考点 1 等比数列的通项与前 n 项和 题型 1 已知等比数列的某些项，求某项
【例 1】已知
?an ?为等比数列， a2 ? 2, a6 ? 162，则 a10 ?
?a2 ? a1q ? 2 ? q 4 ? 81 5 ?a6 ? a1q ? 162
【解题思路】可以考虑基本量法，或利用等比数列的性质 【解析】方法 1：? ?
? a10 ? a1q9 ? a6 q4 ? 162? 81 ? 13122
方法 2：? q
4
?
a6 162 ? ? 81，? a10 ? a6 q4 ? 162? 81 ? 13122 a2 2
方法 3：?
?an ?为等比数列
2
? a2 ? a10 ? a6
a6 1622 ? a10 ? ? ? 13122 a2 2
2
【名师指引】给项求项问题，先考虑利用等比数列的性质，再考虑基本量法.
题型 2 已知前 n 项和 Sn 及其某项，求项数.
【例 2】⑴已知 Sn 为等比数列
?an ?前 n 项和， Sn ? 93 ， an ? 48 ，公比 q ? 2 ，则项数 n ?
? a1q
n ?1
.
⑵已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为 37 ，中间两数之和为 36 ，求这四个数. 【解题思路】⑴利用等比数列的通项公式 an
a1 (1 ? q n ) 及 Sn ? 求出 a1 及 q ，代入 Sn 可求项数 n ；⑵利用等差 1? q
数列、等比数列设出四个实数代入已知，可求这四个数. 【解析】⑴由 Sn
?a (2 n ? 1) ? 93 ? 93 ， an ? 48 ，公比 q ? 2 ，得 ? 1 n ?1 ? 2 n ? 32 ? n ? 5 . ?a1 ? 2 ? 48
? 2b ? a ? c ?c 2 ? bd ? ⑵方法 1：设这四个数分别为 a, b, c, d ，则 ? ； ?a ? b ? 37 ?b ? c ? 36 ?
4 37 方法 2：设前 2 个数分别为 a, b ，则第 3、 个数分别为 36 ? b， ? a ，则
99 ? ? 2b ? (36 ? b) ? a ?a ? 12 ?a ? 4 ，解得 ? 或? ； ? 2 ?(36 ? b) ? b(37 ? a ) ?b ? 16 ? b ? 81 ? 4
3 方法 3：设第 2、 个数分别为 b， c ，则第 1 个数为 2b ? c ，第 1 个数为
c2 b
，则
81 ? ? c2 ?b ? 16 ?b ? 4 ? 2b ? c ? ； ? b ? ?c ? 20 或 ? 63 ? ?b ? c ? 36 ?c ? ? ? 4
3 方法 4：设第 2、 个数分别为 b， c ，设第 1,4 个数分别为
a ? c 2c 2 , ； 2 a?c
4 方法 5：设第 3、 个数分别为 c, d ，则设第 1,2 个数分别为 37 ? d ,36 ? c ，则
?2(36 ? c) ? (37 ? d ) ? c ?c ? 20 ? 16 63 49 ,d ? . 或c ? ?? ? 2 4 4 ?c ? d (36 ? c) ?d ? 25
【名师指引】平时解题时，应注意多方位、多角度思考问题，加强一题多解的练习，这对提高我们的解题能力大有裨益.
题型 3 求等比数列前 n 项和
【例 3】等比数列 1,2,4,8, ? 中从第 5 项到第 10 项的和. 【解题思路】可以先求出 S10 ，再求出 S 4 ，利用 S10 由 a5 , a6 , a7 , ?, a10 成等比数列求解. 【解析】由 a1
? S4 求解；也可以先求出 a5 及 a10 ，
? 1, a2 ? 2 ，得 q ? 2 ，
? S10 ?
1(1 ? 210 ) 1(1 ? 2 4 ) ? 1023， S 4 ? ? 15 ，? S10 ? S4 ? 1008 . 1? 2 1? 2
【例 4】已知 Sn 为等比数列
?an ?前 n 项和， an ? 1 ? 3 ? 32 ? 33 ? ? ? 3n?1 ，求 Sn
【解题思路】可以先求出 an ，再根据 an 的形式特点求解.
【解析】? a n
? 1? 3 ? 3 ? 3 ??? 3
2 3
n ?1
1(1 ? 3n ) 3n 1 ? ? ? ， 1? 3 2 2
? Sn ?
1 1 1 3(1 ? 3n ) 1 (3 ? 32 ? 33 ? ? ? 3n ) ? n ? ? ? n 2 2 2 1? 3 2
即 Sn
?
3n 1 3 ? n? . 4 2 4
【例 5】已知 Sn 为等比数列
?an ?前 n 项和， an ? (2n ? 1) ? 3n ，求 Sn .
【解题思路】分析数列通项形式特点，结合等比数列前 n 项和公式的推导，采用错位相减法求和. 【解析】? an
? (2n ? 1) ? 3n
? Sn ? 1 ? 3 ? 3 ? 32 ? 5 ? 33 ? ? ? (2n ? 1) ? 3n ，----------------①
3Sn ? 1? 32 ? 3 ? 33 ? 5 ? 34 ? ? ? (2n ? 3) ? 3n ? (2n ? 1) ? 3n?1 -------------②
①—②，得 ? 2Sn
? 3 ? 2(32 ? 33 ? 34 ? ? ? 3n ) ? (2n ? 1) ? 3n?1
? 3? 2?
? Sn ? (n ? 1) ? 3n?1 ? 3.
9(1 ? 3n ?1 ) ? (2n ? 1) ? 3n ?1 ? (2 ? 2n ) ? 3n ?1 ? 6 1? 3
【名师指引】根据数列通项的形式特点，等比数列求和的常用方法有：公式法、性质法、分解重组法、错位相减法，即数列求 和从“通项”入手. 【新题导练】 1.已知
?an ?为等比数列， a1 ? a2 ? a3 ? 3, a6 ? a7 ? a8 ? 6 ，求 a11 ? a12 ? a13 的值. ?an ?的公比为 q ，
a 4 ? a5 ? a 6 ? 2 ，? a11 ? a12 ? a13 ； a1 ? a2 ? a3
.
【解析】设等比数列
? a1 ? a2 ? a3 ? 3, a6 ? a7 ? a8 ? 6 ，? q 5 ?
2.如果将 20,50,100 依次加上同一个常数后组成一个等比数列，则这个等比数列的公比为
x,50 ? x,100 ? x 成等比数列， 5 50 ? 5 4 ? 205 ? 41 . ? (50 ? x)2 ? (20 ? x)(100? x) ，解得 x ? ，? q ? 5 4 85 17 20 ? 4
3.已知 Sn 为等比数列 【解析】 ?
【解析】设这个常数为 x ，则 20 ?
?an ?的前 n 项和， a2 ? 3, a6 ? 243, Sn ? 364，则 n ?
；
?a2 ? a1q ? 3 ? a1 ? 1, q ? 3 或 a1 ? ?1, q ? ?3 ， 5 ?a6 ? a1q ? 243
1(1 ? 3n ) ? 364 ? n ? 6 ； 1? 3 ? 1 1 ? ( ?3) n ? 364 ? n 无整数解. 当 a1 ? ?1, q ? ?3 时， S n ? 1? 3
当 a1
? 1, q ? 3 时， S n ?
?
?
4.已知等比数列
?an ?中， a2 ? 1 ，则其前 3 项的和 S3 的取值范围是
.
? 1? 1 ? a1 ? a2 ? a3 ? a2 ?1 ? q ? ? ? 1 ? q ? q? q ? 1 1 ∴当公比 q ? 0 时， S3 ? 1 ? q ? ? 1 ? 2 q ? ? 3 ； q q
【解析】∵等比数列
? an ? 中 a2 ? 1
∴ S3
当公比 q
? ? 1? 1? ? 0 时， S3 ? 1 ? ? ? q ? ? ? 1 ? 2 ? q ? ? ? ? ? ?1 ， q? ? ? q?
∴ S3 ?
? ??, ?1? ? ?3, ???
5.已知 Sn 为等比数列 【解析】由 an
?an ?前 n 项和， an ? 0 ， Sn ? 80 ， S2n ? 6560，前 n 项中的数值最大的项为 54，求 S100 .
? 0 ， Sn ? 80 ， S2n ? 6560，知 q ? 1 ，
? Sn ?
a1 (1 ? q n ) a (1 ? q 2n ) ? 80, S2 n ? 1 ? 6560 . 1? q 1? q
?
Sn 1 ? q 2n ? ? 82 ? q n ? 81，? q ? 1 ,又?前 n 项中的数值最大的项为: S2n 1 ? q n
a1 2 ? ，? a1 ? 2, q ? 3 ? S100 ? 3100 ? 1. q 3
an ? a1qn?1 ? 54 ，?
考点 2 证明数列是等比数列
【例 6】 已知数列 其中 ?an ?和 ?bn ?满足：a1 ? ? ，an?1 ? 2 an ? n ? 4 ，bn ? (?1)n (an ? 3n ? 21) ， ? 为实数，n ? N ? .
⑴ 对任意实数 ? ，证明数列 ?an ? 不是等比数列；
⑵ 试判断数列
3
?bn ?是否为等比数列，并证明你的结论.
【解题思路】⑴证明数列 常用：①定义法；②中项法.
?an ?不是等比数列，只需举一个反例；⑵证明数列 ?bn ?是等比数列， ?an ?是等比数列，则有 a22 ? a1 ? a3 ，
【解析】⑴ 证明：假设存在一个实数 ? ，使 即(
2 4 4 4 ? ? 3) 2 ? ? ( ? ? 4) ? ?2 ? 4? ? 9 ? ?2 ? 4? ? 9 ? 0, 矛盾. 3 9 9 9 所以 ?an ? 不是等比数列.
⑵ 解：因为 bn
? (?1)n (an ? 3n ? 21) ? (?1)n?1 ?an?1 ? 3(n ? 1) ? 21? 2 ? ( ?1) n ?1 ?a n ?1 ? 3n ? 18? ? ( ?1) n ?1 ( a n ? 2n ? 14 ) 3 2 2 ? ( ?1) n ?1 ( a n ? 3n ? 21) ? ? bn 3 3 又 b1 ? ?1(? ? 18) ，所以 当 ? ? ?18, bn ? 0(n ? N ? ) ，此时 ? n ?不是等比数列； b b 2 当 ? ? ?18, b1 ? ?(? ? 8) 时，由上可知 bn ? 0,? n ?1 ? ? ( n ? N ? ) ，此时 ? n ?是等比数列. b bn 3
【名师指引】等比数列的判定方法： ⑴定义法：
a n ?1 ? q （ n ? N ? ， q ? 0 是常数） ? ?an ? 是等比数列； an
2
⑵中项法： an?1 【新题导练】
? an ? an?2 ( n ? N ? )且 an ? 0 ? ?an ? 是等比数列.
?
2 2an 1 ， an ?1 ? ， n ? 1, 2,3, ?．证明：数列 { ? 1} 是等比数列； 3 an ? 1 an 2an a ?1 1 1 1 1 【解析】? an ?1 ? ，? ? n ? ? ? ， an ?1 2an 2 2 an an ? 1 2 1 1 1 1 1 ? 1 ? ( ? 1) ，又 a1 ? ，? ? 1 ? ， ? 3 an ?1 2 an a1 2 1 1 1 ? 数列 { ? 1} 是以 为首项， 为公比的等比数列. 2 2 an
6.已知数列 {an } 的首项 a1
考点 3 等比数列的性质
【例 7】已知 Sn 为等比数列
?an ?前 n 项和， Sn ? 54 ， S2n ? 60，则 S3n ?
.
【解题思路】结合题意考虑利用等比数列前 n 项和的性质求解. 【解析】?
?an ?是等比数列，? Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n 为等比数列，
182 3
.
? 54( S 3n ? 60 ) ? 36 ? S 3n ?
【新题导练】 7.已知等比数列 【解析】?
【名师指引】给项求项问题，先考虑利用等比数列的性质，再考虑基本量法.
?an ?中， an ? 0, (2a4 ? a2 ? a6 )a4 ? 36 ，则 a3 ? a5 ?
.
?an ?是等比数列， an ? 0
? (2a4 ? a2 ? a6 )a4 ? 36 ? (a3 ? a5 )2 ? 36 ? a3 ? a5 ? 6 .
考点 4 等比数列与其它知识的综合
【例 8】设 Sn 为数列 ⑴证明：当 b ⑵求
? 2 时， ?an ? n ? 2n ?1? 是等比数列；
?an ?的前 n 项和，已知 ban ? 2n ? ?b ?1? Sn
?an ? 的通项公式
?Sn , an , n? ? 0 求数列的通项公式 an ?
f (n) ，主要利用：
【解题思路】由递推公式
? S ( n ? 1) an ? ? 1 ，同时注意分类讨论思想. ? S n ? S n ?1 ( n ? 2)
【解析】由题意知 a1 两式相减，得 b ⑴当 b 于是
? 2 ，且 ban ? 2n ? ?b ?1? Sn ， ban?1 ? 2n?1 ? ?b ?1? Sn?1
? an?1 ? an ? ? 2n ? ?b ?1? an?1 ，即
an?1 ? ban ? 2n
①
an?1 ? ? n ?1? ? 2n ? 2an ? 2n ? ? n ?1? ? 2n
n?1
? 2 时，由①知 an?1 ? 2an ? 2n
? 2 ? an ? n ? 2n ?1 ?
又 a1 ?1? 2 ⑵当 b 当b
? 1 ? 0 ，所以 ?an ? n ? 2n ?1? 是首项为 1 ，公比为 q ? 2 的等比数列。
? 2 时，由（Ⅰ）知 an ? n ? 2n?1 ? 2n?1 ，即 an ? ? n ?1? 2n?1
? 2 时，由①得 an ?1 ?
因此
1 1 ? 2n ?1 ? ban ? 2n ? ? 2n ?1 2?b 2?b b 1 ? ? ? ban ? ? 2 n ? b ? an ? ? 2n ? 2?b 2?b ? ? 1 1 ? ? 2 ?1 ? b ? n ?b an?1 ? ? 2n?1 ?? b ? an ? ? 2n ? ? 2?b 2?b 2?b ? ?
得
n ?1 ? 2 ? an ? ? 1 n n ?1 n?2 ? 2 ? b ? 2 ? ? 2 ? 2b ? b ? ? ? ?
【名师指引】退一相减是解决含有 Sn 的递推公式的重要手段，使其转化为不含 Sn 的递推公式，从而针对性的解决；在由递推
公式求通项公式时，重视首项是否可以吸收是易错点，同时重视分类讨论，做到条理清晰是关键. 【新题导练】
8.设 Sn 为数列
?an ?的前 n 项和， a1 ? a ， an?1 ? Sn ? 3n ， n ? N* . n ⑴ 设 bn ? Sn ? 3 ，求数列 ?bn ? 的通项公式；
⑵ 若 an?1
? an (n ? N ? ) ，求 a 的取值范围．
【解析】⑴依题意， Sn?1 ? Sn 由此得 Sn?1 ? 3
n?1
? an?1 ? Sn ? 3n ，即 Sn?1 ? 2Sn ? 3n ，
? 2(Sn ? 3n ) ．因此，所求通项公式为
①
bn ? Sn ? 3n ? (a ? 3)2n?1 ， n ? N ? ．
⑵ 由①知 当n
Sn ? 3n ? (a ? 3)2n?1 ， n ? N ? ，于是，
? 2 ? 3n?1 ? (a ? 3)2n?2 ，
an ?1 ? an ? 4 ? 3
n ?2
? 2 时， an ? Sn ? Sn?1 ? 3n ? (a ? 3) ? 2n?1 ? 3n?1 ? (a ? 3) ? 2n?2
n ?2 ? ? ? 3? ?12 ? ? ? ? a ? 3? ， ?2? ? ? ? ?
n ?1
? (a ? 3) ? 2
n ?2
?2
n ?2
n ?2 ? ? ? 3? 当 n ? 2 时， an?1 ? an ? 2 ?12 ? ? ? ? a ? 3? ? 0 ? a ? ?9 ，又 a2 ? a1 ? 3 ? a1 ． ?2? ? ? ? ? 综上，所求的 a 的取值范围是 ? ?9， ?? ． ?
7.(2009 执信中学) 等差数列
?an ? 中， a4 ? 10 且 a3，a6，a10 成等比数列，求数列 ?an ? 前 20 项的和 S 20 ． ?an ? 的公差为 d ，则
a6 ? a4 ? 2d ? 10 ? 2d ， a10 ? a4 ? 6d ? 10 ? 6d ．
2 ? a6 ，
【解析】解：设数列
a3 ? a4 ? d ? 10 ? d ，
由 a3，a6，a10 成等比数列得 a3a10 整理得 10d 当d
2
即 (10 ? d )(10 ? 6d ) ? (10 ? 2d ) ，
2
? 10d ? 0 ，
解得 d
? 0 或 d ? 1．
? 0 时， S20 ? 20a4 ? 200 ；当 d ? 1 时， a1 ? a4 ? 3d ? 10 ? 3?1 ? 7 ，
? 20a1 ? 20 ?19 d ? 20 ? 7 ? 190 ? 330 ． 2
于是 S 20
8.(2009 金山中学)已知数列 ⑴求 a1 ， a2 的值； ⑵证明数列
?an ? 的前 n 项和为 Sn ， Sn ? 3 (an ? 1) ? n ? N ? ? ；
1
?an ? 是等比数列，并求 Sn ．
1 S1 ? (a1 ? 1) 3
得
【解析】⑴由 由 S2
a1 ? ?
1 2
1 1 1 1 1 ? (a2 ? 1) 即 a1 ? a2 ? (a2 ? 1) ? - ? a2 ? (a2 ? 1) ，得 a2 ? 3 3 2 3 4 1 1 1 1 ⑵? S n ? ( an ? 1) ? an ?1 ? S n ?1 ? S n ? ( an ?1 ? 1) ? (an ? 1) ? (an ?1 ? an ) 3 3 3 3
显然 an
?0 ?
1 1 1 1 an ?1 1 ? ? ，所以， ?an ? 是以 ? 为公比的等比数列， S n ? ? (? ) n ?1 ? ?( ) n 2 2 2 2 an 2
9.(2008 湖北)
已知数列
?an ?和 ?bn ?满足： a1 ? ? ， an?1 ? 2 an ? n ? 4 ， bn ? (?1)n (an ? 3n ? 21) ，
3
其中 ? 为实数， n ? N ? .
若存在，求 ? 的取值范围；若不存在，说明理由. 【解析】⑴证明：假设存在一个实数 ? ，使 即(
?an ?不是等比数列； ⑵ 证明：当 ? ? ?18 ，数列 ? n ?是等比数列； b ⑶设 Sn 为数列 ? n ?的前 n 项和，是否存在实数 ? ，使得对任意正整数 n ，都有 Sn ? ?12 ？ b
⑴ 对任意实数 ? ，证明数列
?an ?是等比数列，则有 a22 ? a1 ? a3 ，
2 4 4 4 ? ? 3) 2 ? ? ( ? ? 4) ? ?2 ? 4? ? 9 ? ?2 ? 4? ? 9 ? 0, 矛盾. 3 9 9 9 所以 ?an ? 不是等比数列.
⑵ 解：因为 bn
? (?1)n (an ? 3n ? 21) ? (?1)n?1 ?an?1 ? 3(n ? 1) ? 21? 2 ? ( ?1) n ?1 ?a n ?1 ? 3n ? 18? ? ( ?1) n ?1 ( a n ? 2n ? 14 ) 3 2 2 ? ( ?1) n ?1 ( a n ? 3n ? 21) ? ? bn 3 3 又 b1 ? ?1(? ? 18) ，所以，当 ? ? ?18, b1 ? ?(? ? 8) 时， b 2 由上可知 bn ? 0,? n ?1 ? ? ( n ? N ? ) ， bn 3 2 此时 ? n ?是以 ? (? ? 8) 为首项， ? 为公比的等比数列. b 3 2 n ?1 ⑶当 ? ? ?18 时，由⑵得 bn ? ?(? ? 8) ? ( ? ) ，于是 3 3 2 ? ? S n ? ? (? ? 8) ? ?1 ? ( ? ) n ? ， 5 3 ? ? 当 ? ? ?18 时， bn ? 0 ，从而 Sn ? 0. 上式仍成立.要使对任意正整数 n , 都有 Sn ? ?12 .即
3 2 ? 20 ? ? (? ? 8) ? ?1 ? ( ? ) n ? ? ?12 ? ? ? ? 18 . 2 n 5 3 ? ? 1 ? (? ) 3 2 n 5 令 f ( n ) ? 1 ? ( ? ) ，则 ? f ( n ) ? 1 3 9 5 5 当 n 为正奇数时， 1 ? f ( n ) ? ；当 n 为正偶数时， ? f ( n ) ? 1 . 3 9 3 5 ? f (n ) 的最大值为 f (1) ? . 于是可得 ? ? 20 ? ? 18 ? ?6 . 3 5
综上所述，存在实数 ? ，使得对任意正整数 n ，都有 Sn
? ?12 ， ? 的取值范围为 ?? ?,?6? .