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导数的应用专题跟踪训练5


专题跟踪训练(五)
一、选择题 1.已知函数 f(x)的导函数为 f′(x),且满足 f(x)=2xf′(e)+lnx, 则 f′(e)=( A.1 C.-e-1 ) B.-1 D.-e

1 [解析] 依题意得, f′(x)=2f′(e)+x, 取 x=e 得 f′(e)=2f′(e) 1 1 +e,由此解得 f′(e)=-e =-e-1,故选 C. [答案] C 2.(2015· 洛阳期末)函数 f(x)=exsin x 的图象在点(0,f(0))处的切 线的倾斜角为( 3π A. 4 π C.4 ) π B.3 π D.6

[解析] 因为 f′(x)=exsin x+excos x,所以 f′(0)=1,即曲线 y =f(x)在点(0,f(0))处的切线的斜率为 1,所以在点(0,f(0))处的切线 π 的倾斜角为4,故选 C. [答案] C 3. (2015· 云南师大附中月考)若函数 f(x)=x3-tx2+3x 在区间[1,4] 上单调递减,则实数 t 的取值范围是( 51? ? A.?-∞, 8 ?
? ? ?51 ? C.? 8 ,+∞? ? ?

) B.(-∞,3] D.[3,+∞)

[解析] f′(x)=3x2-2tx+3,由于 f(x)在区间[1,4]上单调递减, 3? 1? 则有 f′(x)≤0 在[1,4]上恒成立,即 3x2-2tx+3≤0,即 t≥2?x+ x?在
? ? ?

1? 3? 1? 3? [1,4]上恒成立, 因为 y=2?x+ x?在[1,4]上单调递增, 所以 t≥2?4+4?=
? ? ?

51 8 ,故选 C. [答案] C 4.(2015· 合肥质检)一列火车在平直的铁轨上行驶,由于遇到紧 55 急情况,火车以速度 v(t)=5-t+ (t 的单位:s,v 的单位:m/s) 1+t 紧急刹车至停止.在此期间火车继续行驶的距离是( A.55ln 10 m C.(12+55ln 7) m [解析] 令 5-t+ B.55ln 11 m D.(12+55ln 6) m )

55 =0,注意到 t>0,得 t=10,即经过的时间 1+t
? ? ? ?

? 55 ? 1 ? ? ?dt=?5t- t2+55ln?t+1??|10 为 10 s;行驶的距离 s=∫10 0 ?5-t+ 0 = 2 t+1

55ln 11,即紧急刹车后火车运行的路程为 55ln 11 m,故选 B. [答案] B 5.(2015· 新课标全国卷Ⅱ)设函数 f′(x)是奇函数 f(x)(x∈R)的导 函数,f(-1)=0,当 x>0 时,xf′(x)-f(x)<0,则使得 f(x)>0 成立的 x 的取值范围是( )

A.(-∞,-1)∪(0,1) B.(-1,0)∪(1,+∞) C.(-∞,-1)∪(-1,0) D.(0,1)∪(1,+∞)

f ?x ? [解析] 令 F(x)= x ,因为 f(x)为奇函数,所以 F(x)为偶函数, 由于 F′(x)= xf′?x?-f?x? f ?x ? , 当 x >0 时, xf ′ ( x ) - f ( x )<0 , 所以 F ( x ) = 2 x x

f ?x ? 在(0,+∞)上单调递减,根据对称性,F(x)= x 在(-∞,0)上单调 递增,又 f(-1)=0,f(1)=0,数形结合可知,使得 f(x)>0 成立的 x 的取值范围是(-∞,-1)∪(0,1).故选 A. [答案] A 6.(2015· 新课标全国卷Ⅰ)设函数 f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中 a<1,若存在唯一的整数 x0 使得 f(x0)<0,则 a 的取值范围是(
? 3 ? A.?-2e,1? ? ? ? 3 3? C.?2e,4? ? ? ? 3 3? B.?-2e,4? ? ? ?3 ? D.?2e,1? ? ?

)

[解析] 由题意可知存在唯一的整数 x0, 使得 ex0(2x0-1)<ax0-a, 设 g(x)= ex(2x- 1),h(x)=ax- a,由 g′(x)= ex(2x+1)可知 g(x)在 1? ? ? 1 ? ?-∞,- ?上单调递减,在?- ,+∞?上单调递增,作出 g(x)与 h(x) 2? ? ? 2 ?

? ?h?0?>g?0? ? ? 的大致图象如图所示, 故 , 即? 3 ? - 2 a ≤ - ?h?-1?≤g?-1? ? e
≤a<1,故选 D.

a<1

3 , 所以2e

[答案] D 二、填空题 1 ? 1? ? 1-x2+ x?dx=________. 7.(2014· 石家庄一模)∫0 2
? ?

1 ? ? π 1 2 1 2 11 [解析] ∫1 0? 1-x +2x?dx=∫0 1-x dx+∫0 xdx= + . 2 4 4
? ?

π 1 [答案] 4+4 8.已知点 P 是曲线 y=x2-lnx 上的一个动点,则点 P 到直线 l: y=x-2 的距离的最小值为________. |x-?x2-ln x?-2| [解析] 设 P(x, y), 则点 P 到直线 l 的距离为 = 12+12 |x+ln x-x2-2| .令 h(x)=x+ 2 1 1 ln x-x2-2,则 h′(x)=1+x-2x(x>0).令 1+x-2x=0,解得 x =1, 即当 0<x<1 时, h′(x)>0, 此时 h(x)为增函数; 当 x>1 时, h′(x)<0, 此时 h(x)为减函数.所以当 x=1 时,h(x)取最大值,h(x)max=1+ln 1 -12-2=-2,所以|x+ln x-x2-2|min=2,所以点 P 到直线 l 的距离 的最小值为 [答案] 2 = 2. 2 2

9.(2015· 兰州诊断)已知函数 f(x)=x(ln x-ax)有两个极值点,则 实数 a 的取值范围是________.
?1 ? [解析] f′(x)=ln x-ax+x?x -a?=ln x-2ax+1, 令 f′(x)=ln x ? ?

-2ax+1=0 得 ln x=2ax-1,因为函数 f(x)=x(ln x-ax)有两个极值 点,所以 f′(x)=ln x-2ax+1 有两个零点,等价于函数 y=ln x 与 y =2ax-1 的图象有两个交点,在同一个坐标系中作出它们的图象,

过点(0,-1)作曲线 y=ln x 的切线,设切点为(x0,y0),则切线的斜 1 1 x0 率 k=x ,切线方程为 y=x x-1.切点在切线上,则 y0=x -1=0,又
0 0 0

切点在曲线 y=ln x 上,则 ln x0=0,x0=1,即切点为(1,0).切线方程 为 y=x-1.再由直线 y=2ax-1 与曲线 y=ln x 有两个交点, 知直线 y =2ax-1 位于两直线 y=-1 和 y=x-1 之间,其斜率 2a 满足: 1? ? 0<2a<1,解得实数 a 的取值范围是?0,2?.
? ?

1? ? [答案] ?0,2?
? ?

三、解答题 a 10.已知函数 f(x)=x-1+ex(a∈R,e 为自然对数的底数). (1)若曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于 x 轴,求 a 的值. (2)求函数 f(x)的极值. a a [解] (1)由 f(x)=x-1+ex,得 f′(x)=1-ex, 又曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于 x 轴, 所以 f′(1)=0, a 即 1-e =0,解得 a=e. a (2)f′(x)=1-ex, ①当 a≤0 时,f′(x)>0,f(x)为(-∞,+∞)上的增函数,所以函 数 f(x)无极值. ②当 a>0 时,令 f′(x)=0. 得 ex=a,x=ln a. 当 x∈(-∞,ln a)时,f′(x)<0; 当 x∈(ln a,+∞)时,f′(x)>0,

所以 f(x)在(-∞,ln a)上单调递减,在(ln a,+∞)上单调递增, 故 f(x)在 x=ln a 处取得极小值,且极小值为 f(ln a)=ln a,无极 大值. 综上,当 a≤0 时,函数 f(x)无极值;当 a>0 时,f(x)在 x=ln a 处取得极小值 ln a,无极大值. 2a 11.已知函数 f(x)=ln x+ x ,a∈R. (1)若函数 f(x)在[2,+∞)上是增函数,求实数 a 的取值范围; (2)若函数 f(x)在[1,e]上的最小值为 3,求实数 a 的值. 2a 1 2a [解] (1)∵f(x)=ln x+ x ,∴f′(x)=x - x2 . ∵f(x)在[2,+∞)上是增函数, 1 2a ∴f′(x)=x - x2 ≥0 在[2,+∞)上恒成立, x 即 a≤2在[2,+∞)上恒成立. x 令 g(x)=2,则 a≤[g(x)]min,x∈[2,+∞), x ∵g(x)=2在[2,+∞)上是增函数, ∴[g(x)]min=g(2)=1. ∴a≤1.所以实数 a 的取值范围为(-∞,1]. x-2a (2)由(1)得 f′(x)= x2 ,x∈[1,e]. ①若 2a<1,则 x-2a>0,即 f′(x)>0 在[1,e]上恒成立,此时 f(x) 在[1,e]上是增函数. 3 1 所以[f(x)]min=f(1)=2a=3,解得 a=2>2(舍去). ②若 1≤2a≤e,令 f′(x)=0,得 x=2a.

当 1<x<2a 时,f′(x)<0, 所以 f(x)在(1,2a)上是减函数,当 2a<x<e 时,f′(x)>0,所以 f(x) 在(2a,e)上是增函数. 所以[f(x)]min=f(2a)=ln(2a)+1=3, e2 解得 a= 2 >e(舍去). ③若 2a>e,则 x-2a<0,即 f′(x)<0 在[1,e]上恒成立, 此时 f(x)在[1,e]上是减函数. 2a e 所以[f(x)]min=f(e)=1+ e =3,得 a=e>2.适合题意. 综上 a=e. 12.设函数 f(x)=x2+aln(x+2),且 f(x)存在两个极值点 x1、x2, 其中 x1<x2. (1)求实数 a 的取值范围; (2)若 f(x1)>mx2 恒成立,求 m 的最小值. a [解] (1)由题可得 f′(x)=2x+ (x>-2). x+2 ∵函数 f(x)存在两个极值点 x1、x2,且 x1<x2, a ∴关于 x 的方程 2x+ =0,即 2x2+4x+a=0 在 x+2 (-2,+∞)内有两个不等实根. 令 S(x)=2x2+4x(x>-2)、 T(x)=-a, 则结合图象可得-2<-a<0, 即 0<a<2,

∴实数 a 的取值范围是(0,2). a=2x1x2, ? ? (2)由(1)知?x1=-2-x2, ? ?-1<x2<0, f?x1? f?x1? 问题转化为 x <m 恒成立, x = 2 2

x2 4 1+aln?x1+2? = x 2+ -2(x2+2)ln(-x2)+4. x2 x2 f?x1? 4 令-x2=x,则 0<x<1 且 x =-x-x+2(x-2)ln x+4,
2

4 令 F(x)=-x-x+2(x-2)ln x+4(0<x<1), 2?x-2? 4 4 4 则 F′(x)=-1+x2+2ln x+ x =x2-x+2ln x+1(0<x<1),
2 8 4 2 2?x +2x-4? 令 g(x) = F′(x) , 则 g′(x) = - x3 + x2 + x = = x3

2[?x+1?2-5] , x3 ∵0<x<1, ∴g′(x)<0,即 F′(x)在(0,1)上是减函数, ∴F′(x)>F′(1)=1>0, ∴F(x)在(0,1)上是增函数, f?x1? ∴F(x)<F(1)=-1,即 x <-1, 2

f?x1? 要使 x <m 恒成立,则 m≥-1,
2

∴m 的最小值为-1.


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