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高中数学新课程创新教学设计案例50篇


16 直线与平面平行

教材分析
直线与平面平行是在研究了空间直线与直线平行的基础上进行的, 它是直线与直线平行 的拓广,也是为今后学习平面与平面平行作准备.在直线与平面的三种位置关系中,平行关 系占有重要地位, 是今后学习的必备知识. 所以直线与平面平行的判定定理和性质定理是这 节的重点,难点是如何解决好直线与直线平行、直线与平面平行相互联系的问题.突破难点 的关键是直线与直线平行和直线与平面平行的相互转化.

教学目标
1. 了解空间直线和平面的位置关系,理解和掌握直线与平面平行的判定定理和性质定 理,进一步熟悉反证法的实质及其证题步骤. 2. 通过探究线面平行的定义、判定、性质及其应用,进一步培养学生观察、发现问题 的能力和空间想象能力. 3. 培养学生的逻辑思维和合情推理能力,进而使其养成实事求是的学习态度.

任务分析
这节的主要任务是直线与平面平行的判定定理、 性质定理的发现与归纳, 证明与应用. 学 习时,要引导学生观察实物模型,分析生活中的实例,进而发现、归纳出数学事实,并在此 基础上分析和探索定理的论证过程, 区分判定定理和性质定理的条件和结论, 理解定理的实 质和直线与平面平行的判定. 在运用性质时, 要引导学生完成对“过直线———作平面——— 得交线———直线与直线平行”这一过程的理解和掌握.

教学设计
一、问题情境 教室内吊在半空的日光灯管、斜靠在墙边的拖把把柄,都可以看作直线的一部分,这些 直线与地平面有何位置关系? 二、建立模型 [问题一] 问题一] 1. 空间中的直线与平面有几种位置关系? 学生讨论,得出结论:

直线与平面平行、直线与平面相交(学生可能说出直线与平面垂直的情况,教师可作解 释)及直线在平面内. 2. 在上述三种位置中,直线与平面的公共点的个数各是多少? 学生讨论,得出相关定义: 若直线 a 与平面 α 没有公共点,则称直线与平面 α 平行,记作 a∥α.若直线 a 与平面 α 有且只有一个公共点,则称直线 a 与平面 α 相交. 当直线 a 与平面 α 平行或相交时均称直线 a 不在平面 α 内(或称直线 a 在平面 α 外).若直线 a 与平面 α 有两个公共点,依据公理 1, 知直线 a 上所有点都在平面 α 内,此时称直线 a 在平面 α 内. 3. 如何对直线与平面的位置关系的进行分类? 学生讨论,得出结论: 方法 1:按直线与平面公共点的个数分:

[探 索] 直线与平面平行、相交的画法. 教师用直尺、纸板演示,引导学生说明画法. 1. 画直线在平面内时,要把表示直线的线段画在表示平面的平行四边形内部,如图 16-1.

2. 画直线与平面相交时要画出交点,如图 16-2. 3. 画直线与平面平行时,一般要把表示直线的线段画在表示平面的平行四边形外,并 使它与平行四边形的一组对边或平面内的一条直平行,如图 16-3. [问题二] 问题二] 1. 如何判定直线与平面平行?教师演示:(1)教师先将直尺放在黑板内,然后慢慢平 移到平面外. (2)观察教室的门,然后教师转动的门的一条门边给人平行于墙面的感觉. 学生讨论,归纳和总结,形成判定定理. 定理 如果不在平面内的一条直线与平面内的一条直线平行, 那么这条直线和这个平面 平行.

已知:a

α,b?α,a∥b.

求证:a∥α.

分析:要证明直线与平面平行,根据定义,只要证明直线与平面没有公共点,这时可考 虑使用反证法.

证明:假设a不平行于 α,由a 若A

α,得a∩α=A.若 A∈b,则与已知a∥b矛盾;

b,则 a 与 b 是异面直线,与 a∥b 矛盾.所以假设不成立,故a∥α.

总结:此定理有三个条件,(1)a

α,(2)b

α,(3)a∥b.三个条件缺少

一个就不能推出a∥α 这一结论.此定理可归纳为“若线线平行,则线面平行”. 2. 当直线与平面平行时,直线与平面内的直线有什么位置关系?是否平行? 教师演示:教师先让直尺平行于讲桌面,再将纸板经过直尺,慢慢绕直尺旋转使纸板与 桌面相交. 学生讨论得出:直尺平行于纸板与桌面的交线. 师生共同归纳和总结,形成性质定理. 定理 如果一条直线和一个平面平行, 经过这条直线的平面和这个平面相交, 那么这条 直线就和两平面的交线平行. 已知:l∥a,l 求证:l∥m. β,α∩β=m.

证明:因为 l∥α,所以 l∩α= 内,且没有公共点,所以 l∥m. 总结:此定理的条件有三个: (1)l∥α,即线面平行. (2)l β,即过线作面.

,又因为m

α,所以 l∩m=

,由于 l,m都在 β

(3)β∩α=m,即面面相交. 三个条件缺一不可,此定理可简记为“若线面平行,则线与交线平行”. 三、解释应用 [例 题]

1. 已知:如图 16-5,空间四边形 ABCD,E,F 分别是 AB,AD 的中点.求证:EF∥ 平面 BCD.

证明:连接 BD,在△ABD 中, 因为 E,F 分别是 AB,AD 的中点, 所以 EF∥BD. 又因为 BD 是平面 ABD 与平面 BCD 的交线,EF∥平面 BCD,所以 EF∥平面 BCD. 2. 求证:如果过一个平面内一点的直线平行于与该平面平行的一条直线,则这条直线 在这个平面内. 已知:l∥α,点 P∈α,P∈m,m∥l(如图 16-6). 求证;m α.

证明:设 l 与 P 确定的平面为 β,且 α∩β=m′,则l∥m′.又知l∥m,m∩m′=P, 由平行公理可知,m与m′重合.所以 m α.

[练 习] 1. 已知:如图 16-7,长方体 AC′.求证:B′D′∥平面 ABCD.

2. 如图 16-8, 一个长方体木块 ABCD-A1B1C1D1, 如果要经过平面 A1C1 内一点 P 和棱 BC 将木块锯开,那么应该怎样画线? 四、拓展延伸 1. 教室内吊在半空中的日光灯管平行于地面,也平行于教室的一墙面,试探讨它和这 个墙面与地面的交线之间有什么样的位置关系? 2. 已知:如图 16-9,正方形 ABCD 和正方形 ABEF 不在同一平面内,点 M,N 分别是 对角线 AC,BF 上的点.问:当 M,N 满足什么条件时,MN∥平面 BCE.

3. 如果三个平面两两相交于三条直线,那么这三条直线有怎样的位置关系.

点 评
这篇案例从学生身边的实例出发,引导学生抽象出直线与平面平行、相交的定义,又通 过演示, 总结和归纳出直线与平面平行的判定及性质定理, 整个过程都把学科理论和学生面 临的实际生活结合起来,使学生能较好地理解和把握学科知识.同时,培养了学生的探索创 新能力和实践能力,激发了学生的学习兴趣.


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