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浙江省嘉兴市第一中学2016届高三适应性测试数学理试题


浙江省嘉兴一中 2016 级高三适应性测试数学(理科)试卷
命题:沈新权 一、选择题(本大题共8小题,每题 5 分,共40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.若集合 A ? ?1,2,3? , B ? ?( x, y) x ? y ? 4 ? 0, x, y ? A? ,则集合 B 中的元素个数为( A.9 B. 6 C.4 D.3 ) 审题:许群燕

2.某几何体的三视图如图所示,图中的正视图、侧视图、俯视图都是边长为 1 的正方形, 两条虚线的交点为正方形一边的中点,则该几何体的体积是( ) A.

1 3

B.

2 3

C.1

D.

4 3
*

正视图

侧视图

3. 已知数列 ?an ? 中的任意一项都为正实数,且对任意 m, n ? N ,有 am ? an ? am? n ,如果

a10 ? 32 ,则 a1 的值为(
A. ?2 B.2

) C. 2 D. ? 2 )
y

俯视图

4. 已知函数 f ( x) ? ln x , g ( x) ? ? x2 ? 3 ,则 f ( x) ? g ( x) 的图象为(
y y y

O

x

O

x

O

x

O

x

A

B )

C

D

5.已知 a , b 都是实数,那么“ a3 ? b3 ”是“ a 2 ? b 2 ”的(

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6.设函数 f ( x) ? ( x ? a) x ? a ? b , a, b ? R ,则下列叙述中,正确的序号是( ①对任意实数 a , b ,函数 y ? f ( x) 在 R 上是单调函数; ②对任意实数 a , b ,函数 y ? f ( x) 在 R 上都不是单调函数; ③对任意实数 a , b ,函数 y ? f ( x) 的图象都是中心对称图象; ④存在实数 a , b ,使得函数 y ? f ( x) 的图象不是中心对称图象. A. ①③ B. ②③ C. ①④ D.③④ 7. 将函数 f ( x) ? cos ? x(其中 ? ? 0 ) 的图象向右平移 A.0 B. 1 C. )

? ? 个单位, 若所得图象与原图象重合, 则 f ( ) 不可能等于 ( 3 24



2 2

D.

3 2

?ACB ? 90? , 8. 已知 A, B, C 是抛物线 y 2 ? 4 x 上不同的三点, 且 AB ∥ y 轴, 点 C 在 AB 边上的射影为 D , 则A D B ? D
( ) A. 16

?

B.8

C. 4

D. 2
1

二、填空题(本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分) 9.已知函数 f ( x) ? x ? 1 ? 2x ? 1 ? 3x ? 1 .则 f (2) ? , f ( x) 的最小值为 .

10. 设 e1 , e2 为单位向量,其中 a ? 2e1 ? e2 , b ? e2 ,且 a 在 b 上的投影为 2 , 则a ? b ? 11.若双曲线 , e1 与 e2 的夹角为 . ,如果双

3 x2 y 2 倍,则双曲线的离心率为 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点到渐近线的距离等于焦距的 2 4 a b 曲线上存在一点 P 到双曲线的左右焦点的距离之差为 4,则双曲线的虚轴长为 .

12. 如 图 , 已 知 边 长 为 4 的 菱 形 ABCD 中 ,

AC ? BD ? O , ?ABC ? 60 ? .将菱形 ABCD 沿对角
线 AC 折起得到三棱锥 D ? ABC , 二面角 D ? AC ? B 的大小为 60? , 则直线 BC 与平面 DAB 所成角的正弦值 为 .
A
O

D
D

C

A

O

C

13. 设 等 差 数 列 ?an ? 的 前

n 项 和 为 Sn , 若
,满 .

B B

S6 ? S7 ? S5 ,则 an ? 0 的最大 n ?
足 Sk Sk ?1 ? 0 的正整数 k ?

14. 已知函数 f ( x ) ? 2 x ? 1 , g( x) ? x 2 ? (2 ? 3k ) x ? 2k ? 1 . 若方程 g f ( x) ? 0 有 3 个不同实根,则 k 的取值范围 为 .

?

?

? x ? 0, ? 15. 已知点 P 是平面区域 M : ? y ? 0, 内的任意一点, P 到平面区域 M 的边界的距离之和的取值范围 ? ? 3x ? y ? 3 ? 0.
为 . 三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16. (本题满分 14 分)在 ?ABC 中, a , b, c 分别是三内角 A, B, C 的对边,且

3cos B ? 2sin( ? A) ? sin( ? A) ? 2sin 2 A . 3 3
(1)求角 B 的值; (2)若 b ? 2 3 ,求三角形 ABC 周长的最大值.

?

?

S

A

F

B

D
2

E

C

17. (本题满分 15 分)如图,在三棱锥 S ? ABC 中, SA ? 底面 ABC , AC ? AB ? SA ? 2 , AC ? AB , D , E 分 别是 AC , BC 的中点, F 在 SE 上,且 SF ? 2 FE . (1)求证: AF ? 平面 SBC ; (2)在线段上 DE 上是否存在点 G ,使二面角

G ? AF ? E 的大小为 30? ?若存在,求出 DG 的长;
若不存在,请说明理由.

18. (本题满分 15 分)设函数 f ( x) ? 2ax2 ? bx ? 3a ? 1, (1)若 0 ? a ? 1 , f ( x1 ) ? f ( x2 ) x1 , x2 满足 x1 ?[b, b ? a] ,

x2 ?[b ? 2a, b ? 4a] ,求实数 b 的最大值; (2)当 x ? [ ?4, 4] 时, f ( x) ? 0 恒成立,求 5a ? b 的最小值.

19. (本题满分 15 分)如图,已知中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆的一个焦点为 ( 3,0) , (1, (1)求椭圆的标准方程;

3 ) 是椭圆上的一个点. 2

(2)设椭圆的上、下顶点分别为 A, B , P( x0 , y0 ) ( x0 ? 0 )是椭圆上异于 A, B 的任意一点, PQ ? y 轴, Q 为垂足,

3 M 为线段 PQ 中点,直线 AM 交直线 l : y ? ?1 于点 C , N 为线段 BC 的中点,如果 ?MON 的面积为 ,求 y0 的值. 2

A

y M P x

l : y ? ?1

Q O
B

N

C
2

20. (本题满分 15 分)已知数列 {an } 满足: a1 ? 1, an?1 ? an sin (1)当 ? ?

? ? sin 2? ? cos2n ? .

?
4

时,求数列 {an } 的通项公式;

(2)在(1)的条件下,若数列 {bn } 满足 bn ? sin

? an
2

, S n 为数列 {bn } 的前 n 项和,求证:对任意 n ? N * , S n ? 3 ?

5? . 8

3

嘉兴一中 2016 年高考数学适应性练习(理科)参考答案
一、选择题(本大题共8小题,每题 5 分,共40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.若集合 A ? ?1,2,3? , B ? ?( x, y) x ? y ? 4 ? 0, x, y ? A? ,则集合 B 中的元素个数为( A.9 B. 6 D 提示: x, y ? A 的数对共 9 对,其中 (2,3),(3, 2),(3,3) 满足 x ? y ? 4 ? 0 ,所以集合 B 中的元素个数共 3 个. 2.某几何体的三视图如图所示,图中的正视图、侧视图、俯 正方形,两条虚线的交点为正方形的中点,则该几何体的体积是 A. B 提示:由三视图知,原几何体为一个正方体挖掉一个正四棱 为 1 ,正四棱锥的底面边长为正方体的上底面,顶点为正方体下底 视图都是 边长为 1 的 ( ) C.4 D.3 )

1 3

B.

2 3

C.1

D.

4 3

正视图

侧视图 锥,其中正方体的棱 面的中心,因此,该

1 2 几何体的体积为 V ? 13 ? ?1?12 ? . 3 3

俯视图

am n ? , 3. 已知数列 ?an ? 中的任意一项都为正实数, 且对任意 m, n ? N * , 有 am ?an ? 如果 a10 ? 32 , 则 a1 的值为 (
A. ?2 C 提示:令 m ? 1 ,则 B.2 C. 2 D. ? 2



an ?1 ? a1 ,所以数列 ?an ? 是以 a1 为首项,公比为 a1 的等比数列,从而 an ? a1n ,因为 a10 ? 512 , an

所以 a1 ? 2 . 4. 已知函数 f ( x) ? ln x , g ( x) ? ? x2 ? 3 ,则 f ( x) ? g ( x) 的图象为(
y y y


y

O

x

O

x

O

x

O

x

A

B

C

D

C 提示:由 f ( x) ? g ( x) 为偶函数,排除 A, D ,当 x ? e 时, f ( x) ? g ( x) ? ?e2 ? 3 ? 0 ,排除 B. 5.已知 a , b 都是实数,那么“ a3 ? b3 ”是“ a 2 ? b 2 ”的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4

D 提示:因为 a3 ? b3 等价于 a ? b ,由于 a , b 正负不定,所以由 a ? b 不能得到 a 2 ? b 2 ;由 a3 ? b3 也不能得到 a ? b , 因此“ a3 ? b3 ”是“ a 2 ? b 2 ”的既不充分也不必要条件. 6.设函数 f ( x) ? ( x ? a) x ? a ? b , a, b ? R ,则下列叙述中,正确的序号是 ①对任意实数 a , b ,函数 y ? f ( x) 在 R 上是单调函数; ②对任意实数 a , b ,函数 y ? f ( x) 在 R 上都不是单调函数; ③对任意实数 a , b ,函数 y ? f ( x) 的图象都是中心对称图象; ④存在实数 a , b ,使得函数 y ? f ( x) 的图象不是中心对称图象. A. ①③ B. ②③ C. ①④ D.③④ A 考虑 y ? x x ,函数 f ( x) ? ( x ? a) x ? a ? b 的图象是由它平移得到的,因此,其单调性和对称性不变. 7.将函数 f ( x) ? cos ? x (其中 ? ? 0 )的图象向右平移 于( ) A.0 B. 1 D 提示: 由题意 可能等于 C. . (把正确的序号都填上)

? ? 个单位,若所得图象与原图象重合,则 f ( ) 不可能等 3 24

2 2

D.

3 2

?
3

?

2?

?

? k (k ? N * ) ,所以 ? ? 6k (k ? N * ) ,因此 f ( x) ? cos 6kx ,从而 f (

?
24

) ? cos

k? ? ,可知 f ( ) 不 4 24

3 . 2

8 .已知 A, B, C 是抛物线 y 2 ? 4 x 上不同的三点,且 AB ∥ y 轴, ?ACB ? 90? ,点 C 在 AB 边上的射影为 D ,则

AD ? BD ? (
A. 16 A B.8

) C. 4 D. 2

设 A(4t 2 ,4t ), B(4t 2 , ?4t ) , C (4m2 , 4m) ,因为 ?ACB ? 90? , 所以 16(t 2 ? m2 )2 ? 16(t 2 ? m2 ) ? 0 ,因此 m2 ? t 2 ? ?1 ,因为 CD ? 4 t 2 ? m2 ? 4 且在 Rt ?ABC 中, AD ? BD ? CD ,所 以 AD ? BD ? 16 . 二、填空题(本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分) 9.已知函数 f ( x) ? x ? 1 ? 2x ? 1 ? 3x ? 1 .则 f (2) ? 9,1. 10. 设 e1 , e2 为单位向量,其中 a ? 2e1 ? e2 , b ? e2 ,且 a 在 b 上的投影为 2 , 则a ? b ? , e1 与 e2 的夹角为 . , f ( x) 的最小值为 .
2

a ? b ?2,

? . 3
5

提示:设 e1 与 e2 夹角为 ? ,则

2 a ? b (2e1 ? e2 ) ? e2 2e1 ? e2 ? e2 ? ? |b| | e2 | 1

? 2 | e1 | ? | e2 | cos? ? 1 ? 2 ,解得 cos ? ?
11.若双曲线

1 ? ? ,所以 ? ? .故填 . 2 3 3
,如

3 x2 y 2 倍,则双曲线的离心率为 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点到渐近线的距离等于焦距的 2 4 a b 果双曲线上存在一点 P 到双曲线的左右焦点的距离之差为 4,则双曲线的虚轴长为 .
2, 4 3 由于右焦点到渐近线的距离等于焦距的

3 b ? b 倍,可知双曲线渐近线 y ? x 的倾斜角为 ,即 ? 3 ,所以 4 a 3 a

e?

c ? 1 ? 3 ? 2 ,因为 a ? 2 ,从而 b ? 16 ? 4 ? 2 3 . a
12. 如图,已知边长为 4 的菱形 ABCD 中, AC ? BD ? O ,?ABC ? 60 ? .将菱形 ABCD 沿对角线 AC 折起得到

三棱锥 D ? ABC ,二面角 D ? AC ? B 的大小为 60? ,则直线 BC 与平面 DAB 所成角的正弦值为

.

D D

A

O

C

A

O

C

B B
3 13 . 13
提示:由题意 ?DOB ? 60? , AC ? 平面 DOB ,△ DOB 为等边三角形, 取 OB 的中点 H ,则有 DH ? 平面 ABC ,且 DH ? 3 ,∵ VD? ABC ?V C ? ABD ,即 ? S ?ABC ? DH ? 为点 C 到平面 ABD 的距离) ,∴ d ?

1 3

1 ? S ?ABD ? d (其中 d 3

3 12 13 . 13 ,即直线 BC 与平面 DAB 所成角的正弦值 13 13
,满

13. 设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 S6 ? S7 ? S5 ,则 an ? 0 的最大 n ? 足 Sk Sk ?1 ? 0 的正整数 k ? 6,12. .

提示:依题意 a6 ? S6 ? S5 ? 0 , a7 ? S7 ? S6 ? 0 , a6 ? a7 ? S7 ? S5 ? 0 ,则 S11 ?

11(a1 ? a1 1) ? 11a6 ? 0 , 2

12(a1 ? a12 ) 12(a6 ? a7 ) ? ?0, 2 2 13(a1 ? a13 ) S13 ? ? 13a7 ? 0 ,所以 S12 S13 ? 0 ,即满足 Sk Sk ?1 ? 0 的正整数 k ? 12 . 2 S12 ?
6

14.已知函数 f ( x ) ? 2 x ? 1 , g( x) ? x 2 ? (2 ? 3k ) x ? 2k ? 1 .若方程 g f ( x) ? 0 有 3 个不同实根,则 k 的取值范围 为 .

?

?

k??

1 或k ? 0. 2

方程 g f ( x) ? 0 有 3 个不同实根等价于方程 g ( x ) ? 0 ,即 x2 ? (2 ? 3k ) x ? 2k ? 1 ? 0 有两个根 x1 、 x2 ,其中
? g ( 0) ? 2k ? 1 ? 0 或 0 ? x1 ? 1 且 x2 ? 0 , 当 0 ? x1 ? 1 且 1 ? x 2 时, 即? , ∴k ? 0 . 当 0 ? x1 ? 1 且 x2 ? 0 0 ? x1 ? 1 且 1 ? x 2 , ? g(1) ? ? k ? 0

?

?

时, k ? ?

1 1 1 1 2 ,此时 g ( x ) ? x ? x ? 0 的根为 0 和 ,满足题意.综上, k 的取值范围为 k ? ? 或 k ? 0 . 2 2 2 2

? x ? 0, ? 15.已知点 P 是平面区域 M : ? y ? 0, 内的任意一点, P 到平面区域 M 的边界的距离之和的取值范围 ? ? 3x ? y ? 3 ? 0.
为 .

[

3 , 3] . 2

? x ? 0, ? 提示:设平面区域 M : ? y ? 0, 围成 ?ABO ,由题意, AO ? 1, BO ? 3, AB ? 2 , P 到平面区域 M 的 ? ? 3x ? y ? 3 ? 0.
边 界 的 距 离 之 和 d 就 是 P 到 ?ABO 三 边 的 距 离 之 和 , 设 P 到 边 界 AO, BO, AB 的 距 离 分 别 为 a , b, c 因 为

1 1 ? S? ,因为 a ? 0, b ? 0, c ? ( 3 ? a ? 3b) ? 0 ,所以 d ? a ? b ? c ? [a ? (2 ? 3)b ? 3] , PAB 2 2 3 3 1 3 1 从而 d ? ,又 a ? b ? 3 ,所以 d ? a ? b ? c ? [( ? 3)b ? 2 3] ? 3 ,因此 d 的取值范围为 [ , 3] . 2 2 2 2 2 三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16. (本题满分 14 分)在 ?ABC 中, a , b, c 分别是三内角 A, B, C 的对边,且
S?A B O?
PBO

3 ? S? 2

? S?

POA

3cos B ? 2sin( ? A) ? sin( ? A) ? 2sin 2 A . 3 3
(1)求角 B 的值; (2)若 b ? 2 3 ,求三角形 ABC 周长的最大值.

?

?

? A) ? sin( ? A) ? 2sin 2 A 3 3 3 1 3 1 3 3 3 1 ? 2( cos A ? sin A)( cos A ? sin A) ? 2sin 2 A ? cos 2 A ? sin 2 A ? ,所以 cos B ? ,因为 B 是三角形的内角, 2 2 2 2 2 2 2 2
所以 B ?

解: (1)因为 3cos B ? 2sin(

?

?

?
3



a c 2 3 2 ? ? ?4 , 所 以 a?4 sin A c ,? 4 s i ?n (? A, 因 ) 此 三 角 形 ABC 周 长 sin A sin C sin ? 3 3 2 ? ? 2 l ?4 siA n ? 4 s i? n? ( A ? ) ? 2 3 4A ? 3 s i? n ( ,因为 ) 2 0 ?3 A ? ? ,所以当 A ? 时, lmax ? 6 3 . 3 6 3 3 17. (本题满分 15 分)如图,在三棱锥 S ? ABC 中, SA ? 底面 ABC , AC ? AB ? SA ? 2 , AC ? AB , D , E 分别是 AC , BC 的中点, F 在 SE 上,且 SF ? 2 FE .
(2)正弦定理得
7

S

(1)求证: AF ? 平面 SBC ; (2)在线段上 DE 上是否存在点 G ,使二面角

G ? AF ? E 的大小为 30? ?若存在,求出 DG 的长;
若不存在,请说明理由. 解: (1)由 AC ? AB ? SA ? 2 , AC ? AB ,

E 是 BC 的中点,得 AE ? 2 .
因为 SA ? 底面 ABC ,所以 SA ? AE . 在 Rt △SAE 中, SE ?

1 6 . 6 ,所以 EF ? SE ? 3 3

因此 AE 2 ? EF ? SE ,又因为 ?AEF ? ?AES , 所以 △EFA ∽△EAS ,
? 则 ?AFE ? ?SAE ? 90 ,即 AF ?SE .

S

因为 SA ?





ABC ,所以 SA ? BC ,又 BC ? AE , 所以 BC ? 底面 SAE ,则 BC ? AF . 又 SE I BC ? E ,所以 AF ? 平面 SBC . (2)方法一:假设满足条件的点 G 存在,并设 DG ? t . 过点 G 作 GM ? AE 交 AE 于点 M , 又由 SA ? GM , AE I SA ? A ,得 GM ? 平 面 SAE . F ? N G . 作 MN ? AF 交 AF 于点 N , 连结 NG , 则A 于是 ?GNM 为二面角 G ? AF ? E 的平面角,
? 即 ?GNM ? 30 ,由此可得 MG ?

A
D

N F
M

B

G

E

C

2 (1 ? x) . 2

2 (1 ? t ) MN MN AM 6 2 ? ? 由 MN ∥ EF ,得 ,于是有 , MN ? (1 ? t ) . EF AE 6 6 2 3
? 在 Rt △GMN 中, MG ? MN tan 30 ,即

1 2 6 3 ,解得 t ? . (1? t ) ? (1? t )? 2 2 6 3
于是满足条件的点 G 存在,且 DG ?

z
S

1 . 2
并设 DG ? t .以 x , y ,z 轴建立

(2)方法二:假设满足条件的点 G 存在, A 为坐标原点,分别以 AC , AB , AS 为 空间直线坐标系 D ? xyz ,则 A(0, 0, 0),

A D

F

S (0, 0, 2)
B y



E (1,1, 0) ,

G C
8

E

x

2 2 2 G(1, t , 0) .由 SF ? 2 FE 得 F ( , , ) . 3 3 3 uuu r uuu r uuu r 2 2 2 所以 AE ? (1,1,0) , AF ? ( , , ) , AG ? (1, t ,0) . 3 3 3
设平面 AFG 的法向量为 m ? ( x1 , y1 , z1 ) ,则

2 2 ?2 uuu r x? y? z ?0 ? ? ?m ? AF ? 0 ?3 3 3 ,即 ? ,取 y ? 1 ,得 x ? ?t , z ? t ? 1 ,即 m ? (?t ,1, t ? 1) .设平面 AFE 的法 r ? uuu m ? AG ? 0 ? ? ? x ? my ? 0 ? ?

uuu r ? ?n ? AF ? 0 向 量 为 n ? ( x2 , y2 , z2 ) , 则 ? uuu ,即 r ? ?n ? AE ? 0

2 2 ?2 x ? y? z? 0 ? ?3 3 3 , 取 y ? 1 , 得 x ? ?t , z ? t ? 1 , 即 ? ?x ? y ? 0 ? ?

G ? AF ? E 的大小为 30? ,得 cos30? ? .由二面角 n ? (?t , 1, t? 1 )
简得 2t 2 ? 5t ? 2 ? 0 ,又 0 ? t ? 1 ,求得 t ?

| m ? n | | ?t ?1 ? 1? (?1) ? (t ? 1) ? 0 | ,化 ? | m |?| n| 2 ? (?t )2 ? 1 ? (t ? 1)2

1 1 . 于是满足条件的点 G 存在,且 DG ? . 2 2

18. (本题满分 15 分)设函数 f ( x) ? 2ax2 ? bx ? 3a ? 1 , (1)若 0 ? a ? 1 , f ( x1 ) ? f ( x2 ) x1 , x2 满足 x1 ?[b, b ? a] ,

x2 ?[b ? 2a, b ? 4a] ,求实数 b 的最大值; (2)当 x ? [ ?4, 4] 时, f ( x) ? 0 恒成立,求 5a ? b 的最小值.

b b , 即 ( x1 ? x2 )max ? ? , 因为 x1 ?[b, b ? a] ,x2 ?[b ? 2a, b ? 4a] , 2a 2a b ?10a2 a2 1 1 1 ?10a 2 所以, 2b ? 5a ? ? ,解得 b ? ,令 4a ? 1 ? t ,则 t ? (1, 5], ? (t ? ? 2) ? ,从而 ? ?2 ,即 2a 4a ? 1 4a ? 1 16 t 5 4a ? 1 ?10a2 ( )min ? ?2 ,所以, b ? ?2 ,当 a ? 1 时, b 的最大值为 ?2 . 4a ? 1 b b (2)方法一:当 a ? 0 时, (1)若 ?4 ? ? ? ?4 , f (? ) ? 0 ,即 ?16a ? b ? 16a 且 4a 4a 6 1 2 1 24a 2 ? 8a ? b2 ? 0 ,整理得 24(a ? )2 ? b2 ? ,设 24( a ? ) ? rcos ,? b ?sin ,? ?[0, 2? ] .所以, r ? ,其中 0 ? r ? 3 6 3 6
解: (1) 由 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 及 x1 ? x2 得到 x1 ? x2 ? ?

5a ? b ?

6 2 6 5 5 7 6 1 1 4 ,sin ? ? ? ,cos ? ? ? ,即 a ? , b ? ? . ? ? ? ? ,等号成立的条件是 r ? 3 7 7 6 2 6 3 3 21 7

b 1 ? ?4 ,即 b ? 16 a ,则 5a ? b ? 21a ? 0 ? ? ; 4a 3 b 29 1 29 1 1 (3) ? ,从而 ? 4 , 即 b ? ?16a , 又 由 题 意 知 b ? ? a ? , 所 以 , ?16a ? ? a ? , 解 得 a ? 4a 4 4 4 4 35 9 1 9 1 1 1 5a ? b ? ? a ? ? ? ? ? ? ? . 4 4 4 35 4 3 9 1 1 1 当 a ? 0 时,也容易知道 5a ? b ? ? a ? ? ? ? ? . 4 4 4 3 1 4 1 综上,当且仅当 a ? , b ? ? 时, (5a ? b)min ? ? . 21 7 3
(2)若 ?
9

方法二:为了出现 5a ? b 的形式,可以把原函数换一种形式 f ( x) ? (2 x2 ? 3)a ? xb ? 1 ,只要令 a , b 对应系数成比例 就会出现目标形式.

2 x2 ? 3 x 1 1 1 1 ,4] 时, f ( x) ? 0 ,特别地有 f (3) ? 0 , 所以 5a ? b ? f (3) ? ? ? , ? ,解得 x1 ? 3, x2 ? ? ,又 x ? [?4 5 1 2 3 3 3 1 x ? 3 为二次函数的对称轴, x ? [?4, 4] 时,f ( x) ? 0 ? f (3) , 当且仅当 f (3) ? 0 时成立. 另一方面, 所以, 即有 5a ? b ? ? , 3 1 4 1 4 1 b 且? ? 3 ,解得 a ? , b ? ? .从而,当且仅当 a ? , b ? ? 时, (5a ? b)min ? ? . 21 7 21 7 3 4a 1 1 1 1 在前面的解法中,注意到 f (? ) ? ? (5a ? b) ? 1 ,所以 5a ? b ? ?2 f ( ? ) ? 2 ? 2 ,等号当且仅当 f (? ) ? 0 ,即 2 2 2 2 2 4 b 1 ? ? ? 时成立,解得 a ? , b ? 时, 5a ? b 的最大值为 2. 7 7 4a 2 19. (本题满分 15 分)如图,已知中心在原点,焦点在 x 轴上 的椭圆的一个
令 焦点为 ( 3,0) , (1,

3 ) 是椭圆上的一个点. 2 (1)求椭圆的标准方程;
(2)设椭圆的上、下顶点分别为 A, B , P( x0 , y0 ) ( x0 ? 0 )

A

y M P x
是椭圆上异于

l : y ? ?1

Q O
B

A, B 的任意一点, PQ ? y 轴, Q 为垂足, M 为线段 PQ 中点,
直线 l : y ? ?1 于点 C , N 为线段 BC 的中点,如果 ?MON 的面积为

N

C

直 线 AM 交

3 ,求 y0 的值. 2

x2 y 2 ? ? 1 ,由题意,得 c ? 3 . 因 a 2 b2 3 a 2 ? c2 ? b2 ,所以 b 2 ? a 2 ? 3 .又 (1, ) 是椭圆上的一个点,所 2
解: (1)设椭圆方程为

A

y M P x

为 以

3 1 3 ? 2 4 ? 1 ,解得 a 2 ? 4 或 a 2 ? (舍去) ,从而椭圆的标准方 l : y ? ?1 2 a a ?3 4

Q O
B

N

C





x2 ? y2 ? 1 . 4
(2)因为 P ? x0 , y0 ? , x0 ? 0 ,则 Q(0, y) 0 ,且 所以直线 AM 的方程为 y ?
x0 2 ?x ? ? y0 2 ? 1.因为 M 为线段 PQ 中点, 所以 M ? 0 , y0 ? .又 A ? 0,1 ? , 4 ? 2 ?

? x ? 2( y0 ? 1) x ? 1 .因为 x0 ? 0,? y0 ? 1, 令 y ? ?1 ,得 C ? 0 , ?1? . 又 B ? 0, ?1? , N 为线段 BC x0 ? 1 ? y0 ?

? ? x0 的中点,有 N ? , ?1? . ? 2(1 ? y0 ) ? ???? ? ?x ? x0 所以 NM ? ? 0 ? , y0 ? 1? . 2 2(1 ? y ) 0 ? ? ???? ? ???? ? x ?x ? x0 x0 2 x0 2 因此, OM ? NM ? 0 ? 0 ? ? ? y0 2 ? y0 ? ? y0 ? ( y0 ? 1) ? 2 ? 2 2(1 ? y0 ) ? 4 4(1 ? y0 ) x2 x0 2 ? y0 ? 1 ? (1 ? y0 ) ? y0 ? 0 .从而 OM ? MN . = ( 0 ? y0 2 ) ? 4 4(1 ? y0 )

因为 OM ?

2 2 x0 2 x0 1 ? y0 2 ? y0 2 ? 1 , ON ? , ? 1 ? ?1 ? 2 2 4 4(1 ? y0 ) (1 ? y0 ) 1 ? y0

10

所以在 Rt ?MON 中,MN ?

ON ? OM

2

2

?, 因此 S?MON ?

1 1 1 ? y0 1 1 ? y0 3 4 . 从而有 解得 y0 ? . OM MN ? ? , 2 2 1 ? y0 2 1 ? y0 2 5

20. (本题满分 15 分)已知数列 {an } 满足: a1 ? 1, an?1 ? an sin2 ? ? sin 2? ? cos2n ? . (1)当 ? ?

?
4

时,求数列 {an } 的通项公式;

(2) 在 (1) 的条件下,若数列 {bn } 满足 bn ? sin 解: (1)当 ? =

? an
2

* , S n 为数列 {bn } 的前 n 项和, 求证:对任意 n ? N , S n ? 3 ?

? 1 1 n ?1 时, an ?1 ? an ? n , 2n an?1 ? 2n?1 ? an ? 1 ,所以 ?2 an ? 是以 1 为首项、1 为公差的等差数列, 4 2 2 n 2n?1 an ? n, 从而 an ? n ?1 . 2
( 2 ) bn ? sin

5? . 8

5? n? 3? S ? 3 ? , b ? b ? 1, b ? sin ? 1 , 所 以 当 时 , 成 立, 当 n ? 4 时 , 因 为 n ? 1, 2, 3 n 1 2 3 8 2n 8

n? n? 4 5 6 n ? n , Sn ? 3 ? ( 4 ? 5 ? 6 ? ? ? ? ? n ) ?, n 2 2 2 2 2 2 4 5 6 n 1 4 5 6 n 令 T ? 4 ? 5 ? 6 ? ??? ? n , T ? 5 ? 6 ? 7 ? ??? ? n ?1 , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 4 1 1 1 n 1 1 5 , 两式相减得 T ? 4 ? 5 ? 6 ? ??? ? n ? n ?1 ? ? 4 ? 2 2 2 2 2 2 4 2 16 5 5? 5? T ? , 所以S n ? 3 ? . 综上所述,对任意 n ? N * , Sn ? 3 ? . 8 8 8 bn ? sin

11


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