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【南方凤凰台】2017版高考数学大一轮复习 第六章 平面向量与复数 第34课 平面向量的基本定理及坐标表示 文


第 34 课 平面向量的基本定理及坐标表示
(本课时对应学生用书第 页)

自主学习 回归教材

1.(必修4P79练习2改编)在平面直角坐标系中,已知点P(1,2),Q(4,3),那么向量

??? ? PQ =

.

【答案】(3,1) 【解析】注意向量的起点与终点.

2.(必修4P82习题6改编)在△ABC中,点P在BC上,且 BP =2 PC ,点Q是AC的中点,若 PA =(4,

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? PQ BC 3), =(1,5),则 =
【答案】(-6,21)

.

??? ? ??? ??? ? ??? ??? ? ??? ? ? ? PQ PQ BC PC 【解析】 =3 =3(2 - PA )=6 -3 PA =(6,30)-(12,9)=(-6,21).
3.(必修4P87习题1改编)已知向量a=(1,2),b=(3,1),那么|2a+3b|= 【答案】 170 【解析】|2a+3b|=|(2,4)+(9,3)|=|(11,7)|= 11 ? 7 = 170 .
2 2

.

4.(必修4P73习题6改编)已知点A(1,-3)和向量a=(3,4),若 AB =2a,则点B的坐标 为 .

??? ?

【答案】(7,5) 【解析】设O为坐标原点,因为 AB =2a=(6,8)= OB - OA ,所以 OB = AB + OA =(6,8)+(1, -3)=(7,5), 所以点B的坐标为(7,5).

??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ? ? ???

1

5.(必修4P73习题1改编)已知点A(1,2),B(4,2),向量a=(x+y,x-2y),若a与向量 AB 相 等,则x-y= 【答案】1 .

??? ?

? x ? y ? 3, ? x ? 2, ? ? ??? ? ??? ? x-2 y ? 0, y ? 1, 【解析】因为 AB =(3,0),a= AB ,所以 ? 解得 ? 所以x-y=1.

1.平面向量的基本定理 (1)e1,e2是同一平面内两个不共线的向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对 实数λ 1,λ 2,使得a=λ 1e1+λ 2e2,其中不共线的向量e1,e2叫作表示这一平面内所有向量的一 组基底.

2.平面向量的坐标形式 在平面直角坐标系内,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底.对平面内任 意一个向量a,有且只有一对实数x,y,使得a=xi+yj(向量的分量表示),记作a=(x,y)(向量 的坐标表示),其中x叫作a的横坐标,y叫作a的纵坐标.

3.平面向量的坐标运算 (1)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),λ a=(λ x1,λ y1). (2)若A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),那么 AB 的坐标为(x2-x1,y2-y1).

??? ?

【要点导学】 要点导学 各个击破

2

平面向量基本定理的应用

DC ??? ? ??? ? BC 的中点, AB =k(k≠1),设 例1 在梯形ABCD中,AB∥CD,M,N分别是 AD, ???? ??? ? ???? ? ???? ??? ? BC, MN 在此基底下的分解式. AD =e1, AB =e2,选择基底{e1,e2},试写出向量 DC, DC ???? ? ??? ? ??? ??? ? ??? ? ??? ? 【思维引导】由 AB =k(k≠1),易求出 DC ,再由 AB + BC + CD + DA =0求得 BC ,最 ???? ? ??? ? ??? ???? ? ? ???? ? MN NB MN BA AM 后利用 + + + =0,求得 .

(例1)

DC ??? ? 【解答】如图,因为 AB =e2,且 AB =k, ???? ??? ? 所以 DC =k AB =ke2. ? ??? ? ??? ??? ? ??? ? 又因为 AB + BC + CD + DA =0, ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ???? 所以 BC =- AB - CD - DA =- AB + DC + AD =-e2+ke2+e1=e1+(k-1)e2. ???? ? ??? ? ??? ? ???? ? MN NB 而 + + BA + AM =0, ? 1 ??? 1 ???? 1 ???? ? ??? ? ??? ? ???? ? ???? ??? ? ???? ? BC AD 所以 MN =- NB - BA - AM = BN + AB - AM = 2 +e2- 2 = 2 [e1+(k-1)e2]+e21 k ?1 2 e1= 2 e2.
【精要点评】应用平行向量的基本定理及向量的多边形加法法则是解决本题的关键.

变式

(1) 如 图 , 在 四 边 形 ABCD 中 , AC 和 BD 相 交 于 点 O , 设 AD =a , AB =b , 若 .(用a和b表示)

????

??? ?

???? ??? ? ???? AB =2 DC ,则 AO =

3

(变式(1))

(变式(2))

??? ? ??? ? ???? ???? ??? ? OA OB OC AC CB (2) 如图,向量 =a , =b , =c , A , B , C 在一条直线上,且 =-3 ,则
c=
.(用a,b表示)

? ??? ? ??? ? ??? ??? ? CP AP BP (3) 已知点 P 为△ABC 内一点,且 3 +4 +5 =0 ,延长 AP 交 BC 于点 D ,若 AB =a , ??? ? ???? ???? AD . AC =b,用a,b表示向量 AP,
2 1 (1)【答案】 3 a+ 3 b OC 1 ???? ??? ? 【 解 析 】 因 为 AB =2 DC , 所 以 △DOC∽△BOA , 且 OA = 2 , 所 以 ???? 2? 1 ? 2 1 ???? 2 AC 2 ???? ???? ?a ? b? 2 ? = 3 a + 3 b. AO = 3 = 3 ( AD + DC )= 3 ? 1 3 (2)【答案】- 2 a+ 2 b ???? ??? ? AC CB 【解析】因为 =-3 , ???? ??? ? ??? ? ???? 所以 OC - OA =-3( OB - OC ), ??? ? ??? ? 1 3 ???? 1 OA 3 OB 所以 OC =- 2 +2 ,即c=- 2 a+ 2 b. ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? (3)【解答】因为 BP = AP - AB = AP -a, ??? ? ??? ? ???? ??? ? CP = AP - AC = AP -b, ? ??? ? ??? ? ??? 又因为3 AP +4 BP +5 CP =0, ??? ? ??? ? ??? ? AP AP AP 所以3 +4( -a)+5( -b)=0, 1 5 ??? ? 化简得 AP = 3 a+ 12 b. ???? ??? ? 设 AD =t AP (t∈R), 1 5 ???? 则 AD = 3 t a+ 12 t b. ① ? ??? ? ??? BC BD 又设 =k (k∈R), ??? ? ???? ??? ? ??? ? 由 BC = AC - AB =b-a,得 BD =k(b-a).

4

而 AD = AB + BD =a+ BD , 所以 AD =a+k(b-a)=(1-k)a+kb.

???? ??? ? ??? ? ????

??? ?



?1 t ? 1-k, ? ?3 ? 4 ? 5 t ? k, ? 由①②,得 ?12 解得t= 3 .
4 5 ???? 代入①,有 AD = 9 a+ 9 b.

平面向量的坐标运算

??? ? ??? ? ??? ? BC CA AB 例 2 已 知 点 A(-2 , 4) , B(3 , -1) , C(-3 , -4). 设 =a , =b , =c , 且 ???? ? ???? CM =3c, CN =-2b.
(1)求3a+b-3c; (2)求满足a=mb+nc的实数m,n的值; (3)求点M,N的坐标及向量 MN 的坐标. 【解答】由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8). (1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(6,-42). (2)因为mb+nc=(-6m+n,-3m+8n),

???? ?

?-6m ? n ? 5, ?m ? -1, ? ? -3m ? 8n ? -5, n ? -1. 所以 ? 解得 ?
(3)设O为坐标原点, 因为 CM = OM - OC =3c,

???? ? ???? ? ????

???? ? ???? OM OC 所以 =3c+ =(3,24)+(-3,-4)=(0,20),
所以点M的坐标为(0,20).

???? ???? ???? CN 又因为 = ON - OC =-2b, ???? ???? 所以 ON =-2b+ OC =(12,6)+(-3,-4)=(9,2),所以点N的坐标为(9,2). ???? ? 所以 MN =(9,-18).

5

【精要点评】向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行.若已知有向线段两 端点的坐标,则应先求出向量的坐标,解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则.

变式1

(2015? 江 苏 卷 ) 已 知 向 量 a=(2 , 1) , b=(1 , -2) , 若 ma+nb=(9 , -8)(m , .

n∈R),则m-n的值为
【答案】-3

【解析】因为ma+nb=(2m+n,m-2n)=(9,-8),

?2m ? n ? 9, ?m ? 2, ? ? m-2n ? -8, n ? 5, 所以 ? 解得 ? 故m-n=-3.

变式2

(2015?湖南卷)已知点A,B,C在圆x +y =1上运动,且AB⊥BC.若点P的坐标为 .

2

2

(2,0),则| PA + PB + PC |的最大值为 【答案】7

? ??? ? ??? ? ???

【解析】因为A,B,C均在单位圆上,且 AB⊥BC,知A,C为直径的端点,所以可令A(cos

x,sin x),
则B(cos(x+α ),sin(x+α )),C(-cos x,-sin x),0<α <π , 则 PA + PB + PC =(cos(x+α )-6,sin(x+α )), 所以| PA + PB + PC |=

? ??? ? ??? ? ???

? ??? ? ??? ? ???

[cos(x ? ? )-6]2 ? sin 2 (x ? ? )

=

37-12cos(x ? ? ) ≤7.

利用平面向量的坐标表示解综合问题 例3 已知O为坐标原点,A(0,2),B(4,6), OM =t1 OA +t2 AB . (1)求点M在第二或第三象限的充要条件; (2)求证:当t1=1时,无论t2为何实数,A,B,M三点都共线; (3)当t1=a , OM ⊥ AB 且△ABM的面积为12时,求实数a的值.
2

???? ?

??? ?

??? ?

???? ?

??? ?

???? ? ??? ? ??? ? OM OA 【解答】(1) =t1 +t2 AB =t1(0,2)+t2(4,4)=(4t2,2t1+4t2).
当点M在第二或第三象限时,有4t2<0,2t1+4t2≠0, 故所求的充要条件为t2<0且t1+2t2≠0.

6

???? ? OM (2)当t1=1时,由(1)知 =(4t2,4t2+2). ? ??? ? ??? ? ??? 因为 AB = OB - OA =(4,4), ? ??? ? ???? ? ???? ??? ? ???? ? ??? ? AM = OM - OA =(4t2,4t2)=t2(4,4)=t2 AB ,又 AB 与 AM 有公共点A,所以不论t2为
何实数,A,B,M三点都共线. (3)当t1=a 时, OM =(4t2,4t2+2a ).
2 2

???? ?

???? ? ??? ??? ? ? OM AB 又因为 =(4,4), ⊥ AB ,
所以4t2?4+(4t2+2a )?4=0,
2

1 2 所以t2=- 4 a . ???? ? 2 2 OM 所以 =(-a ,a ).
又因为| AB |=4 2 ,点M到直线AB:x-y+2=0的距离

??? ?

|-a 2 -a 2 ? 2| 2 2 d= = 2 |a -1|.
因为S△ABM=12,

1 1 ??? ? 2 所以 2 | AB |?d= 2 ?4 2 ? 2 |a -1|=12,解得a=±2,故a的值为2或-2. 2π ??? ? ??? ? 变式 如图,给定两个长度为 1的平面向量 OA 和 OB ,它们的夹角为 3 .点C在以O为 ???? ??? ? ??? ? ? OC OA OB AB 圆心的 上移动.若 =x +y ,其中x,y∈R,则x+y的最大值为 .

(变式) 【答案】2

2π 【解析】设∠AOC=α ,0≤α ≤ 3 ,

7

???? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? OA ? xOA· OA ? yOB· OA, ?OC· ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? ???? ??? OC· OB ? xOA· OB ? yOB· OB, ? ? 则

1 ? cos? ? x- y, ? 2 ? ? 2π ? 1 ?cos ? -? ? ? - x ? y, ? ? ? 3 2 ? 即?

π? ? 2π ?? ? ? 6 ? ≤2. 所以x+y=2[cos α +cos( 3 -α )]=cos α + 3 sin α =2sin ?

1.若向量 AB =(1,2), BC =(3,4),则 AC = 【答案】(4,6) 【解析】 AC = AB + BC =(4,6).

??? ?

??? ?

????

.

???? ??? ? ? ???

2.已知向量a=(1,y),b=(x,-2),若2a-3b=(5,8),则x+y= 【答案】0 【解析】由2a-3b=(2-3x,2y+6)=(5,8),得

.

?2-3x ? 5, ? x ? -1, ? ? y ? 1, ?2 y ? 6 ? 8, 解得 ? 所以x+y=0.
? 1 ???? ???? MN 3.已知点M(3,-2),N(-5,-1),若 MP = 2 ,则点P的坐标为

.

3? ? , ? ? -12? 【答案】 ?
? 1 ???? ???? ? ???? ???? MN 【 解 析 】 设 P(x , y) , 则 MP =(x-3 , y+2) , MN =(-8 , 1) , 由 MP = 2 , 得 (x-3 ,

3? ? 1 3 , ? ? -12?. y+2)= 2 (-8,1),解得x=-1,y=- 2 ,所以点P的坐标为 ?

8

? ???? ??? ? ??? BC AD AB 4.设点A(-1,2),B(2,3),C(3,-1),且 =2 -3 ,则点D的坐标为
【答案】(2,16)

.

??? ? ??? ? ???? BC AB 【解析】因为 =(3,1), =(1,-4),所以 AD =(6,2)-(3,-12)=(3,14).设D(x,
y),

? x ? 2, ? y ? 16. 则x+1=3且y-2=14,所以 ?
5. 已知在直角梯形 ABCD 中, AD∥BC ,∠ADC=90°, AD=2 , BC=1 , P 是腰 DC 上的动点,那么 | PA +3 PB |的最小值为 【答案】5

??? ?

??? ?

.

(第5题) 【解析】如图,建立平面直角坐标系,设C(0,b),P(0,y),则B(1,b), 又A(2,0),则 PA +3 PB =(2,-y)+3(1,b-y)=(5,3b-4y), 所以| PA +3 PB | =25+(3b-4y) ,
2 2

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

3 所以当3b-4y=0,即y= 4 b时, ??? ? ??? ? 2 | PA +3 PB | 取得最小值25, ??? ? ??? ? 即| PA +3 PB |的最小值为5.

趁热打铁,事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第67~68页.

9

【检测与评估】 第34课 平面向量的基本定理及坐标表示 一、 填空题 1.若作用在原点的三个力分别为 的合力的坐标为 .

???? OF1

=(1,2),

???? ? OF2

=(-1,-4),

???? ? OF3

=(-2,5),则这三个力

2.在平行四边形ABCD中,AC为一条对角线,若 AB =(2,4), AC =(1,3),则 BD =

??? ?

????

??? ?

.

3.若向量a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,-2),则c=

.(用a,b表示)

4.若a+b=(2,-8),a-b=(-8,6),则向量a=

,b=

.

???? ? NM 5.已知点M(3,2),N(1,2),a=(x+3,x-3y-4),且a与 相等,那么实数y的值为

.

6.若向量a=(1,1),b=(-1,1),c=(4,2),则c=

.(用a,b表示)

7.已知向量a=( 3 ,1),b=(0,-1),c=(k, 3 ).若a-2b与c共线,则实数k=

.

8.已知向量a=(cos θ ,sin θ ),b=( 3 ,1),那么|2a-b|的最大值和最小值分别 为 .

二、 解答题 9.已知点A(-1,2),B(0,-2),且2

???? AD

=3

??? ? BD

.若点D在线段AB上,求点D的坐标.

10.已知m,x∈R,向量a=(x,-m),b=((m+1)x,x). (1)若m=4,且|a|<|b|,求x的取值范围;

10

(2)若a?b>1-m对任意的实数x恒成立,求m的取值范围.

11.已知点O(0,0),A(1,2),B(4,5),且 OP = OA +t OB ,试问: (1)当t为何值时,点P在x轴上?点P在y轴上?点P在第三象限? (2)四边形OABP能否构成平行四边形?若能,求出t的值;若不能,请说明理由.

??? ? ??? ?

??? ?

三、 选做题(不要求解题过程,直接给出最终结果)

1 ???? ??? ? 12.已知点A(7,1),B(1,4),直线y= 2 ax与线段AB交于点C,且 AC =2 CB ,则实数
a=
.

??? ? | AP| ???? ? ??? ? ??? ? ??? | CP 13.设G为△ABC的重心,若△ABC所在平面内一点P满足 PA +2 BP +2 =0,则 AG| 的值
为 .

【检测与评估答案】 第34课 平面向量的基本定理及坐标表示

???? ???? ? ???? ? OF OF OF 1 2 3 =(-2,3). 1. (-2,3) 【解析】合力为 + +
??? ? ???? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ???? AC BD AD AB AB AB 2.(-3,-5) 【解析】在平行四边形ABCD中, = =( )= AC ??? ? 2 AB =(1,3)-2(2,4)=(-3,-5).

11

3 1 3. - 2 a+ 2 b 【解析】设c=xa+yb,则(-1,-2)=x(1,1)+y(1,-1)=(x+y,x-y),所以

3 ? x?- , ? ? 2 ? x ? y ? -1, ? 3 1 ?y ? 1 , ? 2 即c=- 2 a+ 2 b. ? ? x-y ? -2,解得 ?
4. (-3,-1) (5,-7)

5 5. - 3

? x ? -1, ? ?2 ? x ? 3, 5 ? ???? ? y?- . ? ? 0 ? x -3 y -4 , 3 【解析】由 NM =(2,0)=a=(x+3,x-3y-4),得 ? 解得 ?

?m-n ? 4, ? m ? n ? 2, 6. 3a-b 【解析】设c=ma+nb,因为a=(1,1),b=(-1,1),c=(4,2),所以 ? 解得 ?m ? 3, ? ?n ? -1, 所以c=3a-b.

7. 1 【解析】因为a-2b=( 3 ,3),所以由a-2b与c共线,得 3 ? 3 -3k=0,解得k=1.

8. 4,0 【解析】由题知2a-b=(2cos θ - 3 ,2sin θ -1),所以|2a-

π? ? 8-8sin ?? ? ? (2cos? - 3) ? (2sin? -1) = 3 ? ,所以最大值和最小值分别为4,0. ? b|=
2 2

9. 设D(m,n).由2| AD |=3| BD |,点D在线段AB上可知2 AD =3 DB ,即2(m+1,n-2)=3(0-

????

??? ?

????

??? ?

? 2 2? 2 ?? ,? ? m,-2-n),即2m+2=-3m,且2n-4=-6-3n,解得m=n=- 5 ,所以点D的坐标为 ? 5 5 ? .
2 2 2 2 2 2

10. (1) 当m=4时,|a| =x +16,|b| =25x +x =26x . 因为|a|<|b|,所以|a| <|b| ,
2 2

12

从而x +16<26x ,所以16<25x ,

2

2

2

4 4 解得x<- 5 或x> 5 .

4? ?4 ? ? - ? ? , ?? ? ? -? , 5 ? ∪? 5 ?. 即实数x的取值范围是 ?
(2) 因为a?b=(m+1)x -mx. 由题意得(m+1)x -mx>1-m对任意的实数x恒成立,即(m+1)x -mx+m-1>0对任意的实数x恒成立.
2 2 2

?m ? 1 ? 0, ? 2 m -4(m ? 1)(m-1) ? 0, 当m+1=0,即m=-1时,显然不恒成立.从而 ?
2 3 解得m> 3 .
?2 3 ? , ? ? ? ? ? 3 ? ?. 即m的取值范围是 ?
??? ? ??? ? ??? ?

11. OP = OA +t OB =(1+4t,2+5t). (1) 点P(1+4t,2+5t),

2 当2+5t=0,即t=- 5 时,点P在x轴上; 1 当1+4t=0,即t=- 4 时,点P在y轴上; 2 当1+4t<0,2+5t<0,即t<- 5 时,点P在第三象限. ??? ? ??? ? (2) 若能构成平行四边形,则有 OA = PB ,
即(1,2)=(3-4t,3-5t), 所以1=3-4t,2=3-5t,无解, 故不存在t使得四边形OABP构成平行四边形.

12.2 【解析】设C(x,y),则 AC =(x-7,y-1),

????

??? ? ???? ??? ? CB =(1-x,4-y),因为 AC =2 CB ,

13

? x-7 ? 2(1-x), ? x ? 3, ? ? y -1 ? 2(4y ) , y ? 3, ? 所以 解得 ?
1 1 所以C(3,3).又因为点C在直线y= 2 ax上,所以3= 2 a?3,解得a=2.

13.2 【解析】根据题意暗示结果能得到定值,因此,可以令三角形为等腰直角三角形(如

? ??? ? ??? ? ??? CP PA BP 图),则根据重心坐标公式得重心G的坐标为(1,1),根据 +2 +2 =0,可设P(x,y),
则有2(x-3,y)+2(x,y-3)=(4x-6,4y-6)=(x,y),所以x=2,y=2,所以P(2,2),所以

??? ? | AP| ???? | AG| =2.

(第13题)

14


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