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【名师A计划】2017高考数学一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 第三节 三角函数的图象与性质课件 理


第三节 三角函数的图象与性质

考纲概述

考查热点 三角函 数的定 (1)能画出 y=sin x,y=cos x,y=tan x 的图象,了解三角 义域、值 域 函数的周期性; (2)理解正弦函数、余弦函 三角函 数在区间[0,2π]上的性质 数的单 (如单调性、最大值和最小 调性 值以及与 x 轴的交点等), 三角函 数的对 理解正切函数在区间 称性、奇 - , 内的单调性. 2 2 偶性、周 期性

考查频次 ★

备考指导

从近年的各地的考题来分 析,三角函数的周期性、单 调性、最值等是高考命题 ★★★★★ 的热点,通常与三角恒等 变换结合考查,但难度不 大,复习时以中低档题训 练为主. ★★★

1.“五点法”作图
(1)y=sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,0), (0,1), (2)y=cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为
π ,0 2 π ,1 2

,(π,0), ,(π,-1),

3π ,-1 2 3π ,0 2

,(2π,0) ,(2π,1)

. .

2.三角函数的图象和性质
函数 y=sin x y=cos x y=tan x

图象

定义域 R 值域 奇偶性 [-1,1] 奇

R [-1,1] 偶 R 奇

x x≠kπ+ ,k∈Z

π 2

对 称 性 最 小 正 周 期 单 调 性

对称轴:

x=kπ+ ,k∈ Z
2

π

对称轴:

x=kπ,k∈ Z kπ+ ,0 ,k∈ Z
2 π

对称中心:

(kπ,0),k∈ Z

对称中心:
π 2

对称中心:

,0 ,k∈ Z





π

单调递增区间: 2kπ- ,2kπ+
2 π π π 2

,k∈ Z ,k∈ Z

单调递增区间: [2kπ-π,2kπ ],k∈ Z 单调递减区间: [2kπ,2kπ+π],k∈ Z x=2kπ,k∈ Z 时 ,ymax=1;x=2kπ+π,k∈ Z 时,ymin=-1

单调递增区间: kπ- ,kπ+
2 π π 2

单调递减区间: 2kπ+ ,2kπ+
3π 2 π 2

,k∈ Z

最 值

x=2kπ+ ,k∈ Z
2

2 π

时,ymax=1;x=2kπ- ,k∈ Z 时,ymin=-1

3.常用的数学方法与思想
函数与方程思想、转化化归思想、数形结合思想.

1.判断下列说法是否正确(打“√”或“×”). (1)y=sin x 在第一象限是增函数. (1)× (2)x=π 是函数 y=cos x 图象的一条对称轴. (2)√ π (3)y=tan x 的最小正周期为2. (3)× 3π (4)y=sin + 是奇函数. 2 (4)×

( ( ( (

) ) ) )

2. (2016· 安徽六校联考) 下列函数中既不是奇函数也不是偶函数 的是 ( ) A.y=x+sin 2x B.y=x2-cos x 1 C.y=2x+ D.y=x2+sin x 2.D 【解析】利用奇偶函数的判断方法易知 A,C 为奇函数,B 为 偶函数,D 既不是奇函数也不是偶函数.
2

3. (2015· 四川高考) 下列函数中,最小正周期为 π 且图象关于原点 对称的函数是 ( ) A.y=cos 2 + B.y=sin 2 + 2 2 C.y=sin 2x+cos 2x D.y=sin x+cos x π 3.A 【解析】A 中,因为 y=cos 2 + = ?sin 2 ,
2 π π

所以该函数为奇函数, 其图象关于原点对称, 且最小正周期为 π, 符合题意; B 中, 因为 = sin 2 +
π 2

= cos 2 ,
π 4

其最小正周期为 π, 当 = 0 时, = 1, 所以图象不关于原点对称, 不符合题意; C 中, 因为 = sin 2 + cos 2 = √2sin 2 + , 其最小正周期为 π, 但当 = 0 时, = 1, 所以图象不关于原点对称, 不符合题意; D 中, = sin + cos = √2sin + 4 ,其最小正周期为 2π,不符合题意.
π

4. (2016· 浙江五校联考) 下列同时具有性质“①最小正周期是 π,② π 图象关于直线 x= 对称”的一个函数是 ( ) A.y=sin C.y=cos
π + 2 6 π 26 3

B.y=cos + D.y=sin
π 3

4.D 【解析】由周期公式可知最小正周期为 π 的只有 C,D 选项 中的函数;而当 x= 时, = cos 2cos = 0, 即 = cos 2sin 2sin
π 6 π 26 π 2 π 6

π 3 π 26

= cos 2 × ?
π 3 π 3

= sin 2 ×

π 6 π π 3 6

π 3

π 6

=

不是关于 = 对称, 而 = = sin = 1, 即 = 是函数 =
π 2

的一条对称轴.

5. (2015· 浙江高考) 函数 f(x)=sin2x+sin xcos x+1 的最小正周期 是 ,单调递减区间是 . 3π 7π 5.π π + ,π + ( ∈ ) 【解析】由于() = sin2 +
8 8

sin cos + 1 = (1 ? cos 2 ) + sin 2 + 1 = + , 则其最小正周期为 =
3π 2π + , 2 3 2



减区间.

2π π π = π; 由 2π + ≤ 2 ? ≤ 2 2 4 3π 7π , 可得π + ≤ ≤ π + ,k∈Z,即为其单调递 8 8

1 2

1 2

√2

2

sin 2 ?

π 4

考点 1 三角函数的定义域、值域
典例 1 函数 y= sin-cos 的定义域为 . 【解题思路】利用被开方数大于等于零构造三角不等式,再结合 三角函数图象求解.要使函数有意义,必须有 sin x-cos x≥0,即 sin x≥cos x,利用三角函数图象易得 x 2π, ∈ , 即定义域为 【参考答案】
π | + 4 π + 4

2π ≤ ≤

5π + 4

π 5π + 2π ≤ ≤ +2kπ,k∈Z 4 4 5π 2π ≤ ≤ + 2π,∈Z 4

.

典例 2

(2015· 北京丰台区一模) 已知函数 f(x)=cos

2

正周期为 π,求 ω 的值及函数 f(x)的最大值和最小值. 【解题思路】先将函数化为一名一角形式,再求解 . 【参考答案】f(x)=cos2
1+cos √3 + sin 2 2 1 √3 = sin + cos ωx 2 2 π =sin + , 6 2π 因为 T= =π,ω>0, ||

1 + √3sin cos ? (ω>0)的最小 2 2 2 2

=

1 + √3sin cos ? 2 2 2 2 1 ? 2

所以 ω=2,f(x)=sin 2 +

所以-1≤sin 2 +

π 6

π 6

,x∈R,

≤1.

所以函数 f(x)的最大值为 1,最小值为-1.

1.三角函数定义域的求法 (1)根式型问题 :先利用被开方数大于等于零,再利用函数图象确 定 x 的范围,然后利用周期写出所有的范围 ; (2)分式型问题 :令分母不为零求出对应的 x 的范围 ; (3)复合函数型问题 :利用复合过程分别限制,分别进行求解,再最 后取其交集. 2.三角函数值域的求法 化为 y=Asin(ωx+φ)+B 的形式求最值时,特别注意自变量的取值 范围对最大值、最小值的影响,可通过比较闭区间端点的取值与 最高点、最低点的取值来确定函数的最值.

【变式训练】
1 的定义域为 . tan-1 π π 1. | ≠ π + 且 ≠ π + ,∈Z 【解析】由 tan ? 1 4 2 π π 0 得 tan ≠ 1, 即 ≠ π + , ∈ , 又 ≠ π + , ∈ , 即 4 2 π π π + 且 ≠ π + ,k∈Z. 4 2

1.函数 y=

≠ ≠

2.函数 f(x)=3sin x+4cos x,x∈[0,π]的值域为 2.[-4,5] 【解析】f(x)=3sin x+4cos x=5
3 5

.
4 + cos 5 π < .∵ 0 ≤ 2

5sin( + ), 其中 cos = , sin = , 0 < π, ∴ ≤ + ≤ π + . ∴ 当 +

时,f(x)min=5sin(π+φ)=-5sin φ=-4.∴函数 f(x)的值域为[-4,5].

4 5 π = 时,f(x)max=5;当 2

3 sin 5

= ≤

x+φ=π+φ

考点 2 三角函数的单调性
典例 3 (2015· 大庆一模) 已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象与直线 y=b(0<b<A) 的三个相邻交点的横坐标分别是 2,4,8,则 f(x)的单调递增区间是 ( ) A.[6kπ,6kπ+3],k∈Z B.[6k-3,6k],k∈Z C.[6k,6k+3],k∈Z D.无法确定
【解题思路】数形结合确定周期与对称轴,然后利用公式分别求出 ω,φ,再利用正弦函数 y=sin x 的单调递增区间求解.由题得 T=6=
π × 3 2π ? π π 3 2

= , 且当 = 3 时函数值取得最大值, ∴ ,∴ ≤ +2kπ,即得
π 2

3 + = ? = ? , ∴ () = sin

π 2

π 2

π 3 π π π ? + 2π ≤ ? 2 3 2

6k≤x≤6k+3,k∈ Z.

【参考答案】 C

三角函数的单调区间求解时应注意 应遵循简单化原则,将解析式先化简成 y=Asin(ωx+φ)(Acos(ωx+φ)或 Atan(ωx+φ))形式 ,然后利用整体法 将 ωx+φ(ω>0)看作一个整体,利用 y=sin x,y=cos x,y=tan x 的单调 区间求出 x 的范围即为所求,特别是当 ω<0 时要先利用诱导公式 化为 ω>0 的情况 .

【变式训练】
(2015· 天津质检) 函数 f(x)=tan 2A. B. C. D.
π π π 5π - , + (k∈Z) 2 12 2 12 π π π 5π - , + (k∈Z) 2 12 2 12 π 5π π- ,π + (k∈Z) 12 12 π 2π π + ,π + (k∈Z) 6 3
π 2 5π π + ,k∈Z. 12 2

π 3

的单调递增区间是

(

)

B 【解析】由题得- + π < 2 ? <
π π + 12 2

π 3

π π + π, 即 ? + π 2 6

< 2 <

5π + 6

π, 所以 ?

< <

考点 3 三角函数的对称性、奇偶性、周期性
命题角度 1:三角函数的对称性 典例 4 0,|| < A.点 C.点
π 2

(2015· 云南玉溪一中模拟) 已知函数 f(x)=sin(ωx+φ) > 的最小正周期是 π,若其图象向右平移 个单位后得到 对称 B.直线 x= 对称 对称 D.直线
π 12 5π x= 对称 12 π 3

的函数为奇函数,则函数 y=f(x)的图象关于
π ,0 12 5π ,0 12

(

)

【解题思路】利用最小正周期的概念求出 sin( + ) > 0,|| <
π 2

π ω,再利用平移与 |φ|< 的限制求出, 2

进而得到函数解析式, 然后利用对称中心点与对称轴代入验证或直接求解. 因为() = 的最小正周期是 π, 所以 = 2, 即 = sin(2 + ), || <
π π π 2π , 其图象向右平移 个单位后得到的函数为 = sin 2 - + = sin 2 + , 2 3 3 3 2π π π 且为奇函数, 故 ? = π, ∈ , 又 || < , 所以 = ? , 因此 = () = 3 2 3 π 5π 5π π π 5π sin 2- , 当 = 时, = sin - = sin = 1, 即函数图象关于直线 = 对称 . 3 12 6 3 2 12

【参考答案】 D

命题角度 2:三角函数的奇偶性 典例 5
5π A.4

将函数 y=sin +
π B.4 π C. 4

函数的图象,则 φ 的取值不可能是

2

cos +
3π D. 4

2

的图象沿 x 轴向右平移 个单位后,得到一个偶 ( )

π 8

【解题思路】先将 y=sin

+ 2

cos

+ 2

化为 = sin( + )形式,
2 1 2

再利用平移与偶函数的概念求出或利用结论代入验算. 由 = sin + 得 = sin(2 + ), 向右平移 个单位后得到 = sin 2 ?
π 4 π 4 1 2 π 8 1 2 π 8

cos +

2

+ = sin 2 +

, 由题可知其为偶函数, 所以 ? = + π, ∈ , 解得 =

分别令 = ?2, ?1,0, 可分别得 = 这与 k∈Z 矛盾.

π 3π + π, ∈ , 2 4 5π π 3π 3π π ? , ? , , 另外令 = + π = , 解得 = 4 4 4 4 4

1 ? , 2

【参考答案】 C

命题角度 3:三角函数的周期性 典例 6 已知函数 f(x)=2sin

A.1 B.1- √3 C.-√3 D.0 【解题思路】求出函数的周期 ,再求出 f(x)函数值的周期性,最后求值即可 .函数
f(x)=2sin
π π + 2 3 π 2

π π + 2 3

,则 f(1)+f(2)+…+f(2015)的值为

(

)

+

π 3

, 所以函数的周期为 π = 4. 因为(1) + (2) + (3) + (4) = 2sin
2
π 3



+ 2sin π +

+ 2sin = ?√3.

3π π + 2 3

+ 2sin 2π +

π 3

=2×

1 √3 1 √3 - - + 2 2 2 2

= 0,

所以(1) + (2) + ? + (2015) = (1) + (2) + (3) + 503((1) + (2) + (3) + (4)) = 2 ×
1 √3 1 - 2 2 2

【参考答案】 C

1.三角函数的奇偶性的判断步骤 (1)看定义域是否关于原点对称(否则非奇非偶); (2)看 f(-x)与 f(x)的关系 ,f(-x)=f(x)为偶,f(-x)=-f(x)为奇 . 2.三角函数的对称性 (1)函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ 是常数,A>0,ω>0)的对称轴是使 f(x)取得最大、最小值时 的 x 的值 ;而其对称中心则是使函数值为 0 的点.正弦函数、余弦函数的对称中心一定在 图象上 ,而正切函数的对称中心为
π ,0 2

,不一定在图象上 .

(2)图象中在对称轴两边等距离的点的函数值相等 ;对称中心两边等距离的点的函数值互 为相反数,这些是数形结合解题的关键. 3.三角函数最小正周期的两种求法 (1)将所给函数化为 y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ),y=Atan(ωx+φ)的形式,正弦与余弦用公 2π π 式 T= 求 ,正切用 T= 求 ;
|| ||

(2)利用图象的根本特征求,作出图象,观察得出 .

【变式训练】
1.函数 f(x)=3-4sin22x 是 A.最小正周期为 π 的偶函数 B.最小正周期为 π 的奇函数 π C.最小正周期为 的偶函数
2 π D.最小正周期为 的奇函数 2
2π T= 4

(

)

1.C 【解析】因为 f(x)=3-2(1-cos 4x)=2cos 4x+1,则 则函数()是最小正周期为 的偶函数.
π 2

=

π , 又 (?) 2

= (),

2. (2015· 杭州学军中学月考) 已知 f(x)=√3sin x+cos x(x∈R),函数 y=f(x+φ)的图象关 于(0,0)对称,则 φ 的值可以是 ( ) π π π π A.B. C.D.
6 3 3 6

2.A 【解析】由 f(x)=√3sin + cos ( ∈ )得 = 2 2sin +
π 6 π 6

√3

2

× sin
π 6 π 6

1 + cos 2

=

, 则 = ( + )的表达式为 = 2sin + +
π 6

,

由于其图象关于原点(0,0)对称, 所以 + = π, = π ? , ∈ , 令 = 0 可得 = ? .

★备用练习 (2015· 北京高考) 已知函数 f(x)=√2sin · cos ? √2sin2 . (1)求 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)在区间[-π,0]上的最小值.
1-cos 2 √2 √2 √2 = 2 sin + 2 cos ? 2 π √2 =sin + 4 ? 2 ,

2

2

2

【解析】 (1)f(x)=√2sin 2 cos 2 ? √2sin22 =√2 ·2 sin ? √2 ·
1



∴f(x)的最小正周期为 T= 1 =2π. (2)∵-π≤x≤0, 3π π π ∴- 4 ≤ + 4 ≤ 4, ∴当 x+4 = ? 2 , 即 = ?
π π



3π √2 时 , ( ) 取得最小值为 ? 1 ? . 4 2

数形结合求解函数零点(交点)问题
典例 (2016· 河北定州中学月考) 已知函数 g(x)=1-cos
π 2

+ 2

0 < <

π 2

的图象过 )

点(1,2),若有 4 个不同的正数 xi 满足 g(xi)=M,且 xi<8(i=1,2,3,4),则 x1+x2+x3+x4 等于 ( A.12 B.20 C.12 或 20 D.无法确定

【解题思路】 (1)由函数图象过点(1,2)可确定函数表达式 ;(2)g(xi)=M 有四个不同的正 解 ,且 xi<8(i=1,2,3,4),可通过数形结合判断这些正解与相应的对称轴的关系.函数 π π π g(x)=1-cos + 2 0 < < 的图象过点(1,2),则有 2=1-cos + 2 ,则 sin
2

2φ=1,又因为 0<φ< ,所以 2φ= ,φ= ,因此 g(x)=1+sin x,因为 g(xi)=M 在两个周期之内 有四个解,所以 sin x=M-1 在一个周期内有两个解,如图所示 ;当 M-1>0 时 ,四个根中其 中两个关于 x=1 对称 ,另两个关于 x=5 对称 ,故其和为 2×1+5×2=12,当 M-1<0 时,四 个根中其中两个关于 x=3 对称 ,另两个关于 x=7 对称,故其和为 2×3+7×2=20,综上所 述 x1+x2+x3+x4=12 或 20.
π 2

π 2

π 2

2

π 4

π 2

2

【参考答案】 C

【针对训练】
函数
1 y= 的图象与函数 1-

y=2sin πx(-2≤x≤4)的图象所有交点的

横坐标之和等于 ( ) A.2 B.4 C.6 D.8 1 D 【解析】作出两个函数的图象如图,由图象可知,函数 y= 与
1-

y=2sin πx,x∈[-2,4]的图象有 8 个交点,两两关于点 A(1,0)对称,所 以每两个对称点的横坐标之和为 2,故所有交点的横坐标之和为 2×4=8.


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