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吉林省扶余市第一中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学(文)试题

扶余市第一中学 2015—2016 学年度上学期期中考试 高二数学 (文科)

第 I 卷(选择题共 60 分) 一、选择题(给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.每小题 5 分,共 60 分) 1. △ABC 中,a=3,b= 7 ,c=2,那么 B 等于 A.30° B.45° C.60° D. 120°

2. 不等式(x—1)(2—x)≥0 的解集是 A.

?x x ? 1, 或x ? 2?

B.

?x 1   <x<2?

C.

?x 1   ? x ? 2?

D.

?x x<1, 或x>2?

3. 在△ABC 中,周长为 7.5cm,且 sinA:sinB:sinC=4:5:6,下列结论: ①a :b:c ? 4:5:6 ③ a ? 2cm, b ? 2.5cm, c ? 3cm 其中成立的个数是( A.0 个 ) C.2 个 D.3 ②a:b:c ? 2: 5 : 6 ④ A: B :C ? 4:5:6

B.1 个

4. 数列 1,3,6,10,?的一个通项公式是 A. n ? n ? 1
2

B.

n( n ? 1) 2

C.

n( n ? 1) 2

D. 2

n ?1

?3

5. 已知等差数列{ an }中, a2 ? a8 ? 8 ,则该数列前 9 项和 s9 等于 A.18 B.27 C.36 D.45

6. 已知正数 x、y 满足 A.18

8 1 ? ? 1 ,则 x ? 2 y 的最小值是 x y
C.8 ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 D.10

B.16

7. “ x = y ”是“x=y”的( A.充分不必要条件 C.充要条件
2

8. 不等式 x +ax+4<0 的解集为空集,则 a 的取值范围是 A. [-4,4] B. (-4,4)

C. (-∞,-4]∪[4,+∞) D. (-∞,-4)∪(4,+∞) 9. 在平面直角坐标系中,可表示满足不等式 x
2

? y 2 ? 0 的点( x, y )的集合(用阴影部

分来表示)的是(



10. 下列命题为特称命题的是 A.偶函数的图像关于 y 轴对称 B.正四棱柱都是平行六面体 C.不相交的两条直线是平行直线 D.存在实数大于 3

?x ? y ? 1 ? 11. 设 x,y 满足 ? y ? x ,则 z ? 4 x ? y 的最大值是 ?y ? 0 ?
A. 3 B.4 C.5 D .6

12. 设 x>0,那么 3 ? A.最大值 1

1 ? x有 x
C.最大值 5 第 II 卷 D.最小值 ? 5

B.最小值 1

二 填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 已知数列{ an }的前n 项和 sn ? n2 ? n ? 1 ,则 a8 ? a9 ? a10 ? a11 ? a12 =________ 14. 若点(2,1)和(4,3)在直线 2x ? 3 y ? a ? 0 的两侧,则 a 的取值范围是

15. 已知 x>0,y>0 且 x≠y,且 x+y=4,则 xy 与 4 的大小关系是 ____________.

16. 若 a ? 0, b ? 0, a ? b ? 2 , 则 下 列 不 等 式 对 一 切 满 足 条 件 的 a , b 恒 成 立 的 是 (写出所有正确命题的编号) ① ab ? 1 ; ② a ? b ? 。

2 ; ③ a 2 ? b 2 ? 2 ; ④ a 3 ? b3 ? 3 ;



1 1 ? ?2 a b

三.解答题:

(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(本题满分 10 分 ) 已知数列 ?an ? 的通项公式为 an ? pn ? q ,其中 p, q 为常数,那么这个数列一定是等差数列

吗?证明你的结论。 18. (本题满分 12 分) 设 x>—1,求 y ?

( x ? 5)( x ? 2) 的最小值。 x ?1

19. (本题满分 12 分) 已知 a, b, c 分别为 ?ABC 三个内角 A, B, C 的对边, a cos C ? 3a sin C ? b ? c ? 0 (1)求 A (2)若 a ? 2 , ?ABC 的面积为 3 ;求 b, c .

20. (本题满分 12 分) 给定两个命题 :

>0 恒 成 立 ; Q : 关 于 P : 对 任 意 实 数 x 都 有 ax ? ax ? 1
2

x 的方程

x 2 ? x ? a ?0 有实数根;如果 P 与 Q 中有且仅有一个为真命题,求实数 a 的取值范围.

21. (本题满分 12 分) 已知数列{ an }是等差数列,其前 n 项和为 s n , a3 ? 6 , s3 ? 12 . (1)求数列{ an }的通项公式; (2)求 s n .

22. (本题满分 12 分) 如下图,互相垂直的两条公路 AP 、 AQ 旁有一矩形花园 ABCD ,现欲将其扩建成一个更大 的三角形花园 AMN ,要求点 M 在射线 AP 上,点 N 在射线 AQ 上,且直线 MN 过点 C , 其中 AB ? 36 米, AD ? 20 米. 记三角形花园 AMN 的面积为 S .

(Ⅰ)问: DN 取何值时, S 取得最小值,并求出最小值;

(Ⅱ)若 S 不超过 1764 平方米,求 DN 长的取值范围.

高二数学期中考试参考答案(文) 一、选择题 1 C 2 C 3 C 4 B 5 C 6 A 7 B 8 A 9 D 10 D 11 B 12 A

二、填空题 13 .100 16①③⑤ 17.解析:取数列 ?an ? 中的任意相邻两项 an与an?1 (n>1). 求差得 14 . ?1 ? a ? 1 15 . xy ? 4

an ? an ?1 ? ( pn ? q) ? ? p(n ? 1) ? q ? ? pn ? q ? ( pn ? p ? q) ? p
它是一个与 n 无关的数,所以 ?an ? 是等差数列 18.解析:? x >-1,∴x+1 >0, 设 x+1=t>0,则 x=t-1,于是有

y?

(t ? 4)(t ? 1) t 2 ? 5t ? 4 4 4 ? ? t ? ?5? 2 t? ?5 ? 9 t t t t
4 ,即 t=2 时取等号,此时 x=1. t
∴当 x=1 时,函数取得最小值是 9.

当且仅当 t=

19. 解析:1)由正弦定理得:

a cos C ? 3a sin C ? b ? c ? 0 ? sin A cos C ? 3 sin A sin C ? sin B ? sin C
? sin A cos C ? 3 sin A sin C ? sin(a ? C ) ? sin C ? 3 sin A ? cos A ? 1 ? sin( A ? 30? ) ? ? A ? 30? ? 30? ? A ? 60?
(2) S ?

1 2

1 bc sin A ? 3 ? bc ? 4 2

a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ? b ? c ? 4
所以 b=c=2

2 20. 对任意实数 x 都有 ax ? ax ? 1 ? 0 恒成立 ? a ? 0或?

?a ? 0 ?? ? 0
1 4

解得: 0 ? a ? 4

2 关于 x 的方程 x ? x ? a ? 0 有实数根 ? 1 ? 4a ? 0 ? a ?

1 1 ? ?a?4 4 4 1 如果 Q 正确,且 P 不正确,有 a ? 0或a ? 4, 且a ? ? a ? 0 4
如果 P 正确,且 Q 不正确,有 0 ? a ? 4, 且a ?

1 ? 所以实数 a 的取值范围为 ?? ?,0? ? ? ? ,4 ? . ?4 ?

?a1 ? 2d ? 6 ? ? 3? 2 3a1 ? d ? 12 ? ? ? a 2 21. 解: (1)设数列 n 的公差为d,由题意得方程组 ? ,解得
?a1 ? 2 ? ?d ? 2 ,∴数列 ?an ? 的通项公式为 an ? a1 ? (n ? 1)d ? 2n ,即 an ? 2n .

a ? 2n ,∴ (2)∵ n

Sn ?

n(a1 ? a n ) ? n(n ? 1) 2 .

22. 解: (1)设 DN ? x 米( x ? 0 ) ,则 AN ? x ? 20 . 因为

DN AN x x ? 20 36( x ? 20) ? ? ,所以 ,即 AM ? . DC AM 36 AM x
???????????4 分

1 18( x ? 20) 2 所以 S ? ? AM ? AN ? 2 x
? 18( x ?

400 ? 40)≥1440 ,当且仅当 x ? 20 时取等号. x
???????????8 分

所以, S 的最小值等于 1440 平方米. (2)由 S ?

18( x ? 20) 2 ≤1764 得 x 2 ? 58 x ? 400≤0 . ???????10 分 x
所以, DN 长的取值范围是 [8, 50] .

解得 8≤x≤50 .


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