之,当 x≠1 时,f(x)

=f(1)也可能成立.∴“x≠1”是“f(x)≠f(1)”成立 的必要不充分条件.故填必要不充分.

类型一

四种命题及其相互关系

否命题:若 a+b≠0,则 a,b 都大于零. (3)否定形式:若四边形是平行四边形,则它的 相邻内角不都相等. 否命题:若四边形不是平行四边形,则它的相 邻内角不都相等. (4)否定形式:有理数不都能写成分数. 否命题:非有理数不都能写成分数.

写出下列命题的逆命题、否命题及逆 否命题,并分别判断四种命题的真假: (1)末位数字是 0 的多位数一定是 5 的倍数; (2)在△ABC 中,若 AB>AC,则∠C>∠B; (3)若 x2-2x-3>0,则 x<-1 或 x>3. 解: (1)原命题: 若一个多位数的末位数字是 0, 则它是 5 的倍数. 逆命题:若一个多位数是 5 的倍数,则它的末 位数字是 0. 否命题:若一个多位数的末位数字不是 0,则 它不是 5 的倍数. 逆否命题:若一个多位数不是 5 的倍数,则它 的末位数字不是 0. 这里,原命题与逆否命题为真命题,逆命题与 否命题是假命题. (2)逆命题:在△ABC 中,若∠C>∠B,则 AB >AC. 否命题: 在△ABC 中, 若 AB≤AC, 则∠C≤∠B. 逆 否 命 题 : 在 △ABC 中 , 若 ∠C≤∠B , 则 AB≤AC. 这里,四种命题都是真命题. (3)逆命题:若 x<-1 或 x>3,则 x2-2x-3 >0. 否命题:若 x2-2x-3≤0,则-1≤x≤3. 逆否命题:若-1≤x≤3,则 x2-2x-3≤0. 这里,四种命题都是真命题. 点拨: 写出一个命题的逆命题、否命题和逆否命题, 关键是找出原命题的条件 p 与结论 q,将原命题写 成“若 p,则 q”的形式.在(2)中,原命题有大前 提“在△ABC 中”,在写出它的逆命题、否命题和 逆否命题时,应当保留这个大前提.(3)中“x<-1 或 x>3”的否定形式是“x≥-1 且 x≤3”, 即“- 1≤x≤3”. 写出下列命题的否定形式和否命题: (1)若 xy=0,则 x,y 中至少有一个为零; (2)若 a+b=0,则 a,b 中最多有一个大于零; (3)若四边形是平行四边形,则其相邻两个内角 相等; (4)有理数都能写成分数. 解:(1)否定形式:若 xy=0,则 x,y 都不为零. 否命题:若 xy≠0,则 x,y 都不为零. (2)否定形式:若 a+b=0,则 a,b 都大于零.

类型二

充要条件的判定

1 1 “sinα= ”是“cos2α= ”的( ) 2 2 A. 充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解法一:(定义法) 1?2 1 若 sinα= ,则 cos2α=1-2sin2α=1-2×? ?2? 2 1 1 = , 充分性成立; 反之, 若 cos2α= , 则有 1-2sin2α 2 2 1 1 1 = ,得 sin2α= ,sinα=± ,必要性不成立. 2 4 2 1 1 因此,“sinα= ”是“cos2α= ”的充分不必 2 2 要条件. 解法二:(集合法) 令 A={α|p(α)},B={α|q(α)}, 1? ? 则可得 A=?α|sinα=2?, ? ? 1? ? 1? ? 2 B=?α|cos2α=2?=?α|1-2sin α=2? ? ? ? ? 1? ? ? =?α|sinα=± 2?. ? 显然, A B, 所以 p 是 q 的充分不必要条件. 故 选 A. 点拨: 判断 p 是 q 成立的什么条件, 通常有三种方法: (1)定义法:根据充分条件与必要条件的定义,判断 “若 p,则 q”与“若 q,则 p”是否成立,若只有 一个成立,则 p 是 q 的充分不必要条件或必要不充 分条件,若两个命题同时成立,则 p 是 q 的充要条 件;(2)集合法:利用集合的观点来判断充要条件的 问题, 就是把命题 p, q 与集合的特征性质结合起来, 即 p,q 是集合 A,B 的特征性质,A={x|p(x)},B ={x|q(x)},再由集合 A,B 之间的关系就可以得到 命题 p,q 之间的关系.(3)等价法:对于带有否定 性的命题,直接判断比较困难,可利用原命题和逆 否命题,逆命题和否命题的等价性,转化为判断它 的等价命题. (1)(2013·福建)设点 P(x,y),则“x =2 且 y=-1”是“点 P 在直线 l: x+y-1=0 上” 的( ) A. 充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解:∵点 P(2,-1)满足直线 l 的方程,∴它在 直线 l 上.反之,不能推出点 P 的坐标必为(2,- 1).故选 A. (2)设 x,y∈R,则“x≥2 且 y≥2”是“x2+y2 ≥4”的( ) A. 充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ? ? ? ?x≥2,? ? ?, B={(x,y)|x2 解:设 A=?(x,y)|? ? ?y≥2 ? ? ? ? +y2≥4},通过画草图可知 A ? B,则“x≥2 且 y≥2”是“x2+y2≥4”的充分而不必要条件,故选 A. 注:此题也可采用定义法来判断. (3)(2013·山东)给定两个命题 p,q,若綈 p 是 q 的必要而不充分条件,则 p 是綈 q 的( ) A. 充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解:∵綈 p 是 q 的必要而不充分条件,∴綈 q 是 p 的必要而不充分条件,从而得出 p 是綈 q 的充 分而不必要条件,故选 A.

2 ? ?a +4a-5>0, ? 件是 2 2 ?Δ=16(a-1) -4(a +4a-5)×3<0, ?

解得 1<a<19. 又当 a=1 时,y=3 也符合条件. 所以使函数 f(x)的图象全在 x 轴的上方的充要 条件是 1≤a<19.

类型四

充要条件的应用

类型三

充要条件的证明与探求
2

设 p:实数 x 满足 x2-4ax+3a2<0, ?x2-x-6≤0, ? 其中 a>0,q:实数 x 满足? 2 若p是 ?x +2x-8>0. ? q 的必要不充分条件,求实数 a 的取值范围. 解:p 是 q 的必要不充分条件,即 q?p,p q. 设 A={x|p(x)}={x|x2-4ax+3a2<0,a>0}= ? ? ?x2-x-6≤0,? ? ? ?= {x|a < x < 3a} , B = {x|q(x)} = ?x|? 2 ? ? ?x +2x-8>0 ? ? ? ? ?a≤2, {x|2<x≤3},则 B A,∴? 得 1<a≤2. ?3a>3, ? ∴实数 a 的取值范围是(1,2]. 点拨: 此题和变式 4 难度都不大,但“拐弯抹角”, 易于出错.应注意:①充分运用充要条件的定义; ②条理清晰,细心作答;③借助数轴,准确运算. 设 p:实数 x 满足 x2-4ax+3a2<0, 其中 a<0,q:实数 x 满足 x2+2x-8>0 且綈 p 是綈 q 的必要不充分条件,求 a 的取值范围. 解:设 A={x|x2-4ax+3a2<0,a<0} ={x|3a<x<a}, B={x|x2+2x-8>0}={x|x<-4 或 x>2}. ∵綈 p 是綈 q 的必要不充分条件, ∴q 是 p 的必要不充分条件, ∴A B. ∴a≤-4 或 3a≥2. 又 a<0, ∴a 的取值范围是(-∞,-4].

数列{an}的前 n 项和 Sn=An +Bn(A, B 是常数)是数列{an}是等差数列的什么条件? 解:当 n>1 时,an=Sn-Sn-1=2An+B-A; 当 n=1 时,a1=S1=A+B,适合 an=2An+B -A. 所以 an=2An+B-A,显然{an}是等差数列, 故充分性成立. 反之,若 {an} 是等差数列,则有 Sn = na1 + n(n-1) d? d d(d 为公差),即 Sn= n2+? ?a1-2?n. 2 2 d d 设 A= ,B=a1- ,即得 Sn=An2+Bn, 2 2 因此,必要性成立. 所以 Sn=An2+Bn(A,B 是常数)是数列{an}是 等差数列的充要条件. 点拨: 在证明与探求充要条件时, 容易出现如下错误: ①张冠李戴, 证明过程中把充分性与必要性搞反了; ②证明充分性或必要性时, 没有把“p”(或“q”)分别作 为条件,推出“q”(或“p”). 求使函数 f(x)=(a2+4a-5)x2-4(a- 1)x+3 的图象全在 x 轴上方的充要条件. 解:使函数 f(x)的图象全在 x 轴上方的充要条

1.命题及判断命题的真假 (1)判断一个语句是否为命题,就是要看它是否 具备“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条 件.只有这两个条件都具备的语句才是命题. (2)判断一个命题的真假,首先要分清命题的条 件和结论.对涉及数学概念的命题真假的判断,要 以数学定义、 定理为依据(数学定义、 定理都是命题, 且都是真命题),从概念的本身入手进行判断. 2.四种命题的相互关系及应用 (1)在判断四种命题之间的关系时,首先要注意

分清命题的条件与结论,再比较每个命题的条件与 结论之间的关系.要注意四种命题关系的相对性, 一旦一个命题定为原命题,也就相应地有了它的 “逆命题”“否命题”“逆否命题”. (2) 当一个命题有大前提而要写其他三种命题 时,必须保留大前提,也就是大前提不动;对于由 多个并列条件组成的命题,在写其他三种命题时, 应把其中一个(或几个)作为大前提. (3)判断命题的真假,如果不易直接判断,可正 难则反应用互为逆否命题的等价性来判断. 3. “否命题”与“命题的否定”的区别. “否 命题”与“命题的否定”是两个不同的概念,“否 命题”是对原命题既否定其条件,又否定其结论, 而“命题的否定”是否定原命题,只否定命题的结 论. 4.充要条件的三种判断方法 (1)定义法:分三步进行,第一步,分清条件与 结论;第二步,判断 p?q 及 q?p 的真假;第三步, 下结论. (2)等价法:将命题转化为另一个等价且容易判 断真假的命题.一般地,这类问题由几个充分必要 条件混杂在一起,可以画出关系图,运用逻辑推理 判断真假. (3) 集 合 法 : 写 出 集 合 A = {x|p(x)} 及 B = {x|q(x)},利用集合之间的包含关系加以判断: ①若 A?B,则 p 是 q 的充分条件; ②若 A B,则 p 是 q 的充分不必要条件; ③若 B?A,则 p 是 q 的必要条件; ④若 B A,则 p 是 q 的必要不充分条件; ⑤若 A=B,则 p 是 q 的充要条件; ⑥若 A B 且 B A,则 p 是 q 的既不充分也不 必要条件.

A.充分条件 B.必要条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件 解:条件 p:货便宜,q:货不好.“便宜没好 货”可以表示成“若 p, 则 q”, 所以它的逆否命题 “若綈 q,则綈 p”,即“好货不便宜”成立,因此 “不便宜”是“好货”的必要条件.故选 B. 4.(2014·北京)设 a,b 是实数,则“a>b”是 “a2>b2”的( ) A. 充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解: 令 a=2, b=-3, 则“a>b”推不出“a2>b2” ; 反之, 令 a=-1, b=0, 则“a2>b2” 推不出“a>b”. 综 上知,故选 D. 5.(2014·湖北)设 U 为全集,A,B 是集合, 则“存在集合 C 使得 A?C,B??UC”是“A∩B= ?”的( ) A. 充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解: 若存在集合 C, 使得 A?C, B??UC, 则 A∩B ?C∩(?UC)=?;反过来,若 A∩B=?,由 Venn 图 可知,一定存在集合 C 使得 A?C,B??UC.故选 C. 6.(2013·上海春季高考)已知 a,b,c∈R, 2 “b -4ac<0”是“函数 f(x)=ax2+bx+c 的图象恒 在 x 轴上方”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解:当 b2-4ac<0 时,若 a<0,则 f(x)的图象 在 x 轴的下方,充分性不成立;反之,当 f(x)的图 象在 x 轴的上方, 则 b2-4ac<0 或 a=b=0, c>0, 必要性不成立.故选 D. 7.设 n∈N+,一元二次方程 x2-4x+n=0 有 整数根的充要条件是 n=__________. 4± 16-4n 解:x= =2± 4-n,∵x 是整数, 2 即 2± 4-n为整数,∴ 4-n为整数,且 n≤4.又 ∵n∈N+,∴可取 n=1,2,3,4,验证可知 n=3, 4 符合题意;反之,当 n=3,4 时,可推出一元二 次方程 x2-4x+n=0 有整数根.故填 3 或 4. 8.已知下列四个命题: ①“若 xy=1,则 x,y 互为倒数”的逆命题; ②“面积相等的三角形全等”的否命题; ③“若 m≤1,则方程 x2-2x+m=0 有实根” 的逆否命题; ④“若 A∩B=B,则 A?B”的逆否命题. 其中真命题的是 _________( 填写对应序号即 可). 解:对于①,“若 xy=1,则 x,y 互为倒数” 的逆命题“若 x, y 互为倒数, 则 xy=1”为真命题; 对于②,“面积相等的三角形全等”的否命题“面 积不等的三角形不全等”为真命题;对于③,“若 m≤1,则方程 x2-2x+m=0 有实根”的逆否命题

1.命题“若一个数是负数,则它的平方是正 数”的逆命题是( ) A.若一个数是负数,则它的平方不是正数 B.若一个数的平方是正数,则它是负数 C.若一个数不是负数,则它的平方不是正数 D.若一个数的平方不是正数,则它不是负数 解:根据互为逆命题的概念,结论与条件互换 位置,易得答案.故选 B. 2.命题“若 x2+y2=0,则 x=y=0”的否命题 是( ) A.若 x2+y2=0,则 x,y 中至少有一个不为 0 B.若 x2+y2≠0,则 x,y 中至少有一个不为 0 C.若 x2+y2≠0,则 x,y 都不为 0 D.若 x2+y2=0,则 x,y 都不为 0 解:否命题既否定条件又否定结论.故选 B. 3.(2013·上海)钱大姐常说“便宜没好货”, 她 这 句 话 的意 思 是 : “不 便 宜 ” 是“ 好 货 ”的 ( )

的真值即为原命题的真值,当 m≤1 时,Δ= 4 - 4m≥0, ∴方程 x2-2x+m=0 有实根, 原命题为真, 故③为真;对于④,“若 A∩B=B,则 A?B”的 逆否命题的真值即为原命题的真值,由于 A∩B= B?B?A,原命题为假,故④为假.故填①②③. 9.写出命题“若 x-2+(y+1)2=0,则 x=2 且 y=-1”的逆命题、否命题、逆否命题,并判断 它们的真假. 解:逆命题:若 x=2 且 y=-1,则 x-2+(y +1)2=0;(真) 否命题:若 x-2+(y+1)2≠0,则 x≠2 或 y ≠-1;(真) 逆否命题:若 x≠2 或 y≠-1,则 x-2+(y+ 1)2≠0.(真). 10 . 设集合 M = {x|x > 2} , P = {x|x < 3} ,则 “x∈(M∪P)”是 “x∈(M∩P)” 的什么条件 ?试 证明你的结论. 解:“x∈(M∪P)”是“x∈(M∩P)”的必要不 充分条件. 证明如下: ∵M={x|x>2},P={x|x<3}, ∴M∪P=R,M∩P={x|2<x<3}. ∴(M∩P) (M∪P). ∴“x∈(M∪P)”是“x∈(M∩P)”的必要不充 分条件. 11.已知 p:x2-8x-20≤0,q:x2-2x+1- 2 a ≤0(a>0).若 p 是 q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围. 解:p:x2-8x-20≤0?-2≤x≤10, q:x2-2x+1-a2≤0(a>0)?1-a≤x≤1+a. ∵p?q,q p, ∴{x|-2≤x≤10} {x|1-a≤x≤1+a}, ?1-a<-2, 故有?1+a>10, 解得 a>9.

? 2 ?- <0, 件是? a 得 0<a≤1. 1 ? ?a>0,

②方程 ax2+2x+1=0 有两个负实根的充要条 a≤1,

综上,方程 ax2+2x+1=0 至少有一个负实根 的充要条件是 a≤1.

?

? ?a>0

又当 a=9 时,也满足条件. 因此,所求实数 a 的取值范围为[9,+∞). 求方程 ax2+2x+1=0 至少有一个负 实根的充要条件. 解:(1)当 a=0 时,方程为一元一次方程,其 1 根为 x=- ,符合题目要求; 2 (2)当 a≠0 时,方程为一元二次方程,它有实 根的充要条件是判别式 Δ≥0,即 4-4a≥0,从而 a≤1. 设方程 ax2+2x+1=0 的两实根为 x1,x2,则 2 1 由韦达定理得 x1+x2=- ,x1x2= . a a ①方程 ax2+2x+1=0 恰有一个负实根的充要 a≤1, ? ? 条件是?1 得 a<0; ? ?a<0,


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