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集合的含义与表示导学案


滕州一中高一、一部数学组

第一章《集合与函数概念》

制作:石磊

审核: 张天奇

2014-09-02

§ 1.1.1
学习目标

集合的含义与表示

1. 了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系; 2. 能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题,感受 集合语言的意义和作用; 3. 掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征.

学习过程
一、课前准备 讨论:军训前学校通知:8 月 15 日上午 8 点,高一年级在体育馆集合进行军训动员. 试问 这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生? 引入:在这里,集合是我们常用的一个词语,我们感兴趣的是问题中某些特定(是高一而 不是高二、高三)对象的总体,而不是个别的对象,为此,我们将学习一个新的概念—— 集合,即是一些研究对象的总体. 集合是近代数学最基本的内容之一,许多重要的数学分支都建立在集合理论的基础上, 它还渗透到自然科学的许多领域,其术语的科技文章和科普读物中比比皆是,学习它可为 参阅一般科技读物和以后学习数学知识准备必要的条件. 二、新课导学

※ 探索新知 探究 1:考察几组对象: ① 1~20 以内所有的质数; ③ 所有的锐角三角形;

② 到定点的距离等于定长的所有点; ④ x2 , 3 x ? 2 , 5 y3 ? x , x2 ? y 2 ;

⑤ 东升高中高一级全体学生; ⑥ 方程 x 2 ? 3x ? 0 的所有实数根; ⑦ 隆成日用品厂 2008 年 8 月生产的所有童车; ⑧ 2008 年 8 月,广东所有出生婴儿. 试回答:各组对象分别是一些什么?有多少个对象? 新知 1:一般地,我们把研究对象统称为元素(element),把一些元素组成的总体叫做集合 (set). 试试 1:探究 1 中①~⑧都能组成集合吗,元素分别是什么? 探究 2: “好心的人”与“1,2,1”是否构成集合? 新知 2:集合元素的特征 对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,是互异的,是无序的,即集合元素三特 征. 确定性:某一个具体对象,它或者是一个给定的集合的元素,或者不是该集合的元素, 两种情况必有一种且只有一种成立. 互异性:同一集合中不应重复出现同一元素. 无序性:集合中的元素没有顺序. 只要构成两个集合的元素是一样的,我们称这两个集合 . 试试 2:分析下列对象,能否构成集合,并指出元素: ① 不等式 x ? 3 ? 0 的解; ② 3 的倍数; 2 ③ 方程 x ? 2 x ? 1 ? 0 的解; ④ a,b,c,x,y,z; ⑤ 最小的整数; ⑥ 周长为 10 cm 的三角形; ⑦ 中国古代四大发明; ⑧ 全班每个学生的年龄; ⑨ 地球上的四大洋; ⑩ 地球的小河流. 探究 3:我们如何表示集合呢? 新知 3:集合的字母表示 集合通常用大写的拉丁字母表示,集合的元素用小写的拉丁字母表示. 如果 a 是集合 A 的元素,就说 a 属于(belong to)集合 A,记作:a∈A;
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如果 a 不是集合 A 的元素,就说 a 不属于(not belong to)集合 A,记作:a ?A. 试试 3: 设 B 表示“5 以内的自然数”组成的集合,则 5 B, 0.5 B, 0 B, -1 B. 探究 4:常见的数集有哪些,又如何表示呢? 新知 4:常见数集的表示 非负整数集(自然数集) :全体非负整数组成的集合,记作 N; 正整数集:所有正整数的集合,记作 N*或 N+; 整数集:全体整数的集合,记作 Z; 有理数集:全体有理数的集合,记作 Q; 实数集:全体实数的集合,记作 R. 试试 4:填∈或 ?:0 N,0 R,3.7 N,3.7 Z, ? 3 Q, 3 ? 2 R. 探究 5:探究 1 中①~⑧分别组成的集合,以及常见数集的语言表示等例子,都是用自然语 言来描述一个集合. 这种方法语言文字上较为繁琐,能否找到一种简单的方法呢? 新知 5:列举法 把集合的元素一一列举出来,并用花括号“{ }”括起来,这种表示集合的方法叫做列举 法. 注意:不必考虑顺序,“,”隔开;a 与{a}不同. 试试 5:试试 2 中,哪些对象组成的集合能用列举法表示出来,试写出其表示. 探究 6 思考: ① 你能用自然语言描述集合 {2, 4,6,8} 吗? ② 你能用列举法表示不等式 x ? 1 ? 3 的解集吗? 探究 6:比较如下表示法 ① {方程 x 2 ? 1 ? 0 的根}; ② {?1,1} ; ③ {x ? R | x2 ? 1 ? 0} . 新知 6:用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法,一般形式为 {x ? A | P} , 其中 x 代表元素,P 是确定条件. 试试 6:方程 x 2 ? 3 ? 0 的所有实数根组成的集合,用描述法表示为 .

※ 典型例题 例 1 用列举法表示下列集合: ① 15 以内质数的集合; ② 方程 x( x2 ? 1) ? 0 的所有实数根组成的集合; ③ 一次函数 y ? x 与 y ? 2 x ? 1 的图象的交点组成的集合.

变式:用列举法表示“一次函数 y ? x 的图象与二次函数 y ? x 2 的图象的交点”组成的集合.

例 2 试分别用列举法和描述法表示下列集合: (1)方程 x( x2 ? 1) ? 0 的所有实数根组成的集合; (2)由大于 10 小于 20 的所有整数组成的集合.

练习:用描述法表示下列集合. (1)方程 x3 ? 4 x ? 0 的所有实数根组成的集合; (2)所有奇数组成的集合.

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第一章《集合与函数概念》

制作:石磊

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2014-09-02

小结:用描述法表示集合时,如果从上下文关系来看, x ? R 、 x ? Z 明确时可省略,例如 {x | x ? 2k ? 1, k ? Z } , {x | x ? 0} . 例 3 试分别用列举法和描述法表示下列集合: (1)抛物线 y ? x2 ? 1 上的所有点组成的集合;
?3x ? 2 y ? 2 (2)方程组 ? 解集. ?2 x ? 3 y ? 27

变式:以下三个集合有什么区别. (1) {( x, y) | y ? x2 ? 1} ; (2) { y | y ? x 2 ? 1} ; (3) {x | y ? x2 ? 1} . 反思与小结: ① 描述法表示集合时, 应注意集合的代表元素, 如 {( x, y) | y ? x2 ? 1} 与 { y | y ? x 2 ? 1} 不同. ② 只要不引起误解,集合的代表元素也可省略,例如 {x | x ? 1} , {x | x ? 3k , k ? Z } . ③ 集合的{ }已包含“所有”的意思,例如:{整数},即代表整数集 Z,所以不必写{全体整 数}.下列写法{实数集},{R}与 R 表示的含义也是不同的 ④ 列举法与描述法各有优点,应该根据具体问题确定采用哪种表示法,要注意,一般集合 中元素较多或有无限个元素时,尽量采用描述法.

※ 动手试试 练 1. 用适当的方法表示集合:大于 0 的所有奇数.
练 2. 已知集合 A ? {x | ?3 ? x ? 3, x ? Z } ,集合 B ? {( x, y) | y ? x2 ? 1, x ? A} . 试用列举法分别 表示集合 A、B.

三、总结提升 ※课堂小结①概念:集合与元素;属于与不属于;②集合中元素三特征;③常见数集及表 示;④列举法和描述法. ※ 当堂检测
1. 下列说法正确的是( ). A.某个村子里的高个子组成一个集合 B.所有小正数组成一个集合 C.集合 {1, 2,3, 4,5} 和 {5, 4,3, 2,1} 表示同一个集合
1 3 6 1 D. 1, 0.5, , , , 这六个数能组成一个集合 2 2 4 4

2. 给出下列关系: 1 ① ? R ;② 2 ? Q ;③ ?3 ? N? ;④ ? 3 ? Q. 2 其中正确的个数为( ). A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 3. 直线 y ? 2 x ? 1 与 y 轴的交点所组成的集合为( ). 1 1 A. {0,1} B. {(0,1)} C. {? ,0} D. {(? ,0)} 2 2 4. 下列说法正确的是( ).
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A.不等式 2 x ? 5 ? 3 的解集表示为 {x ? 4} B.所有偶数的集合表示为 {x | x ? 2k} C.全体自然数的集合可表示为{自然数} D. 方程 x 2 ? 4 ? 0 实数根的集合表示为 {(?2, 2)} 5. 已知集合 A ? {x | ax2 ? 3x ? 2 ? 0} (1)若 A 是单元素集合,求集合 A ; (2)若 A 至多有一个元素,则 a 的取值范围;

※课后作业 1. (1)设集合 A ? {( x, y) | x ? y ? 6, x ? N , y ? N} ,试用列举法表示集合 A. (2)设 A={x|x=2n,n∈N,且 n<10},B={3 的倍数},求属于 A 且属于 B 的元素所组成 的集合. b 2. 设 a , b ? R ,若集合 A 既可以表示为 {1, a ? b, a} ,也可以表示为 {0, , b} ,则 b ? a ? a A.1 B. ?1 C.2 D. ?2 3. 若集合 A ? {?1,3} ,集合 B ? {x | x2 ? ax ? b ? 0} ,且 A ? B ,求实数 a、b.
4.设 A, B 为两个实数集,定义集合 A ? B ? ?x x ? x1 ? x2 , x1 ? A, x2 ? B 集合 B ? {2,3} ,则集合 A ? B 中的元素的个数为 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

? ,若 A ? {1, 2,3} ,则

5. 设 x∈R,集合 A ? {3, x, x2 ? 2 x} . (1)求元素 x 所应满足的条件; (2)若 ?2 ? A ,求实数 x. 6. 已知 p ? {x 2 ? x ? k , x ? N , k ? R} ,若集合 p 中恰有 3 个元素,则实数 k 的取值范围 7. 集合 A ? {x | (k ? 1) x2 ? x ? k ? 0} 中,只有一个元素,则 k ? 8.设 S 是满足下列条件的元素组成的集合: ① 1 ? S ;②若 a ? S ,则 求证:?若 a ? S ,则 1 ? .

1 ?S . 1? a

1 ?S ; a

?若 2 ? S ,则在 S 中必存在其它两个数,并写出相应的集合 S .

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