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高考数学(理)大一轮复习精讲课件:第六章 不等式、推理与证明 第二节 一元二次不等式及其解法_图文

第二节

一元二次不等式及其解法

基础盘查

一元二次不等式

(一)循纲忆知

1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型;
2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元 二次方程的联系; 3.会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求 解的程序框图.

(二)小题查验
1.判断正误
(1)不等式ax2+x-1>0一定是一元二次不等式 ( × )

(2)一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集就是二次函数y= ax2+bx+c(a>0)的图象在x轴上方时点的横坐标x的集合 ( √ ) (3)一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集为R时,ax2+bx+ c>0恒成立 ( √ )

(4)若一元二次方程 ax2+bx+c=0 的解是 x1,x2 且 x1<x2,则 ax2 +bx+c>0 的解集为 x|x<x1或x>x2
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

( × )

2 ? ?x -4x+3<0, 2.不等式组? 2 ? ?2x -7x+6>0

的解集是
? 3? B.?1,2?∪(2,3) ? ?

(

)

A.(2,3)
? 3? C.?-∞,2?∪(3,+∞) ? ?

D.(-∞,1)∪(2,+∞)

解析:∵x2-4x+3<0,∴1<x<3. 3 又∵2x -7x+6>0,∴(x-2)(2x-3)>0,∴x< 或x>2, 2
2

? 3? ∴原不等式组的解集为?1,2?∪(2,3). ? ?

3.(人教 A 版教材例题改编) 不等式-x2+2x-3>0 的解集为___ ?.
4.已知集合 A= x|-5<x<1 ,集合 B={x∈R|(x-m)(x-2)<
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

-1 ,n=___. 1 0},且 A∩B=(-1,n),则 m=____

考点一

一元二次不等式的解法 (基础送分型考点——自主练透)

[必备知识]
设一元二次不等式为ax2+bx+c>0(a≠0),其中Δ=b2- 4ac,x1,x2是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根且x1<x2.
(1)当a>0时,若Δ>0,则不等式的解集为{x|x<x1,或x>x2};
? ? ? b 若Δ=0,则不等式的解集为?x?x∈R,且x≠-2a ? ? ? ? ? ?; ? ?

若Δ<0,则不等式的解集为R.

(2)当 a<0 时,若 Δ>0,则不等式的解集为{x|x1<x<x2}; 若 Δ=0,则不等式的解集为?; 若 Δ<0,则不等式的解集为?.

[题组练透]
1.已知不等式x2-2x-3<0的解集为A,不等式x2+x-6<0的解集 为B,不等式x2+ax+b<0的解集为A∩B,则a+b等于 A.-3 C.-1 B. 1 D.3 ( )

解析:由题意得,A={x|-1<x<3},B={x|-3<x<2}, ∴A∩B={x|-1<x<2},由根与系数的关系可知,a=- 1,b=-2,则a+b=-3,故选A.

2.解下列不等式: (1)-3x2-2x+8≥0; (2)0<x2-x-2≤4; (3)ax2-(a+1)x+1<0(a>0).

解:(1)原不等式可化为 3x2+2x-8≤0, 即(3x-4)(x+2)≤0. 4 解得-2≤x≤3,
? ? ? 4 ? ? 所以原不等式的解集为 x -2≤x≤3 ? ? ? ? ? ?. ? ?

(2)原不等式等价于
2 ? ?x -x-2>0, ? 2 ? ?x -x-2≤4 2 ? ?x -x-2>0, ?? 2 ? ?x -x-6≤0

? ??x-2??x+1?>0, ?? ? ??x-3??x+2?≤0

? ?x>2或x<-1, ?? ? ?-2≤x≤3.

借助于数轴,如图所示,

原不等式的解集为 x|-2≤x<-1或2<x≤3 .

? ? ? ? ?

? ? ? ? ?

(3)原不等式变为(ax-1)(x-1)<0,
? 1? 因为a>0,所以a?x-a?(x-1)<0. ? ?

1 所以当a>1时,解为a<x<1;当a=1时,解集为?; 1 当0<a<1时,解为1<x<a.
? ? ? 1 ? 综上,当0<a<1时,不等式的解集为 x?1<x<a ? ? ? ? ? ?; ? ?

当a=1时,不等式的解集为?;
? ? ?1 当a>1时,不等式的解集为?x?a<x<1 ? ? ? ? ? ?. ? ?

[类题通法]

1.解一元二次不等式的一般步骤

(1)化:把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式.

(2)判:计算对应方程的判别式.

(3)求:求出对应的一元二次方程的根,或根据判别式说明方
程有没有实根.

(4)写:利用“大于取两边,小于取中间”写出不等式的解集.

2.解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据 (1)二次项中若含有参数应讨论是等于0,小于0,还是大于0, 然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式.

(2)当不等式对应方程的根的个数不确定时,讨论判别式Δ与0 的关系. (3)确定无根时可直接写出解集,确定方程有两个根时,要讨 论两根的大小关系,从而确定解集形式.
[提醒] 当不等式中二次项的系数含有参数时,不要忘记讨论
其等于 0 的情况.

考点二 一元二次不等式恒成立问题 (常考常新型考点——多角探明)

[必备知识]
一元二次不等式恒成立的条件
? ?a=b=0, 2 (1)不等式 ax +bx+c>0 对任意实数 x 恒成立?? ? ?c>0, ? ?a>0, 或? ? ?Δ<0.

(2)不等式 ax +bx+c<0 对任意实数 x

2

? ?a=b=0, ? ?a<0, 恒成立?? 或? ?Δ<0. ? ? ?c<0,

[多角探明]
一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联 系.在解决具体的数学问题时,要注意三者之间的相互联系,并在 一定条件下相互转换.对于一元二次不等式恒成立问题,常根据二 次函数图象与 x 轴的交点情况确定判别式的符号,进而求出参数的 取值范围.

归纳起来常见的命题角度有: (1)形如 f(x)≥0(x∈R)确定参数的范围;

(2)形如 f(x)≥0(x∈[a, b])确定参数范围;

(3)形如 f(x)≥0(参数 m∈[a,b])确定 x 的范围.

角度一:形如 f(x)≥0(x∈R)确定参数的范围

1.已知不等式 mx2-2x-m+1<0,是否存在实数 m 对所有的 实数 x,不等式恒成立?若存在,求出 m 的取值范围;若不 存在,请说明理由.
解:不等式 mx2-2x-m+1<0 恒成立, 即函数 f(x)=mx2-2x-m+1 的图象全部在 x 轴下方. 1 当 m=0 时,1-2x<0,则 x> ,不满足题意; 2

当 m≠0 时,函数 f(x)=mx2-2x-m+1 为二次函数, 需满足开口向下且方程 mx2-2x-m+1=0 无解,
? ?m<0, 即? ? ?Δ=4-4m?1-m?<0,

不等式组的解集为空集,即 m 无解. 综上可知不存在这样的 m.

角度二:形如 f(x)≥0(x∈[a,b])确定参数范围

2.设函数 f(x)=mx2-mx-1(m≠0),若对于 x∈[1,3],f(x)< -m+5 恒成立,求 m 的取值范围.

解:要使 f(x)<-m+5 在[1,3]上恒成立, 则 mx -mx+m-6<0,即 上恒成立. 有以下两种方法:
2

? 1?2 3 m?x-2? + m-6<0 4 ? ?

在 x∈[1,3]

法一:令

? 1?2 3 g(x)=m?x-2? + m-6,x∈[1,3]. 4 ? ?

当 m>0 时,g(x)在[1,3]上是增函数, 所以 g(x)max=g(3)=7m-6<0. 6 6 所以 m< ,则 0<m< . 7 7 当 m<0 时,g(x)在[1,3]上是减函数, 所以 g(x)max=g(1)=m-6<0. 所以 m<6.所以 m<0. 综上所述,m
? ? ? 6 ? ? 的取值范围是 m 0<m<7或m<0 ? ? ? ? ? ?. ? ?

法二:因为 x

2

? 1 ?2 3 -x+1=?x-2? + >0, 4 ? ?

又因为 m(x2-x+1)-6<0, 6 所以 m< 2 . x -x+1 因为函数 y= 6 m< 即可. 7 因为 m≠0,所以 m
? ? ? 6 ? ? 的取值范围是 m m<0或0<m<7 ? ? ? ? ? ?. ? ?

6 6 6 = 在 [1,3] 上的最小值为 ,所以只需 2 ? ? 1 7 3 x -x+1 ?x- ?2+ 2? 4 ?

角度三:形如 f(x)≥0(参数 m∈[a,b])确定 x 的范围

3.对任意 m∈[-1,1],函数 f(x)=x2+(m-4)x+4-2m 的值恒 大于零,求 x 的取值范围.
解:由 f(x)=x2+(m-4)x+4-2m=(x-2)m+x2-4x+4, 令 g(m)=(x-2)m+x2-4x+4. 由题意知在[-1,1]上,g(m)的值恒大于零,
2 ? g ? - 1 ? = ? x - 2 ? × ? - 1 ? + x -4x+4>0, ? ∴? 2 ? g ? 1 ? = ? x - 2 ? + x -4x+4>0, ?

解得 x<1 或 x>3.

故当 x<1 或 x>3 时,对任意的 m∈[-1,1],函数 f(x)的值恒大 于零.

[类题通法]

恒成立问题及二次不等式恒成立的条件 (1)解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元,谁是参数.一般 地,知道谁的范围,就选谁当主元,求谁的范围,谁就是参数.
(2)对于二次不等式恒成立问题,恒大于 0 就是相应的二次函 数的图象在给定的区间上全部在 x 轴上方;恒小于 0 就是相应的 二次函数的图象在给定的区间上全部在 x 轴下方.

考点三

一元二次不等式的应用 (重点保分型考点——师生共研)
[典题例析]

甲厂以 x 千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求 1≤x≤10),每小时可获得利润是
? 3? 100?5x+1-x?元. ? ?

(1)要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 3 000 元,求 x 的取值 范围; (2)要使生产 900 千克该产品获得的利润最大,问:甲厂应该选取何 种生产速度?并求最大利润.

解:(1)根据题意,
? 3? 200?5x+1-x?≥3 ? ?

000,

3 整理得 5x-14-x≥0, 即 5x2-14x-3≥0, 又 1≤x≤10,可解得 3≤x≤10. 即要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 3 000 元,x 的取值 范围是[3,10].

(2)设利润为 y 元,则
? 3? 900 y= x · 100?5x+1-x? ? ?

1 3? =9×10 5+x-x2? ? ?
4?

?

=9×10

4?

? ?1 1? 61? ? 2 ? ? - - 3 + ? ?, x 6 12 ? ? ? ?

故 x=6 时,ymax=457 500 元. 即甲厂以 6 千克/小时的生产速度生产 900 千克该产品获得的利 润最大,最大利润为 457 500 元.

[类题通法]

求解不等式应用题的四个步骤 (1)阅读理解,认真审题,把握问题中的关键量,找准不等 关系.
(2)引进数学符号,将文字信息转化为符号语言,用不等式 表示不等关系,建立相应的数学模型.
(3)解不等式,得出数学结论,要注意数学模型中自变量的实 际意义.

(4)回归实际问题,将数学结论还原为实际问题的结果.

[演练冲关]

某商品每件成本价为 80 元, 售价为 100 元, 每天售出 100 件. 若 8 售价降低 x 成(1 成=10%),售出商品数量就增加 x 成(要求售 5 价不能低于成本价). (1)设该商店一天的营业额为 y,试求 y 与 x 之间的函数关系式 y =f(x),并写出定义域; (2)若要求该商品一天营业额至少为 10 260 元, 求 x 的取值范围.

解:(1)由题意得

? ? x? 8 ? y=100?1-10?· 100?1+50x? ? ? ? ?

=20(10-x)(50+8x) 因为售价不能低于成本价, 所以
? x? 100?1-10?-80≥0,解得 ? ?

x≤2.

所以 y=f(x)=20(10-x)(50+8x),定义域为[0,2]. (2)由题意得 20(10-x)(50+8x)≥10 260, 1 13 化简得 8x -30x+13≤0.解得 ≤x≤ . 2 4
2

所以 x

?1 ? 的取值范围是?2,2?. ? ?

“课后演练提能”见“课时跟踪检测(三十六)”
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