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专题 《含参数的一元二次不等式的解法》

专题 含参数的一元二次不等式的解法
解含参数的一元二次不等式,通常情况下,均需分类讨论,那么如何讨论呢?对含参一元 二次不等式常用的分类方法有三种:

一、按 x 2 项的系数 a 的符号分类,即 a ? 0, a ? 0, a ? 0 ;
例1 解不等式: ax2 ? ?a ? 2?x ? 1 ? 0
2

分析:本题二次项系数含有参数, ? ? ?a ? 2? ? 4a ? a 2 ? 4 ? 0 ,故只需对二次项 系数进行分类讨论。 解:∵ ? ? ?a ? 2? ? 4a ? a 2 ? 4 ? 0
2

解得方程 ax2 ? ?a ? 2?x ? 1 ? 0 两根 x1 ?

? a ? 2 ? a2 ? 4 ? a ? 2 ? a2 ? 4 , x2 ? 2a 2a

∴当 a ? 0 时,解集为 ? x | x ?

? ? ? ?

? a ? 2 ? a2 ? 4 ? a ? 2 ? a2 ? 4 ? ? 或x ? ? 2a 2a ? ?

当 a ? 0 时,不等式为 2 x ? 1 ? 0 ,解集为 ? x | x ?

? ?

1? ? 2?

当 a ? 0 时,

2 ? ? a ? 2 ? a2 ? 4 ? ? ?a?2? a ?4 ? ?x? ? 解集为 ? x | 2a 2a ? ? ? ?

例 2 解不等式 ax ? 5ax ? 6a ? 0?a ? 0?
2

分析 解

因为 a ? 0 , ? ? 0 ,所以我们只要讨论二次项系数的正负。

? a( x 2 ? 5x ? 6) ? a?x ? 2??x ? 3? ? 0

? 当 a ? 0 时,解集为 ?x | x ? 2或x ? 3?;当 a ? 0 时,解集为 ?x | 2 ? x ? 3?

二、按判别式 ? 的符号分类,即 ? ? 0, ? ? 0, ? ? 0 ;
例 3 解不等式 x ? ax ? 4 ? 0
2

分析 本题中由于 x 的系数大于 0,故只需考虑 ? 与根的情况。
2

解:∵ ? ? a ? 16
2

∴当 a ? ?? 4,4?即 ? ? 0 时,解集为 R ;

当 a ? ?4 即Δ =0 时,解集为 ? x x ? R且x ?

? ?

a? ?; 2?

? a ? a 2 ? 16 ? a ? a 2 ? 16 当 a ? 4 或 a ? ?4 即 ? ? 0 ,此时两根分别为 x1 ? , x2 ? , 2 2
显然 x1 ? x 2 , ∴不等式的解集为 ? x x ?

? ? ? ?

? a ? a 2 ? 16 ? a ? a 2 ? 16 ? ? 或x〈 ? 2 2 ? ?

例 4 解不等式 m ? 1 x ? 4 x ? 1 ? 0?m ? R?
2 2

?

?

解 因 m ? 1 ? 0, ? ? (?4) ? 4 m ? 1 ? 4 3 ? m
2 2 2

?

? ?
? ?

2

?

所以当 m ? ? 3 ,即 ? ? 0 时,解集为 ? x | x ?

1? ?; 2?

当 ? 3 ? m ? 3 ,即 ? ? 0 时,解集为 ? x x ?

? ? ? ?

2 ? 3 ? m2 2 ? 3 ? m2 或x〈 m2 ? 1 m2 ? 1

? ? ?; ? ?

当 m ? ? 3或m ? 3 ,即 ? ? 0 时,解集为 R。

例 5 解关于的 x 不等式 (m ? 1) x ? 4 x ? 1 ? 0(m ? R)
2

分析:当 m+1=0 时,它是一个关于 x 的一元一次不等式;当 m+1 ? 1 时,还需对 m+1>0 及 m+1<0 来分类讨论,并结合 判别式及图象的开口方向进行分类讨论:⑴当 m<-1 时,⊿=4(3-m)>0,图象开口向下,与 x 轴有两个不同交点, 不等式的解集取两边。⑵当-1<m<3 时,⊿=4(3-m)>0, 图象开口向上,与 x 轴有两个不同交点,不等式的解集取中 间。⑶当 m=3 时,⊿=4(3-m)=0,图象开口向上,与 x 轴只有一个公共点,不等式的解为方程 4 x ? 4 x ? 1 ? 0 的根。
2

⑷当 m>3 时,⊿=4(3-m)<0,图象开口向上全部在 x 轴的上方,不等式的解集为 ? 。

解: 当m ? ?1时, 原不等式的解集为 ? x | x ? ? ;

? ?

1? 4?

当m ? ?1时, (m ? 1) x 2 ? 4 x ? 1 ? 0的判别式?=( 4 3-m); ? 2? 3?m 2? 3?m? 则当m ? ?1时,原不等式的解集为 或x ? ?x | x ? ? m ?1 m ?1 ? ? ? 2? 3?m 2? 3?m? 当 ? 1 ? m ? 3时, 原不等式的解集为 ?x? ?x | ? m ?1 m ?1 ? ?
当 m=3 时,原不等式的解集为 ? x | x ?

? ?

1? ?; 2?

当 m>3 时, 原不等式的解集为 ? 。 小结:⑴解含参数的一元二次不等式可先分解因式再讨论求解,若不易分解,也可对判别式分类讨论。⑵利用函数 图象必须明确:①图象开口方向,②判别式确定解的存在范围,③两根大小。⑶二次项的取值(如取 0、取正值、取负 值)对不等式实际解的影响。

例 6 解关于 x 的不等式 ax ? 2(a ? 1) x ? 4 ? 0, (a ? 0)
2

思路点拨:先将左边分解因式,找出两根,然后就两根的大小关系写出解集。具体解答请同学们自己完成。

三、按方程 ax2 ? bx ? c ? 0 的根 x1 , x2 的大小来分类,即 x1 ? x2 , x1 ? x2 , x1 ? x2 ;
1 ) x ? 1 ? 0 (a ? 0) 变式: a ? 0 ??? a 1 分析:此不等式可以分解为: ? x ? a ?( x ? ) ? 0 ,故对应的方程必有两解。本题 a
例7 解不等式 x ? (a ?
2

只需讨论两根的大小即可。 解:原不等式可化为: ? x ? a ?( x ? ∴当 a ? ?1 时, a ? 当 a ? ?1 时, a ?

1 1 ) ? 0 ,令 a ? ,可得: a ? ?1 a a

1 ? ,故原不等式的解集为 ? x | a ? x ? a ? 1 ,可得其解集为 ? ; a 1 ? 1 ? ,解集为 ? x | ? x ? a ? 。 a ? a ?

1? ?; a?

当 ? 1 ? a ? 0 时, a ?

2 2 例 8 解不等式 x ? 5ax ? 6a ? 0 , a ? 0

分析 此不等式 ? ? ?? 5a? ? 24a 2 ? a 2 ? 0 ,又不等式可分解为 ?x ? 2a ?( x ? 3a) ? 0 ,故只需比较两根 2 a 与
2

3a 的大小.
解 原不等式可化为: ?x ? 2a ?( x ? 3a) ? 0 ,对应方程 ?x ? 2a ?( x ? 3a) ? 0 的两根为

x1 ? 2a, x2 ? 3a ,当 a

0 时,即 2a

3a ,解集为 ?x | x ? 3a或x ? 2a?;当 a ? 0 时,即 2a

3a ,解集为

?x | x ? 2 a或 x? 3 a ?

四、针对性练习
1、解关于 x 的不等式: x 2 ? (a ? 2) x ? a ? 0. 2、解关于 x 的不等式: ax2 ? (a ? 1) x ? 1 ? 0. 3、解关于 x 的不等式: ax ? ax ? 1 ? 0.
2

1、解: x 2 ? (a ? 2) x ? a ? 0
2

(?)

? ? ?a ? 2? ? 4a ? 0 ? a ? 4 ? 2 3或a ? 4 ? 2 3 ,
此时两根为 x1 ?

( 2 ? a) ?

?a ? 2?2 ? 4a
2

, x2 ?

( 2 ? a) ?

?a ? 2?2 ? 4a
2

.

(1)当 a ? 4 ? 2 3 时, ? ? 0 , (?) 解集为( ? ?,

(2 ? a) ? a 2 ? 8a ? 4 (2 ? a) ? a 2 ? 8a ? 4 ) ?( ,?? ); 2 2

(2)当 a ? 4 ? 2 3 时, ? ? 0 , (?) 解集为( ? ?, 3 ? 1) ? ( 3 ? 1,?? ); (3)当 4 ? 2 3 ? a ? 4 ? 2 3 时, ? ? 0 , (?) 解集为 R ; (4)当 a ? 4 ? 2 3 时, ? ? 0 , (?) 解集为( ? ?,? 3 ? 1 ) ? ( ? 3 ? 1,?? ); (5)当 a ? 4 ? 2 3 时, ? ? 0 , (?) 解集为( ? ?, 2、解:若 a ? 0 ,原不等式 ? ? x ? 1 ? 0 ? x ? 1.

(2 ? a) ? a 2 ? 8a ? 4 (2 ? a) ? a 2 ? 8a ? 4 ) ?( ,?? ). 2 2

1 1 )( x ? 1) ? 0 ? x ? 或 x ? 1. a a 1 若 a ? 0 ,原不等式 ? ( x ? )( x ? 1) ? 0. (?) a 1 其解的情况应由 与 1 的大小关系决定,故 a
若 a ? 0 ,原不等式 ? ( x ? (1)当 a ? 1 时,式 (?) 的解集为 ? ;

1 ? x ? 1; a 1 (3)当 0 ? a ? 1 时,式 (?) ? 1 ? x ? . a
(2)当 a ? 1 时,式 (?) ? 综上所述,当 a ? 0 时,解集为 { x x ?

1 或x ? 1 } ;当 a ? 0 时,解集为 { x x ? 1 } ;当 0 ? a ? 1 时,解集为 a

{ x1 ? x ?
2

1 1 ? x ? 1 }. };当 a ? 1 时,解集为 ? ;当 a ? 1 时,解集为{ x a a

3、解: ax ? ax ? 1 ? 0.

(?)

(1) a ? 0 时, (?) ? ?1 ? 0 ? x ? R.

2 (2) a ? 0 时,则 ? ? a ? 4a ? 0 ? a ? 0 或 a ? ?4 ,

? a ? a 2 ? 4a ? a ? a 2 ? 4a 此时两根为 x1 ? , x2 ? . 2a 2a
①当 a ? 0 时, ? ? 0 ,? (?) ?

? a ? a 2 ? 4a ? a ? a 2 ? 4a ; ?x? 2a 2a

②当 ? 4 ? a ? 0 时, ? ? 0 ,? (?) ? x ? R ; ③当 a ? ?4 时, ? ? 0 ,? (?) ? x ? R且x ? ?

1 ; 2

? a ? a 2 ? 4a ? a ? a 2 ? 4a ④当 a ? ?4 时, ? ? 0 ,? (?) ? x ? . 或x? 2a 2a
综上,可知当 a ? 0 时,解集为(

? a ? a 2 ? 4a ? a ? a 2 ? 4a , ); 2a 2a

当 ? 4 ? a ? 0 时,解集为 R ; 当 a ? ?4 时,解集为( ? ?,?

1 1 ) ? ( ? ,?? ); 2 2

? a ? a 2 ? 4a ? a ? a 2 ? 4a 当 a ? ?4 时,解集为( ? ?, )?( ,?? ). 2a 2a


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