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大学物理电磁学复习题含答案


习题八 8-1 电量都是 q 的三个点电荷, 分别放在正三角形的三个顶点. 试问: (1) 在这三角形的中心放一个什么样的电荷,就可以使这四个电荷都达到平 衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三 角形的边长有无关系?? 解: 如题 8-1 图示 (1) 以 A 处点电荷为研究对象,由力平衡知: q ? 为负电荷
2 1 q2 1 cos 30 ? ? 4 π? 0 a 2 4 π? 0 qq? 3 a) 2 3

8-2 两小球的质量都是 m , 都用长为 l 的细绳挂在同一点, 它们带有相同 电量,静止时两线夹角为2 ? ,如题8-2图所示.设小球的半径和线的质 量都可以忽略不计,求每个小球所带的电量.? 解: 如题 8-2 图示
T cos? ? mg ? ? 1 q2 ?T s in ? ? F ? e ? 4 π? 0 ( 2l s in ? ) 2 ?

(

解得 q ? 2l sin ? 4?? 0 mg tan? 8-3 根据点电荷场强公式 E ?
q ,当被考察的场点距源点电荷很近 4?? 0 r 2

解得 (2)与三角形边长无关.

q? ? ?

3 q 3

(r→0)时,则场强→∞,这是没有物理意义的,对此应如何理解?? 解:
? E? q ? r0 仅对点电荷成立,当 r 4 π? 0 r 2

? 0 时,带电体不能再视为点电

荷,再用上式求场强是错误的,实际带电体有一定形状大小,考虑电荷 在带电体上的分布求出的场强不会是无限大. 8-4 在真空中有 A , B 两平行板,相对距离为 d ,板面积为 S ,其带电 量分别为+ q 和- q .则这两板之间有相互作用力 f ,有人说 f = 题 8-1 图 题 8-2 图 又有人说,因为 f = qE , E
? q ?0S
q2 4?? 0 d 2

,

,所以 f =

q2 ?0S

.试问这两种说法对吗?

为什么? f 到底应等于多少?? 解: 题中的两种说法均不对.第一种说法中把两带电板视为点电荷是不 对的,第二种说法把合场强 E
? q

?0S

看成是一个带电板在另一带电板处
? q 2? 0 S

的场强也是不对的.正确解答应为一个板的电场为 E 它的作用力
q2 f ?q ? 2? 0 S 2? 0 S q

,另一板受 题 8-5 图 题 8-6 图

,这是两板间相互作用的电场力.

? ? 8-5 一电偶极子的电矩为 p ? ql ,场点到偶极子中心O点的距离为 r ,矢

8-6 长 l =15.0cm?的直导线AB上均匀地分布着线密度

? ? 量 r 与 l 的夹角为 ? ,(见题8-5图),且 r ?? l .试证P点的场强 E 在 r 方向
上的分量 E r 和垂直于 r 的分量 E? 分别为 E r = p cos? , E? = p sin ?3 2?? 0 r 3 4?? 0 r

? =5.0x10-9C·m-1?的正电荷.试求:(1)在导线的延长线上与导线B端相
距 a1 =5.0cm处 P 点的场强;(2)在导线的垂直平分线上与导线中点相距
d 2 =5.0cm 处 Q 点的场强.?

? ? ? 证: 如题 8-5 所示, p 分解为与 r 平行的分量 p sin? 和垂直于 r 的分量 将
p sin? .

解:

如题 8-6 图所示

∵ ∴ 场点 P 在 r 方向场强分量

(1)在带电直线上取线元 dx ,其上电量 dq 在 P 点产生场强为
r ?? l
dE P ? 1 ?dx 4 π? 0 ( a ? x) 2

Er ?

p cos? 2 π? 0 r 3

EP ?

? dE
?

P

?

? 4 π? 0
[ 1

?

l 2 l ? 2

dx (a ? x) 2

?
4 π? 0

垂直于 r 方向,即 ? 方向场强分量
E0 ? p s in? 4 π? 0 r 3

l a? 2

?

1 a? l 2

]

?

?l π? 0 ( 4a 2 ? l 2 )

用 l ? 15 cm , ?

? 5.0 ? 10 ?9 C ? m ?1 ,

a ? 12.5 cm 代入得

E P ? 6.74 ? 10 2 N ? C ?1

方向水平向右

dq ? ?dl ? R?d? ,它在 O 点产生场强大小为
dE ?

(2)同理? dEQ ?

1 ?dx 2 4π? 0 x ? d 2 2

方向如题 8-6 图所示

?R d ? 4 π? 0 R 2

方向沿半径向外
?
4 π? 0 R

? 由于对称性 ? dE Qx ? 0 ,即 E Q 只有 y 分量,
l



dE x ? dE s in ? ?

s in ?d?
?? cos?d? 4 π? 0 R



dE Qy ?

1 ?d x 4 π? 0 x 2 ? d 2 2
d 2? 4 π? 2

dE y ? dE cos ( ? ? ) ? ?

d
2

2

x ? d2 2
l 2 l ? 2

积分 E
dx ?d )
2 2 3 2

x

?

?

?

?
4 π? 0 R

0

s in ?d? ?

?
2 π? 0 R

E Qy ?

? dE
l

Qy

?

?

(x

2

Ey ?

?

?

0

?? cos?d? ? 0 4 π? 0 R

?

?l
2 π? 0 l
2


? 4d
2 2

E ? Ex ?

?
2 π? 0 R

,方向沿 x 轴正向.

以 ? ? 5.0 ? 10 ?9 C ? cm ?1 , l ? 15 cm , d 2 ? 5 cm 代入得
EQ ? E Qy ? 14 .96 ? 10 2 N ? C ?1 ,方向沿

8-8 均匀带电的细线弯成正方形,边长为 l ,总电量为 q .(1)求这正方形 轴线上离中心为 r 处的场强 E ;(2)证明:在 r ?? l 处,它相当于点电荷 q 产生的场强 E .? 解: 如 8-8 图示,正方形一条边上电荷 大小为
dE P ?

y 轴正向

8-7

一个半径为 R 的均匀带电半圆环, 电荷线密度为 ? ,求环心处 O 点的

场强. 解: 如 8-7 图在圆上取 dl ? Rd?

? q 在 P 点产生物强 dE P 方向如图, 4

? ?cos? 1 ? cos? 2 ?
4 π? 0 r2 ? l2 4

∵ 题 8-7 图

c o ?1 ? s

l 2 r2 ? l2 2

cos? 2 ? ? cos? 1



dE P ? 4 π? 0

?
r2 ? l 4
2

l r2 ? l 2
2

一个顶点上,这时穿过立方体各面的电通量是多少?*(3)如题8-9(3)图所 示,在点电荷 q 的电场中取半径为R的圆平面. q 在该平面轴线上的 A 点 处,求:通过圆平面的电通量.( ? ? arctan
? ? q 解: (1)由高斯定理 ? E ? dS ? s ?0

? dE P 在垂直于平面上的分量 dE ? ? dE P cos ?

R )? x


dE ? ? 4 π? 0

?l
r2 ? l2 4 r2 ? l2 2

r r2 ? l2 4

立方体六个面,当 q 在立方体中心时,每个面上电通量相等 ∴ 各面电通量 ? e ? q .
6? 0

(2)电荷在顶点时, 将立方体延伸为边长 2a 的立方体, q 处于边长 2a 的 使 立方体中心,则边长 2a 的正方形上电通量 ? 题 8-8 图 由于对称性, P 点场强沿 OP 方向,大小为
E P ? 4 ? dE? ? 4?lr 4π ? 0 ( r 2 ? l2 l2 ) r2 ? 4 2
e

?

q 6? 0

对于边长 a 的正方形,如果它不包含 q 所在的顶点,则 ? e 如果它包含 q 所在顶点则 ? e ? 0 .

?

q 24? 0



∵ ∴
qr 4 π? 0 ( r 2 ?

??

q 4l

EP ?

方向沿 OP
2

如题 8-9(a)图所示.题 8-9(3)图

l l ) r 2? 4 2

2

8-9

(1)点电荷 q 位于一边长为a的立方体中心, 试求在该点电荷电场中 题 8-9(a)图 题 8-9(b)图 题 8-9(c)图

穿过立方体的一个面的电通量;(2)如果该场源点电荷移动到该立方体的

(3)∵通过半径为 R 的圆平面的电通量等于通过半径为 R 2 ? x 2 的球冠面 的电通量,球冠面积*
S ? 2 π ( R 2 ? x 2 )[1 ? x R2 ? x2 ]

8-11

半径为 R1 和 R2 ( R2 > R1 )的两无限长同轴圆柱面,单位长度上分

别带有电量 ? 和- ? ,试求:(1) r < R1 ;(2) R1 < r < R2 ;(3) r > R2 处各点 的场强. ]
? ? 解: 高斯定理 ? E ? dS ?
s



??

? 0 4π( R ? x )
2 2

q0

S

?

q [ 1? 2? 0

x R2 ? x2

?q
?0

*关于球冠面积的计算:见题 8-9(c)图

取同轴圆柱形高斯面,侧面积 S ? 2πrl 则 对(1) (2) ∴ (3) ∴
E?

S ? ? 2πr sin? ? rd?
0

?

? E ? dS ? E 2πrl
S

?

?

? 2πr 2 ? sin? ? d?
0

?

r ? R1 R1 ? r ? R2

? q ? 0, E ? 0 ? q ? l?

? 2πr 2 (1 ? cos? )

8-10

均匀带电球壳内半径6cm,外半径10cm,电荷体密度为2×

10 ?5 C·m-3求距球心5cm,8cm ,12cm 各点的场强.

? 2 π? 0 r

沿径向向外
r ? R2

解: 高斯定理

? ? ? E ? dS ?
s

? q , E 4 πr
?0

2

?

?q
?0

?q ? 0

? 当 r ? 5 cm 时, ? q ? 0 , E ? 0

E?0

r ? 8 cm 时, ? q ? p

E ?

?

4π r3 3 4 π? 0 r 2

?

4π 3 3 (r ? r内 ) 3 ?r ? ? 3.48 ? 10
2 内

4

N ? C ?1 ,

方向沿半径向外. 题 8-12 图

r ? 12 cm 时, ? q ? ?

E ?

?

4π 3 r外 ? r 3 内 3 4 π? 0 r 2

?

?

4π 3 3 (r外 ? r内) 3
N ? C ?1

? 4.10 ? 10 4

沿半径向外.

8-12

两个无限大的平行平面都均匀带电,电荷的面密度分别为 ? 1 和

? 2 ,试求空间各处场强.?
解: 如题 8-12 图示, 两带电平面均匀带电, 电荷面密度分别为 ? 1 与 ? 2 ,

? (2) ? ? 在 O? 产生电场 E

10?

4 ?d 3 ? ? 3 OO ' 4π ? 0 d 3

? 1 ? 两面间, E ? (? 1 ? ? 2 )n 2? 0

? ? ? 球在 O? 产生电场 E 20? ? 0

∴ O? 点电场

? ? OO ' E 0? ? 3? 0

? 1 面外, E ? ?

?

1 ? (? 1 ? ? 2 )n 2? 0

? 2 面外, E ?

?

1 ? (? 1 ? ? 2 )n 2? 0

? n :垂直于两平面由 ? 1 面指为 ? 2 面.
8-13 半径为 R 的均匀带电球体内的电荷体密度为 ? ,若在球内挖去一

题 8-13 图(a)

题 8-13 图(b)

? ? (3)设空腔任一点 P 相对 O? 的位矢为 r ? , 相对 O 点位矢为 r (如题 8-13(b)
图) 则
? ? ?r E PO ? 3? 0

块半径为 r < R 的小球体,如题8-13图所示.试求:两球心 O 与 O? 点的 场强,并证明小球空腔内的电场是均匀的. 解: 将此带电体看作带正电 ? 的均匀球与带电 ? ? 的均匀小球的组合,

, ,
?

? ? ?r ? E PO? ? ? 3? 0

见题 8-13 图(a).
? (1) ? ? 球在 O 点产生电场 E10 ? 0 ,
? ? ? 球在 O 点产生电场 E 4 πr 3 ? ? 3 OO ' 4 π? 0 d 3



? ? ? E P ? E PO ? E PO? ?

? ? ? ? ?d ( r ? r ?) ? OO ' ? 3? 0 3? 0 3? 0

∴腔内场强是均匀的. 8-14 一电偶极子由 q =1.0×10-6C?的两个异号点电荷组成,两电荷距

20



? O 点电场 E 0

r3? ? OO ' ; 3? 0 d 3

离d=0.2cm, 把这电偶极子放在1.0×105N·C-1?的外电场中, 求外电场作 用于电偶极子上的最大力矩.??

解:

? ? ∵ 电偶极子 p 在外场 E 中受力矩
? ? ? M ? p?E

UO ?
UO ?

q q 1 ( ? )?0 R R 4 π? 0

q q 1 q ( ? ) ?? R 4 π? 0 3R 6 π? 0 R



代入数字 M max ? pE ? q l E
M max ? 1.0 ? 10 ?6 ? 2 ? 10 ?3 ? 1.0 ? 10 5 ? 2.0 ? 10 ?4 N ? m

∴ 8-17

A ? q0 (U O ? U C ) ?

qo q 6π ? 0 R

如题8-17图所示的绝缘细线上均匀分布着线密度为 ? 的正电荷,

8-15

两点电荷 q1 =1.5×10-8C,q 2 =3.0×10-8C,相距 r1 =42cm,要把它

两直导线的长度和半圆环的半径都等于 R .试求环中心 O 点处的场强和 电势.? 解: (1)由于电荷均匀分布与对称性, AB 和 CD 段电荷在 O 点产生的场

们之间的距离变为 r2 =25cm,需作多少功?? 解:
A?

?

r2

r 1

? ? F ?dr ?

?

r2

r2

q1q2 dr qq 1 1 ? 1 2 ( ? ) 4π ? 0 r 2 4π ? 0 r1 r2

? ?6.55 ? 10 ?6 J

强互相抵消,取 dl ? Rd?
? 则 dq ? ?Rd? 产生 O 点 dE 如图,由于对称性, O 点场强沿 y 轴负方向

外力需作的功 A? ? ? A ? ?6.55 ? 10 ?6 J

题 8-16 图 8-16 如题8-16图所示,在 A , B 两点处放有电量分别为+ q ,- q 的点电
E ?

题 8-17 图
? dE
y

荷, AB 间距离为2 R ,现将另一正试验点电荷 q 0 从 O 点经过半圆弧移到
C 点,求移动过程中电场力作的功.?

?? 2 ?
? 2

?

?Rd? cos? 4 π? 0 R 2

?

?
4 π? 0 R

[ s in(? ? ) ? sin ? ]
2

2

解:

如题 8-16 图示

?

?? 2 π? 0 R

(2) AB 电荷在 O 点产生电势,以 U ? ? 0
U1 ?

解: ∴ 8-20

平行板电容器内部近似为均匀电场
U ? Ed ? 1.5 ? 10 4 V ? ? 根据场强 E 与电势 U 的关系 E ? ??U ,求下列电场的场强:(1)

?

A

B

?dx ? 4 π? 0 x

?

2R

R

?dx ? ? ln 2 4 π? 0 x 4 π? 0

同理 CD 产生 半圆环产生 ∴ 8-18

U2 ? U3 ?

? ln 2 4 π? 0
πR? ? ? 4 π? 0 R 4? 0

点电荷 q 的电场;(2)总电量为 q ,半径为 R 的均匀带电圆环轴上一点;
ln 2 ?

U O ? U1 ? U 2 ? U 3 ?

?
2π ? 0

?
4? 0

*(3)偶极子 p ? ql 的 r ?? l 处(见题8-20图).?

一电子绕一带均匀电荷的长直导线以2×104m·s-1的匀速率作圆周 解: (1)点电荷
U? q 4 π? 0 r
? r0 为 r 方向单位矢量.

运动.求带电直线上的线电荷密度.(电子质量 m0 =9.1×10-31kg,电子电 量 e =1.60×10-19C) 解: 设均匀带电直线电荷密度为 ? ,在电子轨道处场强
E ? 2 π? 0 r

题 8-20 图



? ?U ? q ? E?? r0 ? r0 ?r 4π? 0 r 2

?

(2)总电量 q ,半径为 R 的均匀带电圆环轴上一点电势
U ? q 4 π? 0 R2 ?x2

电子受力大小 ∴ 得 8-19
? ?

Fe ? eE ?

e? 2 π? 0 r

e? v2 ? m 2 π? 0 r r


C ? m ?1

2 π? 0 mv 2 ? 12 .5 ? 10 ?13 e

? ?U ? qx E ?? i ? ?x 4 π? 0 R 2 ? x 2

?

?

3/ 2

? i

? ? (3)偶极子 p ? ql 在 r ?? l 处的一点电势
U ? q [ 4 π? 0 (r ? 1 1 ql cos? ? ]? l l 4 π? 0 r 2 cos? ) (1 ? cos? ) 2 2

空气可以承受的场强的最大值为 E =30kV·cm-1,超过这个数值时 ∴

空气要发生火花放电.今有一高压平行板电容器,极板间距离为
d =0.5cm,求此电容器可承受的最高电压.?

Er ? ?

?U pc o? s ? ?r 2 π? 0 r 3

E? ? ?

1 ?U p s in ? ? r ?? 4 π? 0 r 3

8-21 证明:对于两个无限大的平行平面带电导体板(题8-21图)来说,(1) 相向的两面上,电荷的面密度总是大小相等而符号相反;(2)相背的两面 上,电荷的面密度总是大小相等而符号相同.? 证: 如题 8-21 图所示,设两导体 A 、 B 的四个平面均匀带电的电荷面 密度依次为 ? 1 , ? 2 , ? 3 , ? 4

又∵ ∴

? 2 ? ?3 ? 0

?1 ? ? 4

说明相背两面上电荷面密度总是大小相等,符号相同. 8-22 三个平行金属板 A , B 和 C 的面积都是200cm2, A 和 B 相距

4.0mm, A 与 C 相距2.0 mm. B , C 都接地,如题8-22图所示.如果使

A 板带正电3.0×10-7C,略去边缘效应,问 B 板和 C 板上的感应电荷各是
多少?以地的电势为零,则 A 板的电势是多少? 解: 如题 8-22 图示,令 A 板左侧面电荷面密度为 ? 1 ,右侧面电荷面密度 题 8-21 图 (1)则取与平面垂直且底面分别在 A 、 B 内部的闭合柱面为高斯面时,有 为? 2

? E ? dS ? (?
s

?

?

2

? ? 3 )?S ? 0



? 2 ? ?3 ? 0
题 8-22 图 (1)∵ ∴
? 2? 0

说明相向两面上电荷面密度大小相等、符号相反; (2)在 A 内部任取一点 P ,则其场强为零,并且它是由四个均匀带电平面 产生的场强叠加而成的,即
2? 0

U AC ? U AB ,即 E AC d AC ? E AB d AB
E ?1 d ? AC ? AB ? 2 ?2 E AB d AC

?1

?

2? 0

?2

?3

?

2? 0

?4

? 0



且 得 而
?2 ?
qA , 3S

? 1 +? 2

?

qA S
2q A 3S

题 8-23 图

?1 ?

qC ? ?? 1 S ? ?

2 q A ? ?2 ? 10 ?7 3

C

U ?

?

?

R2

? ? E ? dr ?

?

?

R2

qdr q ? 4 π? 0 R 4 π? 0 r 2

qB ? ?? 2 S ? ?1?10 ?7 C

(2) 8-23

U A ? E AC d AC

? ? 1 d AC ? 2.3 ? 10 3 V ?0

(2)外壳接地时,外表面电荷 ? q 入地,外表面不带电,内表面电荷仍为

两个半径分别为 R1 和 R2( R1 < R2 )的同心薄金属球壳, 现给内球

? q .所以球壳电势由内球 ? q 与内表面 ? q 产生:
U ? q 4 π? 0 R2 ? q 4 π? 0 R2 ?0

壳带电+ q ,试计算:? (1)外球壳上的电荷分布及电势大小;?

(3)设此时内球壳带电量为 q ? ;则外壳内表面带电量为 ? q? ,外壳外表面 带电量为 ? q ? q ? (电荷守恒),此时内球壳电势为零,且

(2)先把外球壳接地,然后断开接地线重新绝缘,此时外球壳的电荷分布
UA ?

及电势;? *(3)再使内球壳接地,此时内球壳上的电荷以及外球壳上的电势的改变

q' q' ? q ? q' ? ? ?0 4 π? 0 R1 4 π? 0 R2 4 π? 0 R2

得 外球壳上电势

q? ?

R1 q R2

量.?
UB ?

解: (1)内球带电 ? q ;球壳内表面带电则为 ? q ,外表面带电为 ? q ,且均 8-24 匀分布,其电势

?R1 ? R2 ?q q' q' ? q ? q' ? ? ? 2 4 π? 0 R2 4 π? 0 R2 4 π? 0 R2 4 π? 0 R2

半径为 R 的金属球离地面很远,并用导线与地相联,在与球心相

距为 d ? 3R 处有一点电荷+ q ,试求:金属球上的感应电荷的电量. 解: 如题 8-24 图所示, 设金属球感应电荷为 q ? , 则球接地时电势 U O ? 0



此时小球 1 与小球 2 间相互作用力
3 2 q q ' q" 8 F1 ? ? 2 4 π? 0 r 4 π? 0 r ? 3 F0 8

2

8-24 图 由电势叠加原理有:
UO ?
q' q ? ?0 4 π? 0 R 4 π? 0 3R

(2)小球 3 依次交替接触小球 1 、 2 很多次后,每个小球带电量均为 ∴ 小球 1 、 2 间的作用力 F
2 2 q q 4 ? 3 3 2 ? F0 4 π? 0 r 9

2q . 3

2



q? ? ?

q 3

*8-26 如题8-26图所示,一平行板电容器两极板面积都是S,相距为 d , 分别维持电势 U A = U ,U B =0不变. 现把一块带有电量 q 的导体薄片平行 地放在两极板正中间,片的面积也是S,片的厚度略去不计.求导体薄片

8-25 有三个大小相同的金属小球,小球1,2带有等量同号电荷,相距甚 远,其间的库仑力为 F0 .试求: (1)用带绝缘柄的不带电小球3先后分别接触1,2后移去,小球1,2之间

的电势. 解: 依次设 A , C , B 从上到下的 6 个表面的面电荷密度分别为 ? 1 , ? 2 ,

的库仑力; (2)小球3依次交替接触小球1, 2很多次后移去, 小球1, 2之间的库仑力. ? 解: 由题意知
q2 F0 ? 4 π? 0 r

? 3 , 4 , ? 5 , ? 6 如图所示. ? 由静电平衡条件, 电荷守恒定律及维持 U AB ? U
可得以下 6 个方程

2

(1)小球 3 接触小球 1后,小球 3 和小球 1均带电
q? ? q , 2

小球 3 再与小球 2 接触后,小球 2 与小球 3 均带电
q ?? ? 3 q 4

题 8-26 图

? ?? 1 ? ? 2 ? ?? ? ? 4 ? 3 ? ?? ? ? 6 ? 5 ?? ? ? 3 ? 2 ?? 4 ? ? 5 ? ?? 1 ? ? 2

?

? U qA 1 ? C 0U ? 0 S S d q ? S ? U qB ? ?? 0 S d ?0
?0

(1)介质内 ( R1 ? r ? R2 ) 场强
? D ? ? ? ? Qr Qr , E内 ? 3 4 πr 4 π? 0 ? r r 3

;

介质外 (r ? R2 ) 场强
? D ? ? ? Qr Qr , E外 ? 3 4 πr 4 π? 0 r 3

??3 ??4 ??5 ??6
q 2S

解得

?1 ? ? 6 ?

(2)介质外 (r ? R2 ) 电势
? q 2S
q 2S
U ?

? 2 ? ?? 3 ?

? 0U
d

?

?

r

? ? E外 ? d r ?

Q 4 π? 0 r

? 4 ? ?? 5 ?

? 0U
d

?

介质内 ( R1 ? r ? R2 ) 电势
E2 ?

所以 CB 间电场
U ??
? r

? ? ? ? ? E内 ? dr ? ? E外 ? dr
r

?4 U q ? ? d 2? 0 S ?0

U C ? U CB ? E 2

d 1 qd ? (U ? ) 2 2 2? 0 S ? q 1 1 Q ( ? )? 4 π? 0 ? r r R2 4 π? 0 R2

注意:因为 C 片带电,所以 U C ? U ,若 C 片不带电,显然 U C ? U
2

2
?

8-27

在半径为 R1 的金属球之外包有一层外半径为 R2 的均匀电介质球 (3)金属球的电势
U ?

? ?1 Q 1 ( ? r ) 4 π? 0 ? r r R2

壳,介质相对介电常数为 ? r ,金属球带电 Q .试求: (1)电介质内、外的场强; (2)电介质层内、外的电势; (3)金属球的电势.
? ? 解: 利用有介质时的高斯定理 ? D ? dS ? ? q
S

?

R2

R1

? ? E内 ? d r ?

?
2

?

R2

? ? E外 ? d r
?

?

?

R2

Qdr 4π? 0 ? r r

R

??

R2

Qdr 4 π? 0 r 2

?

Q 4 π? 0 ? r

(

? ?1 1 ? r ) R1 R2

8-28 如题8-28图所示, 在平行板电容器的一半容积内充入相对介电常数

为 ? r 的电介质.试求:在有电介质部分和无电介质部分极板上自由电荷 面密度的比值.
? ? 解: 如题 8-28 图所示,充满电介质部分场强为 E 2 ,真空部分场强为 E1 ,

带等量异号电荷 Q 和- Q 时,求: (1)在半径 r 处( R1 < r < R2 =,厚度为dr,长为 l 的圆柱薄壳中任一点的 电场能量密度和整个薄壳中的电场能量; (2)电介质中的总电场能量; (3)圆柱形电容器的电容.

自由电荷面密度分别为 ? 2 与 ? 1 由 ? D ? dS ? ? q 0 得
D1 ? ? 1 , D2 ? ? 2
? ?

解: 取半径为 r 的同轴圆柱面 (S ) 则 当 ( R1 ? r ? R2 ) 时, ? q ? Q ∴ (1)电场能量密度 薄壳中
dW ? wd? ?



D1 ? ? 0 E1 , D2 ? ? 0? r E2

? D ? dS
(S )

?

?

? 2πr l D

E1 ? E2 ?

U d



? 2 D2 ? ? ?r ? 1 D1

D ?

Q 2 πrl

w?

D2 Q2 ? 2 2? 8π ?r 2 l 2

Q2 Q 2 dr 2 rdrl ? π 8 2?r 2l 2 π 4π ?rl

(2)电介质中总电场能量
W ?

? dW ? ?
V

R2

R1

R Q 2 dr Q2 ? ln 2 4 π?rl 4 π?l R1
Q2 2C

题 8-28 图 8-29

题 8-29 图

(3)电容:∵ ∴ *8-30
C ?

W ?

两个同轴的圆柱面,长度均为 l ,半径分别为 R1 和 R2 ( R2 > R1 ),

Q2 2 π?l ? 2W l n R2 / R1 ) (

且 l >> R2 - R1 , 两柱面之间充有介电常数 ? 的均匀电介质.当两圆柱面分别

金属球壳 A 和 B 的中心相距为 r , 和 B 原来都不带电. 现在 A 的 A

中心放一点电荷 q1 ,在 B 的中心放一点电荷 q 2 ,如题8-30图所示.试求: (1) q1 对 q 2 作用的库仑力, q 2 有无加速度; (2)去掉金属壳 B ,求 q1 作用在 q 2 上的库仑力,此时 q 2 有无加速度. 解: (1) q1 作用在 q 2 的库仑力仍满足库仑定律,即
F? 1 q1 q 2 4π? 0 r 2

其上电荷 Q23 ? Q1 ∴
U2 ? Q23 CU 25 ? 50 ? 1 1 ? C 23 C 23 35
25 ) ? 86 35

U AB ? U 1 ? U 2 ? 50 (1 ?

V

8-32 C1 和 C 2 两电容器分别标明“200 pF、500 V”和“300 pF、900 V”, 把它们串联起来后等值电容是多少?如果两端加上1000 V?的电压,是 否会击穿? 解: (1) C1 与 C 2 串联后电容
C? ? C1C 2 200 ? 300 ? ? 120 C1 ? C 2 200 ? 300

但 q 2 处于金属球壳中心,它受合力为零,没有加速度. ..
1 q1 q 2 (2)去掉金属壳 B , 1 作用在 q 2 上的库仑力仍是 F ? , 但此时 q 2 q 4π? 0 r 2 受合力不为零,有加速度.

pF

(2)串联后电压比
U1 C 3 ? 2 ? ,而 U 1 U2 C1 2

? U 2 ? 1000

题 8-30 图 8-31

题 8-31 图



U 1 ? 6 0 0V , U 2? 400 V

如题8-31图所示,C1 =0.25 ? F,C 2 =0.15 ? F,C 3 =0.20 ? F .C1

即电容 C1 电压超过耐压值会击穿,然后 C 2 也击穿. 8-33 将两个电容器 C1 和 C 2 充电到相等的电压 U 以后切断电源, 再将每

上电压为50V.求: U AB . 解: 电容 C1 上电量
Q1 ? C1U1

一电容器的正极板与另一电容器的负极板相联.试求: (1)每个电容器的最终电荷; (2)电场能量的损失.

电容 C 2 与 C 3 并联 C 23 ? C 2 ? C3

解: 如题 8-33 图所示,设联接后两电容器带电分别为 q1 , q 2

解: 如图,内球带电 Q ,外球壳内表面带电 ? Q ,外表面带电 Q

题 8-33 图 则 ? q1 ?
?q1 ? q 2 ? q10 ? q 20 ? C1U ? C 2U ? ? q2 ?U 1 ? U 2 ? ? C1U 1 C 2U 2

题 8-34 图 (1)在 r ? R1 和 R2 ? r ? R3 区域

解得

(1) q1 ?

C1 (C1 ? C 2 ) C 2 (C1 ? C 2 ) U , q2 ? U C1 ? C 2 C1 ? C 2

? E?0

(2)电场能量损失
?W ? W0 ? W
?( 1 C1U 2
2

在 R1 ? r ? R2 时
r ? R3 时
? 1 C 2U 2
2

? E1 ?

? Qr 4 π? 0 r 3
? Qr 4 π? 0 r 3

? E2 ?

)?(

2 2 q1 q2 ? ) 2C1 2C 2

∴在 R1 ? r ? R2 区域
W1 ?

?

2C1C 2 U2 C1 ? C 2

?

R2

R1

1 Q ?0 ( ) 2 4 πr 2 dr 2 4 π? 0 r 2

8-34 半径为 R1 =2.0cm 的导体球,外套有一同心的导体球壳,壳的内、 外半径分别为 R2 =4.0cm和 R3 =5.0cm, 当内球带电荷 Q =3.0×10-8C?时, 求: (1)整个电场储存的能量; (2)如果将导体壳接地,计算储存的能量; (3)此电容器的电容值. ∴ 总能量 在 r ? R3 区域
W2 ?

?

?

R2

R1

Q 2 dr Q2 1 1 ? ( ? ) 2 8π? 0 R1 R2 8π? 0 r

?

?

R3

1 Q Q2 1 ?0 ( ) 2 4 πr 2 dr ? 2 8π? 0 R3 4 π? 0 r 2
Q2 1 1 1 ( ? ? ) 8π? 0 R1 R2 R3

W ? W1 ? W2 ?

? 1.82 ? 10 ?4 J

(2)导体壳接地时,只有 R1 ? r ? R2 时 E ?

?

? Qr , W ? 0 2 4 π? 0 r 3



W ? W1 ?

Q2 1 1 ( ? ) ? 1.01 ? 10 ? 4 8π? 0 R1 R2

J

(3)电容器电容

C ?

2W 1 1 ? 4 π? 0 /( ? ) R1 R2 Q2

? 4.49 ? 10 ?12 F


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