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复旦大学附中2013届高三数学一轮复习单元训练:直线与圆


复旦大学附中 2013 届高三数学一轮复习单元训练:直线与圆 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 项是符合题目要求的) 1.已知圆 C1 : ( x ? 1) + ( y ? 1) =1,圆 C2 与圆 C1 关于直线 x ? y ? 1 ? 0 对称,则圆 C2 的
2 2

共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一

方程为(

)
2 2

A. ( x ? 2) + ( y ? 2) =1 C. ( x ? 2) + ( y ? 2) =1
2

B. ( x ? 2) + ( y ? 2) =1
2

2

2

D. ( x ? 2) + ( y ? 2) =1
2 2

【答案】B 2.如果两条直线l1: ax ? 2 y ? 6 ? 0 与l2: x ? (a ? 1) y ? 3 ? 0 平行,那么 a 等于( )

A.1 【答案】D

B.-1

C .2

D.

2 3
)

3.A(1,3),B(5,-2),点 P 在 x 轴上使|AP|-|BP|最大,则 P 的坐标为( A. 【答案】B 4.已知三点 A(-2,-1)、B(x,2)、C(1,0)共线,则 x 为( A.7 【答案】A 5.已知正数 x,y 满足 x
2

(4,0)

B. (13,0)

C. (5,0)

D. (1,0) ) D.-1

B.-5

C .3

? y 2 ? 1, 则
2 4

xy 的最大值为( x? y
C.

)

A.

2 5 15

B.

5 5

D.

2 2

【答案】B 6.已知直线

l1 : (k ? 3) x ? (4 ? k ) y ? 1 ? 0 ,与 l2 :2 (k ? 3 ) x? 2 y? 3 ? 0
B.1 或 5 C .3 或 5 )

平行,则 k 的值是( D.1 或 2

)

A.1 或 3 【答案】C

7.方程 x 2 +y 2 -x+y+m=0 表示圆则 m 的取值范围是( A. m≤2 【答案】C 8.已知点 M A. 0 B. m<2 C. m<

1 2

D. m ≤

1 2

?a, b?

关于 x 轴、 B.

y 轴的对称点分别为 N 、 P ,则 PN ? (

)

a 2 ? b2

C.

2 a2 ? b2

D. 2 a

【答案】C 9.当圆 x2+y2+2x+ky+k2=0 的面积最大时,圆心坐标是( A.(0,-1) 【答案】B 10.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 x 离为 1,则实数 c 的取值范围是( A. (― C.[― 【答案】D 11.圆的标准方程为 ( x ? 1) A. (?1,1) , 【答案】B 12.直线 x ? y ? m ? 0与圆x ( 【答案】C 第Ⅱ卷(非选择题 13.已知 a ? R ,且 ? ? k? ? 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上) , k ? Z 设直线 l : y ? x tan ? ? m ,其中 m ? 0 ,给出下列 2 结论:① l 的倾斜角为 arctan(tan ? ) ;② l 的方向向量与向量 a ? (cos ? ,sin ? ) 共线;③ l 与直线 x sin ? ? y cos ? ? n ? 0 (n ? m) 一定平行;④若 0 ? a ? 夹角为 ) B. ? 4 ? m ? 2 C. 0 ? m ? 1 D. m ? 1 A. ?3 ? m ? 1
2

) D.(-1,1)

B.(-1,0)

C.(1,-1)

2

? y 2 ? 4 上有且仅有四个点到直线 12x―5y+c=0 的距
) B.[―13,13] D. (―13,13)

13 , 13 ) 13 , 13 ]

2

? ( y ? 1) 2 ? 3 ,则此圆的圆心和半径分别为(

)

3

B. (1,?1) ,

3

C. (?1,1) , 3

D. (1,?1) , 3

? y 2 ? 2x ?1 ? 0 有两个不同交点的一个充分不必要条件是

?

?
4

,则 l 与 y ? x 直线的

?
4

? ? ;⑤若 ? ? k? ?

?
4

, k ? Z ,与 l 关于直线 y ? x 对称的直线 l ? 与 l 互相垂 (写出所有真命题的编号) .

直.其中真命题的编号是 【答案】②④

14.以点(2,-1)为圆心且与直线 x+y=6 相切的圆的方程是 【答案】 ( x ? 2) ? ( y ? 1) ?
2 2

25 2

15.在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 程为 【答案】 .

y ? x2 ? 6 x ? 1 与坐标轴的交点都在圆 C 上,则圆 C 的方

x2 ? y 2 ? 6x ? 2 y ? 1 ? 0 ( ( x ? 3)2 ? ( y ?1)2 ? 9 )

16.直线 l 1 过点(3,0),直线 l 2 过点(0, 4);若 l 1 ∥l 2 且 d 表示 l 1 到 l 2 之间的距离,

则 d 的取值范围是 【答案】 0 ? d ? 5



三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.已知动圆 C 过点 A(-2,0),且与圆 M : ?x ? 2?2 ? y 2 ? 64 相内切. (1)求动圆 C 的圆心的轨迹方程; (2)设直线 l : y ? kx ? m (其中 k , m ? Z ) 与(1)中所求轨迹交于不同两点 B,D 与双曲线
x2 y2 ? ? 1 交于不同两点 E,F,问是否存在直线 l ,使得向量 DF ? BE ? 0 ,若存在,指出这样的 4 12

直线有多少条?若不存在,请说明理由. 【答案】 (1)圆 M ∵
2 : ?x ? 2? ? y 2 ? 64 , 圆心 M 的坐标为 ?2, 0? ,半径 R ? 8 .

AM ? 4 ? R ,∴点 A?? 2, 0? 在圆 M 内.

设动圆 C 的半径为 r ,圆心为 C ,依题意得 r 即

? CA ,且 CM ? R ? r ,

CM ? CA ? 8 ? AM . ∴圆心 C 的轨迹是中心在原点,以 A, M 两点为焦点,长轴长为 8 的椭圆,设其方程为
x2 y2 ? 2 ? 1?a ? b ? 0? , 则 a ? 4, c ? 2 .∴ b 2 ? a 2 ? c 2 ? 12 . 2 a b x2 y2 ? ? 1. ∴所求动圆 C 的圆心的轨迹方程为 16 12 ? y ? kx ? m, ? 2 2 2 (2)由 ? x 2 消去 y 化简整理得: 3 ? 4k x ? 8kmx? 4m ? 48 ? 0 y2 ? ? 1 . ? ? 16 12 8km 2 2 2 设 B( x1 , y1 ) ,D( x2 , y2 ) , 则 x1 ? x2 ? ? .△ 1 ? ?8km? ? 4 3 ? 4k 4m ? 48 ? 0 . 2 3 ? 4k

?

?

?

??

?



? y ? kx ? m, ? 2 2 2 消去 y 化简整理得: 3 ? k x ? 2kmx? m ? 12 ? 0 . y2 ? ? 1 . ? ? 4 12 2km 2 2 2 设 E?x3 , y3 ?, F ?x4 , y 4 ?,则 x3 ? x 4 ? ,△ 2 ? ?? 2km? ? 4 3 ? k m ? 12 ? 0 . 2 3?k
由 ? x2

?

?

?

??

?

② ∵ DF ? BE ? 0 ,∴ ( x4 ? x2 ) ? ( x3 ? x1 ) ? 0 ,即 x1 ? x2 ∴?

? x3 ? x4 ,

8km 2km 4 1 ? ? .∴ 2km ? 0 或 ? .解得 k ? 0 或 m ? 0 . 2 2 2 3 ? 4k 3? k 3 ? 4k 3? k2 1 ,2,3 ; 当 k ? 0 时,由①、 ②得 ? 2 3 ? m ? 2 3 , ∵ m ? Z,, ∴ m 的值为 ? 3,?2 ?1 ,0 ,
当 m ? 0 ,由①、②得

? 3 ? k ? 3 ,∵ k ? Z,,∴ k ? ?1, 0, 1 .

∴满足条件的直线共有 9 条. 18. 设平面直角坐标系 xoy 中, 设二次函数

f ( x) ? x 2 ? 2x ? b( x ? R) 的图像与两坐标轴有三

个交点,经过这三个交点的圆记为 C .求: (1)求实数 b 的取值范围;

(2)求圆 C 的方程; (3)问圆 C 是否经过某定点(其坐标与 b 无关)?请证明你的结论. 【答案】 (Ⅰ)令 x =0,得抛物线与 y 轴交点是(0,b) ; 令

f ? x ? ? x2 ? 2x ? b ? 0 ,由题意 b≠0 且Δ >0,解得 b<1 且 b≠0.
2

(Ⅱ)设所求圆的一般方程为 x 令

? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,

y =0 得 x 2 ? Dx ? F ? 0 这与 x 2 ? 2 x ? b =0 是同一个方程,故 D=2,F= b .
2

令 x =0 得 y

? Ey =0,此方程有一个根为 b,代入得出 E=―b―1.
2

所以圆 C 的方程为 x

? y2 ? 2x ? (b ? 1) y ? b ? 0 .

(Ⅲ)圆 C 必过定点(0,1)和(-2,1) .证明如下:将(0,1)代入圆 C 的方程,得左边= 0 +1 +2×0-(b+1)+b=0,右边=0, 所以圆 C 必过定点(0,1) . 同理可证圆 C 必过定点(-2,1) . 19.已知椭圆的一个顶点为 B(0,-1) ,焦点在 x 轴上,若右焦点 F 到直线 x-y+2
2 2

2 =0 的

距离为 3. (1 ) 、求椭圆的方程;(2)、设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 M、N, 直线 l 的斜 率为 k(k≠0) ,当|BM|=|BN|时,求直线 l 纵截距的取值范围. 【答案】 (1) 、椭圆方程为 x +3y =3
2 2

(2)设 P 为弦 MN 的中点.由 ?

? y ? kx ? m, 2 2 得(3k +1)x ?x2 2 ? ? y ? 1, ?3
3k ? 1

+6kmx+3(m -1)=0.由Δ >0,得 m <3k +1

2

2

2

①,∴xP= x M ? x N ? ? 3mk ,从而,yP=kxp 2
2
2 m ? 3k 2 ? 1 =- 1 , 即 2m=3k +1 k 3km

+m=

m . ∴kBP= ? 3k 2 ? 1
2

m ? 3k 2 ? 1 . 由 MN⊥BP, 得 3km
2

?

②. 将

②代入①,得 2m>m ,解得 0<m<2.由②得 k =(2m-1)/3>0.解得 m>1/2.故所求 m 的取值 范围为(1/2,2) . 20.两条互相平行的直线分别过点 A(6,2)和 B(-3,-1),并且各自绕着 A,B 旋转,如果两条平行 直线间的距离为 d. 求:1)d 的变化范围; 2)当 d 取最大值时两条直线的方程。 【答案】 (1)方法一:①当两条直线的斜率不存在时,即两直线分别为 x=6 和 x=-3,则它们 之间的距离为 9. ②当两条直线的斜率存在时,设这两条直线方程为 l1:y-2=k(x-6),l2:y+1=k(x+3), 即 l1:kx-y-6k+2=0,l2:kx-y+3k-1=0, |3k-1+6k-2| 3|3k-1| ∴d= = . 2 2 k +1 k +1 2 2 2 即(81-d )k -54k+9-d =0.

∵k∈R,且 d≠9,d>0, ∴Δ =(-54) -4(81-d )(9-d )≥0,即 0<d≤3 10且 d≠9. 综合①②可知,所求 d 的变化范围为(0,3 10]. 方法二:如图所示,显然有 0<d≤|AB|.
2 2 2

而|AB|= 6+3 +2+1 =3 10. 故所求的 d 的变化范围为(0,3 10]. (2)由图可知,当 d 取最大值时,两直线垂直于 AB. 2--1 1 而 kAB= = , 6--3 3 ∴所求直线的斜率为-3. 故所求的直线方程分别为 y-2=-3(x-6),y+1=-3(x+3),即 3x+y-20=0 和 3x+y+10=0. 21.设圆满足:①截 y 轴所得弦长为 2;②被 x 轴分成两段圆弧,其弧长之比为 3:1;③圆心到 直线 l : x ? 2 y ? 0 的距离为

2

2

5 ,求该圆的方程. 5
2 2 2 2

【答案】设圆心为 ( a, b) ,半径为 r,由条件①: r ? a ? 1 ,由条件②: r ? 2b ,从而有:

?2b2 ? a2 ? 1 ?a ? 1 | a ? 2b | 5 2b ? a ? 1 . 由条件③: 解方程组 ? 可得: ? ?| a ? 2b |? 1 , ? 5 5 ?b ? 1 ?| a ? 2b |? 1
2 2

或?

?a ? ?1 2 2 2 2 ,所以 r ? 2b ? 2 .故所求圆的方程是 ( x ?1) ? ( y ?1) ? 2 或 ?b ? ?1

( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 2
22.已知方程 x
2

? y 2 ? 2x ? 4 y ? m ? 0 .
x ? 2 y ? 4 ? 0 相交于 M,N 两点,且 OM ? ON(O 为坐标原点)求 m

(Ⅰ)若此方程表示圆,求 m 的取值范围; (Ⅱ)若(Ⅰ)中的圆与直线 的值; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,求以 MN 为直径的圆的方程. 【答案】 (Ⅰ) x
2

? y 2 ? 2x ? 4 y ? m ? 0

D=-2,E=-4,F= m

D 2 ? E 2 ? 4 F =20- 4 m ? 0 , m ? 5

?x ? 2 y ? 4 ? 0 ? 2 x ? y 2 ? 2x ? 4 y ? m ? 0 (Ⅱ) ?

x ? 4 ? 2 y 代入得

5 y 2 ? 16y ? 8 ? m ? 0
y1 ? y 2 ? 16 8?m y1 y 2 ? 5 5 ,

∵OM ? ON

得出:

x1 x2 ? y1 y 2 ? 0



5 y1 y2 ? 8( y1 ? y2 ) ? 16 ? 0

m?


8 5

(Ⅲ)设圆心为 ( a, b)

a?

x1 ? x2 4 y ? y1 8 ? ,b ? 1 ? 2 5 2 5

r?
半径

4 5 5

4 8 16 (x ? )2 ? ( y ? )2 ? 5 5 5 圆的方程




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