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标题-2017-2018学年高中数学三维设计人教A版浙江专版必修4:第二章 2.5 平面向量应用举例

平面向量应用举例 预习课本 P109~112,思考并完成以下问题. (1)利用向量可以解决哪些常见的几何问题? (2)如何用向量方法解决物理问题? (3)如何判断多边形的形状? [新知初探] 1.用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” (1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题 转化为向量问题; (2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题; (3)把运算结果“翻译”成几何关系. 2.向量在物理中的应用 (1)物理问题中常见的向量有力、速度、位移等. (2)向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解中. (3)动量 mv 是向量的数乘运算. (4)功是力 F 与位移 s 的数量积. [小试身手] 1.若向量 OF1 =(2,2), OF2 =(-2,3)分别表示两个力 F1,F2,则|F1+F2|为( A.(0,5) C.2 2 答案:D B.(4,-1) D.5 ???? ? ???? ? ) BC =0, BC = AD ,则四边形 ABCD 是( 2.在四边形 ABCD 中, AB · A.直角梯形 C.矩形 B.菱形 D.正方形 ???? ???? ???? ???? ) 答案:C 3.力 F=(-1,-2)作用于质点 P,使 P 产生的位移为 s=(3,4),则力 F 对质点 P 做的 功是________. 答案:-11 向量在几何中的应用 题点一:平面几何中的垂直问题 1.如图所示,在正方形 ABCD 中,E,F 分别是 AB,BC 的中点,求证:AF⊥DE. 证明:法一:设 AD =a, AB =b, 则|a|=|b|,a· b=0, ???? ???? ???? ??? ? ???? 1 又 DE = DA + AE =-a+ b, 2 ???? ???? ???? 1 AF = AB + BF =b+2a, ???? ???? ???? 1 ? 1 1 3 1 2 1 2 1 2 b+ a? · -a+ b? =- a2 - a· AF ⊥ 所以 AF ·DE = ? b + b =- | a | + | b | = 0. 故 2 ? ? 2 ?? 2 4 2 2 2 ???? DE ,即 AF⊥DE. 法二:如图,建立平面直角坐标系,设正方形的边长为 2,则 A(0,0),D(0,2),E(1,0), F(2,1), AF =(2,1), DE =(1,-2). ???? ???? DE =(2,1)· 因为 AF · (1,-2)=2-2=0, 所以 AF ⊥ DE ,即 AF⊥DE. ???? ???? ???? ???? 题点二:平面几何中的平行(或共线)问题 CE AF 2. 如图,点 O 是平行四边形 ABCD 的中心,E,F 分别在边 CD,AB 上,且ED=FB= 1 . 2 求证:点 E,O,F 在同一直线上. 证明:设 AB =m, AD =n, CE AF 1 由ED=FB= ,知 E,F 分别是 CD,AB 的三等分点, 2 ???? ???? ???? ??? ? ???? 1 ??? ? 1 ???? ∴ FO = FA + AO = BA + AC 3 2 1 1 1 1 =- m+ (m+n)= m+ n, 3 2 6 2 ???? ???? ??? ? 1 ???? 1 ??? ? OE = OC + CE =2 AC +3 CD 1 1 1 1 = (m+n)- m= m+ n. 2 3 6 2 ∴ FO = OE . 又 O 为 FO 和 OE 的公共点,故点 E,O,F 在同一直线上. 题点三:平面几何中的长度问题 3.如图,平行四边形 ABCD 中,已知 AD=1,AB=2,对角线 BD=2,求对角线 AC 的长. 解:设 AD =a, AB =b,则 BD =a-b, AC =a+b, 而| BD |=|a-b|= a2-2a· b+b2= 1+4-2a· b= 5-2a· b=2, ???? ???? ???? ???? ???? ???? ???? ???? ???? ???? ???? 1 ∴5-2a· b=4,∴a· b= ,又| AC |2=|a+b|2=a2+2a· b+b2=1+4+2a· b=6,∴| AC | 2 = 6,即 AC= 6. 用向量方法解决平面几何问题的步骤 向量在物理中的应用 [典例] (1)在长江南岸某渡口处,江水以 12.5 km/h 的速度向东流,渡船的速度为 25 km/h.渡船要垂直地渡过长江,其航向应如何确定? (2)已知两恒力 F1=(3,4),F2=(6,-5)作用于同一质点,使之由点 A(20,15)移动到点 B(7,0),求 F1,F2 分别对质点所做的功. [解] (1) 如图,设 AB 表示水流的速度, AD 表示渡船的速度, AC 表示渡船实际垂 ???? ???? ???? 直过江的速度. 因为 AB + AD = AC ,所以四边形 ABCD 为平行四边形. 在 Rt△ACD 中, ∠ACD=90°, | DC |=| AB |=12.5, | AD |=25, 所以∠CAD=30°, 即渡船要垂直地渡过长江, 其航向应为北偏西 30°. (2)设物体在力 F 作用下的位移为 s,则所做的功为 W=F· s. ???? ???? ???? ???? ???? ???? ∵ AB =(7,0)-(20,15)=(-13,-15). ∴W1=F1· (-13,-15) AB =(3,4)· =3×(-13)+4×(-15)=-99(焦), W2=F2·AB =(6,-5)· (-13,-15) =6×(-13)+(-5)×(-15)=-3(焦). [一题多变] 1.[变设问]本例(2)条件不变,求 F1,F2 的合力

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