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2016年全国数学联合竞赛试题(四川初二组)初赛及答案(word版本含答案)


2016 年全国初中数学联赛(四川初二初赛)试卷 (3 月 4 日 下午 3:00——5:00) 题号 得分 评卷人 复核人
一、选择题(本大题满分 42 分,每小题 7 分)
得分 评卷人 本题共有 6 个小题,每题均给出了代号为 A、B、C、D 的四个答案,其中有且仅有一 个是正确的。将你选择的答案的代号填在题后的括号内。每小题选对得 7 分;不选、 错选或选出的代号字母超过一个(不论是否写在括号内) ,一律得 0 分。 1、数轴上各点表示的数如图所示,那么 ?a 的可能取值是 ( )







合计

A、 ? 2

B、 ?

2

C、

2

D、 2

2、关于 x 的方程 A、 ? 1

2 x ? 1 ? 3x ? 2 ? 4 ,其所有解的和是
B、 ?





2 5

C、

3 5

D、1

a 3b a 2 ? ab ? 2b2 3、若 ? 的值是 ( a ? b) ,则 2 b 4b ? a a ? 3ab ? 2b2
A、 ? 3 B、 ?





1 1 C、 D、 5 3 5 4、如图所示,将一个长为 a ,宽为 b 的长方形( a ? b ) ,沿着虚线剪开,拼成缺一个小正方形角的大正
方形(右图) ,则小正方形的边长为 A、 ( ) D、 a ? b

b 2

B、

a 2

C、

a?b 2

a b b b

5、一个等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分成 15 和 9 两个部分,则该三角形的底长所有可能值为 ( ) A、 4 B、 6 C、12
4

D、 4或12

6、已知正数 m ,满足 m A、 2

? 7m2 ? 1 ? 0 ,则 m ?
C、

1 的值为 m





B、

5

7

D、 3

二、填空题(本大题满分 28 分,每小题 7 分)
得分 评卷人 本大题共有 4 小题,要求直接将答案写在横线上。

7、古希腊数学家毕达哥拉斯把“数”当作“形”来研究,他称下面一些数为“三角形数” (如下图) ,第 1 个“三角形数”是 1,第 2 个是 3,第 3 个是 6,第 4 个是 10,按照这个规律,第 50 个“三角形数”是 .

1
8、若1 ?

3

6

10

x ? x2 ? x3 ? 0 ,则1 ? x ? x2 ? x3 ?

? x2015 ? x2016 的值为
,则 m 的最小值为 。

.

9、设 m ?

x ?1 ? x ? 2 ? x ? 3 ? x ? 4 ? x ? 5

10、如图,在△ABC 中,∠C=90°, D 点在 BC 边上,满足:BD=4,DC=5,若 AB+AD=28, 则 AD 等于 .

A

B
三、解答题(本题共 3 小题,第 11 题 20 分,第 12、13 题各 25 分,满分 70 分)
得分 评卷人 11、若关于 x 的方程 (3x ? 2)m ? (2 x ? 3)n ? 求实数 m、n 的值.

D

C

x ? 1 ? 0 有无数多个解,

得分

评卷人

12、已知实数 a、b、c ,满足 abc

? 0 且 (a ? c)2 ? 4(b ? c)(a ? b) ? 0 ,



a?c 的值. b

得分

评卷人

13、如图,在△ABC 中,∠B=2∠C, 且 AC=AB+BD. 求证:AD 是∠BAC 的平分线.

A

B

D

C

2016 年全国初中数学联赛(四川初二初赛)参考答案
一、选择题:1、D 二、填空题:7、1275 三、解答题: 2、B 3、D 8、 1 4、C 9、 6 5、A 6、D 10、 13

11 题: 解: 由 (3x ? 2)m ? (2 x ? 3)n ? x ? 1 ? 0 , 整理为 (3m ? 2n ? 1) x ? 2m ? 3n ? 1 ? 0 ,
∵ 方程有无数多个解 ∴

? 0 ?3m ? 2n ? 1 ? n? 1 ? 0 ? 2m ? 3

解之, ?

? m ? ?1 ?n ? 1

12 题:解: ( a ? c)2 ? 4(b ? c)( a ? b) ? 0

a2 ? c2 ? 2ac ? 4ab ? 4b2 ? 4ac ? 4bc ? 0 a2 ? c2 ? 4b2 ? 2ac ? 4ab ? 4bc ? 0

( a ? c ? 2b)2 ? 0




a ? c ? 2b

abc ? 0



a?c ?2 b

13 题: (法一)延长 AB 至 E,使 AE=AC,连结 DE、CE.
∵ AE=AB+BE AC=AB+BD ∴ BD=BE ∴ ∠BED=∠BDE 又 ∠ABD=∠BED+∠BDE

A B E



∠ABD=2∠BED ∵ ∠ABD=2∠ACD ∴ ∠BED=∠ACD

① ②

AE=AC ∴ ∠AEC=∠ACE 由 ①、②可得 ∠DEC=∠DCE ∴ DE=DC



D

C

? AE ? AC ? ∵ ? AD ? AD ? DE ? DC ?
∴ ∠DAE=∠DAC

∴ △AED≌△ACD (SSS)



AD 是∠BAC 的平分线.

(法二)延长 DB 至 E,使 BE=BA,连结 AE
∴ ∠E=∠EAB ∵ ∠ABD=2∠E 又∵∠ABD=2∠C ∴ ∠E=∠C=∠EAB ∴ AE=AC ∵ AC=AB+BD BE=BA

A

E

B

D

C

∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴

AC=BE+BD=DE AE=DE ∴ ∠EAD=∠EDA ∠EAD=∠EAB+∠BAD ∠EDA=∠DAC+∠C ∠EAB+∠BAD=∠DAC+∠C ∠C=∠EAB ∠BAD=∠DAC ∴ AD 是∠BAC 的平分线.


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