tceic.com
学霸学习网 这下你爽了
相关文章
当前位置:首页 >> 高三数学 >>

专题 《含参数的一元二次不等式的解法》


专题 含参数的一元二次不等式的解法
解含参数的一元二次不等式,通常情况下,均需分类讨论,那么如何讨论呢?对含参一元 二次不等式常用的分类方法有三种:

一、按 x 2 项的系数 a 的符号分类,即 a ? 0, a ? 0, a ? 0 ;
例1 解不等式: ax2 ? ?a ? 2?x ? 1 ? 0
2

分析:本题二次项系数含有参数, ? ? ?a ? 2? ? 4a ? a 2 ? 4 ? 0 ,故只需对二次项 系数进行分类讨论。 解:∵ ? ? ?a ? 2? ? 4a ? a 2 ? 4 ? 0
2

解得方程 ax2 ? ?a ? 2?x ? 1 ? 0 两根 x1 ?

? a ? 2 ? a2 ? 4 ? a ? 2 ? a2 ? 4 , x2 ? 2a 2a

∴当 a ? 0 时,解集为 ? x | x ?

? ? ? ?

? a ? 2 ? a2 ? 4 ? a ? 2 ? a2 ? 4 ? ? 或x ? ? 2a 2a ? ?

当 a ? 0 时,不等式为 2 x ? 1 ? 0 ,解集为 ? x | x ?

? ?

1? ? 2?

当 a ? 0 时,

2 ? ? a ? 2 ? a2 ? 4 ? ? ?a?2? a ?4 ? ?x? ? 解集为 ? x | 2a 2a ? ? ? ?

例 2 解不等式 ax ? 5ax ? 6a ? 0?a ? 0?
2

分析 解

因为 a ? 0 , ? ? 0 ,所以我们只要讨论二次项系数的正负。

? a( x 2 ? 5x ? 6) ? a?x ? 2??x ? 3? ? 0

? 当 a ? 0 时,解集为 ?x | x ? 2或x ? 3?;当 a ? 0 时,解集为 ?x | 2 ? x ? 3?

二、按判别式 ? 的符号分类,即 ? ? 0, ? ? 0, ? ? 0 ;
例 3 解不等式 x ? ax ? 4 ? 0
2

分析 本题中由于 x 的系数大于 0,故只需考虑 ? 与根的情况。
2

解:∵ ? ? a ? 16
2

∴当 a ? ?? 4,4?即 ? ? 0 时,解集为 R ;

当 a ? ?4 即Δ =0 时,解集为 ? x x ? R且x ?

? ?

a? ?; 2?

? a ? a 2 ? 16 ? a ? a 2 ? 16 当 a ? 4 或 a ? ?4 即 ? ? 0 ,此时两根分别为 x1 ? , x2 ? , 2 2
显然 x1 ? x 2 , ∴不等式的解集为 ? x x ?

? ? ? ?

? a ? a 2 ? 16 ? a ? a 2 ? 16 ? ? 或x〈 ? 2 2 ? ?

例 4 解不等式 m ? 1 x ? 4 x ? 1 ? 0?m ? R?
2 2

?

?

解 因 m ? 1 ? 0, ? ? (?4) ? 4 m ? 1 ? 4 3 ? m
2 2 2

?

? ?
? ?

2

?

所以当 m ? ? 3 ,即 ? ? 0 时,解集为 ? x | x ?

1? ?; 2?

当 ? 3 ? m ? 3 ,即 ? ? 0 时,解集为 ? x x ?

? ? ? ?

2 ? 3 ? m2 2 ? 3 ? m2 或x〈 m2 ? 1 m2 ? 1

? ? ?; ? ?

当 m ? ? 3或m ? 3 ,即 ? ? 0 时,解集为 R。

例 5 解关于的 x 不等式 (m ? 1) x ? 4 x ? 1 ? 0(m ? R)
2

分析:当 m+1=0 时,它是一个关于 x 的一元一次不等式;当 m+1 ? 1 时,还需对 m+1>0 及 m+1<0 来分类讨论,并结合 判别式及图象的开口方向进行分类讨论:⑴当 m<-1 时,⊿=4(3-m)>0,图象开口向下,与 x 轴有两个不同交点, 不等式的解集取两边。⑵当-1<m<3 时,⊿=4(3-m)>0, 图象开口向上,与 x 轴有两个不同交点,不等式的解集取中 间。⑶当 m=3 时,⊿=4(3-m)=0,图象开口向上,与 x 轴只有一个公共点,不等式的解为方程 4 x ? 4 x ? 1 ? 0 的根。
2

⑷当 m>3 时,⊿=4(3-m)<0,图象开口向上全部在 x 轴的上方,不等式的解集为 ? 。

解: 当m ? ?1时, 原不等式的解集为 ? x | x ? ? ;

? ?

1? 4?

当m ? ?1时, (m ? 1) x 2 ? 4 x ? 1 ? 0的判别式?=( 4 3-m); ? 2? 3?m 2? 3?m? 则当m ? ?1时,原不等式的解集为 或x ? ?x | x ? ? m ?1 m ?1 ? ? ? 2? 3?m 2? 3?m? 当 ? 1 ? m ? 3时, 原不等式的解集为 ?x? ?x | ? m ?1 m ?1 ? ?
当 m=3 时,原不等式的解集为 ? x | x ?

? ?

1? ?; 2?

当 m>3 时, 原不等式的解集为 ? 。 小结:⑴解含参数的一元二次不等式可先分解因式再讨论求解,若不易分解,也可对判别式分类讨论。⑵利用函数 图象必须明确:①图象开口方向,②判别式确定解的存在范围,③两根大小。⑶二次项的取值(如取 0、取正值、取负 值)对不等式实际解的影响。

例 6 解关于 x 的不等式 ax ? 2(a ? 1) x ? 4 ? 0, (a ? 0)
2

思路点拨:先将左边分解因式,找出两根,然后就两根的大小关系写出解集。具体解答请同学们自己完成。

三、按方程 ax2 ? bx ? c ? 0 的根 x1 , x2 的大小来分类,即 x1 ? x2 , x1 ? x2 , x1 ? x2 ;
1 ) x ? 1 ? 0 (a ? 0) 变式: a ? 0 ??? a 1 分析:此不等式可以分解为: ? x ? a ?( x ? ) ? 0 ,故对应的方程必有两解。本题 a
例7 解不等式 x ? (a ?
2

只需讨论两根的大小即可。 解:原不等式可化为: ? x ? a ?( x ? ∴当 a ? ?1 时, a ? 当 a ? ?1 时, a ?

1 1 ) ? 0 ,令 a ? ,可得: a ? ?1 a a

1 ? ,故原不等式的解集为 ? x | a ? x ? a ? 1 ,可得其解集为 ? ; a 1 ? 1 ? ,解集为 ? x | ? x ? a ? 。 a ? a ?

1? ?; a?

当 ? 1 ? a ? 0 时, a ?

2 2 例 8 解不等式 x ? 5ax ? 6a ? 0 , a ? 0

分析 此不等式 ? ? ?? 5a? ? 24a 2 ? a 2 ? 0 ,又不等式可分解为 ?x ? 2a ?( x ? 3a) ? 0 ,故只需比较两根 2 a 与
2

3a 的大小.
解 原不等式可化为: ?x ? 2a ?( x ? 3a) ? 0 ,对应方程 ?x ? 2a ?( x ? 3a) ? 0 的两根为

x1 ? 2a, x2 ? 3a ,当 a

0 时,即 2a

3a ,解集为 ?x | x ? 3a或x ? 2a?;当 a ? 0 时,即 2a

3a ,解集为

?x | x ? 2 a或 x? 3 a ?

四、针对性练习
1、解关于 x 的不等式: x 2 ? (a ? 2) x ? a ? 0. 2、解关于 x 的不等式: ax2 ? (a ? 1) x ? 1 ? 0. 3、解关于 x 的不等式: ax ? ax ? 1 ? 0.
2

1、解: x 2 ? (a ? 2) x ? a ? 0
2

(?)

? ? ?a ? 2? ? 4a ? 0 ? a ? 4 ? 2 3或a ? 4 ? 2 3 ,
此时两根为 x1 ?

( 2 ? a) ?

?a ? 2?2 ? 4a
2

, x2 ?

( 2 ? a) ?

?a ? 2?2 ? 4a
2

.

(1)当 a ? 4 ? 2 3 时, ? ? 0 , (?) 解集为( ? ?,

(2 ? a) ? a 2 ? 8a ? 4 (2 ? a) ? a 2 ? 8a ? 4 ) ?( ,?? ); 2 2

(2)当 a ? 4 ? 2 3 时, ? ? 0 , (?) 解集为( ? ?, 3 ? 1) ? ( 3 ? 1,?? ); (3)当 4 ? 2 3 ? a ? 4 ? 2 3 时, ? ? 0 , (?) 解集为 R ; (4)当 a ? 4 ? 2 3 时, ? ? 0 , (?) 解集为( ? ?,? 3 ? 1 ) ? ( ? 3 ? 1,?? ); (5)当 a ? 4 ? 2 3 时, ? ? 0 , (?) 解集为( ? ?, 2、解:若 a ? 0 ,原不等式 ? ? x ? 1 ? 0 ? x ? 1.

(2 ? a) ? a 2 ? 8a ? 4 (2 ? a) ? a 2 ? 8a ? 4 ) ?( ,?? ). 2 2

1 1 )( x ? 1) ? 0 ? x ? 或 x ? 1. a a 1 若 a ? 0 ,原不等式 ? ( x ? )( x ? 1) ? 0. (?) a 1 其解的情况应由 与 1 的大小关系决定,故 a
若 a ? 0 ,原不等式 ? ( x ? (1)当 a ? 1 时,式 (?) 的解集为 ? ;

1 ? x ? 1; a 1 (3)当 0 ? a ? 1 时,式 (?) ? 1 ? x ? . a
(2)当 a ? 1 时,式 (?) ? 综上所述,当 a ? 0 时,解集为 { x x ?

1 或x ? 1 } ;当 a ? 0 时,解集为 { x x ? 1 } ;当 0 ? a ? 1 时,解集为 a

{ x1 ? x ?
2

1 1 ? x ? 1 }. };当 a ? 1 时,解集为 ? ;当 a ? 1 时,解集为{ x a a

3、解: ax ? ax ? 1 ? 0.

(?)

(1) a ? 0 时, (?) ? ?1 ? 0 ? x ? R.

2 (2) a ? 0 时,则 ? ? a ? 4a ? 0 ? a ? 0 或 a ? ?4 ,

? a ? a 2 ? 4a ? a ? a 2 ? 4a 此时两根为 x1 ? , x2 ? . 2a 2a
①当 a ? 0 时, ? ? 0 ,? (?) ?

? a ? a 2 ? 4a ? a ? a 2 ? 4a ; ?x? 2a 2a

②当 ? 4 ? a ? 0 时, ? ? 0 ,? (?) ? x ? R ; ③当 a ? ?4 时, ? ? 0 ,? (?) ? x ? R且x ? ?

1 ; 2

? a ? a 2 ? 4a ? a ? a 2 ? 4a ④当 a ? ?4 时, ? ? 0 ,? (?) ? x ? . 或x? 2a 2a
综上,可知当 a ? 0 时,解集为(

? a ? a 2 ? 4a ? a ? a 2 ? 4a , ); 2a 2a

当 ? 4 ? a ? 0 时,解集为 R ; 当 a ? ?4 时,解集为( ? ?,?

1 1 ) ? ( ? ,?? ); 2 2

? a ? a 2 ? 4a ? a ? a 2 ? 4a 当 a ? ?4 时,解集为( ? ?, )?( ,?? ). 2a 2a


推荐相关:

专题《含参数的一元二次不等式的解法》.doc

专题《含参数的一元二次不等式的解法》_高三数学_数学_高中教育_教育专区。专题 含参数的一元二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式,通常情况下,均需分类...

《含参数的一元二次不等式的解法》专题.doc

《含参数的一元二次不等式的解法》专题 - 鸡西市第十九中学高一数学组 《含参数的一元二次不等式的解法》专题 2015 年( )月( )日 班级 姓名 每天早上醒来,...

含参数的一元二次不等式的解法(专题).doc

含参数的一元二次不等式的解法(专题)_数学_高中教育_教育专区。一、含参数的一元二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式,通常情况下,均需分类讨论,那么...

含参数的一元二次不等式的解法(专题).doc

含参数的一元二次不等式的解法(专题)_数学_高中教育_教育专区。大连市第 48 中学 何兆强 含参数的一元二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式,通常情况下...

含参数的一元二次不等式的解法与恒成立问题.doc

含参数的一元二次不等式的解法与恒成立问题_高二数学_数学_高中教育_教育专区..

含参数的一元二次不等式的解法以及含参不等式恒成立问....doc

含参数的一元二次不等式的解法以及含参不等式恒成立问题(专题)_数学_高中教育_教育专区。含参数的一元二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式,通常情况下,...

含参数的一元二次不等式的解法.doc

含参数的一元二次不等式的解法 - 含参数的一元二次不等式的解法 含参一元二次不等

含参数的一元二次不等式的解法(讲)_图文.ppt

含参数的一元二次不等式的解法(讲) - 复习回顾 如何求解一元二次不等式? 如:

高考数学 专题 含参数的一元二次不等式的解法复习课件_....ppt

高考数学 专题 含参数的一元二次不等式的解法复习课件_幼儿读物_幼儿教育_教育专区。高考数学 专题 含参数的一元二次不等式的解法复习课件 ...

...忻州市高考数学专题含参数的一元二次不等式的解法复....ppt

山西省忻州市高考数学专题含参数的一元二次不等式的解法复习课件 - 含参数的一元二次不等式的解法 解题回顾: 解下列不等式: ?1? ? x 2 2 2 ? 5x ? 6...

含参数的一元二次不等式的解法(专题)[1].doc

含参数的一元二次不等式的解法(专题)[1]_数学_高中教育_教育专区。不等式 一、含参数的一元二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式,通常情况下,均需分类...

3.2.2含参数的一元二次不等式的解法(例题精讲).doc

3.2.2含参数的一元二次不等式的解法(例题精讲)_数学_高中教育_教育专区。含参数的一元二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式,通常情况下,均需分类讨论...

含参数的一元二次不等式的解法_图文.ppt

含参数的一元二次不等式的解法 - 解题回顾 解一元二次不等式的基本步骤:“三步曲

含有参数的一元二次不等式的解法.doc

含有参数的一元二次不等式的解法 - 含有参数的一元二次不等式的解法 设相应的一元

含参数的一元二次不等式的解法(专题).doc

含参数的一元二次不等式的解法(专题)_高一数学_数学_高中教育_教育专区。高中数学 含参数的一元二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式,通常情况下,均需...

25用含参数的一元二次不等式的解法_图文.ppt

三个“二次”及其应用(二) 含参数的一元二次不等式的解法二次函数 一元二次方程一

含参数的一元二次不等式的解法 - 副本_图文.ppt

含参数的一元二次不等式的解法 - 副本_数学_高中教育_教育专区。含参一元二次不

含参数的一元二次不等式的解法(专题).doc

含参数的一元二次不等式的解法(专题)_初三理化生_理化生_初中教育_教育专区。高中数学基本方法 一、含参数的一元二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式,...

3种含参数的一元二次不等式的解法-论文_图文.pdf

3种含参数的一元二次不等式的解法-论文_数学_高中...专题推荐 2014下半年教师资格...专题 2014教师资格...2014小学教师资格考试《... 2014年幼儿园教师资格考...

§2 2.1 第2课时 含参数的一元二次不等式的解法_图文.ppt

第2课时 含参数的一元二次不等式的解法 1.进一步理解三个二次的关系,掌握图像法

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 学霸学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com