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【步步高】(浙江专用)2017年高考数学 专题八 解析几何 第70练 直线与圆锥曲线练习


【步步高】 (浙江专用)2017 年高考数学 专题八 解析几何 第 70 练 直线与圆锥曲线练习
训练目标 会判断直线与圆锥曲线的位置关系,能熟练应用直线与圆锥曲线的位置关系解 决有关问题. (1)求曲线方程;(2)求参数范围;(3)长度、面积问题;(4)与向量知识交汇应 用问题. 联立直线与曲线方程,转化为二次方程问题,再利用根与系数的关系转化为代 数式、方程组、不等式组,结合已知条件解决具体问题.

训练题型

解题策略

1.已知椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0),其焦点为 F1,F2,离心率为

x2 y2 a b

2 ,直线 l:x+2y-2=0 与 2

x 轴,y 轴分别交于点 A,B,
(1)若点 A 是椭圆 E 的一个顶点,求椭圆的方程; (2)若线段 AB 上存在点 P 满足|PF1|+|PF2|=2a,求 a 的取值范围.

2.(2015·重庆巫溪中学第五次月考)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的一个焦点与抛物线 y

x2 y2 a b

2

=-4x 的焦点相同, 且椭圆 C 上一点与椭圆 C 的左、 右焦点 F1, F2 构成的三角形的周长为 2 2 +2. (1)求椭圆 C 的方程; (2)若直线 l:y=kx+m(k,m∈R)与椭圆 C 交于 A,B 两点,O 为坐标原点,△AOB 的重心 G 5 → → 满足:F1G·F2G=- ,求实数 m 的取值范围. 9

1

x2 y2 3 3.(2015·北海模拟)已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的离心率 e= ,连接椭圆的四个顶点得到 a b 2
的菱形的面积为 4. (1)求椭圆的方程; (2)设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A,B,已知点 A 的坐标为(-a,0),点 Q(0,y0)在线段

AB 的垂直平分线上,且QA·QB=4,求 y0 的值.

→ →

4.(2015·山东莱芜一中 1 月自主考试)已知椭圆 E 的长轴的一个端点是抛物线 y =4 5x 的 焦点,离心率是 6 . 3

2

(1)求椭圆 E 的标准方程; (2)已知动直线 y=k(x+1)与椭圆 E 相交于 A,B 两点,且在 x 轴上存在点 M,使得 M A ·M B 与 k 的取值无关,试求点 M 的坐标.





5.(2015·浙江新阵地教育研究联盟联考)已知中心在原点的椭 圆 Γ 1 的右焦点和抛物线 Γ 2 的焦点相同,为(1,0),椭圆 Γ 1 的 1 离心率为 ,抛物线 Γ 2 的顶点为原点,如图所示. 2 (1)求椭圆 Γ 1 和抛物线 Γ 2 的方程; (2)设点 P 为抛物线 Γ 2 准线上的任意一点, 过点 P 作抛物线 Γ 的两条切线 PA,PB,其中 A,B 为切点. ①设直线 PA,PB 的斜率分别为 k1,k2,求证:k1k2 为定值; ②若直线 AB 交椭圆 Γ 1 于 C,D 两点,S△PAB,S△PCD 分别是△PAB,△PCD 的面积,试问: 否有最小值?若有,求出最小值;若没有,请说明理由.
2

S△PAB 是 S△PCD

2

6.(2015·辽宁五校联考)设抛物线 C1:y =4x 的准线与 x 轴交于 1 点 F1,焦点为 F2,以 F1,F2 为焦点,离心率为 的椭圆记作 C2. 2 (1)求椭圆的标准方程; (2)直线 L 经过椭圆 C2 的右焦点 F2,与抛物线 C1 交于 A1,A2 两点, 与椭圆 C2 交于 B1, B2 两点, 当以 B1B2 为直径的圆经过 F1 时, 求|A1A2| 的长; (3)若 M 是椭圆上的动点,以 M 为圆心,MF2 为半径作圆 M,是否存在定圆 N,使得圆 M 与圆 N 恒相切?若存在,求出圆 N 的方程;若不存在,请说明理由.

2

3

答案解析 2 ,得 a= 2c, 2

1.解 (1)由椭圆的离心率为 ∵直线 l 与 x 轴交于 A 点,

∴A(2,0),∴a=2,c= 2,b= 2, ∴椭圆方程为 + =1. 4 2 (2)由 e=
2

x2 y2

2 x 2y ,可设椭圆 E 的方程为 2+ 2 =1, 2 a a
2

2

2

x 2y ? ? 2+ 2 =1, 联立?a a ? ?x+2y-2=0,
得 6y -8y+4-a =0, 若线段 AB 上存在点 P 满足|PF1|+|PF2|=2a, 则线段 AB 与椭圆 E 有公共点, 等价于方程 6y -8y+4-a =0 在 y∈[0,1]上有解. 设 f(y)=6y -8y+4-a ,
? ?Δ ≥0, ∴? ?f(0)≥0, ?
2 2 2 2 2 2

4 ? ?a2≥ , 3 即? ? ?4-a2≥0,

4 2 ∴ ≤a ≤4, 3 2 3 故 a 的取值范围是 ≤a≤2. 3

2.解

?c=1, (1)依题意得?2a+2c=2 2+2, ?a =b +c ,
2 2 2

即?

?a =2, ? ? ?b =1,
2

2

所以椭圆 C 的方程为 +y =1. 2 (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2), 联立得方程组?
? ?y=kx+m, ?x +2y -2=0, ?
2 2 2 2 2

x2

2

消去 y 并整理得(1+2k )x +4kmx+2m -2=0,

4

? -4km ? x +x = , 1 +2k 则? 2m -2 ? ?x x =1+2k ,
1 2 2 2 1 2 2

Δ >0? 1+2k >m (*), ①

2

2

设△AOB 的重心为 G(x,y), 5 → → 由F1G·F2G=- , 9 4 2 2 可得 x +y = .② 9 由重心公式可得 G(
2

x1+x2 y1+y2
3 , 3
2

),代入②式,

整理可得(x1+x2) +(y1+y2) =4 ? (x1+x2) +[k(x1+x2)+2m] =4,③ (1+2k ) 将①式代入③式并整理,得 m = 2 , 1+4k
2 2 2 2 2

代入(*)得 k≠0, (1+2k ) 4k 4 则m= . 2 =1+ 2=1+ 1+4k 1+4k 4 1 2+ 4
2 2 2 4

k

k

1 2 2 ∵k≠0,∴t= 2>0,∴t +4t>0,∴m >1,

k

∴m∈(-∞,-1)∪(1,+∞). 3.解 (1)由 e= =
2 2 2

c a

3 , 2
2 2

得 3a =4c ,再由 c =a -b , 得 a=2b,由题意可知 1 ×2a×2b=4,即 ab=2, 2 解方程组?
?a=2b, ? ?ab=2, ?

得?

?a=2, ? ?b=1. ?

故椭圆的方程为 +y =1. 4 (2)由(1)可知 A(-2,0),且直线 l 的斜率一定存在, 设 B 点的坐标为(x1,y1),直线 l 的斜率为 k, 则直线 l 的方程为 y=k(x+2),

x2

2

5

y=k(x+2), ? ? 2 于是 A,B 两点的坐标满足方程组?x 2 +y =1, ? ?4
由方程组消去 y,并整理得 (1+4k )x +16k x+(16k -4)=0, 由根与系数的关系, 16k -4 得-2x1= 2 , 1+4k 2-8k 4k 于是 x1= 2,从而 y1= 2, 1+4k 1+4k 设线段 AB 的中点为 M, 8k 2k 则 M 的坐标为(- 2, 2), 1+4k 1+4k 以下分两种情况讨论: ①当 k=0 时,点 B 的坐标是(2,0), 线段 AB 的垂直平分线为 y 轴, 于是 Q A =(-2,-y0),Q B =(2,-y0), 由 Q A ·Q B =4, 得 y0=±2 2. ②当 k≠0 时,线段 AB 的垂直平分线的方程为
2 2 2 2 2 2 2









y-

2k 1 8k 2=- (x+ 2). 1+4k k 1+4k

2

6k 令 x=0,解得 y0=- 2. 1+4k 由 Q A =(-2,-y0),Q B =(x1,y1-y0), 得 Q A ·Q B =-2x1-y0(y1-y0) -2(2-8k ) 6k 4k 6k = + 2 2( 2+ 2) 1+4k 1+4k 1+4k 1+4k = 4(16k +15k -1) =4. 2 2 (1+4k )
2 4 2 2

→ →





整理,得 7k =2, 故 k=± 14 , 7

2 14 从而 y0=± , 5

6

2 14 综上,y0=±2 2或 y0=± . 5 4.解 (1)抛物线 y =4 5x 的焦点坐标为( 5,0), 根据条件可知椭圆的焦点在 x 轴上,且 a= 5, 因为离心率 e= 所以 c=ea=
2 2 2

6 , 3

6 30 × 5= , 3 3 10 5- = 3 5 , 3

故 b= a -c =

故椭圆 E 的标准方程为 + =1. 5 5 3 (2)将 y=k(x+1)代入 x +3y =5, 得(3k +1)x +6k x+3k -5=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),M(m,0), 6k 3k -5 则 x1+x2=- 2 ,x1x2= 2 , 3k +1 3k +1 →
2 2 2 2 2 2 2 2

x2 y2

→ MA·M B =(x1-m,k(x1+1))·(x2-m,k(x2+1))
=(k +1)x1x2+(k -m)(x1+x2)+k +m
2 2 2 2 2 2

3k -5 6k 2 2 2 2 =(k +1) 2 +(k -m)(- 2 )+k +m 3k +1 3k +1 (6m-1)k -5 2 =m + 2 3k +1 1 6m+14 2 =m +2m- - . 2 3 3(3k +1) 要使上式与 k 无关,则有 6m+14=0, 7 解得 m=- , 3 7 所以点 M 的坐标为(- ,0). 3 5.(1)解 设椭圆 Γ 1 和抛物线 Γ 2 的方程分别为
2

x2 y2 2 + =1(a>b>0),y =2px(p>0), a2 b2 c 1 p 由题意得 = ,c=1, =1, a 2 2
即 a=2,c=1,p=2,

7

所以椭圆 Γ 1 的方程为 + =1, 4 3 抛物线 Γ 2 的方程为 y =4x. (2)①证明 设 P(-1,t),过点 P 与抛物线 y =4x 相切的直线方程为 y-t=k(x+1). 由?
? ?y-t=k?x+1?, ?y =4x, ?
2 2 2

x2 y2

4 4t 2 消去 x 整理得 y - y+ +4=0,

k

k

1 t 由Δ =0 得 2- -1=0,

k

k

即 k +tk-1=0,则 k1k2=-1,为定值. ②解 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 2 2 由①得 y1= ,y2= ,

2

k1

k2

1 1 则 x1= 2,x2= 2,

k1

k2

直线 AB 的方程为 y-y1= 即 y=- 2 (x-1),

y2-y1 (x-x1), x2-x1

k1+k2

即直线 AB 过定点(1,0), 设 P 到直线 AB 的距离为 d,

d·|AB| S△PAB 2 |AB| = = . S△PCD 1 |CD| d·|CD|
2

1

a.当直线 AB 的斜率存在时,
设直线 AB 的方程为 y=k(x-1). 设 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),
? ?y =4x, 由? ?y=k(x-1), ?
2

消去 y 并整理,得 k x -(2k +4)x+k =0,

2 2

2

2

k≠0 时,Δ >0 恒成立.
|AB|= (1+k )(x2-x1) = = 4(1+k ) . 2
2 2 2 2 16+16k (1+k ) 4 2

k

k

8

x y ? ? + =1, 由? 4 3 ? ?y=k(x-1),
消去 y 并整理,得(3+4k )x -8k x+4k -12=0, Δ >0 恒成立. |CD|= (1+k )(x3-x4) = 4(1+k ) 所以
2 k2 S△PAB 3+4k 1 4 4 = 2 = 2 = 2+ > . S△PCD 12(1+k ) 3k k 3 3 2 3+4k 2 2 2 2 2 2 2

2

2

144+144k 12(1+k ) (1+k ) 2 2 = 2 . (3+4k ) 3+4k
2

2

2

b.当直线 AB 的斜率不存在时,直线 AB 的方程为 x=1,
此时,|AB|=4,|CD|=3,

S△PAB 4 = , S△PCD 3
综上可知,

S△PAB 4 的最小值为 . S△PCD 3
2

6.解 (1)抛物线 C1:y =4x,准线 x=-1,F1(-1,0),F2(1,0).

c 1 因为离心率 e= = ,得 c=1,a=2,b= 3, a 2
所以所求椭圆的方程: + =1. 4 3 3 3 (2)当直线 L 与 x 轴垂直时,B1(1, ),B2(1,- ), 2 2 又 F1(-1,0), → → 此时B1F1·B2F1≠0, 所以以 B1B2 为直径的圆不经过 F1,不满足条件. 当直线 L 不与 x 轴垂直时,设 L:y=k(x-1),

x2 y2

y=k(x-1), ? ? 2 2 由?x y + =1, ? ?4 3
得(3+4k )x -8k x+4k -12=0, 因为焦点在椭圆内部,所以直线与椭圆恒有两个交点. 设 B1(x1,y1),B2(x2,y2), 8k 4k -12 则 x1+x2= 2,x1x2= 2 . 3+4k 3+4k 因为以 B1B2 为直径的圆经过 F1,
9
2 2 2 2 2 2

→ → 所以B1F1·B2F1=0, 又 F1(-1,0), 所以(-1-x1)(-1-x2)+y1y2=0, 即(1+k )x1x2+(1-k )(x1+x2)+1+k =0. 9 2 解得 k = . 7
? ?y =4x, 由? ?y=k(x-1), ?
2 2 2 2

得 k x -(2k +4)x+k =0.

2 2

2

2

因为直线 L 与抛物线有两个交点,所以 k≠0. 设 A1(x3,y3),A2(x4,y4), 2k +4 4 则 x3+x4= 2 =2+ 2,x3x4=1,
2

k

k

所以|A1A2|=x3+x4+p 4 64 =2+ 2+2= . k 9 (3)存在定圆 N,使得圆 M 与圆 N 恒相切, 其方程为:(x+1) +y =16, 圆心是左焦点 F1, 由椭圆的定义可知:|MF1|+|MF2|=2a=4, 所以|MF1|=4-|MF2|, 所以两圆相内切.
2 2

10


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