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高考数学北师大版(通用,理)总复习讲义 5.1 平面向量的概念及线性运算


§ 5.1

平面向量的概念及线性运算

1. 向量的有关概念 名称 向量 定义 既有大小又有方向的量;向量的 大小叫作向量的长度(或称模) 长度为零的向量;其方向是任意 的 长度为单位 1 的向量 如果表示两个向量的有向线段所 平行向量 在的直线平行或重合,则称这两 个向量平行或共线 相等向量 相反向量 长度相等且方向相同的向量 长度相等且方向相反的向量 两向量只有相等或不等, 不能 比较大小 0 的相反向量为 0 0 与任一向量平行或共线 备注 平面向量是自由向量

零向量 单位向量

记作 0 a 非零向量 a 的单位向量为± |a|

2. 向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律

加法

求两个向量 和的运算

(1)交换律:a+b=b+a. (2)结合律:(a+b)+c=a +(b+c).

减法

求两个向量 差的运算 三角形法则 (1)|λa|=|λ||a|; 求实数 λ 与 (2)当 λ>0 时, λa 的方向 与 a 的方向相同;当 λ<0 时,λa 的方向与 a 的方向相反;当 λ = 0 时,λa=0

a-b=a+(-b)

λ(μa)=(λμ)a; (λ+μ)a=λa+μa; λ(a+b)=λa+λb

数乘

向量 a 的积 的运算

3. 向量共线的判定定理 a 是一个非零向量,若存在一个实数 λ,使得 b=λa,则向量 b 与非零向量 a 共线.

1. 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)向量与有向线段是一样的,因此可以用有向线段来表示向量. (2)|a|与|b|是否相等与 a,b 的方向无关. (3)已知两向量 a,b,若|a|=1,|b|=1,则|a+b|=2. → 1 → → (4)在△ABC 中,D 是 BC 的中点,则AD= (AC+AB). 2 → → (5)向量AB与向量CD是共线向量,则 A,B,C,D 四点在一条直线上. (6)当两个非零向量 a,b 共线时,一定有 b=λa,反之成立. ( × ) ( √ ) ( × ) ( √ ) ( × ) ( √ ) )

a b 2. (2012· 四川)设 a、b 都是非零向量,下列四个条件中,使 = 成立的充分条件是( |a| |b| A.a=-b C.a=2b 答案 C B.a∥b D.a∥b 且|a|=|b|

解析

a b a b 表示与 a 同向的单位向量, 表示与 b 同向的单位向量,只要 a 与 b 同向,就有 = ,观察 |a| |b| |a| |b|

选项易知 C 满足题意. → → → 3. 已知 O 是△ABC 所在平面内一点,D 为 BC 边的中点,且 2OA+OB+OC=0,那么( → → A.AO=OD → → C.AO=3OD 答案 A → → → → → 解析 由 2OA+OB+OC=0 可知,O 是底边 BC 上的中线 AD 的中点,故AO=OD. → → → → → 4. 已知 D 为三角形 ABC 边 BC 的中点,点 P 满足PA+BP+CP=0,AP=λPD,则实数 λ 的值为________. 答案 -2 → → → → → 解析 如图所示,由AP=λPD,且PA+BP+CP=0,则 P 是以 AB、 → → AC 为邻边的平行四边形的第四个顶点,因此AP=-2PD,则 λ=-2. → → → 5. 设 a、b 是两个不共线向量,AB=2a+pb,BC=a+b,CD=a-2b, 若 A、B、D 三点共线,则实数 p 的值为________. 答案 -1 → → → 解析 ∵BD=BC+CD=2a-b, 又 A、B、D 三点共线, → → ∴存在实数 λ,使AB=λBD.
? ?2=2λ 即? ,∴p=-1. ?p=-λ ?

)

→ → B.AO=2OD → → D.2AO=OD

题型一 平面向量的概念辨析 例 1 给出下列命题: ①若|a|=|b|,则 a=b; → → ②若 A,B,C,D 是不共线的四点,则AB=DC是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件; ③若 a=b,b=c,则 a=c; ④a=b 的充要条件是|a|=|b|且 a∥b. 其中正确命题的序号是________. 思维启迪 正确理解向量的概念,向量共线和点共线的区别,向量相等的定义是解题关键.

答案 ②③ 解析 ①不正确.两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相同. → → → → → → ②正确.∵AB=DC,∴|AB|=|DC|且AB∥DC, 又∵A,B,C,D 是不共线的四点,∴四边形 ABCD 为平行四边形;反之,若四边形 ABCD 为平行四 → → → → → → → → 边形,则AB∥DC且|AB|=|DC|,因此,AB=DC.故“AB=DC”是“四边形 ABCD 为平行四边形”的充 要条件. ③正确.∵a=b,∴a,b 的长度相等且方向相同;又 b=c, ∴b,c 的长度相等且方向相同, ∴a,c 的长度相等且方向相同,故 a=c. ④不正确.当 a∥b 且方向相反时,即使|a|=|b|,也不能得到 a=b,故“|a|=|b|且 a∥b”不是“a=b” 的充要条件,而是必要不充分条件. 综上所述,正确命题的序号是②③. 思维升华 (1)相等向量具有传递性,非零向量的平行也具有传递性. (2)共线向量即为平行向量,它们均与起点无关. (3)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量.解题时,不要把它与函数图像的移动混为一谈. a a (4)非零向量 a 与 的关系: 是 a 方向上的单位向量. |a| |a| 给出下列命题: ①两个具有公共终点的向量,一定是共线向量. ②两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小. ③λa=0(λ 为实数),则 λ 必为零. ④λ,μ 为实数,若 λa=μb,则 a 与 b 共线. 其中错误命题的个数为 A.1 C.3 答案 C 解析 ①错误.两向量共线要看其方向而不是起点与终点. ②正确.因为向量既有大小,又有方向,故它们不能比较大小,但它们的模均为实数,故可以比较大 小. ③错误.当 a=0 时,不论 λ 为何值,λa=0. ④错误.当 λ=μ=0 时,λa=μb,此时,a 与 b 可以是任意向量. 题型二 平面向量的线性运算 例2 (1)如图,正方形 ABCD 中,点 E 是 DC 的中点,点 F 是 BC 的一个 B.2 D.4 ( )

→ 三等分点,那么EF等于 1→ 1 → A. AB- AD 2 3 1→ 1 → B. AB+ AD 4 2 1→ 1 → C. AB+ DA 3 2 1→ 2 → D. AB- AD 2 3

(

)

→ → → → → (2)在△ABC 中,AB=c,AC=b,若点 D 满足BD=2DC,则AD等于 2 1 A. b+ c 3 3 2 1 C. b- c 3 3 5 2 B. c- b 3 3 1 2 D. b+ c 3 3

(

)

思维启迪 结合图形性质,准确灵活运用三角形法则和平行四边形法则是向量加减法运算的关键. 答案 (1)D (2)A → → → 解析 (1)在△CEF 中,有EF=EC+CF. → 1→ 因为点 E 为 DC 的中点,所以EC= DC. 2 → 2→ 因为点 F 为 BC 的一个三等分点,所以CF= CB. 3 → 1 → 2 → 1→ 2 → 所以EF= DC+ CB= AB+ DA 2 3 2 3 1→ 2 → = AB- AD,故选 D. 2 3 → → → → → → → → (2)∵BD=2DC,∴AD-AB=BD=2DC=2(AC-AD), → → → ∴3AD=2AC+AB, → 2 → 1→ 2 1 ∴AD= AC+ AB= b+ c. 3 3 3 3 思维升华 (1)解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量,并能熟练运用相反向量将加减法相互转 化. (2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧:①观察各向量的位置;②寻找相应的三角形或多边 形;③运用法则找关系;④化简结果. → → → (1)已知 O,A,B 是平面上的三个点,直线 AB 上有一点 C,满足 2AC+CB=0,则OC等 于 → → A.2OA-OB → → B.-OA+2OB ( )

2→ 1→ C. OA- OB 3 3

1→ 2→ D.- OA+ OB 3 3 ( )

→ → → (2)设 P 是△ABC 所在平面内的一点,BC+BA=2BP,则 → → A.PA+PB=0 → → C.PB+PC=0 答案 (1)A (2)B → → → → → → 解析 (1)由 2AC+CB=0 得 2AO+2OC+CO+OB=0, → → → → → ∴OC=-2AO-OB=2OA-OB. → → → (2)如图,根据向量加法的几何意义有BC+BA=2BP?P 是 AC 的 → → 中点,故PA+PC=0. 题型三 共线向量定理及应用 例 3 设两个非零向量 a 与 b 不共线, → → → (1)若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b),求证:A、B、D 三点共线; (2)试确定实数 k,使 ka+b 和 a+kb 共线. 思维启迪 解决点共线或向量共线的问题,要结合向量共线定理进行. → → → (1)证明 ∵AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b), → → → ∴BD=BC+CD=2a+8b+3(a-b) → =2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5AB. → → ∴AB、BD共线,又∵它们有公共点 B, ∴A、B、D 三点共线. (2)解 ∵ka+b 与 a+kb 共线, ∴存在实数 λ,使 ka+b=λ(a+kb), 即 ka+b=λa+λkb.∴(k-λ)a=(λk-1)b. ∵a、b 是不共线的两个非零向量, ∴k-λ=λk-1=0,∴k2-1=0.∴k=± 1. → → B.PC+PA=0 → → → D.PA+PB+PC=0

思维升华 (1)证明三点共线问题,可用向量共线解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系, 当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线. (2)向量 a、b 共线是指存在不全为零的实数 λ1,λ2,使 λ1a+λ2b=0 成立,若 λ1a+λ2b=0,当且仅当 λ1 =λ2=0 时成立,否则向量 a、b 不共线. (1)在平行四边形 ABCD 中,AC 与 BD 相交于点 O,E 是线段 OD 的中点,AE 的延长线与

→ → → CD 交于点 F,若AC=a,BD=b,则AF等于 1 1 A. a+ b 4 2 1 1 C. a+ b 2 4 2 1 B. a+ b 3 3 1 2 D. a+ b 3 3

(

)

(2)已知向量 a、b、c 中任意两个都不共线,并且 a+b 与 c 共线,b+c 与 a 共线,那么 a+b+c 等于 ( A.a B.b C.c D.0 )

答案 (1)B (2)D → → → 解析 (1)如图,AF=AD+DF, 由题意知, DE∶BE=1∶3=DF∶AB, → 1→ ∴DF= AB, 3 11 1 2 1 → 1 1 ∴AF= a+ b+ ( a- b)= a+ b. 2 2 32 2 3 3 (2)∵a+b 与 c 共线,∴a+b=λ1c. 又∵b+c 与 a 共线,∴b+c=λ2a. 由①得:b=λ1c-a. ∴b+c=λ1c-a+c=(λ1+1)c-a=λ2a,
? ? ?λ1+1=0 ?λ1=-1 ∴? ,即? ,∴a+b+c=-c+c=0. ?λ2=-1 ?λ2=-1 ? ?

① ②

方程思想在平面向量的线性运算中的应用

→ 1→ → 1→ 典例:(12 分)如图所示,在△ABO 中,OC= OA,OD= OB,AD 与 BC 4 2 → → → 相交于点 M,设OA=a,OB=b.试用 a 和 b 表示向量OM. 思维启迪 (1)用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本要领,

要尽可能地转化到平行四边形或三角形中去. → → (2)既然OM能用 a、b 表示,那我们不妨设出OM=ma+nb. (3)利用向量共线建立方程,用方程的思想求解. 规范解答 解 → 设OM=ma+nb,

→ → → 则AM=OM-OA=ma+nb-a=(m-1)a+nb. 1 → → → 1→ → AD=OD-OA= OB-OA=-a+ b. 2 2 → → 又∵A、M、D 三点共线,∴AM与AD共线. → → ∴存在实数 t,使得AM=tAD, 1 ? 即(m-1)a+nb=t? ?-a+2b?. 1 ∴(m-1)a+nb=-ta+ tb. 2 m-1=-t ? ? ∴? t ? ?n=2 即 m+2n=1. 1 1 → → → m- ?a+nb, 又∵CM=OM-OC=ma+nb- a=? 4? 4 ? 1 1 → → → CB=OB-OC=b- a=- a+b. 4 4 又∵C、M、B 三点共线, → → ∴CM与CB共线. → → ∴存在实数 t1,使得CM=t1CB, 1? ? 1 ? ∴? ?m-4?a+nb=t1?-4a+b?, 1 1 ? ?m-4=-4t1 ∴? ,消去 t1 得,4m+n=1. ?n=t1 ? 1 3 由①②得 m= ,n= , 7 7 → 1 3 ∴OM= a+ b. 7 7 温馨提醒 [12 分] [10 分] [5 分] [3 分]

,消去 t 得,m-1=-2n, ① [7 分]



(1)本题考查了向量的线性运算,知识要点清晰,但解题过程复杂,有一定的难度.(2)易错点是,

找不到问题的切入口,想不到利用待定系数法求解.(3)数形结合思想是向量加法、减法运算的核心, 向量是一个几何量,是有“形”的量,因此在解决向量有关问题时,多数习题要结合图形进行分析、 判断、求解,这是研究平面向量最重要的方法与技巧.如本题易忽视 A、M、D 三点共线和 B、M、C 三点共线这个几何特征.(4)方程思想是解决本题的关键,要注意体会.

方法与技巧 1. 向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则,做题时,要注意三角形法则与平行四边形法则 的要素.向量加法的三角形法则要素是“首尾相接,指向终点”;向量减法的三角形法则要素是“起 点重合,指向被减向量”;平行四边形法则要素是“起点重合”. → → → → 2. 可以运用向量共线证明线段平行或三点共线.如AB∥CD且 AB 与 CD 不共线,则 AB∥CD;若AB∥BC, 则 A、B、C 三点共线. 失误与防范 1. 解决向量的概念问题要注意两点:一是不仅要考虑向量的大小,更重要的是要考虑向量的方向;二是 考虑零向量是否也满足条件.要特别注意零向量的特殊性. 2. 在利用向量减法时,易弄错两向量的顺序,从而求得所求向量的相反向量,导致错误.

A 组 专项基础训练 (时间:40 分钟) 一、选择题 1. 下列命题中正确的是 A.a 与 b 共线,b 与 c 共线,则 a 与 c 也共线 B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点 C.向量 a 与 b 不共线,则 a 与 b 都是非零向量 D.有相同起点的两个非零向量不平行 答案 C 解析 由于零向量与任一向量都共线,所以 A 不正确;由于数学中研究的向量是自由向量,所以两个 相等的非零向量可以在同一直线上,而此时就构不成四边形,所以 B 不正确;向量的平行只要求方向 相同或相反,与起点是否相同无关,所以 D 不正确;对于 C,其条件以否定形式给出,所以可从其逆 否命题入手来考虑,假设 a 与 b 不都是非零向量,即 a 与 b 中至少有一个是零向量,而由零向量与任 一向量都共线,可知 a 与 b 共线,符合已知条件,所以有向量 a 与 b 不共线,则 a 与 b 都是非零向量, 故选 C. → → → 2.已知AB=a+2b,BC=-5a+6b,CD=7a-2b,则下列一定共线的三点是 A.A、B、C C.B、C、D 答案 B → → → → → → 解析 BD=BC+CD=2a+4b=2AB?BD∥AB?A、B、D 三点共线. B.A、B、D D.A、C、D ( ) ( )

→ → → → → → 3.已知△ABC 和点 M 满足MA+MB+MC=0,若存在实数 m 使得AB+AC=mAM成立,则 m 等于 ( A.2 B.3 C.4 D.5 答案 B → → → 解析 由已知条件得MB+MC=-MA. 如图,因此延长 AM 交 BC 于 D 点,则 D 为 BC 的中点.延长 BM 交 AC 于 E 点,延长 CM 交 AB 于 F 点,同理可证 E、F 分别为 AC、 AB 的中点,即 M 为△ABC 的重心. → 2→ 1 → → → → → AM= AD= (AB+AC),即AB+AC=3AM,则 m=3. 3 3 → → → 4.已知点 O 为△ABC 外接圆的圆心,且OA+OB+OC=0,则△ABC 的内角 A 等于( A.30° 答案 B → → → 解析 由OA+OB+OC=0,知点 O 为△ABC 的重心, 又 O 为△ABC 外接圆的圆心, ∴△ABC 为等边三角形,A=60° . → → → 5.在△ABC 中,AB=2,BC=3,∠ABC=60° ,AD 为 BC 边上的高,O 为 AD 的中点,若AO=λAB+μBC, 则 λ+μ 等于 A.1 答案 D → → → → 1→ 解析 AD=AB+BD=AB+ BC, 3 → → 1→ → 1→ 1→ 2AO=AB+ BC,即AO= AB+ BC. 3 2 6 1 1 2 故 λ+μ= + = . 2 6 3 二、填空题 → → → 6.设向量 e1,e2 不共线,AB=3(e1+e2),CB=e2-e1,CD=2e1+e2,给出下列结论:①A,B,C 共线;②A, B,D 共线;③B,C,D 共线;④A,C,D 共线,其中所有正确结论的序号为________. 答案 ④ → → → → → → 解析 AC=AB-CB=4e1+2e2,BD=CD-CB=3e1, 由向量共线的充要条件 b=λa(a≠0)可得 A,C,D 共线,而其他 λ 无解. → → → → → 7.在?ABCD 中,AB=a,AD=b,AN=3NC,M 为 BC 的中点,则MN=____________.(用 a,b 表示) 1 B. 2 1 C. 3 2 D. 3 ( ) B.60° C.90° D.120° ) )

1 1 答案 - a+ b 4 4 → → 解析 由AN=3NC得 1 → 3→ 3 → AN= AC= (a+b),AM=a+ b, 4 4 2 → → → 所以MN=AN-AM 1 ? 3 1 1 = (a+b)-? ?a+2b?=-4a+4b. 4 → → → 1→ → 8.在△ABC 中,已知 D 是 AB 边上一点,若AD=2DB,CD= CA+λCB,则 λ=________. 3 答案 2 3 ① ②

→ → → 解析 由图知CD=CA+AD, → → → CD=CB+BD, → → 且AD+2BD=0. → → → ①+②×2 得:3CD=CA+2CB, 2 → 1→ 2→ ∴CD= CA+ CB,∴λ= . 3 3 3 三、解答题

9.已知向量 a=2e1-3e2,b=2e1+3e2,其中 e1、e2 不共线,向量 c=2e1-9e2.问是否存在这样的实数 λ、μ, 使向量 d=λa+μb 与 c 共线? 解 ∵d=λ(2e1-3e2)+μ(2e1+3e2)

=(2λ+2μ)e1+(-3λ+3μ)e2, 要使 d 与 c 共线,则应有实数 k,使 d=kc, 即(2λ+2μ)e1+(-3λ+3μ)e2=2ke1-9ke2,
?2λ+2μ=2k, ? 即? 得 λ=-2μ. ? ?-3λ+3μ=-9k,

故存在这样的实数 λ、μ,只要 λ=-2μ,就能使 d 与 c 共线. → 2→ 10.如图所示,在△ABC 中,D、F 分别是 BC、AC 的中点,AE= AD, 3 → → AB=a,AC=b. → → → → → (1)用 a、b 表示向量AD,AE,AF,BE,BF; (2)求证:B,E,F 三点共线. (1)解 延长 AD 到 G,

→ 1→ 使AD= AG, 2 连接 BG,CG,得到?ABGC, → 所以AG=a+b, → 1→ 1 AD= AG= (a+b), 2 2 → 2→ 1 → 1→ 1 AE= AD= (a+b),AF= AC= b, 3 3 2 2 1 → → → 1 BE=AE-AB= (a+b)-a= (b-2a). 3 3 1 → → → 1 BF=AF-AB= b-a= (b-2a). 2 2 → 2→ (2)证明 由(1)可知BE= BF, 3 因为有公共点 B,所以 B,E,F 三点共线. B 组 专项能力提升 (时间:30 分钟) → → → 1.设 O 在△ABC 的内部,D 为 AB 的中点,且OA+OB+2OC=0,则△ABC 的面积与△AOC 的面积的比 值为 A.3 答案 B 解析 ∵D 为 AB 的中点, → 1 → → 则OD= (OA+OB), 2 → → → → → 又OA+OB+2OC=0,∴OD=-OC, ∴O 为 CD 的中点, 又∵D 为 AB 中点, S△ABC 1 1 ∴S△AOC= S△ADC= S△ABC,则 =4. 2 4 S△AOC → → ? AB AC ? → → + 2.O 是平面上一定点,A、B、C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足:OP=OA+λ ? ,λ∈[0, → →? ?|AB| |AC|? +∞),则 P 的轨迹一定通过△ABC 的 A.外心 答案 B 解析 作∠BAC 的平分线 AD. B.内心 C.重心 ( ) B.4 C.5 D.6 ( )

D.垂心

→ → ? AB AC ? → → + ∵OP=OA+λ? , → →? ?|AB| |AC|? → → ? AB AC ? → + ∴AP=λ? → →? ?|AB| |AC|? → AD =λ′· (λ′∈[0,+∞)), → |AD| → λ′ → → → ∴AP= · AD,∴AP∥AD. → |AD| ∴P 的轨迹一定通过△ABC 的内心. 3.如图所示,在△ABC 中,点 O 是 BC 的中点.过点 O 的直线分别交直 → → → → 线 AB、AC 于不同的两点 M、N,若AB=mAM,AC=nAN,则 m+n 的值为________. 答案 2 解析 ∵O 是 BC 的中点, → 1 → → ∴AO= (AB+AC). 2 → → → → 又∵AB=mAM,AC=nAN, → m → n→ ∴AO= AM+ AN. 2 2 m n ∵M,O,N 三点共线,∴ + =1.则 m+n=2. 2 2 1 4.设 a,b 是两个不共线的非零向量,若 a 与 b 起点相同,t∈R,t 为何值时,a,tb, (a+b)三向量的终 3 点在一条直线上? 解 → → → 1 设OA=a,OB=tb,OC= (a+b). 3

→ → 若 A,B,C 三点共线,则有AB=λAC, → → → → ∴OB-OA=λ(OC-OA), 1 ∴tb-a=λ[ (a+b)-a]. 3 2 1 化简整理得,( λ-1)a=( λ-t)b, 3 3 3 1 ∵a 与 b 不共线,由平面向量基本定理得 λ= 且 t= . 2 2 1 1 故当 t= 时,a,tb, (a+b)三向量的终点在一条直线上. 2 3

→ → → 5.已知 O,A,B 是不共线的三点,且OP=mOA+nOB(m,n∈R). (1)若 m+n=1,求证:A,P,B 三点共线; (2)若 A,P,B 三点共线,求证:m+n=1. 证明 (1)若 m+n=1, → → → → → → 则OP=mOA+(1-m)OB=OB+m(OA-OB), → → → → ∴OP-OB=m(OA-OB), → → → → 即BP=mBA,∴BP与BA共线. → → 又∵BP与BA有公共点 B,则 A、P、B 三点共线, → → (2)若 A,P,B 三点共线,则存在实数 λ,使BP=λBA, → → → → ∴OP-OB=λ(OA-OB). → → → 又OP=mOA+nOB. → → → → 故有 mOA+(n-1)OB=λOA-λOB, → → 即(m-λ)OA+(n+λ-1)OB=0. → → ∵O,A,B 不共线,∴OA,OB不共线,
? ?m-λ=0, ∴? ∴m+n=1. ?n+λ-1=0, ?


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