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上海市长宁区、嘉定区2018届高三上学期质量调研(一模)数学试题+Word版含答案


2017-2018 学年长宁、嘉定区高三年级第一次质量调研 数 学 试 卷

一.填空题(本大题共有 12 题,满分 54 分,第 1~6 题每题 4 分,第 7~12 题每题 5 分)考 生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1.已知集合 A ? {1 , 2 , 3 , 4} , B ? {2 , 4 , 5} ,则 A ? B ? ______________. 2.不等式

x ? 0 的解集为___________________. x ?1 4 ?? ? ,则 cos? ? ? ? ? __________. 5 2? ?

3.已知 sin ? ?

4. lim

3n ? 1 ? _____________. n ? ? 3n ?1 ? 1

5.已知球的表面积为 16? ,则该球的体积为____________. 6. 已知函数 f ( x) ? 1 ? loga x , y ? f
?1

( x) 是函数 y ? f ( x) 的反函数,若 y ? f ?1 ( x) 的图

像过点 (2 , 4) ,则 a 的值为_____________. 7.若数列 {an } 为等比数列,且 a5 ? 3 ,则

a2 a3

? a7 a8

? __________.

8.在△ ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ,若 (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? ac , 则 B ? ___________. 9.若 ? 2 x ?

? ?

1? ? 的二项展开式中的所有二项式系数之和等于 256 ,则该展开式中常数项的 x?

n

值为____________. 10.已知函数 f ( x) 是定义在 R 上且周期为 4 的偶函数.当 x ? [2 , 4] 时,

3? ? f ( x) ? log4 ? x ? ? ,则 2? ?

?1? f ? ? 的值为__________. ?2?
*

11. 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , 且 a1 ? 1 , 2Sn ? an an ?1( n ? N ) , 若 bn ? (?1) 则数列 {bn } 的前 n 项和 Tn ? _______________.

n

2n ? 1 , an an ?1

12.若不等式 x2 ? 2 y 2 ? cx( y ? x) 对满足 x ? y ? 0 的任意实数 x , y 恒成立,则实数 c 的 最大值为_____________.

二.选择题(本大题共有 4 题,满分 20 分,每题 5 分)每题有且只有一个正确选项.考生应 在答题纸的相应位置,将代表正确选项的小方格涂黑.

13. 设角 ? 的始边为 x 轴正半轴, 则 “ ? 的终边在第一、 二象限” 是 “ sin ? ? 0 ” 的… ( (A)充分非必要条件 (C)充分必要条件 (B)必要非充分条件 (D)既非充分又非必要条件

) .

14.若直线 l1 和 l 2 是异面直线, l1 在平面 ? 内, l 2 在平面 ? 内, l 是平面 ? 与平面 ? 的交线, 则下列命题一定正确的是……………………………………………………………( (A) l 与 l1 、 l 2 都不相交 (C) l 至多与 l1 、 l 2 中的一条相交 (B) l 与 l1 、 l 2 都相交 (D) l 至少与 l1 、 l 2 中的一条相交 ) .

15.对任意两个非零的平面向量 ? 和 ? ,定义 ? ? ? ?

|? | cos? ,其中 ? 为 ? 和 ? 的夹 |? |
? ?

角.若两个非零的平面向量 a 和 b 满足:① | a |?| b | ;② a 和 b 的夹角 ? ? ? 0 ,

??

?; 4?
) .

③ a ? b 和 b ? a 的值都在集合 ? x x ?

? ?

? n , n ? N? 中.则 a ? b 的值为…………( 2 ?
(D)

(A)

5 2

(B)

3 2

(C) 1

1 2

1 ? 2x , 0 ? x ? , ? ? 2 16.已知函数 f ( x ) ? ? 且 f1 ( x) ? f ( x) , f n ( x) ? f ( f n ?1 ( x)) , ?2 ? 2 x , 1 ? x ? 1 , ? 2 ?

n ? 1 , 2 , 3 , ….则满足方程 f n ( x) ? x 的根的个数为……………………………(
(A) 2 n 个 (B) 2 n 个
2

) .

(C) 2 个

n

(D) 2(2n ? 1) 个

三、解答题(本大题共有 5 题,满分 76 分) 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必 要的步骤.

17. (本题满分 14 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分) 如图,设长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, AB ? BC ? 3 , AA 1 ? 4. (1)求四棱锥 A1 ? ABCD 的体积; (2)求异面直线 A1B 与 B1C 所成角的大小(结果用反三角函数值表示) . D1 A1 B1 C1

D A B

C

18. (本题满分 14 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分) 已知复数 z 满足 z ? (1)求复数 z ;

2 , z 2 的虚部为 2.

(2)设 z , z 2 , z ? z 2 在复平面上的对应点分别为 A , B , C ,求△ ABC 的面积.

19. (本题满分 14 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分) 一根长为 L 的铁棒 AB 欲通过如图所示的直角走廊,已知走廊的宽 AC ? BD ? 2 m . (1)设 ?BOD ? ? ,试将 L 表示为 ? 的函数; (2)求 L 的最小值,并说明此最小值的实际意义. A E O

?

?

C D

B

20. (本题满分 16 分,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 5 分,第 3 小题满分 7 分) 已知函数 f ( x) ? 2 ? 2 .
x ?x

(1)求证:函数 f ( x) 是偶函数; (2) 设a?R , 求关于 x 的函数 y ? 2 表达式; (3)若关于 x 的不等式 mf ( x) ? 2 范围.
?x 2x

? 2?2 x ? 2af ( x) 在 x ? [0 , ? ?) 时的值域 g (a) 的

? m ? 1在 x ? (0 , ? ?) 时恒成立,求实数 m 的取值

21. (本题满分 18 分,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分)

已知数列 {an } 满足: a1 ? 1 ,

1 1 ? ? 4 , n ? N* . 2 an ?1 an

(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设数列 {bn } 的前 n 项和为 Sn ,且满足 使得数列 {bn } 为等差数列; (3)将数列 ?

Sn ?1 S ? 2n ? 16n 2 ? 8n ? 3 ,试确定 b1 的值, 2 an an ?1

?1? 中的部分项按原来顺序构成新数列 {cn } ,且 c1 ? 5 ,求证:存在无数 2? a ? n?

个满足条件的无穷等比数列 {cn } .

2017-2018 学年长宁、嘉定区高三年级第一次质量调研数学试卷 参考答案与评分标准

一.填空题(本大题共有 12 题,满分 54 分,第 1—6 题每题 4 分,第 7---12 题每题 5 分) 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. {2 , 4} 4. 2. ( ?1 , 0] 3. ? 6. 4 9. 1120

1 3

7. 18

32? 3 2? 8. 3
5.
n

4 5

10.

1 2

? n?2 ? , n为奇数 , ? (?1) ? n ?1 11. ? 1 ? 或? n ?1 ? n ? , n为偶数 ? ? n ?1

12. 2 2 ? 4

二.选择题(本大题共有 4 题,满分 20 分,每题 5 分)每题有且只有一个正确选项.考生应在 答题纸的相应位置,将代表正确选项的小方格涂黑. 13.A 14.D 15.B 16.C

三、解答题(本大题共有 5 题,满分 76 分) 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必 须的步骤. 17. (本题满分 14 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分) (1)因为 A1 A ? 平面 ABCD ,所以 A1 A 就是四棱锥 A1 ? ABCD 的高.

S ABCD ? AB ? BC ? 9 ,

……………………………………………………………(3 分)

1 1 S ABCD ? A1 A ? ? 9 ? 4 ? 12 . …………………………(6 分) AA 1 ? 4 ,所以 VA1 ? ABCD ? 3 3
故四棱锥 A1 ? ABCD 的体积为 12 . (2)连结 A1D 、 BD ,因为 A1B1 ∥ DC ,且 A1B1 ? DC ,所以四边 形 A1B1CD 是平行四边形,所以 A1D ∥ B1C .故 ?BA 1D 或其补角就是 异面直线 A1B 与 B1C 所成的角. 在△ A 1B ? 1BD 中, A …………………………………(2 分)

AB 2 ? A1 A2 ? 5 , A1D ?

AD 2 ? A1 A2 ? 5 ,

BD ? AB2 ? AD2 ? 3 2 .
所以, cos?BA 1D ?

……………………………………………(4 分) …………………………………(7 分)

A1B 2 ? A1D 2 ? BD2 16 . ? 2 A1B ? A1D 25

所以,异面直线 A1B 与 B1C 所成角的大小为 arccos

16 . ……………………………(8 分) 25

18. (本题满分 14 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分)

?x2 ? y 2 ? 2 , (1)设 z ? x ? yi ( x , y ? R ) ,则 ? ?2 xy ? 2 ,
解得 ?

…………………………(3 分)

? x ? 1 , ? x ? ?1 , 或? ? y ? 1 ? y ? ?1 .

………………………………………………………(5 分) ……………………………………………………………(6 分) …………………………(1 分)

所以 z ? 1 ? i 或 z ? ?1 ? i .

2 2 (2)由(1)知, z ? 1 ? i 时, z ? 2i , z ? z ? 1 ? i ,

所以, A(1 , 1) , B(0 , 2) , C (1 , ? 1) ,

………………………………………(2 分)

S?ABC ? 1.

…………………………………………………………(4 分) ……………………………………(5 分) ……………………………………(6 分)

2 2 当 z ? ?1 ? i 时, z ? 2i , z ? z ? ?1 ? 3i ,

所以, A(?1 , ? 1) , B(0 , 2) , C (?1 , ? 3) ,

S?ABC ? 1.

……………………………………………………………(8 分)

19. (本题满分 14 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分) (1) AO ?

2 , cos ?

BO ?

2 . sin ?

………………………………(2分)

L ? AO ? BO ?

2 2 2(sin ? ? cos ? ) ? ?? ? ? ,? ? ? 0 , ? . cos ? sin ? sin ? cos ? ? 2?

…………(6 分)

(2)设 x ? sin ? ? cos? ?

?? ? ? ?? 2 sin ?? ? ? , ? ? ? 0 , ? ,则 x ? (1 , 2 ] ,……(2 分) 4? ? ? 2?

所以, sin ? cos? ?

4x x2 ? 1 ,此时 L( x) ? 2 . x ?1 2

………………………………(4 分)

任取 x1 、 x2 ? (1 , 因为 x1 、 x2 ? (1 ,

2 ] ,且 x1 ? x2 , L( x1 ) ? L( x2 ) ?

4 x1 4x 4 x1 x2 ( x1 x2 ? 1) , ? 2 2 ? 2 2 2 x1 ? 1 x2 ? 1 ( x1 ? 1)(x2 ? 1)

2 ? 1) ? 0 , 4x1x2 ( x1x2 ? 1) ? 0 , 2 ] ,且 x1 ? x2 ,所以 ( x12 ? 1)(x2

故 L( x1 ) ? L( x2 ) ? 0 ,即 L( x) 在 x ? (1 , 2 ] 时是减函数,所以 Lmin ? 4 2 .……(7 分)

L 最小值的实际意义是:在拐弯时,铁棒的长度不能超过 4 2 m ,否则,铁棒无法通过.也
就说,能够通过这个直角走廊的铁棒的最大长度为 4 2 m . …………………………(8 分)

20. (本题满分 16 分,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 5 分,第 3 小题满分 7 分) (1)函数 f ( x) 的定义域为 R , 对任意 x ? R , f (? x) ? 2? x ? 2x ? f ( x) , 所以,函数 f ( x) 是偶函数. (2) y ? 2 令2 ?2
x ?x

………………………………………………(4 分)

2x

? 2?2 x ? 2a(2x ? 2? x ) ? (2x ? 2? x )2 ? 2a(2x ? 2? x ) ? 2 ,………………(1 分)

? t ,因为 x ? 0 ,所以 2 x ? 1 ,故 t ? 2 ,
2

原函数可化为 y ? t ? 2at ? 2 , t ? [2 , ? ?) ,

y ? t 2 ? 2at ? 2 ? (t ? a)2 ? a2 ? 2 图像的对称轴为直线 t ? a ,
2 当 a ? 2 时,函数 y ? t ? 2at ? 2 在 t ? [2 , ? ?) 时是增函数,

值域为 [2 ? 4a , ? ?) ;

…………………………………………………………(3 分)

2 当 a ? 2 时,函数 y ? t ? 2at ? 2 在 t ?[2 , a] 时是减函数,在 t ? [a , ? ?) 时是增函数,值

域为 [?a ? 2 , ? ?) .
2

……………………………………………………………(5 分)

综上, g (a) ? ?

?[2 ? 4a , ? ?) , a ? 2 ,
2 ?[?a ? 2 , ? ?) , a ? 2 .
?x

(3)由 mf ( x) ? 2

? m ? 1,得 m[ f ( x) ? 1] ? 2? x ? 1 ,

…………………………(1 分)

x 当 x ? 0 时, 2 ? 1 ,所以 f ( x) ? 2x ? 2? x ? 2 ,所以 f ( x) ? 1 ? 1 ? 0 ,

所以, m ?

2? x ? 1 2? x ? 1 1 ? 2x 恒成立.……………………………(3 分) ? x ? f ( x) ? 1 2 ? 2? x ? 1 2 2 x ? 1 ? 2 x
1 ? 2x t t 1 ? ? 2 ? , 2x x 2 2 ?1? 2 (1 ? t ) ? t t ? t ? 1 t ? 1 ? 1 t

x 令 t ? 1 ? 2 ,则 t ? 0 ,

由 t ? 0 ,得 t ?

1 1 1 ? ?2 ,所以 t ? ? 1 ? ?3 , ? ? t t 3

1 ? 0 . ………………(6 分) 1 t ? ?1 t

所以, m ? ?

1 1? ? ,即 m 的取值范围为 ? ? ? , ? ? . …………………………………(7 分) 3 3? ?

21. (本题满分 18 分,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分) (1)因为

1 1 1 1 ? ? 4 ,所以 2 ? 2 ? 4 , 2 an ?1 an an ?1 an
………………………………(2 分)

所以数列 ?

?1? 是首项为 1 ,公差为 4 的等差数列. 2? ? an ?

所以,

1 ? 1 ? 4(n ? 1) ? 4n ? 3 ,又由题意, an ? 0 , 2 an
1 * (n?N ) . 4n ? 3
…………………………………………(4 分)

所以 an ?

(2)由

Sn ?1 S ? 2n ? 16n 2 ? 8n ? 3 ,得 (4n ? 3)Sn ?1 ? (4n ? 1)Sn ? (4n ? 3)(4n ? 1) , 2 an an ?1



S n ?1 Sn ? S ? ? ? 1 ,即数列 ? n ? 是首项为 b1 ,公差为 1 的等差数列,……(2 分) 4n ? 1 4n ? 3 ? 4n ? 3 ? Sn ? b1 ? (n ? 1) ,令 n ? 2 , 3 ,得 b2 ? 4b1 ? 5 , b3 ? 4b1 ? 13. 4n ? 3
………………………………(4 分)

所以,

若 {bn } 为等差数列,则 2b2 ? b1 ? b3 ,解得 b1 ? 1 .

2 当 b1 ? 1 时, Sn ? 4n ? 3n , bn ? 8n ? 7 , {bn } 为等差数列.

所以,当 b1 ? 1 时,数列 {bn } 为等差数列.

…………………………………………(6 分)

(3)

1 ? 4n ? 3 , n ? N* ,先证数列 cn ? 5 ? 5n ?1 满足题意,即证此数列中的任何一项都是 2 an
………………………………………………………(2 分)

数列 ?

?1? 中的项. 2? ? an ?
n ?1

令 5?5

? 4m ? 3 ,则只需证 m ? N* 即可.

……………………………………(3 分)

5n ? 3 1 ? 5n ? ? 1 ? (1 ? 5 ? 52 ? ? ? 5n ?1 ) ? 1 ,故 m ? N* . …………(6 分) 此时, m ? 4 1? 5
所以,此数列 {cn } 中的第 n 项是数列 ?
n

?1? 中的第 (1 ? 5 ? 52 ? ? ? 5n ?1 ) ? 1 项.…(7 分) 2? a ? n?

(也可以用数学归纳法证明 5 ? 3 能被 4 整除,证明如下) ① 当 n ? 1 时, 5 ? 3 ? 8 ,能被 4 整除;
n

……………………………………(4 分)

* k ② 假设当 n ? k ( k ? N )时结论成立,即 5 ? 3 能被 4 整除,

那么当 n ? k ? 1 时, 5k ?1 ? 3 ? 5(5k ? 3) ? 12, 因为 5 ? 3 与 12 都能被 4 整除,所以 5
k k ?1

? 3 也能被 4 整除,
……………………………………(6 分)

即 n ? k ? 1 时,结论也成立.
* n

由①、②知,当 n ? N 时, 5 ? 3 能被 4 整除. ……………………………………(7 分) 因此,以 5 为首项, 5 , 5 ,…, 5 ,…为公比的无穷等比数列均满足题意,命题得证. …………………………(8 分) (注:还可由 5 ? 3 ? (4 ? 1) ? 3 ,用二项展开式证明能被 4 整除)
n n
2 k

(一


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