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《椭圆的简单几何性质》导学案一


高二数学选修 2-1 编号:SX—2012—理科—009

§2. 2.2《椭圆的简单几何性质》导学案一
编写:林文国 审核:高二理科组 时间:2012-1-14

姓名: 班级: 组别: 组名: 【学习目标】 1.使学生了解并掌握椭圆的范围. 2 使学生掌握椭圆的对称性,明确标准方程所表示的椭圆的对称轴、对称中心. 3.使学生掌握椭圆的顶点坐标、长轴长、短轴长以及 a、b、c 的几何意义,明确标准方程所表示的椭 圆的截距. 4.使学生掌握离心率的定义及其几何意义. 【重点】椭圆的简单几何性质. 【难点】椭圆的简单几何性质. (这是第一次用代数的方法研究几何图形的性质的) 【学法指导】观察、归纳、数形结合法。 【知识链接】 1、椭圆的定义: 2、当焦点在 x 轴时,椭圆标准方程为: 当焦点在 y 轴时,椭圆标准方程为: (其中 a,b,c 三者的关系为: 【学习过程】 ,2c 叫 ;焦点坐标为: ;焦点坐标为: )。 ; ;



椭圆的简单几何性质
研究曲线的几何性质就是从整体上把握曲线的形状、大小和位置. 那么如何研究曲线的几何特征呢? 在解析几何里,我们是通过对曲线的方程的讨论来研究曲线的几何特征的. 所以对于椭圆,我们是从椭圆的定义(几何特征)出发先建立了椭圆的标准方程,再利用椭圆的标准

方程研究它的几何性质,包括椭圆的形状、大小、对称性和位置等。 由椭圆的标准方程

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )你能得到什么结论: a2 b2

问题 1、画出此椭圆的图像:

问题 2、由图像知此椭圆的范围是:

问题 3、图像具有怎样的对称性,为什么:

问题 4、图像上有哪些点比较特殊?这些点叫做椭圆的

点:

问题 5、若点 A1 , A2 ; B1 , B2 坐标分别为 (?a,0), (a,0); (0 ? b), (0, b) ,则线段 A1 A2 , B1 B 2 分别叫做椭圆 的 长。 , ;它们的长分别等于 , ; a 和 b 分别叫做 的 长和短半轴

【思考】能否说椭圆图像关于长轴、短轴对称?能否说椭圆长轴是 x 轴、短轴是 y 轴?

问题 6、观察椭圆图像,在长半轴 a 不变的情况下改变半焦距 c 的值,你发现了什么?

定义:椭圆的焦距与长轴长的比 叫做 ,用 e 表示,即 。 问题 7、离心率是用来刻画什么的量,当它变化时椭圆的什么随之变化,是怎样变化的?

练习:比较下列每组中的椭圆的形状,那一个更圆,那一个更扁?为什么? (1) 9 x ? y ? 36 与
2 2

x 2 y2 ? ?1 16 12

(2) x ? 9 y ? 36 与
2 2

x2 y2 ? ?1 6 10

问题 8、当椭圆方程为 一给出)

y2 x2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 ) 时,它的几何性质如何?(试仿照上面的讨论,一 a2 b2

二 例题选讲

例 1 求椭圆 16 x ? 9 y ? 144 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标。
2 2

例 2 求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)经过点 P(-3,0),Q(0,-2); (2)长轴长等于 20, 离心率等于

3 ; 5

(3)长轴长是短轴长的 3 倍,且经过点 P(3,0) ; (4)焦距是 8,离心率等于 0.8.

例 3 点 M ( x, y ) 与定点 F (3,0) 的距离和它到直线 l : x ?

25 3 的距离之比是常数 , 3 5

(1) 求点 M 的轨迹, (2)在点 M 的轨迹中那一点到点 F 的距离最小,那一点到点 F 的距离最大?

【小结】:

曲线 定义

椭圆 平面内与两个定点 F1、 F2 的距离的和等于常数 (大于|F1F2|) 的点的轨迹

标准方程

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2

图形

顶点坐标 对称轴

(±b,0),(0,±a)

x 轴长轴长 2a y 轴短轴长 2b

x轴 y轴

焦点坐标 离心率

(±c,0)c= a ? b
2

2

c= a 2 ? b 2
0<

0<

c c ? 1(e ? ) a a

c c ? 1(e ? ) a a

【当堂检测】 : 1.椭圆 25 x ? 9 y ? 225 的长轴长、短轴长、离心率依次是
2 2



2.在 x 轴上的一个焦点与短轴的两个端点的连线互相垂直,且焦距为 8 的椭圆的标准方程为 顶点坐标分别是 。

3.短轴长是 8,离心率为

3 的椭圆的标准方程是 5

【课后反思】
本次课我掌握了哪些知识 我还有哪些不懂得知识 我对导学案有哪些改进的意见


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