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高二数学期末考试练习题


高二数学期末考试试题 一、选择题: 1.过点 P (?1,3) 且垂直于直线 x ? 2 y + 3 = 0 的直线方程为(
A. 2 x + y ? 1 = 0 C. x + 2 y ? 5 = 0 B. 2 x + y ? 5 = 0 D. x ? 2 y + 7 = 0



2.下列命题中,正确的是(



A.经过不同的三点有且只有一个平面 B.平行于同一平面的两条直线互相平行 C.分别和两条异面直线都相交的两条直线是异面直线 D.若一个角的两边和另一个角的两边分别平行,则这两个角相等或互补 3.抛物线 y=4x2 的准线方程是( A.x=1 B. x = ?


1 4 C.y=-1 D. y = ? 1 16

4.已知圆 C 与圆 ( x ? 1)2 + y 2 = 1 关于直线 y=x 对称,则圆 C 的方程是( A. x 2 + ( y ? 1) 2 = 1 C. x 2 + y 2 = 1 B. x 2 + ( y + 1) 2 = 1 D. ( x + 1) 2 + y 2 = 1



5、圆 x2+y2=16 上的点到直线 x–y=3 的距离的最大值是( ) 3 3 3 A. 2 B.4– 2 C.4+ 2 D.0 2 2 2 6.如图,A、B、C、D、E、F 分别为正方体相应棱的中点,对于直线 AB、CD、EF,
E F D B A C

下列结论正确的是(
A.AB∥CD C.AB 与 CD 相交


B.CD 与 EF 异面 D.AB 与 EF 异面

7.“ a = b ”是“直线 y = x + 2 与圆 ( x ? a ) 2 + ( y ? b) 2 = 2 相切”的 A 充分不必要条件 C 充分必要条件 B 必要不充分条件 D 既不充分又不必要条件





8.设 α , β , γ 为不重合的平面, l , m, n 为不重合的直线,给出下列四个命题:

① l ⊥ α , l ⊥ β , 则α β ;

②若 m ? α , n ? α , m β , n β , 则α β ;

③若 α I β = n, m n, 则m α ;④若 α I β = l , β I γ = m, γ I α = n, 且l γ , 则m n . 其中是真命题的个数是(
A.1


C .3 D.4

B.2

9.已知实数 x, y 满足 y ? x + 1 ≤ 0 ,则 ( x + 1) 2 + ( y + 1)2 的最小值是(



A.

1 2

B.

2 2

C. 2

D.2

10.若双曲线

x2 y2 ? = 1(a > 0, b > 0) 与直线 y = 2 x 无交点,则离心率 e 的取值范围是 a2 b2 ( )

A. (1, 5]

B. (1, 5)

C. (1, 2]

D. (1, 2)

11.若 p (2, ?1) 为圆 ( x ? 1) 2 + y 2 = 25 的弦 AB 的中点, 则直线 AB 的方程为____________. 12.过抛物线 y 2 = 4 x 的焦点作直线 l 交抛物线于 A(x1, y1), B(x2, y2)两点,则 y1y2=_______.

r r r r r r 13.已知 a = (cos α ,1,sin α ), b = (sin α ,1, cos α ) ,当 a b 取最小值时, < a, b > 的值为________________.
14.设椭圆 x2 y2 1 + 2 = 1(a>b>0) 的离心率为 e = ,右焦点为 F (c, 0) ,方程 ax 2 + bx ? c = 0 的两个实根分 2 2 a b 别为 x1 和 x2 ,则点 P ( x1 , x2 ) 在圆 x 2 + y 2 = 2 ________________

三、解答题:.
15. (本小题满分 12 分)求经过点 A(3,2) ,圆心在直线 y=2x 上,且与直线 y=2x+5 相切的圆的方程

.

16. (本小题满分 12 分)如图,ABCD 为正方形,PD⊥平面 AC,PD=DC,E 是 PC 的中点,作 EF⊥PB

交 PB 于点 F. (1)证明:PA∥平面 EDB; (2)证明:PB⊥平面 EFD. (3)求平面 DEF 与平面 PDC 所成角的的正弦值

P

F D D A

E C B

17. (本小题满分 12 分)一座拱桥桥洞的截面边界由抛物线弧段 COD 和矩形 ABCD 的三边组成,拱的 顶部 O 距离水面 5m,水面上的矩形的高度为 2m,水面宽 6m,如图所示.一艘船运载一个长方体形 的集装箱,此箱平放在船上,已知船宽 5m,船面距离水面 1.5m,集装箱的尺寸为长×宽×高=4×3 ×3(m). 试问此船能否通过此桥?并说明理由.
O

D A 6m

C 2m B

18、 (本小题满分 14 分)已知动圆 C 过点 A(? 2, 0) ,且与圆 M : ( x ? 2 ) + y 2 = 64 相内切.
2

(1)求动圆 C 的圆心的轨迹方程; (2)设斜率为 1 的直线与(1)中所求轨迹交于不同两点 B ,D,若 OB⊥OD,试求此直线的方程,若 不存在,说明理由

22 . 本 小 题 满 分 14 分 ) 如 图 , 梯 形 ABCD 的 底 边 AB 在 y 轴 上 , 原 点 O 为 AB 的 中 点 , (

| AB |=

4 2 4 2 ,| CD |= 2 ? , AC ⊥ BD, M 为 CD 的中点. 3 3

(1)求点 M 的轨迹方程; (2)过 M 作 AB 的垂线,垂足为 N,若存在正常数 λ0 ,使 MP = λ0 PN ,且 P 点到 A、B 的距离和为定值,求点 P 的轨迹 E 的方程; (3)过 (0, ) 的直线与轨迹 E 交于 P、Q 两点,且 OP OQ = 0 ,求此直线方程. y A N O B D P M C x

uuur

uuur

1 2

uuu uuur r

高二数学参考答案
1.B 2.D 3.D 4.A 5.D 6.C 7.D 8.B 9.B 10.A 11.A 12.B 13.x-y-3=0 14.-4 15.[2, 3]∪[9, +∞) 16.500
17.解:设圆心坐标为(a, 2a) ,则 (3? a )2 +(2? 2 a )2 = ∴5a2-14a+8=0.
4 ∴a=2 或 a= . 5

|2 a ? 2 a +5| . 5

4 8 故所求圆的方程为 ( x ? 2)2 +( y ? 4)2 =5,或( x ? )2 + ( y ? )2 =5. 5 5

18. (1)连结 AC,设 AC∩BD=0,连结 EO,∵底面是正方形,∴O 为 AC 的中点 ∴OE 为△PAC 的中位线 ∴PA∥OE,而 OE ? 平面 EDB,PA ? 平面 EBD,∴PA∥平面 EDB.

(2)∵PD⊥平面 AC,BC ? 平面 AC,∴BC⊥PD,而 BC⊥CD,PD∩CD=D. ∴BC⊥平面 PDC. ∵DE ? 平面 PDC ∴DE⊥PC . , ∴BC⊥DE . ② ① 又∵PD⊥平面 AC,DC ? 平面 AC, ∴△PDC 为等腰三角形 . ∴PD⊥DC,而 PD=DC,

由①、②可知 DE⊥平面 PBC, ∴DE⊥PB.又 EF⊥PB, ∴PB⊥平面 DEF. (可建立空间直角坐标系证明。略) 19.解:建立如图所示的平面直角坐标系,使抛物线顶点 O 在坐标原点,对 方程为 x =ay (a<0) 由题设条件知 C(3,-3)在抛物线上, ∴9=-3a, a=-3,即抛物线方程为 x2=-3y. 要使船能顺利通过,应有集装箱最高处 E、F 关于 y 轴对称. 于是设 F(1.5, y0) ,则 1.52=-3y0. ∴y0=-0.75 此时点 F 距离水面的高度为 5-0.75=4.25.
2

y O F D A 6m F C 2m B x

称轴与 y 轴重合,设抛物线

而集装箱高加船高为 3+1.5=4.5>4.25,故此船不能通过此桥. ,E(0,1,1) ,F( 20. (1)以 D 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则 D(0,0,0) ,B(1,1,0) 1(0,0,2) ,D

1 1 , , 2 2

1).

uuuur uuur 1 1 uuuur uuur 6 ∴ D1E =(0,1,?1), DF =( , ,1),|D1E|= 2,|DF |= . 2 2 2

z D1 A1 F M D B1 E C B y C1

1 uuuur uuur ?1 uuuur uuur D E DF 3 1 uuur = 2 则 cos< D1E , DF >= uuuur =? . 6 |D1E||DF | 6 2× 2

故异而直线 D1E 与 DF 所成角为 arccos

3 6

.

A x

uuuu r uuu 1 1 r (2)设点 M(x, 0, 0) ,则 BM =( x ?1, ?1,0), EF =( ,? ,0). 2 2 uuu uuu x ?1 1 r r 由 EF⊥平面 BMD1,有 EF BE = + =0, 2 2

可得 x=0.∴点 M 的坐标为 M(0,0,0).

故当 EF⊥平面 BMD1 时,M 在直线 DA 上的 D 点处. (也可不建立空间直角坐标系求解。略)
b a 21.解:(1)设半焦距为 C,则 F(C,0) ,直线 l1 的方程为 y = x ,直线 PF 的方程为 y =? ( x ?c ) a b ? b ? y = a x, ? 解方程组 ? ? y =? a ( x ?c ). ? b ?

a 2 ab 可得 P ( , ) ,又已知 P 点坐标为 ( c c
y2 = 1. 2

3 6 , ) 3 3

∴a

= 1, b = 2, c = 3.

∴双曲线方程为 x

2

?

? y2 ? x12 ? 1 =1, ① ? 2 (2)设 A(x1, y1), B(x2, y2),则有 ? ? 2 y22 =1. ② ? x2 ? ? 2

②-①, 得 ( x2 ? x1 )( x2 + x1 )=

( y2 ? y1 )( y2 + y1 ) . 2

y ?y x +x 2 ∴ k AB = 2 1 = 2 1 = =1. x2 ? x1 y2 + y1 2 2

即直线 AB 的方程为

y ? 2 = 1× ( x ? 1) ,

即x?

y + 1 = 0.

22.解: (1)设点 M 的坐标为 M(x, y)(x≠0),则 C ( x, y ?1+ 又 A(0,

2 2 2 ), D ( x , y +1? 2 ). 3 3

uuur uuur 2 2 2 ), B (0,? 2 ). 由 AC⊥BD 有 AC BD=0 ,即 ( x , y ?1) ( x , y +1) =0 ,∴x2+y2=1(x≠0). 3 3

(2)设 P(x, y) ,则 M

( (1 + λ0 ) x, y ) ,代入 M 的轨迹方程有 (1 + λ0 )2 x 2 + y 2 = 1( x ≠ 0).



x2 + y 2 =1( x ≠0) ,∴P 的轨迹方程为椭圆(除去长轴的两个端点). 1 2 ( ) 1+ λ0

要 P 到 A、B 的距离之和为定值,则以 A、B 为焦点,故 1? ∴ λ0

1 (1+λ0 )2

=(

2 2)2 . 3

= 2.

从而所求 P 的轨迹方程为 9x2+y2=1(x≠0).

(3)易知 l 的斜率存在,设方程为

1 y = kx + . 2 3 2 2 联立 9x2+y2=1,有 (9 + k ) x + kx ? = 0. 4
设 P(x1, y1), Q(x2, y2),则 x1+ x2 =? ∵ OP

k 9+ k 2

, x1x2 =

?3 4(9+ k 2 )

.

uuu uuur r OQ = 0 ,而 x1 x2 + y1 y2 = 0.
整理,得
?3( k 2 +1) k2 1 ? + =0. 2 +9) 2( k 2 +9) 4 4( k

1 ?? 1? ? ∴ x1x2 +? kx1 + ?? kx2 + ?=0 . 2 ?? 2? ?

∴ k =±

6 . 2

即所求 l 的方程为 y =±

6 1 x+ . 2 2


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