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高二椭圆 综合讲解


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考点 ? 大整合
1.把握椭圆的定义
平面内到两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|) 的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦 点间的距离叫做椭圆的焦距. [说明] 当常数=|F1F2|时,轨迹为线段|F1F2|;当常数<|F1F2| 时,轨迹不存在.

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2.牢记椭圆的标准方程及其几何意义
条件 标准方程 及图形 范围 对称性
|x|≤a;|y|≤b
曲线关于x轴、y轴、原点对称 长轴顶点(±a,0),短轴顶点(0,±b) (±c,0)

2a>2c,a2=b2+c2,a>0,b>0,c>0

|x|≤b;|y|≤a
曲线关于x轴、y轴、原点对称 长轴顶点(0,±a)短轴顶点(±b,0) (0,±c)

顶点
焦点 通径 离心率 准线方程

∣AB∣=2b?/a

X=-a?/c

x=a?/c 返回导航页

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3.灵活选用求椭圆标准方程的两种方法
(1)定义法:根据椭圆定义,确定a2,b2的值,再 结合焦点位置,直接写出椭圆方程. (2)待定系数法:根据椭圆焦点是在x轴还是y轴上, 设出相应形式的标准方程, 然后根据条件确定关于a,b,c的方程组,解出a2, b2,从而写出椭圆的标准方程.

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考向大突破一:椭圆的定义及标准方程

例1:(1)(2013·长治调研)设F1,F2是椭圆: 的两个 焦点,P是椭圆上的点,且|PF1|∶|PF2|=4∶3,则△PF1F2的面 积为( ) A.30 B.25 C.24 D.40
解析: (1)∵|PF1|+|PF2|=14, 又|PF1|∶|PF2|=4∶3,∴|PF1|=8,|PF2|=6.

∵|F1F2|=10,∴PF1⊥PF2.

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(2)(2013·全国大纲卷)已知F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆C的两个焦点,过F2 且垂直于x轴的直线交C于A,B两点,且|AB|=3,则C的方程为( )

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归纳升华
1.椭圆定义的应用主要有两个方面:一是利用定义求椭圆的标准方程; 二是利用定义求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等. 2.利用定义和余弦定理可求得|PF1|·|PF2|,再结合|PF1|2+|PF2|2= (|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|·|PF2|进行转化,可求焦点三角形的周长和面 积.

3.当椭圆焦点位置不明确时,可设为 (m>0,n> 0,m≠n),也可设为Ax2+By2=1(A>0,B>0,且A≠B).

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二、椭圆的几何性质

y F1

·

p

o

·

F2

x

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1.椭圆的几何性质常涉及一些不等关系,例如对椭圆 有-a≤x≤a,-b≤y≤b,0<e<1等,在求与椭圆有关的 一些量的范围,或者求这些量的最大值或最小值时,经常 用到这些不等关系.

(a>b>0)

2.求解与椭圆几何性质有关的问题时常结合图 形进行分析,既使不画出图形,思考时也要联想 到图形.当涉及到顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的 基本量时,要理清它们之间的关系,挖掘出它们之间 的内在联系.

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变式训练 2.(1)(2013·四川卷)从椭圆 (a>b>0)上一点P向x轴作垂线, 垂足恰为左焦点F1,A是椭圆与x轴正半轴的交点,B是椭圆与y轴正半轴 的交点,且AB∥OP(O是坐标原点),则该椭圆的离心率是( )

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(2)底面直径为12 cm的圆柱被与底面成30°的平面所截,截口是一个 椭圆,则这个椭圆的长轴长为________,短轴长为________,离心率为 ________.

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三、直线与椭圆的位置关系
(2013·全国卷Ⅱ)平面直角坐标系xOy中,过椭圆M: (a>b>0) 右焦点的直线x+y- =0交M于A,B两点,P为AB的中点,且OP的斜 率为 (1)求M的方程; (2)C,D为M上的两点,若四边形ACBD的对角线CD⊥AB,求四边形 ACBD面积的最大值.

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(2013·全国卷Ⅱ)平面直角坐标系xOy中,过椭圆M: (a>b>0)右焦点 的直线x+y- =0交M于A,B两点,P为AB的中点,且OP的斜率为 (1)求M的方程; (2)C,D为M上的两点,若四边形ACBD的对角线CD⊥AB,求四边形ACBD面 积的最大值.

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归纳升华
1.判断直线与椭圆位置关系的四个步骤 第一步:确定直线与椭圆的方程; 第二步:联立直线方程与椭圆方程; 第三步:消元得出关于x(或y)的一元二次方程; 第四步:当Δ>0时,直线与椭圆相交; 当Δ=0时,直线与椭圆相切; 当Δ<0时,直线与椭圆相离. 2.直线被椭圆截得的弦长公式 设直线与椭圆的交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2), 则|AB|

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3.已知椭圆C: (a>b>0)的离心率为 ,以原点 为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+ =0相切, 过点P(4,0)且不垂直于x轴的直线l与椭圆C相交于A,B两 点. (1)求椭圆C的方程;(2)求 的取值范围.

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考向大攻略:直线与椭圆综合问题的规范解答
(12分)(2013·天津卷)设椭圆 (a>b>0)的左焦点为F,离心率 为 ,过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 . (1)求椭圆的方程; (2)设A,B分别为椭圆的左、右顶点,过点F且斜率为k的直线与椭圆交 于C,D两点,若 求k的值. 思维导图
过点F且与x轴垂 直的直线

x=-c

与椭圆方程联立

焦点坐标

弦长

b的值
椭圆

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考向大攻略:直线与椭圆综合问题的规范解答

思维导图
由(1)知 A,B坐标
设出CD的方程

关于x的一元二 次方程

x1+x2,x1x2的值

k的值

关于k的等 式

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考向大攻略:直线与椭圆综合问题的规范解答

失 分 警 示

解答本题的失分点是:

解决直线与椭圆的综合问题时,还易出现下列问题: 学 习 建 议 (1)求圆锥曲线方程时,易出现对曲线的焦点位置判断 不明,导致所求方程错误. (2)求直线与圆锥曲线的关系时,易忽视对直线斜率不 存在的情况进行讨论. (3)把直线方程代入曲线方程时,易出现计算性错误.
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