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物理竞赛练习题 电磁学


物理竞赛练习题

《电场》

班级____________座号_____________姓名_______________

1、半径为 R 的均匀带电半球面,电荷面密度为 σ,求球心处的电场强度。
z P R θ O x ?E ?Ez y

2、有一均匀带电球体,半径为 R,球心为 P,单位体积内带电量为ρ,现在球体内挖一球 形空腔,空腔的球心为 S,半径为 R/2,如图所示,今有一带电量为 q,质量为 m 的质点 自 L 点(LS⊥PS)由静止开始沿空腔内壁滑动,不计摩擦和质点的重力,求质点滑动中速 度的最大值。

P

S L

1

3、在-d≤x≤d 的空间区域内,电荷密度ρ>0 为常量,其他区域均为真空。若在 x=2d 处 将质量为 m、电量为 q(q<0)的带电质点自静止释放。试问经多长时间它能到达 x=0 的位 置。
Ⅰ Ⅱ

-d

O

d

2d

x

4、一个质量为 M 的绝缘小车,静止在光滑水平面上,在小车的光滑板面上放一个质量为 m、带电量为+q 的带电小物体(可视为质点) ,小车质量与物块质量之比 M:m=7:1,物块 距小车右端挡板距离为 l,小车车长为 L,且 L=1.5l。如图所示,现沿平行于车身方向加 一电场强度为 E 的水平向右的匀强电场,带电小物块由静止开始向右运动,之后与小车右 挡板相碰,碰后小车速度大小为碰前物块速度大小的 1/4。设小物块滑动过程中及其与小 车相碰过程中,小物块带电量不变。 (1)通过分析与计算说明,碰撞后滑块能否滑出小车的车身? (2)若能滑出,求由小物块开始运动至滑出时电场力对小物块所做的功;若不能滑出,求 小物块从开始运动至第二次碰撞时电场力对小物块所做的功。
l

m、 +q

L

2

物理竞赛练习题

《电势和电势差》

班级____________座号_____________姓名_______________ 1、两个电量均为 q=3.0×10-8C 的小球,分别固定在两根不导电杆的一端,用不导电的线 系住这两端。将两杆的另一端固定在公共转轴 O 上,使两杆可以绕 O 轴在图面上做无摩 擦地转动,线和两杆长度均为 l=5.0cm。给这系统加上一匀强电场,场强 E=100kV/m,场 强方向平行图面且垂于线。 某一时刻将线烧断, 求当两个小球和转轴 O 在同一条直线上时, 杆受到的压力(杆的重力不计) 。
q l l q l O E

2、半径为 R 的半球形薄壳,其表面均匀分布面电荷密度为σ的电荷,求该球开口处圆面 上任一点的电势。
E下 O E上

3、如图所示,半径为 r 的金属球远离其他物体,通过 R 的电阻器接地。电子束从远处以 速度 v 落到球上, 每秒钟有 n 个电子落到球上。 试求金属球每秒钟释放的热量及球上电量。

r

R

3

4、 1995 年, 美国费米国家实验室 CDF 实验组和 D0 实验组在质子反质子对撞机 TEVATRON 的实验中,观察到了顶夸克,测得它的静止质量 m t =1.75×1011eV/C2 =3.1×10-25kg,寿命 τ=0.4×10-24s,这是近十几年来粒子物理研究最重要的实验进展之一。 (1)正反顶夸克之间的强相互作用势能可写为 V(r)= -4kas /3r, 式中 r 是正反顶夸克 之间的距离,as=0.319×10-25J·m,为估算正反顶夸克在彼此间的吸引力作用下绕它们的 连线的中点做匀速圆周运动,如能构成束缚状态,试用玻尔理论确定系统处于基态中正反 顶夸克之间的距离 r0,已知处于束缚状态的正反顶夸克满足量子化条件:
h ?r ? 2mv? 0 ? = n , n = 1, , … 23 2? 2π ?

式中 m? r0 ? 为一个粒子的动量 mv 与其轨道半径 r/2 的乘积, 为量子数, n h=6.63×10-34J· s ? ? 2? ? 为普朗克常量。 (2) 试求正反顶夸克在上述设想的基态中做匀速圆周运动的周期 T。 你认为正反夸克的这 种束缚状态能存在吗?

5、质子加速器使每个质子得到的动能为 Ek,很细的质子束从加速器射向一个远离加速器、 半径为 r 的金属球,球的中心并不处在加速器发射出的质子的运动方向的直线上,而距这 个直线的距离为 d,d<r。问在加速器工作足够长时间后能充到多高的电势?带电荷多少?

4

物理竞赛练习题

《电场中的导体和电介质》

班级____________座号_____________姓名_______________ 1、有一空气平行板电容器,极板面积为 S,与电池连接,极板上充有电荷+Q0 和-Q0,断 开电源后,保持两板间距离不变,在极板中部占极板间的一半体积的空间填满(相对) 介电常数为 ε 的电介质,如图所示,求: +Q0 (1)图中极板间 a 点的电场强度 Ea=? (2)图中极板间 b 点的电场强度 Eb=? (3)图中与电介质接触的那部分正极板上的电荷 Q1=? b a (4)图中与空气接触的那部分正极板上的电荷 Q2=? (5)图中与正极板接触的那部分介质界面上的极化电荷 Q1′ -Q0 =?

2、空间有两个带电导体,当它们互相靠近时,试证在两个导体中至少有一个导体,其表 面各处的电荷不会是异号的。

3、如图所示,一块相当大的金属平板 A 均匀带电,面电荷密度为 σ,现将相同的不带电金 属平板平行靠近 A,求 A、B 两板四个平面上的电荷分布。

+ + + +
A B

5

4、半径为 Ra 的导体球 A 外,同心地放置半径分别为 Rb、Rc(Rc>Rb)的导体球壳 B 和 C, 已知 A 的电势为 Ua,B 的净电荷为零,C 的净电荷为 Qc,试问: (1)用导线将 A 和 B 连接后,A 的电势增量ΔU1 为多少? (2)再用导线将 B 和 C 连接后,A 的第二次电势增量ΔU2 为多少?

5、一个半径为 a 的孤立带电金属丝环,其中心处电势为 U0,将此球靠近圆心为 O1、半径 为 b 的接地的导体球,只有球中心 O 位于球面上,如图所示,试求球上感应电荷的电 量。
O a

O1 b

6、如图所示,水平放置的导体薄板的半径为 R,在其轴线上离圆板中心 O 的距离为 a 的 A 处有一静止的点电荷 q,设 a<<R,整个系统离地相当远,忽略边缘效应。 (1)将圆形导体薄板接地,求板上的电荷分布。 (2)若将点电荷 q 沿轴线移向无穷远处,电场力做功多大? (3)若圆形导体薄板不接地且带有电量 Q,点电荷 q 仍然放在 A 处,求板面电荷的分 布情况?
q a O

6

物理竞赛练习题

《机械振动和波》

班级____________座号_____________姓名_______________ 1、一艘货轮质量 M=2×104T,浮在水面时其水平截面积为 S=2×103m2。设在水面附近货 轮的截面与船体高度无关,试证明此货轮在水中的铅直自由运动(不计水的阻力)是简谐 运动,并求自由振动的周期。

2、两根弹簧原长都是 0.2m,但具有不同的劲度系数 k1 和 k2,在光滑的水平面上,将这两 根弹簧连接在质量为 m 的物块(大小不计)的两端面上。两根支柱 P1 和 P2 与两弹簧外端 相距 m=0.1kg。 (1)如果把每根弹簧的外端固定在支柱 P1 和 P2 上,则物块到达新的平衡 位置,求这时每根弹簧的长度, (2)使物体离开新平衡位置 2cm 后释放,求物块振动的频 率和振动能量。

3、两轮的轴相互平行,相距 2d,两轮转速相同而转向相反,将质量为 m 的一根均质杆搁 在两轮上,杆与轮的动摩擦因数为 ?。若杆子的质心 C 起初距一轮较近,如图所示,试证 明杆作简谐运动,求其振动周期。
x o c A B

7

4、将一质量为 2T 的重物,系在钢丝绳上以速度 v0=5m/s 下降,若由于卷扬机发生故障, 致使钢丝绳上端突然轧住。此时,钢丝绳相当于劲度系数 k=4×106N/m 的弹簧,求因重物 的振动而引起的钢丝绳内的最大张力。

5、有一个质量为 m 的圆球从离地面高为 H 处自由下落,刚好落至下方长为 l 的劲度系数 为 k 的弹簧上端后,不再跳离弹簧,球和弹簧一起运动。求系统振动时的振幅和初相(弹 簧的质量可忽略) 。

6、将质量为 m 的盘子挂在一个劲度系数为 k 的轻质弹簧下端,盘静止不动,今有一质量 也为 m 的橡皮泥自距盘为 h 高处自由落下,与盘碰撞后粘在一起运动,求盘运动的最大速 度。

8

7、设想泉州和北京之间由一条笔直的地下铁道连接着。在两城市之间有一列火车飞驶, 火车仅仅由地球的引力作动力。试计算火车的最大速度和从福州到北京的时间。设两城市 之间的距离为 1500km,地球半径为 6400km,解题中可以忽略一切摩擦阻力的影响。

8、一个给定的弹簧在 60N 的拉力下伸长 30cm,质量为 4kg 的物体悬挂在此弹簧的下端并 使之静止。再把物体向下拉 10cm,然后释放。问: (1)当物体在平衡位置上方 5cm 处并向上运动时,物体的加速度多大?方向如何?此时 弹簧的拉力是多少? (2)物体人释放后到物体运动到平衡位置上方 5cm 处所需最短时间是多少?这时速度多 大? (3)如果在振动物体上再放一个小物体,此小物体是停在振动物体上面呢还是离开它?

9、如图所示为 t=0 时刻的波形图象,求: (1)O 点的振动方程, (2)波动方程, (3)x=1.2m 处的 P 点的振动方程, (4)标出 a、b 两点的运动方向, (5)用虚线画出 t=11.25s 时刻的 波图象。 (已知波向右传播,波速为 0.08m/s,振幅 A=0.04m)

10、如图所示,两个相距为 d 的相干波源 S1、S2,它们振动的相位相同,因而控测器在 S1、 S2 的垂直孤分线上距波源为 L 的地点 O 振动加强,若控测器往上移动,到距离 O 点为 h 的 P 点首次得到振动最弱。设 L>>d,L>>h,求波长 λ。

9

物理竞赛讲座
_____班

六种解综合难题的方法与技巧
座号_________ 姓名___________

一、微元法
(一)求变化的物理量 1、如图所示,一街灯与一竖直墙相距 R0=3m,灯罩上一个小孔将一光点水孤地投射于墙 上,灯罩匀速地绕一水平轴旋转,转速为 n=5/6 r/s,求光线与墙垂直以后再经过 0.1s 时光 点的速度。 (20π/3 m/s)
O

2、一段均匀的绳竖直地挂着,绳子的下端恰好触及水平桌面,如果把绳的下端放开,试 证明绳落下的任一时刻,绳作用于桌面的压力 3 倍于已经落到桌面上那部分的重力。

(二)求“累积过程” 4、如图所示,半径为 R 的圆弧形导体,其长度为圆周长的 5/6。现将其通以 a→c→b 方向 的恒定电流 I,若匀强磁场方向垂直该圆弧形导体平面向里,试求该通电导体所受安培力 的大小。
× × × ×

c
× ×


×

×

×

×

×

a
× × ×

b
×

5、有一直径为 3mm 的肥皂泡,其内部气体和外部气体的压强差等于多少?(肥皂液的表 面张力系数为 α= 4.0×10-2N/m)

10

二、等效法
(一)物理量的等效法 6、如图所示是一种记录地震装置的水平摆。摆球 m 固定在边长为 L、质量可略去不计的 等边三角形的顶角 A 上,它的对边 BC 跟竖直线成不大的夹角 α,摆球可绕固定轴 BC 摆 动, 求摆球作微小摆动时的周期。
B

α A C

7、将 200 个电阻连成如图所示的电路,所有导线电阻均忽略。现将一电动势为 ε0,内阻 为 r0 的电源接到两 P 点间, 然后将任一个未接电源的支路在 P 点间切断, 发现流过电阻的 电流与没有切断前一样。则对应的 Ri 与 ri 之比应满足什么关系?此时图中 AB 导线与 CD 导线间电压等于多少?(UAB=UCD=0)
A B R1 R2 R3 ………… r1 C r2 r3 D r100 R100

(二)参考系的“等效” 8、 一人站在高塔的顶端, 同时用相同的速率向四面八方抛出若干小球, 试求在任意时刻 t, 2 2 2 2 这些小球在空中将构成一个怎样的图形。 +y =v t ) (x

9、一个以加速度 a 水平向右运动的小车内置一倾角为 α 的光滑斜面。一物块置于斜面顶 端自由释放,若已知斜面高为 h,求物块滑至底端所需要的时间。

11

(三)物理过程的“等效” 10、一物体沿 x 轴在 x1=A 和 x2=-A 的区间作简谐振动,则物体在某微小区间 0≤x≤α 中概率是多少?

11、磁感应强度为 B 的去强磁场充满在半径为 R 的圆柱形体积内。有一金属棒长为 L,放 在磁场中,如图所示,设 B 随时间的变化率为ΔB/Δt=k。试求棒两端产生的感应电动势。

C
× ×

R
× ×

A

B

(四)物理模型的“等效” 12、一个半径为 R=5cm 的圆形线圈位于铅直平面内,如图所示,质量 m=1g 的小球系在 长度为 L 的绝缘线上,悬挂于线圈的最高处 M。当线圈(均匀地)和小球都带有 Q=9× 10-9C 的相同电量时,发现小球在垂直于线圈平面的对称轴上的 P 点处于平衡,求绝缘细 线的长度。
y M L O z P Fy Fx x F

12

13、试证明不存在如图所示的电场。

a

d E

b

c

(五)等效置换 14、一个半径为 r 的管子从盛水的容器伸出来,圆形铅板作为盖子封住管口,如图所示, 圆板的半径 R=4r,厚度为 h,水通过容器底的小孔 S 从容器里流出来。试问板上的水降 到多高时,上管口松开,水从管中流出?

15、如图所示,细金属圆环上有长为 ? l 的很小的缺口,环以水平速度 v 在匀强磁场中沿 水平面作无滑滚动,磁感应强度为 B,方向垂直纸面向里。试求当球转让到∠AOC=α 时, 环上两端间的感应电动势大小?

O v A l C

13

三、估算法
16、设河水对横停河中的大船侧弦能激起 2m 高的浪,试估算将要建设的拦河大坝单位面 积上受河水的冲击力。

17、欲测电阻 R 的阻值,现有几个标准电阻,一个电池和一只未经标定的电流计,形成如 图所示的电路。第一次与电流表并联的电阻 r 为 50.00Ω,电流表示数为 3.9 格;第二次 r 改用 100.00Ω,电流表的示数为 5.2 格;第三次 r 改用 10.00Ω,同时将待测电阻 R 换成一 个 20.00kΩ的标准电阻,结果电流表的示数为 7.8 格,已知电流表的示数与所通过的电流 成正比,求 R 的阻值。
A R r

E

S

18、一个密闭容器内盛有水(未满)处于平衡状态。已知水在 14℃时的饱和蒸气压为 120 mmHg。设水蒸气碰到水面时都变成水。气体分子的平均速率与气体的热力学温度的平方 根成正比。试近似计算在 100℃和 14℃时,单位时间内通过一个单位水面的蒸发变为水蒸 气的分子数之比 n100∶n14 等于多少?(取一位有效数字即可)

14

四、图像法
19、试分析一定质量理想气体在(1)体积膨胀的等压过程中; (2)压强减小的等容过程 中,是吸热还是放热。
p

V o

五、极值问题的分析法
(一)物理分析法求极值 20、如图一个质量为 m 的小球拴在一根不能伸它的细线上,线的另一端固定,让小球由水 平位置从静止开始自由摆下,摆长为 L,如图所示,求小球在摆下到达最低点的过程中运 动速度的竖直方向分量为最大时的 θ 角(θ 为摆线与竖直方向的夹角) 。
L θ T Tcosθ m

mg

mg

21、如图所示,用细线把质量为 M 的圆环挂起来,环上套有两个质量均为 m 的小环,它 们可以在大环上无摩擦地滑动。若两个小环同时从大环顶部由静止开始向两边滑下,试证 明:如果 m>3M/2,则大环会升起,并求大环开始上升时的角度 θ。

T

N

θθ M Mg

15


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