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2008—2009学年度上学期高二数学选修2-1试卷doc


福建省仙游一中 2008—2009 学年度上学期高二数学选修 2-1 试卷
(命题人 孙桥敏 李新岳,满分 150 分,答卷时间 2 小时 第Ⅰ卷(100 分) 一、选择题(本大题共 10 个小题,各 5 分,共 50 分。在每一小题给出的四个选项中, 有且只有一个是正确的。在答题卷上的相应区域内作答。 )
1.抛物线 y ? ?

1 2 x 的准线方程是 8 1 A. x ? B. y ? 2 32

( C. y ?

)

1 32

D. y ? ?2

2.已知两点 F1 (?1,0) 、 F2 (1,0) ,且 F1 F2 是 PF1 与 PF2 的等差中项,则动点 P 的轨迹方程是 ( A. )

x2 y 2 ? ?1 16 9

B.

x2 y 2 ? ?1 16 12

C.

x2 y 2 ? ?1 4 3

D. )

x2 y 2 ? ?1 3 4

3.若 A (1,?2,1) ,B (4,2,3) ,C (6,?1,4) ,则△ABC 的形状是( A.不等边锐角三角形 C.钝角三角形 4.设 a ? R ,则 a ? 1 是 B.直角三角形 D.等边三角形

1 ? 1 的( a

) B.必要但不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分但不必要条件 C.充要条件

5.如图,空间四边形 ABCD 中,M、G 分别是 BC、CD 的中点, 则 AB

1 1 ? BC ? BD 2 2
B. GA

等于





A. AD C. AG

D. MG
2 2

6.以坐标轴为对称轴,以原点为顶点且过圆 x ? y ? 2x ? 6 y ? 9 ? 0 的圆心的抛物线的方程是 ( ) A. y ? 3x 或 y ? ?3x
2 2

B. y ? 3x

2

C. y ? ?9 x 或 y ? 3x
2

2

D. y ? ?3x 或 y ? 9 x
2 2

7.抛物线 y=x2 到直线 2x-y=4 距离最近的点的坐标是 (

)

A. (

3 5 3 9 , ) B.(1,1)C. ( , ) D.(2,4) 2 4 2 4
( )

8.向量 a ? (2,?1,2) ,与其共线且满足 a ? x ? ?18 的向量 x 是 A. ( , , ? )

1 1 2 3

1 4

B. (4,-2,4) C. (-4,2,-4)

D. (2,-3,4)
D1 A1 B1 C1

9.如图,正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的棱长为 2, 点 P 是平面 ABCD 上的动点,点 M 在棱 AB 上, 且 AM ?

1 ,且动点 P 到直线 A1 D1 的距离与 3
A

D P M B

C

点 P 到点 M 的距离的平方差为 4,则动点 P 的 轨迹是( A.圆 ) B.抛物线 C.双曲线

D.直线

10.过原点 O 作两条相互垂直的直线分别与椭圆 P: ABCD 面积最小值为

x2 ? y 2 ? 1交于 A、C 与 B、D,则四边形 2

8 4 B、 4 2 C、 2 2 D、 3 3 二、填空题(本大题共 4 题,每小题 4 分,共 8 分。在答题卷上的相应区域内作答。 )
A、 11.命题“存在有理数 x ,使 x ? 2 ? 0 ”的否定为
2



12. M 是椭圆 面积等于

x2 y 2 ? ? 1 上的点, F1 、 F2 是椭圆的两个焦点,?F1MF2 ? 60 ,则 ?F1MF2 的 25 9

王新敞
奎屯 新疆

13.在棱长为 1 的正方体 AC1 中, 则平面 C1BD 与平面 CB1D1 所成角余弦值 为___________

x2 y 2 ? ? 1 上一点 P 到左准线的距离为 10 , F 是该椭圆的左焦点,若点 M 满足 14 .设椭圆 25 16
OM ? 1 (OP ? OF ) ,则 | OM | = 2


三、解答题(本大题共三题,共 34 分。解答题应有适当的文字说明、证明过程或演 算步骤,在答题卷上相应的答题区域内作答。 )
15. (本小题满分 10 分)已知命题 p : “直线 y=kx+1 椭圆
2

x2 y2 ? ? 1 恒有公共点” 命题 q : 5 a

只有一个实数 x 满足不等式 x ? 2ax ? 2a ? 0 . 若命题“p 或 q”是假命题,求实数 a 的取值范围.

16.(本小题满分 12 分) 双曲线 C 的中心在原点, 右焦点为 F ? (Ⅰ )求双曲线 C 的方程;

?2 3 ? ? 渐近线方程为 y ? ? 3x . ? 3 , 0? , ? ?

(Ⅱ )设直线 l : y ? kx ? 1 与双曲线 C 交于 A 、 B 两点,问:当 k 为何值时,以 AB 为直径 的圆过原点;

17.(本小题满分 12 分) 如图,直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱) ABC ? A1 B1C1 ,底面 ?ABC 中

CA ? CB ? 1, ?BCA ? 900 ,棱 AA1 ? 2 , M、N 分别为 A1 B1、A1 A D 的中点.
(I) 求 cos ? BA 1 , CB1 >的值; (II)求证: BN ? 平面C1 MN (III)求 点B 1到平面C 1MN 的距离. A1 M N C1 B1

C B

A

第Ⅱ卷(50 分) 一、选择题(本大题共 2 小题,每小题 5 分,共 10 分。每题有且只有一个选项是正 2 确的,请把答案填在答卷相应位置上) 1.已知抛物线 x2 ? y ? 1 上一定点 A(?1, 0)0和两动点 P, Q ,当 PA ? PQ 时,点 Q 的横坐标 的取值范围是( )
8 0 6 0 5 0

A. (??, ?3]
2 2

B. [1, ??)
1 2

C. [?3,1]

D. (??, ?3]
1 2

[1, ??)

2.双曲线

x y ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的两个焦点为 F 、F ,若 P 为其上一点,且|PF |=3|PF |,则双曲线离心率的 2 a b

B.

取值范围为 A.(1,2)

?1, 2?



C.(3,+ ? )

D.

?3, ?? ?
y ? x ? m 对称,且 x1 ? x 2 ? ? 1 ,
2

二、填空题(本大题共 2 小题,每小题 5 分,共 10 分)
3.抛物线 y ? 2 x 2 上两点 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y 2 ) 关于直线 则m= .

4.已知 F1,F2 为双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0,b ? 0且a ? b) 的两个焦点, P 为双曲线右支上异于 a 2 b2


顶点的任意一点, O 为坐标原点.下面四个命题( A. △PF1F2 的内切圆的圆心必在直线 x ? a 上; B. △PF1F2 的内切圆的圆心必在直线 x ? b 上; C. △PF1F2 的内切圆的圆心必在直线 OP 上; D. △PF1F2 的内切圆必通过点 ? a, 0? . 其中真命题的代号是

(写出所有真命题的代号) .

三、解答题(本大题共 2 小题,共 30 分,请按照要求写清必要的步骤)
5(本小题满分 15 分) 已知四棱锥 P ? ABCD 的底面为直角梯形, AB // DC ,

AB ? 1 , M 是 PB 的中点。 (Ⅰ)证明:面 PAD ? 面 PCD ; (Ⅱ)求 AC 与 PB 所成的角;

1 ?DAB ? 90? , PA ? 底面 ABCD ,且 PA ? AD ? DC ? , 2

(Ⅲ)求面 AMC 与面 BMC 所成二面角的大小余弦值。 6. (本小题满分 15 分) 已知 F1 (?2,0), F2 (2,0),点P 满足 | PF1 | ? | PF2 |? 2 ,记点 P 的轨迹为 E. (1)求轨迹 E 的方程; (2)若直线 l 过点 F2 且与轨迹 E 交于 P、Q 两点. (i)无论直线 l 绕点 F2 怎样转动,在 x 轴上总存在定点 M (m,0) ,使 MP ? MQ 恒成立,求实 数 m 的值. (ii)过 P、Q 作直线 x ? 取值范围.

1 的垂线 PA、OB,垂足分别为 A、B,记 ? ? | PA | ? | QB | ,求λ 的 2 | AB |

参考答案
第Ⅰ卷(100 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的,请把答案填在答题卡上.

题号 答案

1 B

2 C

3 A

4 A

5 C

6 D

7 B

8 C

9 B

10 A

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 12 分. 11 任意有理数 x ,使 x ? 2 ? 0
2

12. 3 3

13.

1 3

14.2

三、解答题: 15. a<0 或 0<a<5 或 a=5

10 分

x2 y2 16. 解: (Ⅰ )设双曲线的方程是 2 - 2 ? 1?a ? 0,b ? 0? ,则 a b

c?


2 3 b , ? 3. a 3

c 2 ? a 2 ? b 2 , ?b 2 ? 1 ,
1 , 3
2 2

a2 ?

所以双曲线的方程是 3x ? y ? 1. (Ⅱ )① 由 ?

4分

? y ? kx ? 1,
2 2 ?3 x ? y ? 1,

得 3 ? k x ? 2kx ? 2 ? 0 ,
2 2

?

?

6分 7分

由 ? ? 0, 且3 ? k 2 ? 0 ,得 ? 6 ? k ? 6, 且 k ? ? 3 .

设 A?x1 , y1 ? 、 B?x2 , y 2 ? ,因为以 AB 为直径的圆过原点,所以 OA ? OB , 所以 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 . 又 x1 ? x2 ? 9分

?2k 2 , x1 x2 ? 2 , 2 k ?3 k ?3
2

所以 y1 y2 ? (kx1 ? 1)(kx2 ? 1) ? k x1x2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 1 ? 1,

所以

2 ? 1 ? 0 ,解得 k ? ?1 . k ?3
2

12 分

解:如图,以 C 为原点,CA、CB、CC1 所在的直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴,建立如图所示的坐标 系

O



xyz

┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 1 分 (I)依题意得 A1 (1,0,2), C (0,0,0), B1 (0,1,2) , ∴ BA ,?1,2),CB1 ? (0,1,2) 1 ? (1 ∴ BA ) ?1 ? 2 ? 2 ? 3 1 ? CB1 ? 1? 0 ? (?1

BA1 ? 6 , CB1 ? 5

,



cos ? BA 1 , CB1

>=

BA1 ? CB1 BA1 ? CB1

?

30 10

┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 5 分 (II) 依题意得 A1 (1,0,2), C1 (0,0,2), B1 (0,1,2), N (1,0,1) ∴ C 1M ? ( , 分 ∴ ∴ M ( , ,2) ,

1 1 2 2

1 1 ,0) , C1 N ? (1,0,?1) , BN ? (1,?1,1) ,┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 9 2 2 1 1 ? 1 ? ? (?1) ? 1 ? 0 ? 0 2 2

C1 M ? BN ?

C1 N ? BN ? 1?1 ? 0 ? (?1) ? (?1) ?1 ? 0
∴ ∴ ∴ 分 (Ⅲ)

C1M ? BN , C1 N ? BN
BN ? C1 M , BN ? C1 N BN ? 平面C1 MN
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 9

3 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 12 分 3

第Ⅱ卷(50 分) 1. D.
2 3 4 5.证明:以 A 为坐标原点 AD 长为单位长度,如图建立空间直角坐标系,则各点坐标为

1 A(0, 0, 0), B(0, 2, 0), C (1,1, 0), D(1, 0, 0), P(0, 0,1), M (0,1, ) . 2
(Ⅰ)证明:因 AP ? (0,0,1), DC ? (0,1,0),故AP ? DC ? 0, 所以AP ? DC.

由题设知 AD ? DC ,且 AP 与 AD 是平面 PAD 内的两条相交直线,由此得 DC ? 面 PAD .又 DC 在面 PCD 上,故面 PAD ⊥面 PCD . (Ⅱ)解:因 AC ? (1,1,0), PB ? (0,2,?1),

故 | AC |? 2 , | PB |? 5 , AC ? PB ? 2, 所以 cos ? AC, PB ?? AC ? PB | AC | ? | PB | ? 10 . 5

(Ⅲ)解:在 MC 上取一点 N ( x, y, z ) ,则存在 ? ? R, 使 NC ? ? MC,

1 1 NC ? (1 ? x,1 ? y,? z ), MC ? (1,0,? ),? x ? 1 ? ? , y ? 1, z ? ?.. 2 2 1 4 要使 AN ? MC , 只需 AN MC ? 0即x ? z ? 0, 解得? ? . 2 5 4 1 2 可知当? ? 时, N点坐标为( ,1, ),能使 AN ? MC ? 0. 5 5 5 1 2 1 2 此时, AN ? ( ,1, ), BN ? ( ,?1, ), 有 BN ? MC ? 0 5 5 5 5

由AN ? MC ? 0, BN ? MC ? 0得AN ? MC, BN ? MC.所以?ANB 为
所求二面角的平面角.

30 30 4 ,| BN |? , AN BN ? ? . 5 5 5 AN BN 2 ? cos( AN , BN ) ? ?? . 3 | AN | ? | BN | 2 故所求的二面角为 arccos(? ). 3 | AN |?
6.本小题主要考查双曲线的定义与方程,考查直线与圆锥曲线的位置关系、两直线垂直等基础知 识,考查解析几何的基本思想和综合解题能力,满分 12 分。 解: (1)由 | PF 1 | ? | PF2 |? 2 ?| F 1 F2 | 知,点 P 的轨迹 E 是以 F1、F2 为焦点的双曲线右支, 由 c ? 2, 2a ? 2, ? b 2 ? 3 ,故轨迹 E 的方程为 x ?
2

y2 ? 1( x ? 1). ????4 分 3

(2)当直线 l 的斜率存在时,设直线方程为 y ? k ( x ? 2), P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,与双曲线方 程联立消 y 得 (k ? 3) x ? 4k x ? 4k ? 3 ? 0 ,
2 2 2 2

?k 2 ? 3 ? 0 ? ?? ? 0 2 ? ? ? x1 ? x 2 ? 4k ? 0 k2 ?3 ? ? 4k 2 ? 3 ? x1 ? x 2 ? 2 ?0 k ?3 ?
解得 k2 >3 ??????????????????????????????5 分 (i)? MP ? MQ ? ( x1 ? m)(x2 ? m) ? y1 y2

? ( x1 ? m)(x 2 ? m) ? k 2 ( x1 ? 2)(x 2 ? 2) ? (k 2 ? 1) x1 x 2 ? (2k 2 ? m)(x1 ? x 2 ) ? m 2 ? 4k 2 (k 2 ? 1)(4k 2 ? 3) 4k 2 ( 2k 2 ? m) ? ? m 2 ? 4k 2 2 2 k ?3 k ?3 2 3 ? (4m ? 5)k ? ? m 2 .???????? 7分 2 k ?3 ?

? MP ? MQ,? MP ? MQ ? 0 ,
故得 3(1 ? m 2 ) ? k 2 (m 2 ? 4m ? 5) ? 0 对任意的

k 2 ? 3 恒成立,
2 ? ?1 ? m ? 0 ?? 2 , 解得m ? ?1. ? ?m ? 4 m ? 5 ? 0

∴当 m =-1 时,MP⊥MQ. 当直线 l 的斜率不存在时,由 P(2,3), Q(2,?3)及M (?1,0) 知结论也成立, 综上,当 m =-1 时,MP⊥MQ. ????????????????????10 分 ( ii ) ? a ? 1, c ? 2,? 直线 x ?

1 是双曲线的右准线, 2 1 1 1 | PA |? | PF2 |? | PF2 |,| QB |? | QF2 | , e 2 2

由双曲线定义得:

方法一:? ? ?

1 ? k 2 | x 2 ? x1 | | PQ | ? 2 | AB | 2 | y2 ? y1| 1 ? k 2 | x 2 ? x1 | 1? k 2 1 1 ? ? ? 1? 2 . 2 | k ( x 2 ? x1 ) | 2|k | 2 k

? k 2 ? 3,? 0 ?

1 1 1 3 , ? ,故 ? ? ? 2 3 2 3 k

注意到直线的斜率不存在时, | PQ |?| AB |,此时 ? ? 综上, ? ? ? ,

1 , 2

?1

3? ?. ????????????????????????15 分 ? 2 3 ? ?

方法二:设直线 PQ 的倾斜角为θ ,由于直线 PQ 与双曲线右支有二个交点,

?

2? ,过 Q 作 QC⊥PA,垂足为 C,则 3 3 ? | PQ | | PQ | 1 1 ?PQC ?| ? ? |,? ? ? ? ? ? . ? 2 2 | AB | 2 | CQ | 2s i n ? 2c o s ( ?? ) 2 ?? ?

?



?
3

?? ?
?1

2? 3 ,得 ? sin ? ? 1, 3 2

故: ? ? ? ,

3? ?. ??????15 分 ? 2 3 ? ?


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