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导数探讨函数图像的交点问题

由 2006 年高考看如何用导数探讨函数图象的交点问题
2006 年高考数学导数命题的方向基本没变, 主要从五个方面(①与切线有关的问题②函数 的单调性和单调区间问题③函数的极值和最值问题④不等式证明问题⑤与函数的单调性、极 值、最值有关的参数问题)考查了学生对导数的掌握水平。 但是,2006 年高考数学导数命题在方向基本没变的基础上,又有所创新。福建理科卷第 21 题研究两个函数的交点个数问题, 福建文科卷第 19 题研究分式方程的根的分布问题, 湖南 卷第 19 题研究函数的交点问题,四川卷第 21 题研究函数图象的交点个数问题。从以上试卷 我们可以发现导数命题创新的两个方面:一是研究对象的多元化,由研究单一函数转向研究 两个函数或多个函数,二是研究内容的多元化,由用导数研究函数的性质(单调性、最值、 极值)转向运用导数进行函数的性质、函数图象的交点和方程根的分布等的综合研究,实际 上就是运用导数考查函数图象的交点个数问题。 试题“以能力立意”的意图表现明显,试题注重了创新、开放、探究性,以所学数学知 识为基础,对数学问题进行深入探讨,从数学角度对问题进行探究。考查了学生综合与灵活 地应用所学的数学思想方法,进行独立的思考、探索和研究,创造性地解决问题的能力。 如何运用导数的知识研究函数图象的交点问题呢?下面我们先看一看今年的 高考题。 例 1(福建理科第 21 题)已知函数 f(x)=-x +8x,g(x)=6lnx+m (Ⅰ)求 f(x)在区间[t,t+1]上的最大值 h(t); (Ⅱ)是否存在实数 m,使得 y=f(x)的图象与 y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点? 若存在,求出 m 的取值范围; ,若不存在,说明理由。 解: (Ⅰ)略 (II)∵函数 y=f(x)的图象与 y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点, ∴令 f(x)= g(x) ∴g(x)-f(x)=0 ∵x>0 ∴函数 ? (x)=g(x)-f(x) = x
2?
2

-8x+6ln x+m 的图象与 x 轴的正半

轴有且只有三个不同的交点。 ∵ ? '( x) ? 2 x ? 8 ?
1

6 2 x 2 ? 8 x ? 6 2( x ? 1)( x ? 3) ? ? ( x ? 0), x x x
1

当 x∈(0,1)时, ? ( x) 〉0, ? (x) 是增函数;当 x∈(1,3)时, ? ( x) 〈0, ? (x) 是减 函数;当 x∈(3,+∞)时, ? ( x) 〉0, ? (x) 是增函数;当 x=1 或 x=3 时, ? ( x) =0。
1 1

∴??x?极大值???1??m-7,???x?极小值???3??m+6ln 3-15.?
∵ 当 x→0 时, ? (x)→ ? ? ,当 x ? ?? 时, ? (x) ? ?? ∴要使 ? (x)=0 有三个不同的正实数根,必须且只须
?

?? ( x) 极大值 ? m ? 7 ? 0, ? ?? ( x) 极小值 ? m+6 ln 3 ? 15 ? 0,
∴7<m<15-6ln 3. 所以存在实数 m,使得函数 y=f(x)与 y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点,m 的取值 范围为(7,15—6ln 3). (分析草图见下图 1)

1

图1

图2

图3

引申 1:如果(Ⅱ)中“有且只有三个不同的交点”变为“有且只有一个不同的交点”怎 么解答呢? 前面相同,只需把后面改为 ? (x) 极小值 ? m+6In3-15>0 或 ? (x) 极大值 ? m-7<0, 即 m>15-6In3 或 m<7 时, 函数 y=f(x)与 y=g(x)的图象有且只有一个不同的交点 (分析草 图见图 2 和图 3) 。 引申 2:如果(Ⅱ)中“有且只有三个不同的交点”变为“有且只有两个不同的交点”怎 么解答呢? 前面相同,只需把后面改为 ? (x) 极小值 ? m+6In3-15=0 或 ? (x) 极大值 ? m-7=0, 即 m=15-6In3 或 m=7 时, 函数 y=f(x)与 y=g(x)的图象有且只有两个不同的交点 (分析草 图见图 4 和图 5) 。

图4 图5 从上题的解答我们可以看出,用导数来探讨函数 y=f(x)的图象与函数 y=g(x)的图象的交 点问题,有以下几个步骤:①构造函数 ? (x)= f(x)-g(x)②求导 ? ( x) ③研究函数 ? (x)的
1

单调性和极值(必要时要研究函数图象端点的极限情况)④画出函数 ? (x)的草图,观察与 x 轴的交点情况,列不等式⑤解不等式得解

如果一个函数是常数函数? 1.若函数 f(x)=x3-x2-x 与直线 y=a 有 3 个不同的 公共点,求实数 a 的取值范围.

解题的关键是会用数形结合思想来研究问题。 例 3(福建文科卷第 21 题)已知 f ( x ) 是二次函数,不等式 f ( x) ? 0 的解集是 (0,5), 且
2

f ( x) 在区间 ? ?1, 4? 上的最大值是 12。
(I)求 f ( x ) 的解析式; (II) 是否存在实数 m, 使得方程 f ( x ) ?

37 ? 0 在区间 (m, m ? 1) 内有且只有两个不等的 x

实数根?若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,说明理由。 解: (Ⅰ)f(x)=2 x ? 10x (过程略)
2

(II)方程 f ( x ) ?

37 ? 0 等价于方程 2 x3 ? 10 x 2 ? 37 ? 0. x

设 h( x) ? 2 x3 ?10 x2 ? 37, 则 h '( x) ? 6 x2 ? 20 x ? 2 x(3x ?10).

h 当 x ? (??,0)时, '( x) ? 0, h( x) 是减函数;
10 ) 时, h '( x) ? 0, h( x) 是减函数; 3 10 当 x ? ( , ?? ) 时, h '( x) ? 0, h( x) 是增函数。 (见图 7) 图7 3 10 1 ? h(3) ? 1 ? 0, h( ) ? ? ? 0, h(4) ? 5 ? 0, 3 27 10 10 ? 方程 h( x) ? 0 在区间 (3, ), ( , 4) 内分别有惟一实数根,而在区间 (0,3), (4, ??) 内没有 3 3
当 x ? (0, 实数根, 所以存在惟一的自然数 m ? 3, 使得方程 f ( x ) ?

37 ? 0 在区间 (m, m ? 1) 内有且只有两个 x

不同的实数根。 下面用这几个步骤来完成 2006 年四川卷第 21 题。 例 2(四川卷第 21 题)已知函数 f(x) ?

x3 +3ax ?1, g(x) ? f ?( x) ? ax ? 5, 其中

f 1 ( x) 是的 f(x)的导函数。
(Ⅰ)对满足 ?1 ? a ? 1 的一切 a 的值, 都有 g(x)
2

? 0, 求实数x的取值范围;

(Ⅱ)设 a ? ?m ,当实数m在什么范围内变化时,函数y=f(x)的图像与直线y=3 只有 一个公共点。 解: (Ⅰ)略 (Ⅱ) f(x) ?

x3 +3ax ?1, f ' ? x? ? 3x2 ? 3m2
3

①当 m ? 0 时, f ? x ? ? x ?1 的图象与直线 y ? 3 只有一个公共点
1 ②当 m ? 0 时,令 ? (x)= f(x)-3= x ? 3ax ? 4 , ? ( x) = 3x ? 3a = 3x ? 3m
3 2 2 2

3

列表:

x

( ? ?,? m )

?m
0
极大

?? m , m ?
?
单调递减

m
0
极小

? m , ?? ?
?
单调递增

? 1 ( x)
? (x)

?
单调递增

?? ( x)极小值 ? ?(m ) ? ?2m2 m ? 4 〈-4
又∵ ? (x)的值域是 R ,且在 m , ?? 上单调递增 ∴当 x ? m 时函数 y ? ? (x) 的图象与 x 轴只有一个公共点。 当 x ? m 时,恒有 ? ( x) ? ? (? m ) 由题意得 ? (? m ) ? 0 即 2m m ? 4 ? 0
2

?

?

解得 m ? ? 3 2, 0 ? 0, 3 2

?

? ?

?

综上, m 的取值范围是 ? 3 2, 3 2 (分析草图见图 6)

?

?

图6 当然,题目并不是千篇一律的,也有些变式,但是基本方法没有变化。如:2006 年福建 文科卷 21 题。

从上面的探讨,我们可以看出,在今后的数学学习过程中,我们除了要加强数学基础知识的 学习,还要学会用数学思想方法来研究问题,只有这样,我们才能以不变应万变,才能提高 我们的创新能力和实践能力。

练习 对于公比为 2,首项为 1 的等比数列,是否存在一个等差数列,其中存在三项,使得这三项也
4

是此等比数列中的项,并且项数也相同?证明你的结论。 解:设等比数列 bn ,则 bn ? 2n?1 , 设等差数列通项对应的函数为 y ? ax ? b ,等比数列通项对应的函数 y ? 2x?1 ,

? y ? 2 x ?1 x ?1 由? ,由 2 ? ax ? b ? 0 ,设 f ( x) ? 2x?1 ? ax ? b ,则 f '( x) ? 2x?1 ln 2 ? a ? y ? ax ? b
当 a ? 0 时,显然 f '( x) ? 0 ,即 f ( x ) ? 0 为单调递增函数,故 y ? f ( x) 至多与 x 轴有一个 交点,即方程 2
x ?1

? ax ? b ? 0 至多有一个根;

a a ,则 f '( x) ? 0 ;若 x ? 1 ? log 2 ,则 f '( x) ? 0 ; ln 2 ln 2 a a ) 为减函数;在 (1 ? log 2 , ??) 为增函数; 故 y ? f ( x) 在 ( ??,1 ? log 2 ln 2 ln 2 a a ) 上与 x 轴至多一个交点,在 (1 ? log2 , ?? ) 上 因此 y ? f ( x) 的图象在 ( ??,1 ? log2 ln 2 ln 2
当 a ? 0 时,若 x ? 1 ? log 2 亦至多一个交点,从而 y ? f ( x) 在 R 上与 x 轴至多有两个交点,即方程 2 多有两个根; 综合以上可知,方程组 ?
x ?1

? ax ? b ? 0 至

? y ? 2 x ?1 ? y ? ax ? b

至多有两根,即这两个方程表示的函数图象至多有

两个交点。由于指数函数与一次函数图象至多有两个交点。若在等比数列中存在满足条件的 三项成等差数列,则必有三点共线,即直线与 y ? 2 存在符合要求的等差数列。
x ?1

必有三个交点,这不可能,所以不可能

5


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