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湖北省黄冈市2019届高三9月质量检测数学(理)试卷(含答案)


黄冈市 2019 届高三年级 9 月质量检测 数学试题(理科)
黄冈市教育科学研究院命制 2018 年 9 月 26 日上午 8:00—10: 00 第 I 卷(选择题共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一个是 符合题目要求的) 1.已知全集 U=R,集合 A={x|x-3 <0},B= A.{x| -2≤x≤3} B.{x| -2 <x <3} ,那么集合 D.{x|x <3} 等于

C.{x|x≤一 2}

2.已知复数 z 为纯虚数,且 A.+2i B.± i C. i

=1,则 z= D.i

3.已知角 a 的终边经过点 P( sin47°,cos47°),则 sm(a-13°)= A. B. C. D.-

4.若 l,m 为两条不同的直线,a 为平面,且 l⊥a,则“m∥a”是“m⊥l”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

5.已知点 A(4,m)在抛物线 C:y2=2px 上,设抛物线 C 的焦点为 F,若|AF| =5,则 p= A.4 B .2 C.1 D.-2

6.下列有关命题的说法中错误的是 A.若 pVq 为真命题,则 p,q 中至少有一个为真命题 B.命题:“若 y=f(x)是幂函数,则 y=f(x)的图象不经过第四象限”的否命题是假命题 C.命题“ n∈N*,有 f(n) ∈N*且 f(n)≤n”的否定形式是“ n0∈N*,有 f(n0)∈N *且 f(n0)>n0” D.设 a,b∈R,则“a>b”是“a|a| >b|b|”的充要条件 7.如图所示的三视图表示的几何体的体积为 ,则该几何体的外接球的表面积为

1

A.12π

B.24π

C.36π

D.48π

8.《九章算术》是我国古代的数学名著,书中《均属章》有如下问题:“今有五人分五钱,令上二 人所得与下三人等,问各得几何.”其意思为“已知 A,B,C,D,E 五人分 5 钱,A,B 两人所得 与 C,D, E 三人所得相同,且 A,B,C,D,E 每人所得依次成等差数列,问五人各得多少钱?” (“钱”是古代的一种重量单位).在这个问题中,E 所得为 A. 钱 B. 钱 C. 钱 D. 钱

9.函数 f(x)=

的图象的大致形状是

10.若函数 f(x)= 单调递增区间是 A. C. B. D.

,且 f(α )=2,f(β )=0,|α -β |的最小值是

则 f(x)的

11.在△ABC 中, BC 边上的中垂线分别交边 BC, AC 于点 D, E. 若 A. 3 B.4 C.5 D.6

= 8,

=3, 则

12.设函数 f(x)=(x-a)2+4(lnx -a)2,其中 x>0,a∈R.若存在正数 xo,使得 f(xo)≤ 成立,则实数 a 的值是 A. B. C.
2

D.1

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.双曲线 的离心率为

14.已知函数 f(x)=

,则 f(-2018)=

15. 如图, 在三角形 OPQ 中, M , Ⅳ分别 是边 OP , OQ 的 中点,点 R 在 直线 MN 上,且 (x,y∈R),则代数式 的最小值为 .

16.已知函数 f(x)= 围为

,若 a,b,c 互不相等,且 f(a)=f(b)=f(c),则 a+b+c 的取值范

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(本题满分 10 分)已知数列{an}是递减的等比数列,a2=4,且 a2,2a3,a4+3 成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若 bn= ,求数列 的前 n 项和 Sn.

18.(本题满分 12 分)已知△ABC 的内角 A,B,C 满足 (1)求角 A; (2)若△ABC 的外接圆半径为 1,求△ABC 的面积 S 的最大值, 19.(本题满分 12 分)已知直角坐标系中 A(l,2),B(3,3),C(cosθ +1,sinθ +2),D(4,5) (1)若 平行,求 sinθ (sinθ - cosθ )的值; ,求 m + n

(2)设点 P 的坐标为(x,y)且点 P 在△ABD 的边界及内部运动,若 的最大值.

20.(本题满分 12 分)用水清洗一堆蔬菜上残留的农药的效果假定如下:用 x 单位量的水清洗一次以 后,蔬菜上残留农药量与这次清洗前残留的农药量之比为 f(x)=

3

(1)试解释 f(0)的实际意义; (2)现有 a(a>0)单位量的水,可以清洗一次,也可以把水平均分成 2 份后清洗两次.哪种方案清洗后 蔬菜上残留的农药比较少?请说明理由. 21.((本题满分 12 分))已知二次函数 f(x)=ax2+bx(a,b 为常数,且 a≠0)满足条件:f(x -1) =f(3 -x),且方程 f(x)=2x 有两相等实根. (1)求 f(x)的解析式; (2)设命题 p:“函数 y=2f(x)-t 在(一∞,2)上有零点”,命题 q:“函数 g(x)= x2+t|x -2|在(0,+ ∞)上单调递增”;若命题“pVq”为真命题,求实数 t 的取值范围. 22.(本题满分 12 分)设函数 f(x)=(x-l)2+blnx,其中 b 为常数. (1)判断函数 f(x)在定义域上的单调性; (2)求证 (n≥3,n∈N*)

黄冈市 2019 届九月起点考试 数学(理科)答案
一、选择题 1.C 2.B 3.A 4.A 5.B 6.C 7.C 8.A 9.B 10. A 11. C 12.A

二、填空题 13.

3

14. -2

15.

2 4

1 ? ? 2 16. ? 2e ? ,e ? 2 ? e ? ?

三、17. 解:(1)设数列 {an } 的公比为 q ,由 a2 , 2a3 , a4 ? 3 成等差数列得 4a3 =a2 +a4 ? 3 ,又 a2 ? 4 ,
2 2 所以 16q=4+4q ? 3 ,即 4q ? 16q ? 7 ? 0 ,解得 q ?

1 7 或 q ? (舍去), 2 2

1 1 1 故 an =a2 ? q n ? 2 ? 4 ? ( )n ? 2 ? ( )n ? 4 .即数列 {an } 的通项公式为 an =( )n ? 4 .………………5 分 2 2 2

(2) bn ? log 2 (

16 )?n, an

………………………………………………7 分

4

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) bk bk ? 2 k (k ? 2) 2 k k ? 2

1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? 2 3 2 2 4 2 3 5 1 1 1 1 ? (1 ? ? ? ) 2 2 n ?1 n ? 2 3 2n ? 3 ? ? 4 2( n ? 1)( n ? 2) Sn ?

1 1 1 ? ( ? ) 2 n n?2

……10 分 18.【解析】(1)设内角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c .

sinA ? sinB ? sinC sinB ? , sinC sinA ? sinB ? sinC a ?b?c b ? ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? bc ,· · · · · · · · · 3分 可得 c a?b?c

根据

所以 cosA ? (2)

? b2 ? c 2 ? a 2 bc 1 · · · · · · · · 6分 ? ? ,又因为 0 ? A ? ? ,所以 A ? .· 3 2bc 2bc 2

a ? ? 2 R ? a ? 2 RsinA ? 2sin ? 3 ,· · · · · · · · · 8分 sinA 3

· · · · · · · · 10 分 所以 3 ? b2 ? c 2 ? bc≥2bc ? bc ? bc ,·
1 1 3 3 3 所以 S ? bcsinA≤ ? 3 ? ( b ? c 时取等号). ? 2 2 2 4

故三角形面积最大值为

3 3 4

· · · · · · · · · 12 分
1 , 2

19.解:(1) AB ? (2,1), AC ? (cos? ,sin ? ), 若 AB 与 AC 平行,则 tan ? ?

sin ? (sin ? ? cos ? ) ?

sin 2 ? ? sin ? cos ? tan 2 ? ? tan ? 1 ? ? ? ……6 分 2 2 2 sin ? ? cos ? tan ? ? 1 5

(2) AD ? (3,3), OP ? m(2,1) ? n(3,3) ? (2m ? 3n, m ? 3n),

1 1 x ? 2m ? 3n, y ? m ? 3n, m ? x ? y, n ? (2 y ? x), m ? n ? (2 x ? y ), 3 3
由图知 m+n 的最大值为 1. …………12 分 20.解:(I)f(0)=1.表示没有用水清洗时,蔬菜上的农药量没有变化.……………2 分
5

(Ⅱ)设清洗前蔬菜上的农药量为 1,那么用 a 单位量的水清洗 1 次后.残留的农药量为 W 1=1

1 ; ……………………………………………………………4 分 1 ? a2 1 a a a , 又如果用 单位量的水清洗 1 次,残留的农药量为 1×f( )= 1 ? ( )2 2 2 2 a 此后再用 单位量的水清洗 1 次后,残留的农药量为 2 1 1 16 a W2= f( )=[ a 2· a 2 ]2= .……………………………8 分 1? ( ) 1? ( ) (4 ? a 2 ) 2 2 2 2
×f(a)=

16 a 2 (a 2 ? 8) 1 由于 W 1-W 2= - ,………………………9 分 2 2 = 1 ? a 2 (4 ? a ) (1 ? a 2 )(4 ? a 2 )2
故当 a>2 2 时,W1>W2,此时,把 a 单位量的水平均分成 2 份后,清洗两次,残留的农药量较 少;当 a=2 2 时,W1=W2,此时,两种清洗方式效果相同;当 0<a<2 2 时,W1<W2,此时,把 a 单位量的水清洗一次,残留的农药量较少.…………………12 分 21. 【解析】(1)? 方程 f ( x) ? 2 x 有两等根,即 ax2 ? (b ? 2) x ? 0 有两等根,

? ? ? (b ? 2) 2 ? 0 ,解得 b ? 2 ;
? f ( x ? 1) ? f (3 ? x) ,得

x ?1? 3 ? x ? 1,? x ? 1是函数图象的对称轴. 2 b b ,? ? ? 1,? a ? ?1 , 而此函数图象的对称轴是直线 x ? ? 2a 2a
故 f ( x) ? ? x 2 ? 2 x ……………………………………………6 分 (2) y ? 2
? x2 ? 2 x

? t , x ? (??, 2), 2? x

2

?2 x

? ? 0, 2? , p真则0 ? t ? 2 ;

?t ?2 ? 0 ? 2 ? ? t ? x ? tx ? 2t , 0 ? x ? 2, g ( x) ? ? 2 ??4 ? t ? 0 若 q 真,则 ? ? ? 2 ? ? x ? tx ? 2t , x ? 2. ? 2 ?4 ? 2t ? 2t ? 4 ? 2t ? 2t ? ?
若 p ? q 真,则 ?4 ? t ? 2 . 22. 解 : ( 1 ) ……………………………………………12 分 由 题 意 知 ,
6

f ( x)











(0,??)



1 1 2( x ? ) 2 ? b ? b 2x ? 2x ? b 2 2 ( x ? 0) . f ' ( x) ? 2 x ? 2 ? ? ? x x x 1 ? 当 b ? 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 在定义域 (0,??) 上单调递增. 2
2

当b ?

1 b 2 x2 ? 2x ? b 令 f '( x) ? 2 x ? 2 ? ? ?0, 2 x x

得 x1 ?

1 1 ? 2b 1 1 ? 2b , x2 ? ? . ? 2 2 2 2 1 1 ? 2b 1 1 ? 2b ? ? 0 ? (0, ??)(舍去),而 x2 ? ? ? 1? (0, ??) , 2 2 2 2

①当 b ? 0 时, x1 ?

此时: f ?( x ) , f ( x ) 随 x 在定义域上的变化情况如下表:

x
f ?( x )
f ( x)
②当 0 ? b ?

(0, x2 )

x2
0

( x2, ? ?)

?




极小值

1 时, 0 ? x1 ? x2 , 此时: f ?( x ) , f ( x ) 随 x 在定义域上的变化情况如下表: 2

x
f ?( x )
f ( x)

(0, x1 )
+ 增

( x1 , x2 )


( x2, ? ?)

?
增 ……5 分

综上:当 b ? 当 0?b?

1 时,函数 f ( x ) 在定义域 (0,??) 上单调递增; 2

?1 ? 1 ? 2b 1 1 1 ? 2b ? , ?? 时 , 函 数 f ( x ) 在 (0, ? ? ) , ? ?2 ? 上单调递增,在 2 2 2 2 ? ?

?1 1 ? 2b 1 1 ? 2b ? ? ?2? 2 ,2? 2 ? ? 上单调递减; ? ?
7

当 b ? 0 时,函数 f ( x ) 在 (0, 分

?1 ? 1 ? 2b 1 1 ? 2b ? , ?? ? ? ) 上单调递减,在 ? ?2 ? 上单调递增.……6 2 2 2 ? ?

(2)由(1)可知当 b ? ?1 时,函数 f ( x) ? ( x ? 1) 2 ? ln x , 此时 f ( x ) 有惟一极小值点: x ?

1 1 ? 2b 1 ? 3 , ? ? 2 2 2

且 x ? (0,

1? 3 1? 3 )时,f ' ( x) ? 0, f ( x)在(0, )为减函数 . 2 2 1 4 1? 3 ? ? , k 3 2

当 k ? 3 时,0 ? 1 ? 1 ?
1 k

1 1 1 ? ln(1 ? ) ? 2 ? ?ln( k ? 1) ? ln k ? .……10 分 2 k k k 1 ∴ 当 k ? 3时 , 恒有 ln( k ? 1) ? ln k ? 2 成立 .令 k ? 3, 4,5, , n(n ? 3, n ? N ) 相加得 k 1 1 1 ? 2 ? ? 2 ? ln(n ? 1) ? ln 3 ? ln(n ? 1). ……12 分 2 3 4 n
∴ 恒有 f(1) ? f (1 ? ),即恒有 0 ? 欢迎访问“高中试卷网”——http://sj.fjjy.org

8


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