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2015第六篇+不等式


第六篇 不等式

A

第1讲 [最新考纲]

不等关系与不等式

1.了解现实世界和日常生活中的不等关系. 2.了解不等式(组)的实际背景. 3.掌握不等式的性质及应用.

知 识 梳 理 1.两个实数比较大小的方法

?a-b>0?a>b, (1)作差法?a-b=0?a=b, ?a-b<0?a<b;
b>1?a>b?a∈R,b>0?, ? ?a (2)作商法?b=1?a=b?a∈R,b>0?, ? ?a b<1?a<b?a∈R,b>0?. 2.不等式的性质 (1)对称性:a>b?b<a; (2)传递性:a>b,b>c?a>c; (3)可加性:a>b?a+c>b+c,a>b,c>d?a+c>b+d; (4)可乘性:a>b,c>0?ac>bc;a>b>0,c>d>0?ac>bd; (5)可乘方:a>b>0?an>bn(n∈N,n≥1); n n (6)可开方:a>b>0? a> b(n∈N,n≥2). a

辨 析 感 悟 1.对两个实数大小的比较的认识 (1)两个实数 a,b 之间,有且只有 a>b,a=b,a<b 三种关系中的一种.(√) a (2)若b>1.则 a>b.(×) 2.对不等式性质的理解 (3)在一个不等式的两边同乘以一个非零实数,不等式仍然成立.(×) (4)同向不等式具有可加性和可乘性.(×) 1 (5)(2014· 丽水模拟改编)设 a,b 为实数,则“0<ab<1”是“b< ”成立的既不 a 充分也不必要条件.(√) 1 1 (6)(2013· 北京卷改编)若 a>b,则a<b.(×) 若 a>b,则 a2>b2.(×) 若 a>b,则 a3>b3.(√) [感悟· 提升] 两个防范 一是在使用不等式时,一定要搞清它们成立的前提条件,不可强化或 弱化成立的条件, 如“同向不等式”才可相加、 “同向且两边同正的不等式”才 可相乘;“可乘性中的”c 的符号等都需注意,如(2)、(3)、(4). 二是利用特值法判断两个式子大小时,错误的关系式,只需取特值举反例即可, 1 1 而正确的关系式,则需推理论证.如(6)中当 a=1,b=-2 时,a<b不成立;当 a=-1,b=-2 时,a2>b2 不成立. 学生用书 第 94 页

考点一

用不等式(组)表示不等关系

【例 1】 某商人如果将进货单价为 8 元的商品按每件 10 元销售, 每天可销售 100 件,现在他采用提高售价,减少进货量的办法增加利润.已知这种商品的单价每 提高 1 元,销售量就相应减少 10 件.若把提价后商品的单价设为 x 元,怎样用 不等式表示每天的利润不低于 300 元?

x-10 解 若提价后商品的单价为 x 元,则销售量减少 1 ×10 件,因此,每天的利 润为(x-8)[100-10(x-10)]元, 则“每天的利润不低于 300 元”可以表示为不等 式(x-8)[100-10(x-10)]≥300. 规律方法 对于不等式的表示问题,关键是理解题意,分清变化前后的各种量, 得出相应的代数式,然后用不等式表示.而对于涉及条件较多的实际问题,则往 往需列不等式组解决. 【训练 1】 某化工厂制定明年某产品的生产计划,受下面条件的制约:生产此 产品的工人不超过 200 人;每个工人的年工作时间约为 2 100 h;预计此产品明 年的销售量至少为 80 000 袋; 生产每袋产品需用 4 h;生产每袋产品需用原料 20 kg;年底库存原料 600 t,明年可补充 1 200 t.试根据这些数据预测明年的产量.



?4x≤200×2 100, 设明年的产量为 x 袋,则?x≥80 000, ?0.02x≤600+1 200,

解得 80 000≤x≤90 000. 预计明年的产量在 80 000 袋到 90 000 袋之间. 考点二 比较大小

ln 2 ln 3 ln 5 【例 2】 (1)若 a= 2 ,b= 3 ,c= 5 ,则 A.a<b<c <a C.c<a<b <c (2)已知 a≠1 且 a∈R,试比较 (1)解析 1 与 1+a 的大小. 1-a D.b <a B. c<b

b 2ln 3 a 5ln 2 易知 a, b, c 都是正数, 所以 b>a; a=3ln 2=log89>1, c=2ln 5=log2532

>1,所以 a>c.即 c<a<b.故选 C. 答案 C (2)解 1 a2 ∵ -(1+a)= , 1-a 1-a

当 a=0 时,

a2 1 =0,∴ =1+a; 1-a 1-a

a2 当 a<1,且 a≠0 时, >0, 1-a 1 ∴ >1+a; 1-a a2 1 当 a>1 时, <0,∴ <1+a. 1-a 1-a 规律方法 (1)比较大小时,要把各种可能的情况都考虑进去,对不确定的因素需 进行分类讨论,每一步运算都要准确,每一步推理都要有充分的依据. (2)用作商法比较代数式的大小一般适用于分式、指数式、对数式,作商只是思 路,关键是化简变形,从而使结果能够与 1 比较大小. 【训练 2】 (2012· 四川卷)设 a,b 为正实数.现有下列命题: 1 1 ①若 a2-b2=1,则 a-b<1;②若b-a=1,则 a-b<1;③若| a- b|=1,则 |a-b|<1;④若|a3-b3|=1,则|a-b|<1. 其中的真命题有________(写出所有真命题的编号). 解析 ①中,a2-b2=(a+b)(a-b)=1,a,b 为正实数,若 a-b≥1,则必有 a +b>1,又 a-b= 1 ,不合题意,故①正确. a+b

1 1 a-b 2 ②中,b-a= ab =1,只需 a-b=ab 即可.如取 a=2,b=3满足上式,但 a 4 -b=3>1,故②错. ③中,a,b 为正实数,所以 a+ b>| a- b|=1, 且|a-b|=|( a+ b)( a- b)|=| a+ b|>1,故③错. ④中,|a3-b3|=|(a-b)(a2+ab+b2)|=|a-b|(a2+ab+b2)=1. 若|a-b|≥1,不妨取 a>b>1,则必有 a2+ab+b2>1,不合题意,故④正确. 答案 ①④ 考点三 不等式的性质及其应用

【例 3】 (1)(2014· 泉州模拟)若 x>y,a>b,则在①a-x>b-y,②a+x>b+y, a b ③ax>by,④x-b>y-a,⑤ y>x这五个式子中,恒成立的所有不等式的序号是

________. (2)(2012· 湖南卷)设 a>b>1,c<0,给出下列三个结论: c c ①a>b;②ac<bc;③logb(a-c)>loga(b-c). 其中所有的正确结论的序号是 A.① C.②③ 审题路线 ( ).

解析 (1)令 x=-2,y=-3,a=3,b=2,符合题设条件 x>y,a>b, ∵a-x=3-(-2)=5,b-y=2-(-3)=5, ∴a-x=b-y,因此①不成立. 又∵ax=-6,by=-6,∴ax=by,因此③也不成立. a 3 b 2 又∵y= =-1,x= =-1, -3 -2 a b ∴y=x,因此⑤不成立. 由不等式的性质可推出②④成立. 1 1 c c (2)由不等式性质及 a>b>1 知a<b,又 c<0,所以a>b,①正确;构造函数 y=xc, ∵c<0,∴y=xc 在(0,+∞)上是减函数,又 a>b>1,∴ac<bc,知②正确;∵ a>b>1,a-c>0,∴a-c>b-c>1,∵a>b>1,∴logb(a-c)>loga(a-c)> loga(b-c),知③正确. 答案 (1)②④ (2)D

规律方法 (1)判断不等式是否成立,需要逐一给出推理判断或反例说明.常用的 推理判断需要利用不等式的性质.

(2)在判断一个关于不等式的命题真假时,先把要判断的命题和不等式性质联系 起来考虑,找到与命题相近的性质,并应用性质判断命题真假,当然判断的同时 还要用到其他知识,比如对数函数,指数函数的性质等. 1 1 1 1 1 【训练 3】 若a<b<0,则下列不等式:① <ab;②|a|+b>0;③a-a>b a+b 1 -b;④ln a2>ln b2 中,正确的不等式是 A.①④ C.①③ 解析 法一 1 1 1 由a<b<0,可知 b<a<0.①中,因为 a+b<0,ab>0,所以 a+b ( ).

1 1 1 <0,ab>0.故有 < ,即①正确;②中,因为 b<a<0,所以-b>-a>0. a+b ab 1 1 故-b>|a|,即|a|+b<0,故②错误;③中,因为 b<a<0,又a<b<0,所以 a 1 1 -a>b-b,故③正确;④中,因为 b<a<0,根据 y=x2 在(-∞,0)上为减函数, 可得 b2>a2>0,而 y=ln x 在定义域(0,+∞)上为增函数,所以 ln b2>ln a2,故 ④错误.由以上分析,知①③正确. 1 1 法二 因为a<b<0,故可取 a=-1,b=-2. 显然|a|+b=1-2=-1<0,所以②错误; 因为 ln a2=ln(-1)2=0,ln b2=ln(-2)2=ln 4>0,所以④错误.综上所述,可排 除②④. 答案 C

1.判断不等式是否成立,主要利用不等式的性质和特殊值验证两种方法,特别 是对于有一定条件限制的选择题,用特殊值验证的方法更简便. ?ab>0, 1 1 ?ab>0, 1 1 2.倒数关系在不等式中的作用:? ?a<b;? ?a>b. ?a>b ?a<b 3.比较法是不等式性质证明的理论依据,是不等式证明的主要方法之一,作差 法的主要步骤为:作差——变形——判断正负.在所给不等式是积、商、幂的形

式时,可考虑比 商.

易错辨析 6——多次使用同向不等式的可加性而致误 【典例】 设 f(x)=ax2+bx,若 1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,则 f(-2)的取值范围是 ________. [错解] ?1≤f?-1?≤2, ?1≤a-b≤2, 由? 得? ?2≤f?1?≤4, ?2≤a+b≤4. ① ②

3 1 ①+②得2≤a≤3.②-①得2≤b≤1. 由此得 4≤f(-2)=4a-2b≤11. 所以 f(-2)的取值范围是[4,11]. [答案] [4,11] [错因] 本题错解的主要原因是多次使用同向不等式的可加性而导致了 f(-2)的

范围扩大. [正解] 法一 设 f(-2)=mf(-1)+nf(1)(m,n 为待定系数),则 4a-2b=m(a-

b)+n(a+b), 即 4a-2b=(m+n)a+(n-m)b. ?m+n=4, ?m=3, 于是得? 解得? ?n-m=-2, ?n=1, ∴f(-2)=3f(-1)+f(1). 又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4, ∴5≤3f(-1)+f(1)≤10,故 5≤f(-2)≤10. ?f?-1?=a-b, 法二 由? ?f?1?=a+b, 1 ? ?a=2[f?-1?+f?1?], 得? 1 ? ?b=2[f?1?-f?-1?], ∴f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1). 又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,

∴5≤3f(-1)+f(1)≤10, 故 5≤f(-2)≤10.

?1≤a-b≤2, 法三 由? ?2≤a+b≤4 确定的平面区域如图阴影部分, 当 f(-2)=4a-2b 过点 ?3 1? A?2,2?时, ? ? 3 1 取得最小值 4×2-2×2=5, 当 f(-2)=4a-2b 过点 B(3,1)时, 取得最大值 4×3-2×1=10, ∴5≤f(-2)≤10. [答案] [5,10] [防范措施] 利用不等式性质求某些代数式的取值范围时,多次运用不等式的性

质时有可能扩大变量的取值范围.解决此类问题一般是利用整体思想,通过“一 次性”不等关系的运算求得待求整体的范围,是避免错误的有效途径. 【自主体验】 如果-1<a+b<3,3<a-b<5,那么 2a-3b 的取值范围是( A.(2,8) B.(5,14) ).

C.(6,13) D.(7,13) 解析 设 a+b=x,a-b=y, x+y x-y ∴-1<x<3,3<y<5,a= 2 ,b= 2 , 3 1 5 ∴2a-3b=x+y-2(x-y)=-2x+2y. 3 1 1 15 5 25 又∵-2<-2x<2, 2 <2y< 2 ,

1 5 ∴6<-2x+2y<13, ∴2a-3b 的取值范围是(6,13). 答案 C

对应学生用书 P297 基础巩固题组

(建议用时:40 分钟)

一、选择题 1.(2014· 深圳一模)设 x,y∈R,则“x≥1 且 y≥2”是“x+y≥3”的( ).

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3 解析 由不等式性质知当 x≥1 且 y≥2 时,x+y≥3;而当 x=2,y=2时满足 x +y≥3,但不满足 x≥1 且 y≥2,故“x≥1 且 y≥2”是“x+y≥3”的充分而不 必要条件. 答案 A 2.(2014· 保定模拟)已知 a>b,则下列不等式成立的是( A.a2-b2≥0 B.ac>bc C.|a|>|b| D.2a>2b 解析 A 中,若 a=-1,b=-2,则 a2-b2≥0 不成立;当 c=0 时,B 不成立; 当 0>a>b 时,C 不成立;由 a>b 知 2a>2b 成立,故选 D. 答案 D 3.(2014· 河南三市三模)已知 0<a<1,x=loga 2+loga 1 3,y=2loga5,z=loga ).

21-loga A.x>y>z

3,则(

).

B.z>y>x

C.z>x>y D.y>x>z 解析 由题意得 x=loga 6,y=loga 5,z=loga 7,而 0<a<1,∴函数 y=loga x 在(0,+∞)上单调递减,∴y>x>z. 答案 D 4.已知 a<0,-1<b<0,那么下列不等式成立的是( A.a>ab>ab2 C.ab>a>ab2 B.ab2>ab>a D.ab>ab2>a ).

解析 由-1<b<0,可得 b<b2<1,又 a<0, ∴ab>ab2>a. 答案 D 5.(2014· 晋城模拟)已知下列四个条件:①b>0>a,②0>a>b,③a>0>b,④a>b>0, 1 1 能推出a<b成立的有( A.1 个 B.2 个 ). D.4 个

C.3 个

1 1 解析 运用倒数性质,由 a>b,ab>0 可得a<b,②、④正确.又正数大于负数, ①正确,③错误,故选 C. 答案 C 二、填空题 6.(2013· 扬州期末)若 a1<a2,b1<b2,则 a1b1+a2b2 与 a1b2+a2b1 的大小关系是 ________. 解析 作差可得(a1b1+a2b2)-(a1b2+a2b1)=(a1-a2)· (b1-b2),∵a1<a2,b1<b2, ∴(a1-a2)(b1-b2)>0,即 a1b1+a2b2>a1b2+a2b1. 答案 a1b1+a2b2>a1b2+a2b1 π π 7.若角 α,β 满足-2<α<β<2,则 2α-β 的取值范围是________. π π 解析 ∵-2<α<β<2, π π ∴-π<2α<π,-2<-β<2,

3π 3π ∴- 2 <2α-β< 2 , π 又∵2α-β=α+(α-β)<α<2, 3π π ∴- 2 <2α-β<2. ? 3π π? 答案 ?- 2 ,2? ? ? 8.(2014· 大庆模拟)对于实数 a,b,c 有下列命题:①若 a>b,则 ac<bc;②若 ac2>bc2,则 a>b;③若 a<b<0,则 a2>ab>b2;④若 c>a>b>0,则 a > c-a

b 1 1 ;⑤若 a>b,a>b,则 a>0,b<0.其中真命题是________(把正确命题的序 c-b 号写在横线上). 解析 若 c>0,则①不成立; 由 ac2>bc2 知 c2≠0,则 a>b,②成立; 由 a<b<0 知 a2>ab>b2,③成立; 由 c>a>b>0,得 0<c-a<c-b,则 1 1 a b > ,则 > ,④成立; c-a c-b c-a c-b

1 1 b-a 若 a>b,a-b= ab >0,则 a>0,b<0,⑤成立. 答案 ②③④⑤ 三、解答题 9.比较下列各组中两个代数式的大小: (1)3x2-x+1 与 2x2+x-1; (2)当 a>0,b>0 且 a≠b 时,aabb 与 abba. 解 (1)∵3x2-x+1-2x2-x+1=x2-2x+2=(x-1)2+1>0, ∴3x2-x+1>2x2+x -1. aabb a-b b-a a-b?1?a-b ?a?a-b (2)abba=a b =a ?b? =?b? . ? ? ? ? a ?a? 当 a>b,即 a-b>0,b>1 时,?b?a-b>1,∴aabb>abba. ? ? a ?a? 当 a<b,即 a-b<0,0<b<1 时,?b?a-b>1, ? ?

∴aabb>abba. ∴当 a>0,b>0 且 a≠b 时,aabb>abba. 10.甲、乙两人同时从寝室到教室,甲一半路程步行,一半路程跑步,乙一半时 间步行,一半时间跑步,如果两人步行速度、跑步速度均相同,试判断谁先到教 室? 解 设从寝室到教室的路程为 s,甲、乙两人的步行速度为 v1,跑步速度为 v2, 且 v1<v2. s s s?v1+v2? 甲所用的时间 t 甲=2v +2v = 2v v , 1 2 1 2 乙所用的时间 t 乙= 2s , v1+v2

t甲 s?v1+v2? v1+v2 ?v1+v2?2 ∴ = 2v v × 2s = 4v v t乙 1 2 1 2
2 v2 1+v2+2v1v2 4v1v2 = >4v v =1. 4v v 1 2 1 2

∵t 甲>0,t 乙>0,∴t 甲>t 乙,即乙先到教室. 能力提升题组 (建议用时:25 分钟)

一、选择题 1.下面四个条件中,使 a>b 成立的充分不必要条件是( A.a>b+1 B.a>b-1 C.a2>b2 D.a3>b3 ).

解析 由 a>b+1,得 a>b+1>b,即 a>b,而由 a>b 不能得出 a>b+1,因 此,使 a>b 成立的充分不必要条件是 a>b+1. 答案 A 2.已知实数 a,b,c 满足 b+c=6-4a+3a2,c-b=4-4a+a2,则 a,b,c 的 大小关系是( A.c≥b>a C.c>b>a ). B.a>c≥b D.a>c>b

解析 c-b=4-4a+a2=(2-a)2≥0,∴c≥b,将已知两式作差得 2b=2+2a2, 即 b=1+a2,

1? 3 ? ∵1+a2-a=?a-2?2+4>0,∴1+a2>a, ? ? ∴b=1+a2>a,∴c≥b>a. 答案 A 二、填空题 3.(2014· 三门峡二模)给出下列条件:①1<a<b;②0<a<b<1;③0<a<1< 1 1 b.其中,能推出 logbb<logab<logab 成立的条件的序号是________. 1 1 1 1 1 解析 若 1<a<b,则b<a<1<b,∴logab<logaa=-1=logbb,故条件①不成 立; 1 1 若 0<a<b<1,则 b<1<b<a, 1 1 1 ∴logab>logab>logaa=-1=logbb,故条件②成立; 1 1 若 0<a<1<b,则 0<b<1,∴logab>0,logab<0,故条件③不成立. 答案 ② 三、解答题 4.设 0<x<1,a>0 且 a≠1,比较|loga(1-x)|与|loga(1+x)|的大小. 解 法一 作差比较

当 a>1 时,由 0<x<1 知, loga(1-x)<0,loga(1+x)>0, ∴|loga(1-x)|-|loga(1+x)| =-loga(1-x)-loga(1+x)=-loga(1-x2), ∵0<1-x2<1,∴loga(1-x2)<0, 从而-loga(1-x2)>0,故|loga(1-x)|>|loga(1+x)|. 当 0<a<1 时,同样可得|loga(1-x)|>|loga(1+x)|. 法二 平方作差 |loga(1-x)|2-|loga(1+x)|2 =[loga(1-x)]2-[loga(1+x)]2 =loga(1-x2)· loga 1-x 1+x

2x ? ? =loga(1-x2)· loga?1-1+x?>0. ? ? ∴|loga(1-x)|2>|loga(1+x)|2, 故|loga(1-x)|>|loga(1+x)|. 法三 作商比较 |loga?1-x?| ?loga?1-x?? ?=|log(1+x)(1-x)|, ∵ =? |loga?1+x?| ?loga?1+x?? ∵0<x<1,∴log(1+x)(1-x)<0, |loga?1-x?| 1 故 =-log(1+x)(1-x)=log(1+x) |loga?1+x?| 1-x 1 ? 1 ? 1 =1+log(1+x)?1-x· =1+log(1+x) . 1+x? 1-x2 ? ? 由 0<x<1 知,1+x>1 及 1 >1, 1-x2

|loga?1-x?| 1 ∴log(1+x) >1, 2>0,故 1-x |loga?1+x?| ∴|loga(1-x)|>|loga(1+x)|. 学生用书 第 96 页 第2讲 [最新考纲] 1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型. 2. 通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的关系. 3.会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图. 一元二次不等式及其解法

知 识 梳 理 1.一元二次不等式的解法 (1)将不等式的右边化为零,左边化为二次项系数大于零的不等式 ax2+bx+c> 0(a>0)或 ax2+bx+c<0(a>0). (2)计算相应的判别式. (3)当 Δ≥0 时,求出相应的一元二次方程的根.

(4)利用二次函数的图象与 x 轴的交点确定一元二次不等式的解集. 2.三个“二次”间的关系 判别式 Δ=b2-4ac 二次函数 y=ax2+ bx+c (a>0)的图 象 一元二次方程 ax2 +bx+c=0 (a>0) 的根 ax2+bx+c>0 (a >0)的解集 ax2+bx+c<0 (a >0)的解集 有两相异实根 x1, x2(x1<x2) 有两相等实根 x1=x2= b -2a
? b? ?x|x≠- ? 2a? ?

Δ>0

Δ=0

Δ<0

没有实数根

{x|x>x2 或 x<x1}

R

{x|x1<x<x2} 辨 析 感 悟

?

?

1.对一元二次不等式的解法的理解 (1)(2013· 广东卷改编)不等式 x2+x-2<0 的解集为-2<x<1.(×) (2)若不等式 ax2+bx+c<0 的解集为(x1,x2),则必有 a>0.(√) (3)若不等式 ax2+bx+c>0 的解集是(-∞,x1)∪(x2,+∞),则方程 ax2+bx+c =0 的两个根是 x1 和 x2.(√) (4)若方程 ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根,则不等式 ax2+bx+c>0 的解集为 R.(×)

2.对一元二次不等式恒成立问题的认识 (5)不等式 ax2+bx+c≤0 在 R 上恒成立的条件是 a<0 且 Δ=b2-4ac≤0.(×) 1 (6)若关于 x 的不等式 ax2+x-1≤0 的解集为 R,则 a≤-4.(√) 1? 5 ? (7)若不等式 x2+ax+1≥0 对 x∈?0,2?恒成立,则 a 的最小值为-2.(√) ? ? [感悟· 提升] 三个防范 一是当 Δ<0 时,不等式 ax2+bx+c>0(a≠0)的解集为 R 还是?,要 注意区别,如(4)中当 a>0 时,解集为 R;当 a<0 时,解集为?.

二是对于不等式 ax2+bx+c>0 求解时不要忘记讨论 a=0 时的情形, 如(5)中当 a =b=0,c≤0 时,不等式 ax2+bx+c≤0 在 R 上也是恒成立的. 三是解含参数的一元二次不等式,可先考虑因式分解,再对根的大小进行分类讨 论;若不能因式分解,则可对判别式进行分类讨论分类要不重不漏.

考点一

一元二次不等式的解法

【例 1】 (2014· 大连模拟)已知函数 f(x)=(ax-1)(x+b),如果不等式 f(x)>0 的解 集是(-1,3),则不等式 f(-2x)<0 的解集是 ( 3? ?1 ? ? A.?-∞,-2?∪?2,+∞? ? ? ? ? ? 3 1? B.?-2,2? ? ? 1? ?3 ? ? C.?-∞,-2?∪?2,+∞? ? ? ? ? ? 1 3? D.?-2,2? ? ? 解析 由 f(x) > 0 ,得 ax2 + (ab - 1)x - b > 0 ,又其解集是 ( - 1,3) ,∴ a < 0. 且 ).

1-ab ? ? a =2, ? b ? ?-a=-3,

1 解得 a=-1 或3,

∴a=-1,b=-3.∴f(x)=-x2+2x+3, ∴f(-2x)=-4x2-4x+3, 由-4x2-4x+3<0,得 4x2+4x-3>0, 1 3 解得 x>2或 x<-2,故选 A. 答案 A 规律方法 解一元二次不等式时,当二次项系数为负时要先化为正,再根据判别 式符号判断对应方程根的情况,然后结合相应二次函数的图象写出不等式的解

集. 学生用书 第 97 页 【训练 1】 (2013· 江苏卷)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数.当 x>0 时,f(x)=x2 -4x,则不等式 f(x)>x 的解集用区间表示为________. 解析 ∵f(x)是定义在 R 上的奇函数, ∴f(0)=0, 又当 x<0 时,-x>0, ∴f(-x)=x2+4x. 又 f(x)为奇函数, ∴f(-x)=-f(x), ∴f(x)=-x2-4x(x<0),

?x -4x,x>0, ∴f(x)=?0,x=0, ?-x2-4x,x<0.
(1)当 x>0 时,由 f(x)>x 得 x2-4x>x,解得 x>5; (2)当 x=0 时,f(x)>x 无解; (3)当 x<0 时,由 f(x)>x 得-x2-4x>x,解得-5<x<0. 综上得不等式 f(x)>x 的解集用区间表示为(-5,0)∪(5,+∞). 答案 (-5,0)∪(5,+∞) 考点二 含参数的一元二次不等式的解法

2

【例 2】 (2013· 烟台期末)解关于 x 的不等式:ax2-2≥2x-ax(a∈R). 解 原不等式可化为 ax2+(a-2)x-2≥0. ①当 a=0 时,原不等式化为 x+1≤0,解得 x≤-1. 2 ? 2? ②当 a>0 时,原不等式化为?x-a?(x+1)≥0,解得 x≥a或 x≤-1. ? ? ? 2? ③当 a<0 时,原不等式化为?x-a?(x+1)≤0. ? ? 2 2 当a>-1,即 a<-2 时,解得-1≤x≤a; 2 当a=-1,即 a=-2 时,解得 x=-1 满足题意;

2 2 当a<-1,即 a>-2,解得a≤x≤-1. 综上所述,当 a=0 时,不等式的解集为{x|x≤-1};当 a>0 时,不等式的解集
? ? ? ? ? ? ? ? ?2 ? 2 为?x?x≥a,或x≤-1 ?;当-2<a<0 时,不等式的解集为?x?a≤x≤-1 ?;当 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

a =- 2 时,不等式的解集为 {x|x =- 1} ;当 a <- 2 时,不等式的解集为
? ? ? 2 ?x?-1≤x≤ a ? ? ? ? ? ?. ? ?

规律方法 解含参数的一元二次不等式分类讨论的依据 (1)二次项中若含有参数应讨论是小于 0,等于 0,还是大于 0,然后将不等式转 化为二次项系数为正的形式. (2)当不等式对应方程的根的个数不确定时,讨论判别式 Δ 与 0 的关系. (3)确定无根时可直接写出解集,确定方程有两个根时,要讨论两根的大小关系, 从而确定解集形式. 【训练 2】 (1)关于 x 的不等式 x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集为(x1,x2),且 x2-x1 =15,则 a 等于 5 A.2 7 B.2 15 C. 4 15 D. 2

(2)解关于 x 的不等式(1-ax)2<1. (1)解析 法一 ∵不等式 x2-2ax-8a2<0 的解集为(x1,x2),∴x1,x2 是方程 x2

-2ax-8a2=0 的两根. ?x1+x2=2a, 由根与系数的关系知? 2 ?x1x2=-8a , 5 ∴x2-x1= ?x1+x2?2-4x1x2= ?2a?2-4?-8a2?=15,又∵a>0,∴a=2,故选 A. 法二 由 x2-2ax-8a2<0,得(x+2a)(x-4a)<0, ∵a>0,∴不等式 x2-2ax-8a2<0 的解集为(-2a,4a), 又∵不等式 x2-2ax-8a2<0 的解集为(x1,x2), ∴x1=-2a,x2=4a.∵x2-x1=15, 5 ∴4a-(-2a)=15,解得 a=2,故选 A. 答案 A

(2)解

由(1-ax)2<1,得 a2x2-2ax<0,

即 ax(ax-2)<0,当 a=0 时,x∈?. ? 2? 当 a>0 时,由 ax(ax-2)<0,得 a2x?x-a?<0, ? ? 2 2 即 0<x<a.当 a<0 时,a<x<0. 综上所述:当 a = 0 时,不等式解集为空集;当 a > 0 时,不等式解集为
? ? ? 2 ?x?0<x< a ? ? ? ? ? ?;当 ? ? ? ?2 ? ? ? a<0 时,不等式解集为?x?a <x<0?. ? ? ? ? ?

考点三

一元二次不等式恒成立问题

【例 3】 已知函数 f(x)=mx2-mx-1. (1)若对于 x∈R,f(x)<0 恒成立,求实数 m 的取值范围; (2)若对于 x∈[1,3],f(x)<5-m 恒成立,求实数 m 的取值范围. ?m<0, 解 (1)由题意可得 m=0 或? ?m=0 或-4<m<0?-4<m≤0. 2 ?Δ=m +4m<0 故 m 的取值范围是(-4,0]. (2)法一 ? 1? 3 要使 f(x)<-m+5 在[1,3]上恒成立, 即 m?x-2?2+4m-6<0 在 x∈[1,3] ? ?

上恒成立. ? 1? 3 令 g(x)=m?x-2?2+4m-6,x∈[1,3]. ? ? 当 m>0 时,g(x)在[1,3]上是增函数, 所以 g(x)max=g(3)?7m-6<0, 6 6 所以 m<7,则 0<m<7;当 m=0 时,-6<0 恒成立; 当 m<0 时,g(x)在[1,3]上是减函数, 所以 g(x)max=g(1)?m-6<0, 所以 m<6,所以 m<0.
? ? ? ? 6 ? 综上所述:m 的取值范围是?m?m<7 ?. ? ? ? ? ?

法二 ∵f(x)<-m+5?m(x2-x+1)<6, ∵x2-x+1>0,∴m< 6 对于 x∈[1,3]恒成立, x -x+1
2

6 只需求 2 的最小值, x -x+1

记 g(x)=

6 ,x∈[1,3], x -x+1
2

? 1? 3 记 h(x)=x2-x+1=?x-2?2+4,h(x)在 x∈[1,3]上为增函数. ? ? 则 g(x)在[1,3]上为减函数, 6 6 ∴[g(x)]min=g(3)=7,∴m<7. 6? ? 所以 m 的取值范围是?-∞,7?. ? ? 规律方法 (1)不等式 ax2+bx+c>0 的解是全体实数(或恒成立)的条件是当 a=0 ?a>0, ? 时, b=0, c>0; 当 a≠0 时, 不等式 ax2+bx+c<0 的解是全体实数(或 ?Δ<0. ?a<0, 恒成立)的条件是当 a=0 时,b=0,c<0;当 a≠0 时,? ?Δ<0. (2)含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题,常有两种处理方法:一是 利用二次函数区间上的最值来处理;二是先分离出参数,再去求函数的最值来处 理,一般后者比较简单. 【训练 3】 (1)若关于 x 的不等式 ax2+2x+2>0 在 R 上恒成立,则实数 a 的取 值范围是________. (2)(2014· 淄博模拟)若不等式(a-a2)(x2+1)+x≤0 对一切 x∈(0,2]恒成立, 则a的 取值范围是 ? 1- 3? ? A.?-∞, 2 ? ? ?1+ 3 ? ? B.? ,+∞ ? 2 ? ? ? 1- 3? ?1+ 3 ?∪? ? C.?-∞, ,+∞ 2 ? ? 2 ? ? ?1- 3 1+ 3? D.? , 2 ? ? 2 ? 解析 (1)当 a=0 时,原不等式可化为 2x+2>0,其解集不为 R,故 a=0 不满 足题意,舍去; 当 a≠0 时,要使原不等式的解集为 R,

?a>0, 1 只需? 解得 a>2. 2 ?Δ=2 -4×2a<0, ?1 ? 综上,所求实数 a 的取值范围是?2,+∞?. ? ? (2)∵x∈(0,2], x 1 ∴a2-a≥ 2 = 1. x +1 x+x 1 要使 a2-a≥ 1在 x∈(0,2]时恒成立, x+ x ? 1 ? 1? 则 a -a≥? ?x+ ?max, ? x?
2

? 1 ? 1 1 1? 由基本不等式得 x+x ≥2,当且仅当 x=1 时,等号成立,即? ?x+ ?max=2. ? x? 1- 3 1+ 3 1 故 a2-a≥2,解得 a≤ 2 或 a≥ 2 . ?1 ? 答案 (1)?2,+∞? ? ? (2)C 学生用书 第 98 页

1.解不等式的基本思路是等价转化,分式不等式整式化,使要求解的不等式转 化为一元一次不等式或一元二次不等式,进而获得解决. 2.当判别式 Δ<0 时,ax2+bx+c>0(a>0)解集为 R;ax2+bx+c<0(a>0)解集 为?.二者不要混为一谈. 3.含参数的不等式的求解,注意选好分类标准,避免盲目讨论. 4.对于恒成立问题,常用到以下两个结论: (1)a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max; (2)a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min.

思想方法 5——数形结合思想在“三个二次”间关系的应用
2 ?a -ab,a≤b, 【典例】 (2012· 福建卷)对于实数 a 和 b,定义运算“*”;a*b=? 2 ?b -ab,a>b.

设 f(x)=(2x-1)*(x-1),且关于 x 的方程 f(x)=m(m∈R)恰有三个互不相等的实 数根 x1,x2,x3,则 x1x2x3 的取值范围是________.

解析 由定义可知:
2 ??2x-1? -?2x-1??x-1?,x≤0, f(x)=(2x-1)*(x-1)=? 2 ??x-1? -?2x-1??x-1?,x>0,

??2x-1?x,x≤0, ∴f(x)=? ?-?x-1?x,x>0. 作出函数 f(x)的图象,如图所示. 1 由图可知,当 0<m<4时,f(x)=m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根 x1,x2,x3. 1 不妨设 x1<x2<x3,易知 x2>0,且 x2+x3=2×2=1, 1 ?x2+x3?2 ? ,即 0<x2x3< . ∴0<x2x3<? 4 ? 2 ? 1 ? ??2x-1?x= , 4 令? ? ?x<0, 解得 x= 1- 3 1+ 3 4 或 4 (舍去).

1- 3 ∴ 4 <x1<0,



3-1 4 >-x1>0,

3-1 ∴0<-x1x2x3< 16 , 1- 3 ∴ 16 <x1x2x3<0. ?1- 3 ? 答案 ? ,0? ? 16 ? [反思感悟] “三个二次”间关系,其实质是抓住二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象与横轴的交点、 二次不等式 ax2+bx+c>0(a≠0)的解集的端点值、 二次方 程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根是同一个问题. 解决与之相关的问题时, 可利用函数 与方程思想、化归思想将问题转化,结合二次函数的图象来解决. 【自主体验】
2 ?x +1,x≥0, 1. 已知函数 f(x)=? 则满足不等式 f(1-x2)>f(2x)的 x 的取值范围 1 , x < 0 , ?

是________. 解析 由函数 f(x)的图象可知(如下图),满足 f(1-x2)>f(2x)分两种情况:

?1-x ≥0, ①?x≥0, ?1-x2>2x

2

?0≤x< 2-1;

2 ?1-x >0, ? ② ?-1<x<0. ?x<0

综上可知:-1<x< 2-1.

答案 (-1, 2-1)
x ?2 -1,x>0, 2.已知函数 f(x)=? 2 若函数 g(x)=f(x)-m 有 3 个零点,则实 ?-x -2x,x≤0,

数 m 的取值范围是________.

x ?2 -1,x>0 ? 解析 画出 f(x)= 的图象,如图. 2 ?-x -2x,x≤0

由函数 g(x)=f(x)-m 有 3 个零点,结合图象得:0<m<1,即 m∈(0,1). 答案 (0,1)

基础巩固题组

(建议用时:40 分钟)

一、选择题 1.(2014· 长春调研)已知集合 P={x|x2-x-2≤0},Q={x|log2(x-1)≤1},则(?
RP)∩Q=(

). B.(-∞,-1]∪[3,+∞) D.(+∞,-1]∪(3,+∞)

A.[2,3] C.(2,3]

解析 依题意,得 P={x|-1≤x≤2},Q={x|1<x≤3},则(?RP)∩Q=(2,3]. 答案 C 2.(2014· 沈阳质检)不等式 x2+ax+4<0 的解集不是空集,则实数 a 的取值范围 是( ). B.(-4,4)

A.[-4,4]

C.(-∞,-4]∪[4,+∞) D.(-∞,-4)∪(4,+∞) 解析 不等式 x2+ax+4<0 的解集不是空集,只需 Δ=a2-16>0,∴a<-4 或 a>4,故选 D. 答案 D x ? ? ,x≥0, 2 3.(2013· 南通二模 )已知 f(x) = ? ? ?-x2+3x,x<0,

则不等式 f(x)<f(4)的解集为

(

).

A.{x|x≥4}

B.{x|x<4} D.{x|x<-3}

C.{x|-3<x<0}

4 解析 f(4)=2=2,不等式即为 f(x)<2. x 当 x≥0 时,由2<2,得 0≤x<4; 当 x<0 时,由-x2+3x<2,得 x<1 或 x>2,因此 x<0. 综上,x<4.故 f(x)<f(4)的解集为{x|x<4}. 答案 B 1? ? 1 4.已知不等式 ax2-bx-1≥0 的解集是?-2,-3?,则不等式 x2-bx-a<0 的 ? ? 解集是( A.(2,3) B.(-∞,2)∪(3,+∞) ?1 1? C.?3,2? ? ? 1? ?1 ? ? D.?-∞,3?∪?2,+∞? ? ? ? ? 1 1 解析 由题意知-2,-3是方程 ax2-bx-1=0 的根,所以由根与系数的关系得 1 ? 1? b ? 1? ? 1? 1 -2+?-3?=a,?-2?×?-3?=-a.解得 a=-6,b=5,不等式 x2-bx-a<0 ? ? ? ? ? ? 即为 x2-5x+6<0,解集为(2,3). 答案 A 5.已知函数 f(x)=ax2+bx+c,不等式 f(x)<0 的解集为{x|x<-3,或 x>1},则 函数 y=f(-x)的图象可以为( ). ).

解析 由 f(x)<0 的解集为{x|x<-3,或 x>1}知 a<0,y=f(x)的图象与 x 轴交 点为(-3,0),(1,0),∴f(-x)图象开口向下,与 x 轴交点为(3,0),(-1,0). 答案 B 二、填空题 6.已知关于 x 的不等式 ________. 解析 由于不等式 ax-1 1 ? 1 ? <0 的解集是(-∞,-1)∪?-2,+∞?,故-2应是 ax ? ? x+1 ax-1 ? 1 ? <0 的解集是(-∞,-1)∪?-2,+∞?,则 a= ? ? x+1

-1=0 的根,∴a=-2. 答案 -2 7.(2013· 四川卷)已知 f(x)是定义域为 R 的偶函数,当 x≥0 时,f(x)=x2-4x,那 么,不等式 f(x+2)<5 的解集是________. 解析 ∵f(x)是偶函数, ∴f(x)=f(|x|). 又 x≥0 时,f(x)=x2-4x, 不等式 f(x+2)<5?f(|x+2|)<5 ?|x+2|2-4|x+2|<5 ?(|x+2|-5)(|x+2|+1)<0 ?|x+2|-5<0?|x+2|<5?-5<x+2<5?-7<x<3. 故解集为(-7,3). 答案 (-7,3) 8.(2014· 福州期末)若不等式 x2-(a+1)x+a≤0 的解集是[-4,3]的子集,则 a 的 取值范围是________. 解析 原不等式即(x-a)(x-1)≤0,当 a<1 时,不等式的解集为[a,1],此时只 要 a≥-4 即可,即-4≤a<1;当 a=1 时,不等式的解为 x=1,此时符合要求; 当 a>1 时,不等式的解集为[1,a],此时只要 a≤3 即可,即 1<a≤3.综上可得

-4≤a≤3. 答案 [-4,3] 三、解答题 9.求不等式 12x2-ax>a2(a∈R)的解集. 解 ∵12x2-ax>a2,∴12x2-ax-a2>0, 即(4x+a)(3x-a)>0,令(4x+a)(3x-a)=0, a a 得:x1=-4,x2=3.
? a a? a a ①a>0 时,-4<3,解集为?x|x<-4或x>3?; ? ?

②a=0 时,x2>0,解集为{x|x∈R 且 x≠0};
? a a? a a ③a<0 时,-4>3,解集为?x|x<3或x>-4?. ? ?

综上所述,当 a>0 时,不等式的解集为
? a a? ?x|x<- 或x> ?; 4 3? ?

当 a=0 时,不等式的解集为{x|x∈R 且 x≠0};
? a a? 当 a<0 时,不等式的解集为?x|x<3或x>-4?. ? ?

10.(2014· 长沙质检)已知 f(x)=x2-2ax+2(a∈R),当 x∈[-1,+∞)时,f(x)≥a 恒成立,求 a 的取值范围. 解 法一 f(x)=(x-a)2+2-a2,此二次函数图象的对称轴为 x=a.

①当 a∈(-∞,-1)时,f(x)在[-1,+∞)上单调递增, f(x)min=f(-1)=2a+3.要使 f(x)≥a 恒成立, 只需 f(x)min≥a,即 2a+3≥a,解得-3≤a<-1; ②当 a∈[-1,+∞)时,f(x)min=f(a)=2-a2, 由 2-a2≥a,解得-1≤a≤1. 综上所述,所求 a 的取值范围是[-3,1]. 法二 令 g(x)=x2-2ax+2-a,由已知, 得 x2-2ax+2-a≥0 在[-1,+∞)上恒成立,

Δ>0, ? 即 Δ=4a2-4(2-a)≤0 或?a<-1, ?g?-1?≥0. 解得-3≤a≤1.所求 a 的取值范围是[-3,1].

能力提升题组 (建议用时:25 分钟)

一、选择题
? ? ? ? 1 ? 1.(2013· 安徽卷)已知一元二次不等式 f(x)<0 的解集为?x?x<-1或x>2 ?,则 ? ? ? ? ?

f(10x)>0 的解集为(

). B.{x|-1<x<-lg 2}

A.{x|x<-1 或 x>-lg 2}

C.{x|x>-lg 2}

D.{x|x<-lg 2}

1 1 1 解析 依题意知 f(x)>0 的解为-1<x<2, 故-1<10x<2, 解得 x<lg 2=-lg 2. 答案 D ?x-1 a-2? ?a b? ?=ad-bc.若不等式? ?≥1 2.(2013· 西安二模)在 R 上定义运算:? ?c d ? ?a+1 x ? 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的最大值为( 1 A.-2 3 B.-2 1 C.3 3 D.2 ).

解析 原不等式等价于 x(x-1)-(a-2)(a+1)≥1,即 x2-x-1≥(a+1)(a-2)对 5 5 1 3 ? 1? 5 任意 x 恒成立,x2-x-1=?x-2?2-4≥-4,所以-4≥a2-a-2,-2≤a≤2. ? ?

故选 D. 答案 D 二、填空题 3.(2014· 铜陵一模)已知二次函数 f(x)的二次项系数为 a,且不等式 f(x)>0 的解 集为(1,2),若 f(x)的最大值小于 1,则 a 的取值范围是________. ?3? 解析 由题意知 a<0, 可设 f(x)=a(x-1)(x-2)=ax2-3ax+2a, ∴f(x)max=f?2?= ? ? a -4<1, ∴a>-4,故-4<a<0. 答案 (-4,0) 三、解答题 4.已知二次函数 f(x)的二次项系数为 a,且不等式 f(x)>-2x 的解集为(1,3). (1)若方程 f(x)+6a=0 有两个相等的根,求 f(x)的解析式; (2)若 f(x)的最大值为正数,求 a 的取值范围. 解 (1)∵f(x)+2x>0 的解集为(1,3), f(x)+2x=a(x-1)(x-3),且 a<0, 因而 f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax2-(2+4a)x+3a.① 由方程 f(x)+6a=0,得 ax2-(2+4a)x+9a=0.② 因为方程②有两个相等的根, 所以 Δ=[-(2+4a)]2-4a· 9a=0, 1 即 5a2-4a-1=0,解得 a=1 或 a=-5. 1 由于 a<0,舍去 a=1,将 a=-5代入①, 1 6 3 得 f(x)=-5x2-5x-5.
2 ? 1+2a?2 a +4a+1 ?- (2)由 f(x)=ax2-2(1+2a)x+3a=a?x- 及 a<0,可得 f(x)的最 a a ? ?

a2+4a+1 大值为- . a

? a +4a+1 ?- >0, a 由? ? ?a<0,

2

解得 a<-2- 3或-2+ 3<a<0.

故当 f(x)的最大值为正数时,实数 a 的取值范围是 (-∞,-2- 3)∪(-2+ 3,0).

第3讲 [最新考纲]

二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组. 2.了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组. 3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决.

知 识 梳 理 1.二元一次不等式(组)表示的平面区域 (1)一般地, 二元一次不等式 Ax+By+C>0 在平面直角坐标系中表示直线 Ax+By +C=0 某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)不含边界直线.不等式 Ax+By +C≥0 所表示的平面区域(半平面)包括边界直线. (2)对于直线 Ax+By+C=0 同一侧的所有点(x,y),使得 Ax+By+C 的值符号相 同,也就是位于同一半平面内的点,其坐标适合同一个不等式 Ax+By+C>0;而 位于另一个半平面内的点,其坐标适合另一个不等式 Ax+By+C<0. (3)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域,是各个不等式所表示的平 面区域的公共部分. 2.线性规划的有关概念 名称 线性约束条件 目标函数 线性目标函数 意义 由 x,y 的一次不等式(或方程)组成的不等式组,是对 x,y 的约束 条件 关于 x,y 的解析式 关于 x,y 的一次解析式

可行解 可行域 最优解 线性规划问题

满足线性约束条件的解(x,y) 所有可行解组成的集合 使目标函数达到最大值或最小值的可行解 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题 辨 析 感 悟

1.对二元一次不等式(组)表示的平面区域的认识 (1)点(x1,y1),(x2, y2)在直线 Ax+By+C=0 同侧的充要条件是(Ax1+By1+C)(Ax2 +By2+C)>0,异侧的充要条件是(Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C)<0.(√) (2)第二、四象限表示的平面区域可以用不等式 xy<0 表示.(√)

?x-y+3≥0, (3)(教材习题改编)已知变量 x, y 满足约束条件?-1≤x≤1, ?y≥1,
区域的面积为 4.(√) 2.对简单的线性规划问题的理解

则其表示的平面

(4)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上.(√) (5)目标函数 z=ax+by(b≠0)中,z 的几何意义是直线 ax+by-z=0 在 y 轴上的 截距.(×)

?y≤2x (6)(2013· 湖南卷改编)若变量 x,y 满足约束条件?x+y≤1 ?y≥-1
5 是3.(√) [感悟· 提升]

,则 x+2y 的最大值

1. 确定二元一次不等式表示的平面区域时, 经常采用“直线定界, 特殊点定域” 的方法. 2.求线性目标函数 z=ax+by(ab≠0)的最值,当 b>0 时,直线过可行域且在 y 轴上截距最大时,z 值最大,在 y 轴截距最小时,z 值最小;当 b<0 时,直线过 可行域且在 y 轴上截距最大时,z 值最小,在 y 轴上截距最小时,z 值最大. 学生用书 第 100 页

考点一

二元一次不等式(组)表示的平面区域

【例 1】

?2x+y-6≤0, (1)(2014· 济南模拟)不等式组?x+y-3≥0, ?y≤2
B.1 D.无穷大

表示的平面区域的面积

为 A.4 C.5

(

).

→ (2)(2013· 安徽卷)在平面直角坐标系中,O 是坐标原点,两定点 A,B 满足|OA|= → → → → → → |OB|=OA· OB=2,则点集{P|OP=λOA+μOB,|λ|+|μ|≤1,λ,μ∈R}所表示的区 域的面积是 A.2 2 C.4 2 ( ).

B.2 3 D.4 3

解析

?2x+y-6≤0, (1)不等式组?x+y-3≥0, ?y≤2

表示的平面区域如图所示(阴影部分),△

ABC 的面积即为所求. 1 求出点 A,B,C 的坐标分别为(1,2),(2,2),(3,0),则△ABC 的面积为 S=2×(2 -1)×2=1.

→ → → → → → π (2)由|OA|=|OB|=OA· OB=2,知<OA,OB>=3. → → → ?x=2λ+μ, 设OA=(2,0), OB=(1, 3), OP=(x, y), 则? ?y= 3μ, 由|λ|+|μ|≤1 得| 3x-y|+|2y|≤2 3. y ? μ= , ? 3 解得? y? 1? ?x- ?. λ = ? ? 2? 3?

作可行域如图. 1 则所求面积 S=2×2×2×2 3=4 3.

答案 (1)B

(2)D

规律方法 二元一次不等式组所确定的平面区域是不等式组中各个不等式所表示 的半平面区域的公共部分,画出平面区域的关键是把各个半平面区域确定准确, 其基本方法是“直线定界、特殊点定域”.

?2x+y≤2, 【训练 1】 若不等式组? y≥0, ?x+y≤a
x-y≥0, 取值范围是 ?4 ? A.?3,+∞? ? ? 4? ? C.?1,3? ? ?

表示的平面区域是一个三角形,则 a 的

( B.(0,1] ?4 ? D.(0,1]∪?3,+∞? ? ?

).

解析

?x-y≥0, 不等式组?2x+y≤2, ?y≥0

表示的平面区域如图(阴影部分),求 A,B 两点

?2 2? 的坐标分别为?3,3?和(1,0),若原不等式组表示的平面区域是一个三角形,则直 ? ?

4 线 x+y=a 的 a 的取值范围是 0<a≤1 或 a≥3. 答案 D 考点二 线性目标函数的最值

?3x+y-6≥0, 【例 2】 (1)(2013· 天津卷)设变量 x,y 满足约束条件?x-y-2≤0, ?y-3≤0,
数 z=y-2x 的最小值为 ( A.-7 C.1 ). B.-4 D.2

则目标函

?x≥1, (2)(2013· 新课标全国Ⅱ卷)已知 a>0,x,y 满足约束条件?x+y≤3, ?y≥a?x-3?.
+y 的最小值为 1,则 a= 1 A.4 C.1 ( 1 B.2 D.2 ).

若 z=2x

解析 (1)由 x, y 满足的约束条件可画出所表示的平面区域为如图所示的△ABC, 作出直线 y=2x, 经过平移得目标函数 z=y-2x 在点 B(5,3)处取得最小值, 即 zmin =3-10=-7.故选 A.

(2)由约束条件画出可行域(如图所示的△ABC), ?x=1, 由? 得 A(1,-2a), ?y=a?x-3?

当直线 2x+y-z=0 过点 A 时, 1 z=2x+y 取得最小值,所以 1=2×1-2a,解得 a=2,故选 B. 答案 (1)A (2)B 规律方法 (1)求目标函数最值的一般步骤为:一画、二移、三求.其关键是准确 作出可行域,理解目标函数的意义. (2)在约束条件是线性的情况下,线性目标函数只有在可行域的顶点或者边界上 取得最值.在解答选择题或者填空题时可以根据可行域的顶点直接进行检验.

?x+y-2≥0, 【训练 2】 (2013· 浙江卷)设 z=kx+y,其中实数 x,y 满足?x-2y+4≥0, ?2x-y-4≤0.
z 的最大值为 12,则实数 k=________.



解析

约束条件所表示的可行域为如图所示的△ABC,其中点 A(4,4),B(0,2),

C(2,0). 1 1 目标函数 z=kx+y,化为 y=-kx+z.当-k≤2,即 k≥-2时,目标函数 z=kx 1 +y 在点 A(4,4)取得最大值 12,故 4k+4=12,k=2,满足题意;当-k>2即 k< 1 -2时,目标函数 z=kx+y 在点 B(0,2)取得最大值 12,故 k· 0+2=12,无解,综 上可知,k=2. 答案 2 考点三 线性规划的实际应用

【例 3】 (2013· 湖北卷改编)某客运公司用 A,B 两种型号的车辆承担甲、乙两地 间的长途客运业务,每车每天往返一次.A,B 两种车辆的载客量分别为 36 人和 60 人,从甲地去乙地的营运成本分别为 1 600 元/辆和 2 400 元/辆.公司拟组建 一个不超过 21 辆车的客运车队,并要求 B 型车不多于 A 型车 7 辆.若每天要以 不少于 900 人运完从甲地去乙地的旅客,且使公司从甲地去乙地的营运成本最 小,那么应配备 A 型车、B 型车各多少辆?

审题路线 确定问题属于线性规划问题?设 A,B 两种型号车辆的数量为 x,y, 营运成本 z?读题,列出线性约束条件及目标函数?画出可行域?把目标函数变 形,平移,确定最小值经过的点?解两直线的交点?点代入目标函数可得.

解 设旅行社租用 A 型客车 x 辆,B 型客车 y 辆,营运成本为 z,则线性约束条

?y-x≤7, 件为? 36x+60y≥900, ?x、y∈N,
x+y≤21,

目标函数为 z=1 600x+2 400y.画出可行域:如图中

阴影部分所示,可知目标函数过点(5,12)时,有最小值 zmin=36 800(元). 故应配备 A 型车 5 辆、B 型车 12 辆. 学生用书 第 101 页 规律方法 含有实际背景的线性规划问题其解题关键是找到制约求解目标的两个 变量, 用这两个变量建立可行域和目标函数,在解题时要注意题目中的各种相互 制约关系,列出全面的制约条件和正确的目标函数. 【训练 3】 某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过 50 亩,投入资金不超 过 54 万元,假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表 年产量/亩 黄瓜 韭菜 4吨 6吨 年种植成本/ 亩 1.2 万元 0.9 万元 每吨售价 0.55 万元 0.3 万元

为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入-总种植成本)最大,那么黄瓜和韭 菜的种植面积(单位:亩)分别为( ).

A.50,0 B.30,20

C.20,30 D.0,50

解析 设黄瓜、韭菜的种植面积分别为 x,y 亩,则总利润 z=4×0.55x+6×0.3y -1.2x-0.9y=x+0.9y.此时 x,y 满足条件 ?x+y≤50, ? 画出可行域如图,得最优解为 A(30,20),故选 B. ?1.2x+0.9y≤54, 答案 B

1.平面区域的画法:线定界、点定域(注意实虚线). 2.求最值:求二元一次函数 z=ax+by(ab≠0)的最值,将函数 z=ax+by 转化为 a z z 直线的斜截式:y=-bx+b,通过求直线的截距b的最值间接求出 z 的最值.最 优解在顶点或边界取得. 3.解线性规划应用题,可先找出各变量之间的关系,最好列成表格,然后用字 母表示变量,列出线性约束条件;写出要研究的函数,转化成线性规划问题.

思想方法 6——利用线性规划思想求解非线性目标函数的最值

【典例】

?x+y-3≥0, 已知实数 x,y 满足?x-y+1≥0, ?x≤2.

y (1)若 z=x,求 z 的最大值和最小值;

(2)若 z=x2+y2,求 z 的最大值和最小值.



?x+y-3≥0 不等式组?x-y+1≥0 ?x≤2

表示的平面区域如图所示,图中的阴影部分即为可

行域.易得 A(1,2),B(2,1), M(2,3). y y-0 (1)∵z=x= ,∴z 的值即是可行域中的点与原点 O 连线的斜率,观察图形可 x-0 1 知 zmax=kOA=2,zmin=kOB=2. 1 所以 z 的最大值为 2,最小值为2. (2)过原点(0,0)作直线 l 垂直于直线 x+y-3=0, 垂足 N, 则直线 l 的方程为 y=x, ?x+y-3=0, ?3 3? 由? 得 N?2,2?, ? ? ?y=x, ?3 3? 点 N?2,2?在线段 AB 上,也在可行域内. ? ? 观察图象可知,可行域内点 M 到原点的距离最大,点 N 到原点的距离最小,又 |OM|= 13,|ON|= 即 9 2,

9 9 2 2 2 2 ≤ x + y ≤ 13 ,∴ 2 2≤x +y ≤13.

9 ∴z 的最大值为 13,最小值为2. [反思感悟] (1)本题是线性规划的综合应用, 考查的是非线性目标函数的最值的求 法. (2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法,给目标函数赋于一定的几 何意义. (3)本题错误率较高.出错原因是,很多学生无从入手,缺乏数形结合的应用意 识,不知道从其几何意义入手解题. 【自主体验】

?2x-y-2≥0, (2013· 山东卷改编)在平面直角坐标系 xOy 中, M 为不等式组?x+2y-1≥0, ?3x+y-8≤0
y 表示的区域上一动点,则 z=x的最小值为( A.2 1 C.-3 B.1 1 D.-2



).

解析

?2x-y-2≥0, 不等式组?x+2y-1≥0, ?3x+y-8≤0

所表示的平面区域如图阴影部分,由图可知,

z 的值即是可行域中的点与原点 O 连线的斜率. ?x+2y-1=0, 由? 得 C(3,-1),当 M 点与 C 点重合时,z 取最小值,∴z 的最 ?3x+y-8=0 1 小值为-3,故选 C.

答案 C

对应学生用书 P301 基础巩固题组

(建议用时:40 分钟)

一、选择题 1. (2013· 衡阳模拟)不等式(x-2y+1)(x+y-3)≤0 在坐标平面内表示的区域(用阴

影部分表示),应是下列图形中的(

).

解析

?x-2y+1≥0, ?x-2y+1≤0, (x-2y+1)(x+y-3)≤0?? 或? 画出平面 ?x+y-3≤0 ?x+y-3≥0.

区域后,只有 C 合题意. 答案 C

?y≤-x+2, 2. (2014· 泰安模拟)不等式组?y≤x-1, ?y≥0

所表示的平面区域的面积为(

).

1 A.1 B.2

1 C.3

1 D.4

解析

作 出 不 等 式 组 对 应 的 区 域 为 △ BCD , 由 题 意 知 xB = 1 , xC = 2. 由

?y=-x+2, 1 1 1 1 ? 得 yD=2,所以 S△BCD=2×(xC-xB)×2=4. ?y=x-1, 答案 D y≤x, ? ? 1 3.(2014· 杭州模拟)在约束条件?y≥2x, ? ?x+y≤1 ( 1 A.4 ). 3 B.4 5 C.6 5 D.3

1 下,目标函数 z=x+ y 的最大值为 2

1 解析 由 z=x+2y,得 y=-2x+2z.作出可行域如图阴影部分,平移直线 y=- 2x+2z,当直线经过点 C 时,直线 y=-2x+2z 在 y 轴上的截距最大,此时 z 最 大. 1 ? ?y= x, 由? 2 ? ?x+y=1, 答案 C 1 2 1 1 5 ?2 1? 解得 C 点坐标为?3,3?,代入 z=x+2y,得 z=3+2×3=6. ? ?

?y≤1, 4.(2013· 佛山一检)若变量 x,y 满足约束条件?x+y≥0, ?x-y-2≤0,
大值为( ). D.1 A.4 B.3 C.2

则 z=x-2y 的最

解析 画出可行域(如下图),

1 z 由 z=x-2y 得 y=2x-2,则当目标函数过 C(1,-1)时取得最大值,所以 zmax =1-2×(-1)=3.故选 B. 答案 B

?2x-y+1>0, 5. (2013· 北京卷)设关于 x, y 的不等式组?x+m<0, ?y-m>0
在点 P(x0,y0),满足 x0-2y0=2.求得 m 的取值范围是(

表示的平面区域内存

).

4? ? A.?-∞,3? ? ? 2? ? C.?-∞,-3? ? ?

1? ? B.?-∞,3? ? ? 5? ? D.?-∞,-3? ? ?

解析 由线性约束条件可画出如图所示的阴影区域, 要使区域内存在点 P(x0, y0), 使 x0-2y0=2 成立,只需点 A(-m,m)在直线 x-2y-2=0 的下方即可,即-m 2 -2m-2>0,解得 m<-3,故选 C. 答案 C 二、填空题 6.(2013· 陕西卷)若点(x,y)位于曲线 y=|x-1|与 y=2 所围成的封闭区域,则 2x -y 的最小值为________.

?x-1?x≥1?, 解析 由题意知 y=? 作出曲线 y=|x-1|与 y=2 所围成的封闭区 ?1-x?x<1?, 域,如图中阴影部分所示,即得过点 A(-1,2)时,2x-y 取最小值-4. 答案 -4

?x-y+5≥0, 7.(2014· 淮安质检)若不等式组?y≥a, ?0≤x≤2
则 a 的取值范围是________.

表示的平面区域是一个三角形,

解析 画出可行域,知当直线 y=a 在 x-y+5=0 与 y 轴的交点(0,5)和 x-y+5 =0 与 x=2 的交点(2,7)之间移动时平面区域是三角形,故 5≤a<7. 答案 [5,7)

?x+4y≥4, 8.(2013· 广东卷)给定区域 D:?x+y≤4, ?x≥0,
条不同的直线.

令点集 T={(x0,y0)∈D|x0,y0∈Z,

(x0, y0)是 z=x+y 在 D 上取得最大值或最小值的点}, 则 T 中的点共确定________

解析 作出图形可知,△ABF 所围成的区域即为区域 D,其中 A(0,1)是 z 在 D 上 取得最小值的点,B,C,D,E,F 是 z 在 D 上取得最大值的点,则 T 中的点共 确定 AB,AC,AD,AE,AF,BF 共 6 条不同的直线. 答案 6 三、解答题

?x-y+5≥0, 9.(2014· 合肥模拟)画出不等式组?x+y≥0, ?x≤3
列问题: (1)指出 x,y 的取值范围; (2)平面区域内有多少个整点?

表示的平面区域,并回答下

解 (1)不等式 x-y+5≥0 表示直线 x-y+5=0 上及其右下方的点的集合,x+ y≥0 表示直线 x+y=0 上及其右上方的点的集合,x≤3 表示直线 x=3 上及其左 方的点的集合.

?x-y+5≥0, 所以,不等式组?x+y≥0, ?x≤3

表示的平面区域如图所示.

? 5 ? 结合图中可行域得 x∈?-2,3?,y∈[-3,8]. ? ? -x≤y≤x+5, ? ? (2)由图形及不等式组知? 5 - ≤x≤3,且x∈Z, ? ? 2 当 x=3 时,-3≤y≤8,有 12 个整点; 当 x=2 时,-2≤y≤7,有 10 个整点; 当 x=1 时,-1≤y≤6,有 8 个整点; 当 x=0 时,0≤y≤5,有 6 个整点; 当 x=-1 时,1≤y≤4,有 4 个整点; 当 x=-2 时,2≤y≤3,有 2 个整点; ∴平面区域内的整点共有 2+4+6+8+10+12=42(个). 10.制订投资计划时,不仅要考虑可能获得的盈利,而且要考虑可能出现的亏 损.某投资人打算投资甲、乙两个项目,根据预测,甲、乙项目可能的最大盈利 率分别为 100%和 50%, 可能的最大亏损率分别为 30%和 10%.若投资人计划投资 金额不超过 10 万元,要求确保可能的资金亏损不超过 1.8 万元,问投资人对甲、 乙两个项目各投资多少万元,才能使可能的盈利最大? 解 设投资人分别用 x 万元,y 万元投资甲、乙两个项目,

由题意知

?0.3x+0.1y≤1.8, ?x≥0, ?y≥0,
x+y≤10,

目标函数 z=x+0.5y. 上述不等式组表示的平面区域如图所示,阴影部分(含边界)即为可行域. 将 z=x+0.5y 变形为 y=-2x+2z,这是斜率为-2 随 z 变化的一组平行线,当 直线 y=-2x+2z 经过可行域内的点 M 时, 直线 y=-2x+2z 在 y 轴上的截距 2z 最大,z 也最大. 这里 M 点是直线 x+y=10 和 0.3x+0.1y=1.8 的交点. ?x+y=10, 解方程组? 得 x=4,y=6, ?0.3x+0.1y=1.8, 此时 z=4+0.5×6=7(万元). ∴当 x=4,y=6 时,z 取得最大值, 所以投资人用 4 万元投资甲项目、 6 万元投资乙项目, 才能在确保亏损不超过 1.8 万元的前提下,使可能的盈利最大.

能力提升题组 (建议用时:25 分钟)

一、选择题

?x≥0, 1.(2014· 昆明模拟)已知 x,y 满足条件?y≤x, ?2x+y+k≤0
z=x+3y 的最大值为 8,则 k=( 8 A.-16 B.-6 C.-3 D.6 ).

(k 为常数),若目标函数

解析

?y=x, 画出 x,y 满足的可行域如图,联立方程? 解得 ?2x+y+k=0,

k ? ?x=-3, ? k ? ?y=-3,

即 C 点坐标为

k? 1 z 1 z ? k ?-3,-3?,由目标函数 z=x+3y,得 y=- x+ ,平移直线 y=- x+ ,可知 3 3 3 3 ? ? 1 z 当直线经过 C 点时,直线 y=-3x+3的截距最大,此时 z 最大,把 C 点代入 z k ? k? =x+3y,得 8=-3+3×?-3?,解得 k=-6.经检验,符合题意. ? ? 答案 B

?x-y+2≥0, 2.(2014· 临沂一模)已知实数 x,y 满足不等式组?x+y-4≥0, ?2x-y-5≤0,
A.(-∞,-1) B.(0,1)

若目标函数 z

=y-ax 取得最大值时的唯一最优解是(1,3),则实数 a 的取值范围为(

).

C.[1,+∞) D.(1,+∞)

解析 作出不等式对应的平面区域 BCD,由 z=y-ax,得 y=ax+z,要使目标 函数 y=ax+z 仅在点(1,3)处取最大值,则只需直线 y=ax+z 仅在点 B(1,3)处的 截距最大,由图象可知 a>kBD,因为 kBD=1,所以 a>1,即 a 的取值范围是(1, +∞). 答案 D 二、填空题 3.(2013· 江苏卷)抛物线 y=x2 在 x=1 处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为

D(包含三角形内部与边界).若点 P(x,y)是区域 D 内的任意一点,则 x+2y 的取 值范围是________.

解析 ∵y=x2,∴y′|x=1=2x|x=1=2. 故抛物线 y=x2 在 x=1 处的切线方程为 2x-y-1=0,设其与 x 轴、y 轴交于 A, ?1 ? B 两点,则 A?2,0?,B(0,-1),区域 D 为如图阴影部分, ? ? 1 1 1 1 令 z=x+2y,即 y=-2x+2z,易知 y=-2x+2z 分别过 A,B 两点时 z 取最大、 1 1 最小值,∴zmax=2+2×0=2,zmin=0+2×(-1)=-2, 1? ? ∴x+2y 的取值范围是?-2,2?. ? ? 1? ? 答案 ?-2,2? ? ? 三、解答题

?x-4y+3≤0, 4.变量 x,y 满足?3x+5y-25≤0, ?x≥1.
y (1)设 z=x,求 z 的最小值; (2)设 z=x2+y2,求 z 的取值范围; (3)设 z=x2+y2+6x-4y+13,求 z 的取值范围.

解 由约束条件

?x-4y+3≤0, ?3x+5y-25≤0, ?x≥1.

作出(x,y)的可行域如图阴影部分所示.

?x=1, 22? ? 由? 解得 A?1, 5 ?. ? ? ?3x+5y-25=0, ?x=1, 由? 解得 C(1,1). ?x-4y+3=0, ?x-4y+3=0, 由? 解得 B(5,2). ?3x+5y-25=0, y y-0 (1)∵z=x= .∴z 的值即是可行域中的点与原点 O 连线的斜率. 观察图形可知 x-0 2 zmin=kOB=5. (2)z=x2+y2 的几何意义是可行域上的点到原点 O 的距离的平方. 结合图形可知, 可行域上的点到原点的距离中, dmin=|OC|= 2,dmax=|OB|= 29. 故 z 的取值范围是[2,29]. (3)z=x2+y2+6x-4y+13=(x+3)2+(y-2)2 的几何意义是可行域上的点到点(- 3,2)的距离的平方. 结合图形可知, 可行域上的点到(-3,2)的距离中, dmin=1-(- 3)=4,dmax= ?-3-5?2+?2-2?2=8. 故 z 的取值范围是[16,64]. 学生用书 第 102 页

第4讲 [最新考纲] 1.了解基本不等式的证明过程.

基本不等式

2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.

知 识 梳 理 a+b 1.基本不等式: ab≤ 2 (1)基本不等式成立的条件:a>0,b>0. (2)等号成立的条件:当且仅当 a=b 时取等号. a+b (3)其中 2 称为正数 a,b 的算术平均数, ab称为正数 a,b 的几何平均数. 2.几个重要的不等式 (1)重要不等式:a2+b2≥2ab(a,b∈R).当且仅当 a=b 时取等号. ?a+b?2 ? (a,b∈R),当且仅当 a=b 时取等号. (2)ab≤? ? 2 ? a2+b2 ?a+b?2 ? (a,b∈R),当且仅当 a=b 时取等号. (3) 2 ≥? ? 2 ? b a (4)a+b≥2(a,b 同号),当且仅当 a=b 时取等号. 3.利用基本不等式求最值 已知 x>0,y>0,则 (1)如果积 xy 是定值 p,那么当且仅当 x=y 时,x+y 有最小值是 2 p(简记:积 定和最小). s2 (2)如果和 x+y 是定值 s,那么当且仅当 x=y 时,xy 有最大值是 4 (简记:和定积 最大). 辨 析 感 悟 1.对基本不等式的认识 (1)当 a≥0,b≥0 时, a+b ≥ ab.(√) 2

a+b (2)两个不等式 a2+b2≥2ab 与 2 ≥ ab成立的条件是相同的.(×) 2.对几个重要不等式的认识 (3)(a+b)2≥4ab(a,b∈R).(√)

(4)

a+b 2ab 2 =1 1≤ ab≤ 2 ≤ a+b a+b

a2+b2 2 .(×)

(5)a2+b2+c2≥ab+bc+ca(a,b,c∈R).(√) 3.利用基本不等式确定最值 π? 4 ? (6)函数 y=sin x+sin x,x∈?0,2?的最小值为 4.(×) ? ? (7)(2014· 福州模拟改编)若 x>-3,则 x+ 4 的最小值为 1.(√) x+3

a (8)(2013· 四川卷改编)已知函数 f(x)=4x+ x (x>0,a>0)在 x=3 时取得最小值, 则 a=36.(√) [感悟· 提升] 两个防范 一是在应用基本不等式求最值时,要把握不等式成立的三个条件,就 是“一正——各项均为正; 二定——积或和为定值; 三相等——等号能否取得”, ?a+b?2 ? ,要弄 若忽略了某个条件,就会出现错误.对于公式 a+b≥2 ab,ab≤? ? 2 ? 清它们的作用、使用条件及内在联系,两个公式也体现了 ab 和 a+b 的转化关 系.如(2)、(4)、(6). 二是在利用不等式求最值时, 一定要尽量避免多次使用基本不等式.若必须多次 使用,则一定要保证它们等号成立的条件一致. 学生用书 第 103 页

考点一

利用基本不等式证明简单不等式

【例 1】 已知 x>0,y>0,z>0. ?y z??x z??x y? 求证:?x+x??y+y??z +z ?≥8. ? ?? ?? ? 证明 ∵x>0,y>0,z>0, y z 2 yz x z 2 xz ∴x+x≥ x >0,y+y≥ y >0, x y 2 xy z +z ≥ z >0,

?y z??x z??x y? ∴?x+x??y+y??z +z ?≥ ? ?? ?? ? 8 yz· xz· xy =8. xyz

当且仅当 x=y=z 时等号成立. 规律方法 利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况,证明思 路是从已证不等式和问题的已知条件出发,借助不等式的性质和有关定理,经过 逐步的逻辑推理最后转化为需证问题. 【训练 1】 已知 a>0,b>0,c>0,且 a+b+c=1. 1 1 1 求证:a+b+ c≥9. 证明 ∵a>0,b>0,c>0,且 a+b+c=1, 1 1 1 a+b+c a+b+c a+b+c ∴a+b+ c= a + b + c b c a c a b =3+a+a+b+b+c+c ?b a? ? c a? ? c b? =3+?a+b?+?a+ c?+?b+ c? ? ? ? ? ? ? ≥3+2+2+2=9, 1 当且仅当 a=b=c=3时,取等号. 考点二 利用基本不等式求最值

xy 【例 2】 (1)(2013· 山东卷)设正实数 x,y,z 满足 x2-3xy+4y2-z=0,则当 z 取 2 1 2 得最大值时, x+y- z 的最大值为 A.0 9 C.4 ( B.1 D.3 ).

2 2 (2)(2014· 广州一模)已知x +y =1,(x>0,y>0),则 x+y 的最小值为 A.1 C.4 B.2 D.8

z 审题路线 (1)x2-3xy+4y2-z=0?变形得 z=x2-3xy+4y2?代入xy?变形后利

2 1 2 1 用基本不等式?取等号的条件把 x + y - z 转化关于 y 的一元二次函数?利用配方 法求最大值. 解析 (1)由 x2-3xy+4y2-z=0,得 z=x2-3xy+4y2, xy xy 1 ∴z= 2 2= x 4 y . x -3xy+4y + y x -3 x 4y 又 x,y,z 为正实数,∴y+ x ≥4, 当且仅当 x=2y 时取等号,此时 z=2y2. 2 1 2 2 1 2 ?1? 2 ∴x+y- z =2y+y -2y2=-? y?2+y ? ? 1 ?1 ? =-? y-1?2+1,当y=1,即 y=1 时,上式有最大值 1. ? ? ?2 2? ? x + y ?= (2)∵x>0,y>0,∴x+y=(x+y)· ? ? ?x y? 4+2?y+x?≥4+4 ? ? xy y· x=8.

x y 当且仅当y=x,即 x=y=4 时取等号. 答案 (1)B (2)D

规律方法 条件最值的求解通常有两种方法:一是消元法,即根据条件建立两个 量之间的函数关系, 然后代入代数式转化为函数的最值求解;二是将条件灵活变 形, 利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子,然后利用基本不等式求解最 值. 【训练 2】 (1)若正数 x,y 满足 x+3y=5xy,则 3x+4y 的最小值是 24 A. 5 C.5 28 B. 5 D.6

(2)(2014· 浙江十校联考)若正数 x,y 满足 4x2+9y2+3xy=30,则 xy 的最大值是 4 A.3 C.2 5 B.3 5 D.4

1 3 解析 (1)由 x+3y=5xy 可得5y+5x=1, 3x 12y ? 1 3 ? 9 4 3x 12y 13 12 ∴3x+4y=(3x+4y)?5y+5x?=5+5+5y+ 5x ≥ 5 + 5 =5(当且仅当5y= 5x ,即 ? ? 1 x=1,y=2时,等号成立), ∴3x+4y 的最小值是 5. (2)由 x>0,y>0,得 4x2+9y2+3xy≥2×(2x)×(3y)+3xy(当且仅当 2x=3y 时等 号成立),∴12xy+3xy≤30,即 xy≤2,∴xy 的最大值为 2. 答案 (1)C (2)C 考点三 基本不等式的实际应用

【例 3】 (2014· 济宁期末)小王大学毕业后,决定利用所学专业进行自主创业.经 过市场调查,生产某小型电子产品需投入年固定成本为 3 万元,每生产 x 万件, 1 需另投入流动成本为 W(x)万元, 在年产量不足 8 万件时, W(x)=3x2+x(万元). 在 100 年产量不小于 8 万件时,W(x)=6x+ x -38(万元).每件产品售价为 5 元.通过 市场分析,小王生产的商品能当年全部售完. (1)写出年利润 L(x)(万元)关于年产量 x(万件)的函数解析式;(注:年利润=年销 售收入-固定成本-流动成本) (2)年产量为多少万件时,小王在这一商品的生产中所获利润最大?最大利润是 多少? 解 (1)因为每件商品售价为 5 元, 则 x 万件商品销售收入为 5x 万元, 依题意得, 当 0<x<8 时, 1 ?1 ? L(x)=5x-?3x2+x?-3=-3x2+4x-3; ? ? 100 ? ? ? 100? 当 x≥8 时 , L(x) = 5x - ?6x+ x -38? - 3 = 35 - ?x+ x ? . 所 以 L(x) = ? ? ? ? 1 2 ? ?-3x +4x-3,0<x<8, ? ? 100? x+ x ?,x≥8. ? ?35-? ? ? 1 (2)当 0<x<8 时,L(x)=-3(x-6)2+9. 此时,当 x=6 时,L(x)取得最大值 L(6)=9 万元,

? 100? 当 x≥8 时,L(x)=35-?x+ x ?≤35-2 ? ?

100 x·x =35-20=15,

100 此时,当且仅当 x= x 时,即 x=10 时,L(x)取得最大值 15 万元. ∵9<15, 所以当年产量为 10 万件时, 小王在这一商品的生产中所获利润最大. 最 大利润为 15 万元. 规律方法 (1)利用基本不等式解决实际问题时,应先仔细阅读题目信息,理解题 意,明确其中的数量关系,并引入变量,依题意列出相应的函数关系式,然后用 基本不等式求解. (2)在求所列函数的最值时,若用基本不等式时,等号取不到,可利用函数单调 性求解. 【训练 3】 为响应国家扩大内需的政策,某厂家拟在 2013 年举行促销活动,经 调查测算,该产品的年销量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用 t(t≥0)万元满 足 x=4- k (k 为常数).如果不搞促销活动,则该产品的年销量只能是 1 万 2t+1

件.已知 2013 年生产该产品的固定投入为 6 万元,每生产 1 万件该产品需要再 投入 12 万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的 1.5 倍(产品 成本包括固定投入和再投入两部分). (1)将该厂家 2013 年该产品的利润 y 万元表示为年促销费用 t 万元的函数; (2)该厂家 2013 年的年促销费用投入多少万元时,厂家利润最大? k 3 解 (1)由题意有 1=4-1,得 k=3,故 x=4- . 2t+1 ∴y=1.5× 6+12x x ×x-(6+12x)-t

3 ? 18 ? =3+6x-t=3+6?4-2t+1?-t=27- -t(t≥0). 2t+1 ? ? ? 9 1? 18 + ? ?t+2? 1 (2)由(1)知:y=27- -t=27.5-? ? ? ? t+ 2t+1 ? 2 由基本不等式 ? 1? ? t+ ? + 1 ? 2?≥2 t+2 9 9 ? 1? ?t+2?=6, 1· ? ? t+2 ? ?. ? ?

9 1 当且仅当 1=t+2, t+2

即 t=2.5 时等号成立, ? 9 ? 1? 18 + ? ?t+2? 故 y=27- -t=27.5-? 1 ? ? 2t+1 t+ ? 2 ≤27.5-6=21.5. 9 1 当且仅当 1=t+2时,等号成立,即 t=2.5 时,y 有最大值 21.5.所以 2013 年的 t+2 年促销费用投入 2.5 万元时,该厂家利润最大,最大利润为 21.5 万元. ? ? ? ?

1.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的 放缩功能,常常用于比较数(式)的大小或证明不等式,解决问题的关键是分析不 等式两边的结构特点,选择好利用基本不等式的切入点. 2.连续使用公式时取等号的条件很严格,要求同时满足任何一次的字母取值存 在且一致.

教你审题 7——如何挖掘基本不等式中的“相等” 1 |a| 【典例】 (2013· 天津卷)设 a+b=2,b>0,则2|a|+ b 取得最小值为________. [审题] 一审条件:a+b=2,b>0,转化为条件求最值问题;

1 |a| 二审问题:2|a|+ b 转化为“1”的代换; 三审过程:利用基本不等式时取等号的条件. 1 |a| a+b |a| a b |a| a 解析 因为 a+b=2,所以2|a|+ b = 4|a| + b =4|a|+4|a|+ b ≥4|a|+2 b |a| 4|a|· b

a 1 3 b |a| = +1≥- +1= ,当且仅当 = ,a<0,即 a=-2,b=4 时取等号,故 4|a| 4 4 4|a| b 1 |a| 3 + 的最小值为 2|a| b 4. 3 答案 4 [反思感悟] 在求解含有两个变量的代数式的最值问题时,通常的解决办法是变 量替换或常值“1”的替换,即由已知条件得到某个式子的值为常数,然后将欲求

最值的代数式乘上常数, 再对代数式进行变形整理,从而可利用基本不等式求最 值. 【自主体验】 (2013· 台州一模)设 x,y 均为正实数,且 A.4 C.9 解析 由 3 3 + =1,则 xy 的最小值为 2+x 2+y

B.4 3 D.16 3 3 + =1 可化为 xy=8+x+y,∵x,y 均为正实数,∴xy=8+x 2+x 2+y

+y≥8+2 xy(当且仅当 x=y 时等号成立),即 xy-2 xy-8≥0,解得 xy≥4, 即 xy≥16,故 xy 的最小值为 16. 答案 D

对应学生用书 P303 基础巩固题组

(建议用时:40 分钟)

一、选择题 1.(2014· 泰安一模)若 a,b∈R,且 ab>0,则下列不等式中,恒成立的是( A.a+b≥2 ab b a C.a+b≥2 1 1 2 B.a+b> ab D.a2+b2>2ab b a × =2. a b ).

b a b a 解析 因为 ab>0,即 >0, >0,所以 + ≥2 a b a b 答案 C

1 1 2.(2014· 杭州一模)设 a>0,b>0.若 a+b=1,则a+b的最小值是( 1 A.2 B.4 解析 C.4 D.8

).

1 1 a+b a+b b a 由题意a+b= a + b =2+a+b≥2+2

b a b a × = 4 ,当且仅当 a b a=b,

1 即 a=b=2时,取等号,所以最小值为 4. 答案 C 1 3.(2013· 金华十校模拟)已知 a>0,b>0,a,b 的等比中项是 1,且 m=b+a, 1 n=a+b,则 m+n 的最小值是( A.3 B.4 C.5 D.6 ).

1 1 解析 由题意知:ab=1,∴m=b+a=2b,n=a+b=2a, ∴m+n=2(a+b)≥4 ab=4. 答案 B 4.(2012· 陕西卷)小王从甲地到乙地的时速分别为 a 和 b(a<b),其全程的平均时 速为 v,则( A.a<v< ab a+b C. ab<v< 2 ). B.v= ab a+b D.v= 2

解析 设甲、乙两地之间的距离为 s. ∵a<b,∴v= s 2s s= 2sab 2ab 2ab = < = ab. ?a+b?s a+b 2 ab

a+b

ab-a2 a2-a2 2ab 又 v-a= -a= > =0,∴v>a. a+b a+b a+b 答案 A 5.(2014· 兰州模拟)已知函数 y=x-4+ b,则 a+b=( A.-3 ). B.2 C.3 D.8 9 (x>-1),当 x=a 时,y 取得最小值 x+1

解析 y=x-4+

9 9 9 =x+1+ -5,由 x>-1,得 x+1>0, >0,所以 x+1 x+1 x+1 9 -5≥2 x+1 ?x+1?× 9 -5=1,当且仅当 x+1= x+1

由基本不等式得 y=x+1+

9 ,即(x+1)2=9,所以 x+1=3,即 x=2 时取等号,所以 a=2,b=1,a+b x+1

=3. 答案 C 二、填空题 6 . (2014· 广州模拟 ) 若正实数 a , b 满足 ab= 2 ,则 (1 + 2a)· (1 + b)的最小值为 ________. 解析 (1+2a)(1+b)=5+2a+b≥5+2 2ab=9.当且仅当 2a=b,即 a=1,b=2 时取等号. 答案 9 x y 7.已知 x,y∈R+,且满足3+4=1,则 xy 的最大值为______. x y 解析 ∵x>0,y>0 且 1=3+4≥2 =2 时取等号. 答案 3 8. 函数 y=a1-x(a>0, a≠1)的图象恒过定点 A, 若点 A 在直线 mx+ny-1=0(mn 1 1 >0)上,则m+n的最小值为________. 解析 ∵y=a1-x 恒过点 A(1,1),又∵A 在直线上, 1 1 m+n m+n n m 1 ∴m+n=1.而m+n= m + n =2+m+ n ≥2+2=4,当且仅当 m=n=2时, 1 1 取“=”,∴m+n的最小值为 4. 答案 4 三、解答题 1 1 1 9.已知 a>0,b>0,a+b=1,求证:a+b+ab≥8. 1 1 1 1 1 a+b ?1 1? 证明 a+b+ab=a+b+ ab =2?a+b?, ? ? ∵a+b=1,a>0,b>0, 1 1 a+b a+b a b ∴a+b= a + b =2+b+a≥2+2=4, 1 1 1 1 ? ? ∴a+b+ab≥8?当且仅当a=b=2时等号成立?. ? ? xy x y 3 12,∴xy≤3.当且仅当3=4,即当 x=2,y

10.已知 x>0,y>0,且 2x+5y=20. (1)求 u=lg x+lg y 的最大值; 1 1 (2)求 x+ y的最小值. 解 (1)∵x>0,y>0, ∴由基本不等式,得 2x+5y≥2 10xy. ∵2x+5y=20, ?2x+5y=20, ∴2 10xy≤20, xy≤10, 当且仅当 2x=5y 时, 等号成立. 因此有? ?2x=5y, ?x=5, 解得? ?y=2, 此时 xy 有最大值 10. ∴u=lg x+lg y=lg(xy)≤lg 10=1. ∴当 x=5,y=2 时,u=lg x+lg y 有最大值 1. (2)∵x>0,y>0, 5y 2x? 1 ? 1 1 ?1 1? 2x+5y 1 ? ∴x+y=? x+ y?· 20 =20?7+ x + y ?≥20?7+2 ? ? ? ? ? 5y 2x 当且仅当 x = y 时,等号成立. 2x+5y=20, ? ? 由?5y 2x = , ? ?x y 10 10-20 ? ?x= 3 , 解得? 20-4 10 ? y = . ? 3 5y 2x? 7+2 10 ?= 20 , x· y?

7+2 10 1 1 ∴x+y的最小值为 20 . 能力提升题组 (建议用时:25 分钟)

一、选择题 2 1 1.已知 x>0,y>0,且 x+ y=1,若 x+2y>m2+2m 恒成立,则实数 m 的取值范 围是( ).

A.(-∞,-2]∪[4,+∞) B.(-∞,-4]∪[2,+∞) C.(-2,4) D.(-4,2) 2 1 解析 ∵x>0,y>0 且 x+ y=1, 4y x ?2 1? ∴x+2y=(x+2y)?x+y ?=4+ x +y ? ? ≥4+2 4y x 4y x · = 8 ,当且仅当 x y x =y,

即 x=4,y=2 时取等号, ∴(x+2y)min=8,要使 x+2y>m2+2m 恒成立, 只需(x+2y)min>m2+2m 恒成立, 即 8>m2+2m,解得-4<m<2. 答案 D 1 2.(2014· 郑州模拟)已知正实数 a,b 满足 a+2b=1,则 a2+4b2+ab的最小值为 ( 7 A.2 ). 161 B.4 C. 36 17 D. 2

1 1 解析 因为 1=a+2b≥2 2ab,所以 ab≤8,当且仅当 a=2b=2时取等号.又因 1? 1 1 1 1 ? 为 a2+4b2+ab≥2 a2· 4b2+ab=4ab+ab.令 t=ab, 所以 f(t)=4t+ t 在?0,8?单调 ? ? 1 ?1? 17 递减,所以 f(t)min=f?8?= 2 .此时 a=2b=2. ? ? 答案 D 二、填空题 3. (2014· 南昌模拟)已知 x>0, y>0, x+3y+xy=9, 则 x+3y 的最小值为________. ?x+3y?2 ? ,令 x+3y 解析 由已知,得 xy=9-(x+3y),即 3xy=27-3(x+3y)≤? ? 2 ? =t,则 t2+12t-108≥0,解得 t≥6,即 x+3y≥6. 答案 6

三、解答题 4.(2013· 泰安期末考试)小王于年初用 50 万元购买一辆大货车,第一年因缴纳各 种费用需支出 6 万元,从第二年起,每年都比上一年增加支出 2 万元,假定该车 每年的运输收入均为 25 万元.小王在该车运输累计收入超过总支出后,考虑将 大货车作为二手车出售, 若该车在第 x 年年底出售, 其销售价格为(25-x)万元(国 家规定大货车的报废年限为 10 年). (1)大货车运输到第几年年底,该车运输累计收入超过总支出? (2)在第几年年底将大货车出售,能使小王获得的年平均利润最大?(利润=累计 收入+销售收入-总支出) 解 (1)设大货车到第 x 年年底的运输累计收入与总支出的差为 y 万元, 则 y=25x-[6x+x(x-1)]-50(0<x≤10,x∈N), 即 y=-x2+20x-50(0<x≤10,x∈N), 由-x2+20x-50>0,解得 10-5 2<x<10+5 2. 而 2<10-5 2<3,故从第 3 年开始运输累计收入超过总支出. (2)因为利润=累计收入+销售收入-总支出,所以销售二手货车后,小王的年 平均利润为 1 1 ? 25? ? 25? y = x [y + (25 - x)] = x ( - x2 + 19x - 25) = 19 - ?x+ x ? ,而 19 - ?x+ x ? ≤19 - ? ? ? ? 2 25 x· x =9,当且仅当 x=5 时等号成立,即小王应当在第 5 年将大货车出售,

才能使年平均利润最大.

方法强化练——不等式

(对应学生用书 P305)

(建议用时:75 分钟)

一、选择题 1.“|x|<2”是“x2-x-6<0”的( A.充分而不必要条件 C.充要条件 ).

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

解析 不等式|x|<2 的解集是(-2,2),而不等式 x2-x-6<0 的解集是(-2,3), 于是当 x∈(-2,2)时,可得 x∈(-2,3),反之则不成立,故选 A.

答案 A 2.(2014· 青岛一模)若 a,b 是任意实数,且 a>b,则下列不等式成立的是( A.a2>b2 b B.a<1 ?1? ?1? C.lg(a-b)>0 D.?3?a<?3?b ? ? ? ? ).

1 ?1? 解析 ∵0<3<1,∴y=?3?x 是减函数,又 a>b, ? ? ?1? ?1? ∴?3?a<?3?b. ? ? ? ? 答案 D 3.(2014· 杭州二中调研)若不等式|8x+9|<7 和不等式 ax2+bx>2 的解集相等, 则实数 a,b 的值分别为( ).

A.a=-8,b=-10 B.a=-4,b=-9 C.a=-1,b=9 D.a=-1,b=2 1 1 解析 据题意可得|8x+9|<7 的解集是{x|-2<x<-4},故由{x|-2<x<-4}是 1 一元二次不等式 ax2+bx>2 的解集,可知 x1=-2,x2=-4是 ax2+bx-2=0 的 2 1 两个根,根据根与系数的关系可得 x1x2=-a=2, b 9 ∴a=-4,x1+x2=-a=-4,∴b=-9,故选 B. 答案 B 4.(2013· 浙江温岭中学模拟)下列命题错误的是( a+b A.若 a≥0,b≥0,则 2 ≥ ab a+b B.若 2 ≥ ab,则 a≥0,b≥0 a+b C.若 a>0,b>0,且 2 > ab,则 a≠b a+b D.若 2 > ab,且 a≠b,则 a>0,b>0 a+b 解析 若 2 > ab,且 a≠b,则 a=0,b>0 或 a>0,b=0 或 a>0,b>0.故 D 错误. 答案 D ).

?2x-y≥0, 5.(2014· 长沙诊断)已知实数 x,y 满足不等式组?x+2y≥0, ?3x+y-5≤0,
大值是( ). D.5 A.0 B.3 C.4

则 2x+y 的最

解析 设 z=2x+y,得 y=-2x+z,作出不等式对应的区域,平移直线 y=-2x ?2x-y=0, +z,由图象可知当直线经过点 B 时,直线的截距最大,由? 解 ?3x+y-5=0, ?x=1, 得? 即 B(1,2),代入 z=2x+y,得 z=2x+y=4. ?y=2, 答案 C 6. (2013· 北京海淀一模)设 x, y∈R+, 且 x+4y=40, 则 lg x+lg y 的最大值是( A.40 B.10 C.4 D.2 ).

解析 ∵x,y∈R+,∴40=x+4y≥2 4xy=4 xy,当 x=4y=20 时取等号, ∴ xy≤100,lg x+lg y=lg xy≤lg 100=2. 答案 D 7.某种生产设备购买时费用为 10 万元,每年的设备管理费共计 9 千元,这种生 产设备的维修费为第一年 2 千元,第二年 4 千元,第三年 6 千元,而且以后以每 年 2 千元的增量逐年递增,则这种生产设备最多使用多少年报废最合算(即使用 多少年的年平均费用最少)( A.8 B.9 C.10 解析 D.11 ).

设使用 x 年的年平均费用为 y 万元. 10+0.9x+ 0.2x2+0.2x 2 10 x * ,即 y = 1 + x x +10(x∈N ). 10 x 10 x x· 10=3,当且仅当 x =10,即 x=10 时取等号.因

由已知,得 y= 由基本不等式知 y≥1+2

此使用 10 年报废最合算,年平均费用为 3 万元. 答案 C

?x≥1, 8.(2014· 天水一模)实数 x,y 满足?y≤a?a>1?, ?x-y≤0,
值 4,则实数 a 的值为( A.4 B.3 C.2 解析 3 D.2 ).

若目标函数 z=x+y 取得最大

作出可行域,由题意可知可行域为△ABC 内部及边界,y=-x+z,则 z 的几何 意义为直线在 y 轴上的截距, 将目标函数平移可知当直线经过点 A 时, 目标函数 取得最大值 4,此时 A 点坐标为(a,a),代入得 4=a+a=2a,所以 a=2. 答案 C

?3x-y-6≤0, 9.(2014· 湖州模拟)设 x,y 满足约束条件?x-y+2≥0, ?x≥0,y≥0.
2 3 by(a>0,b>0)的最大值为 12,则a+b的最小值为( 25 A. 6 8 B.3 11 C. 3 D.4 ).

若目标函数 z=ax+

解析 不等式表示的平面区域如图所示阴影部分.当直线 ax+by=z(a>0,b> 0)过直线 x-y+2=0 与直线 3x-y-6=0 的交点(4,6)时,目标函数 z=ax+by(a

>0,b>0)取得最大值 12,即 4a+6b=12,即 2a+3b=6. 2 3 ?2 3? 2a+3b 所以a+b=?a+b?· 6 ? ? 13 ?b a? = 6 +?a+b? ? ? 13 25 6 ≥ 6 +2= 6 (当且仅当 a=b=5时等号成立). 答案 A 10.(2014· 金丽衢十二校联考)已知任意非零实数 x,y 满足 3x2+4xy≤λ(x2+y2) 恒成立,则实数 λ 的最小值为( 11 C. 5 ). 7 D.2 3x2+4xy ≤4, x2+y2

A.4

B.5

解析 依题意,得 3x2+4xy≤3x2+[x2+(2y)2]=4(x2+y2),因此有 当且仅当 x=2y 时取等号,即 故 λ≥4,即 λ 的最小值是 4. 答案 A 二、填空题

3x2+4xy 3x2+4xy 的最大值是 4 ,结合题意得 λ ≥ , x2+y2 x2+y2

? 1 1? 11.(2013· 烟台模拟)已知关于 x 的不等式 ax2+2x+c>0 的解集为?-3,2?,则不 ? ? 等式-cx2+2x-a>0 的解集为________. 1 1 ? 1 1? 解析 由 ax2+2x+c>0 的解集为?-3,2?知 a<0,且-3,2为方程 ax2+2x+c= ? ? 1 1 2 ? 1? 1 c 0 的两个根,由根与系数的关系得-3+2=-a,?-3?×2=a,解得 a=-12,c ? ? =2,∴-cx2+2x-a>0,即 2x2-2x-12<0,其解集为(-2,3). 答案 (-2,3) 3x,x≥0, ? ? 12 . (2014· 武汉质检 ) 已知 f(x) = ??1?x ? ? ,x<0, ? ??3? ________. 解析 当 x≥0 时,由 3x<9 得 0≤x<2.

则不等式 f(x) < 9 的解集是

?1? 当 x<0 时,由?3?x<9 得-2<x<0. ? ? 故 f(x)<9 的解集为(-2,2). 答案 (-2,2)

?x≥0, 13. (2014· 湖北七市联考)点 P(x, y)在不等式组?x+y≤3, ?y≥x+1

表示的平面区域内,

若点 P(x,y)到直线 y=kx-1(k>0)的最大距离为 2 2,则 k=________.

解析 在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线 y=kx-1 的大 概位置,如图所示,因为 k>0,所以由图可知,点(0,3)到直线 y=kx-1 的距离 |0-1-3| 最大,因此 =2 2,解得 k=1(负值舍去). k2+1 答案 1 14.(2013· 湘潭诊断)已知向量 a=(x-1,2),b=(4,y),若 a⊥b,则 9x+3y 的最 小值为________. 解析 由 a⊥b 得 a· b=4(x-1)+2y=0,即 2x+y=2.所以 9x+3y≥2 9x· 3y =

2 32x+y=6. 答案 6 a2 b2 15.(2014· 宁波十校联考)设 a,b∈(0,+∞),a≠b,x,y∈(0,+∞),则 x + y ?a+b?2 a b ≥ ,当且仅当 = 时,上式取等号,利用以上结论,可以得到函数 f(x)= x y x+y 2 9 1 x+1-2x(x∈(0,2))的最小值为________. ?2+3?2 2 9 4 9 解析 根据已知结论,f(x)= x+ = + ≥ =25,当且仅当 1-2x 2x 1-2x 2x+?1-2x? 2 3 1 1 = ,即 x = ∈ (0 , 2x 1-2x 5 2)时,f(x)取最小值为 25.

答案 25 三、解答题 16.(2014· 长沙模拟)已知 f(x)= 2x . x +6
2

(1)若 f(x)>k 的解集为{x|x<-3 或 x>-2},求 k 的值; (2)若对任意 x>0,f(x)≤t 恒成立,求实数 t 的范围. 解 (1)f(x)>k?kx2-2x+6k<0, 由已知其解集为{x|x<-3 或 x>-2}, 得 x1=-3,x2=-2 是方程 kx2-2x+6k=0 的两根, 2 2 所以-2-3= k,即 k=-5. (2)∵x>0,f(x)= 2x 2 6 = 6≤ 6 , x +6 x+x
2

? 6 ? 由已知 f(x)≤t 对任意 x>0 恒成立,故实数 t 的取值范围是? ,+∞?. ?6 ? 17.(2013· 广州诊断)某单位决定投资 3 200 元建一仓库(长方体状),高度恒定, 它的后墙利用旧墙不花钱,正面用铁栅,每米长造价 40 元,两侧墙砌砖,每米 长造价 45 元,顶部每平方米造价 20 元,求:仓库面积 S 的最大允许值是多少? 为使 S 达到最大,而实际投资又不超过预算,那么正面铁栅应设计为多长? 解 设铁栅长为 x 米,一侧砖墙长为 y 米,则顶部面积 S=xy,依题设,得 40x +2×45y+20xy=3 200, 由基本不等式, 得 3 200≥2 40x· 90y+20xy=120 xy+

20xy=120 S+20S, 则 S+6 S-160≤0, 即( S-10)( S+16)≤0, 故 0< S≤10, 从而 0<S≤100, 所以 S 的最大允许值是 100 平方米, 取得此最大值的条件是 40x =90y 且 xy=100,解得 x=15,即铁栅的长应设计为 15 米. 18.(2014· 泉州调研)已知函数 f(x)=x3+3ax2+3x+1. (1)当 a=- 2时,讨论 f(x)的单调性; (2)若 x∈[2,+∞)时,f(x)≥0,求 a 的取值范围. 解 (1)当 a=- 2时,f(x)=x3-3 2x2+3x+1. f′(x)=3x2-6 2x+3. 令 f′(x)=0,得 x= 2-1 或 2+1.

当 x∈(-∞, 2-1)时,f′(x)>0,f(x)在(-∞, 2-1)上是增函数; 当 x∈( 2-1, 2+1)时,f′(x)<0,f(x)在( 2-1, 2+1)上是减函数; 当 x∈( 2+1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)在( 2+1,+∞)上是增函数. (2)法一 ∵当 x∈[2,+∞)时,f(x)≥0,

∴3ax2≥-x3-3x-1, x 1 1 ∴a≥-3- x-3x2, x 1 1 1 1 2 设 g(x) =- 3 - x - 3x2 ,∴求 g(x) 的最大值即可,则 g′(x) =- 3 + x2 + 3x3 = -x3+3x+2 , 3x3 设 h(x)=-x3+3x+2, 则 h′(x)=-3x2+3,当 x≥2 时,h′(x)<0, ∴h(x)在[2,+∞)上单调递减, ∴g′(x)在[2,+∞)上单调递减, ∴g′(x)≤g′(2)=0, ∴g(x)在(2,+∞)上单调递减, 5 ∴g(x)max=g(2)=-4, 5 ∴a≥-4. 5 法二 因为 x∈[2,+∞)时,f(x)≥0,所以由 f(2)≥0,得 a≥-4. 5 当 a≥-4,x∈(2,+∞)时,f′(x)=3(x2+2ax+1)≥ 5 ? ? ? 1? 3?x2-2x+1?=3?x-2?(x-2)>0, ? ? ? ? 所以 f(x)在(2,+∞)上是增函数,于是当 x∈[2,+∞)时,f(x)≥f(2)≥0. ? 5 ? 综上,a 的取值范围是?-4,+∞?. ? ? 学生用书 第 105 页

教育工作中的百分之一的废品,就会使国家遭受严重的损失。 ——马卡连柯 教师应当善于组织,善于行动,善于运用诙谐,既要快乐适时,又要生气得当。 教师应当能让自己的每一举动都能对自己起教育的作用,并且永远应当知道当时 自己所希望的是什么,所不希望的是什么。如果一个教师不了解这一点,那他还 能教育谁呢? ——马卡连柯


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