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2016年全国高考卷文科数学试题及答案新课标1word版


2016 年全国高考新课标 1 卷文科数学试题
第Ⅰ卷 一、选择题,本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设集合 A={1,3,5,7},B={x|2≤x≤5},则 A∩B=( ) A.{1,3} B.{3,5} C.{5,7} D.{1,7} 2.设(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等,其中 a 为实数,则 a=( ) A.-3 B.-2 C .2 D. 3 3.为美化环境,从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 种花种在一个花坛中, 余下的 2 种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是 ( ) 1 1 2 5 A. B. C. D. 3 2 3 6 2 4.ΔABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 a ? 5, c ? 2, cos A ? , 3 则 b=( ) A. 2 B. 3 C.2 D.3 5.直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到 l 的距离为其短轴长的 1 ,则该椭圆的离心率为( ) 4 1 1 2 3 A. B. C. D. 3 2 3 4 ? 1 6.若将函数 y=2sin (2x+ )的图像向右平移 个周期后,所得图像对应的函数为 4 6 ( ) ? ? ? ? A.y=2sin(2x+ ) B.y=2sin(2x+ ) C.y=2sin(2x– ) D.y=2sin(2x– ) 4 3 4 3 7.如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个 28? 圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是 , 3 则它的表面积是( ) A.17π B.18π C.20π D.28π 8.若 a>b>0,0<c<1,则( ) A.logac<logbc B.logca<logcb C.ac<bc D.ca>cb 2 |x| 9.函数 y=2x –e 在[–2,2]的图像大致为( )
y 1 -2 O 2 x -2 1 O 2 x -2 y 1 O 2 x -2 y 1 O 2 x y

A

B

C

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D

10.执行右面的程序框图,如果输入的 x=0,y=1,n=1, 则输出 x,y 的值满足( ) A.y=2x B.y=3x C.y=4x D.y=5x n=n+1

开始 输入 x,y,n

x ? x?

n ?1 , y ? ny 2

11.平面 α 过正方体 ABCD-A1B1C1D1 的顶点 A, 否 x2+y2≥36? α//平面 CB1D1,α∩平面 ABCD=m, α∩平面 ABB1A1=n,则 m,n 所成角的正弦值为( ) 是 输出 x,y 1 3 2 3 A. B. C. D. 3 2 2 3 结束 1 12.若函数 f ( x) ? x - sin 2 x ? a sin x 在(-∞,+∞)单调递增,则 a 的取值范围是( 3 1 1 1 1 A.[-1,1] B.[-1, ] C.[- , ] D.[-1,- ] 3 3 3 3

)

第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生 都必须作答,第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在横线上. 13.设向量 a=(x,x+1),b=(1,2),且 a⊥b,则 x= . π 3 π 14.已知 θ 是第四象限角,且 sin(θ+ )= ,则 tan(θ- )= . 4 5 4 15.设直线 y=x+2a 与圆 C:x2+y2-2ay-2=0 相交于 A,B 两点,若|AB|= 2 3 , 则圆 C 的面积为 . 16.某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品 A 需要甲材料 1.5kg,乙材料 1kg,用 5 个工时;生产一件产品 B 需要甲材料 0.5kg,乙材料 0.3kg,用 3 个工时,生产一件产品 A 的利润为 2100 元,生产 一件产品 B 的利润为 900 元.该企业现有甲材料 150kg,乙材料 90kg,则在不 超过 600 个工时的条件下,生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为 元. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.只做 6 题,共 70 分. 17.(本题满分 12 分) 1 已知{an}是公差为 3 的等差数列, 数列{bn}满足 b1=1, b2= , anbn+1+bn+1=nbn. 3 (Ⅰ)求{an}的通项公式; (Ⅱ)求{bn}的前 n 项和.

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18.(本题满分 12 分) 如图, 已知正三棱锥 P-ABC 的侧面是直角三角形, PA=6, 顶点 P 在平面 ABC P 内的正投影为点 D,D 在平面 PAB 内的正投影为点 E, 连接 PE 并延长交 AB 于点 G. (Ⅰ)证明 G 是 AB 的中点; E A C (Ⅱ)在答题卡第(18)题图中作出点 E 在平面 PAC D G 内的正投影 F(说明作法及理由),并求四面体 PDEF 的体积.
B

19.(本小题满分 12 分) 某公司计划购买 1 台机器,该种机器使用三年后即被淘汰. 机器有一易损零 件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个 200 元. 在机器使用 期间,如果备件不足再购买,则每个 500 元.现需决策在购买机器时应同时购买几 个易损零件,为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件 数,得下面柱状图:

记 x 表示 1 台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y 表示 1 台机器在 购买易损零件上所需的费用(单位:元) ,n 表示购机的同时购买的易损零件数. (Ⅰ)若 n=19,求 y 与 x 的函数解析式; (Ⅱ)若要求―需更换的易损零件数不大于 n‖的频率不小于 0.5, 求 n 的最小值; (Ⅲ)假设这 100 台机器在购机的同时每台都购买 19 个易损零件,或每台都购 买 20 个易损零件,分别计算这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数, 以此作为决策依据,购买 1 台机器的同时应购买 19 个还是 20 个易损零件?

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20.(本小题满分 12 分) 在直角坐标系 xoy 中, 直线 l: y=t(t≠0)交 y 轴于点 M, 交抛物线 C: y2=2px(p>0) 于点 P,M 关于点 P 的对称点为 N,连结 ON 并延长交 C 于点 H. OH (Ⅰ)求 ; (Ⅱ)除 H 以外,直线 MH 与 C 是否有其它公共点?说明理由. ON

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=(x -2)ex+a(x -1)2. (Ⅰ)讨论 f(x)的单调性; (Ⅱ)若有两个零点,求 a 的取值范围.

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请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分, 做答时请写清题号 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 1 如图,ΔOAB 是等腰三角形,∠AOB=120° . 以 O 为圆心, OA 为半径作圆. 2 (Ⅰ)证明:直线 AB 与⊙O 相切; (Ⅱ)点 C,D 在⊙O 上,且 A,B,C,D 四点共圆,证明:AB∥CD.

23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 ? x ? a cos t 在直线坐标系 xoy 中,曲线 C1 的参数方程为 ? (t 为参数,a>0). ? y ? 1 ? a sin t 在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2:ρ=4cosθ. (Ⅰ)说明 C1 是哪种曲线,并将 C1 的方程化为极坐标方程; (Ⅱ)直线 C3 的极坐标方程为 θ=α0,其中 α0 满足 tanα0=2,若曲线 C1 与 C2 的 公共点都在 C3 上,求 a.

24.(本小题满分 10 分) ,选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f(x)=| x+1| -|2x-3|. (Ⅰ)在答题卡第 24 题图中画出 y=f(x)的图像; (Ⅱ)求不等式| f(x)|>1 的解集.

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2016 年全国高考新课标 1 卷文科数学试题参考答案 一、选择题,本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1B 2A 3C 4D 5B 6D 7A 8B 9D 10C 11A 12C 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 2 4 13. ? 14. ? 15.4π 16.216000 3 3 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.只做 6 题,共 70 分. 1 17.解:(Ⅰ)依题 a1b2+b2=b1,b1=1,b2= ,解得 a1=2 …2 分 3 通项公式为 an=2+3(n-1)=3n-1 …6 分 1 1 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 3nbn+1=nbn,bn+1= bn,所以{bn}是公比为 的等比数列.…9 分 3 3 1 P 1 ? ( )n 3 1 3 所以{bn}的前 n 项和 Sn= …12 分 F ? ? n ?1 1 2 2 ? 3 1? E 3 A C 18.(Ⅰ)证明:PD⊥平面 ABC,∴PD⊥AB. D G 又 DE⊥平面 PAB,∴DE⊥AB.∴AB⊥平面 PDE. …3 分 B 又 PG ?平面 PDE,∴AB⊥PG.依题 PA=PB,∴G 是 AB 的中点.…6 分 (Ⅱ)解:在平面 PAB 内作 EF⊥PA(或 EF// PB)垂足为 F, 则 F 是点 E 在平面 PAC 内的正投影. …7 分 理由如下:∵PC⊥PA,PC⊥PB,∴ PC⊥平面 PAB. ∴EF ⊥PC 作 EF⊥PA,∴EF⊥平面 PAC.即 F 是点 E 在平面 PAC 内的正投影.…9 分 连接 CG,依题 D 是正 ΔABC 的重心,∴D 在中线 CG 上,且 CD=2DG. 2 2 易知 DE// PC,PC=PB=PA= 6,∴DE=2,PE= PG ? ? 3 2 ? 2 2 . 3 3 则在等腰直角 ΔPEF 中,PF=EF=2,∴ΔPEF 的面积 S=2. 1 4 所以四面体 PDEF 的体积 V ? S ? DE ? . …12 分 3 3 19.解:(Ⅰ)当 x≤19 时,y=3800;当 x>19 时,y=3800+500(x-19)=500x-5700. x ? 19 ?3800, 所以 y 与 x 的函数解析式为 y ? ? …3 分 ( x ? N *) ?500 x ? 5700, x ? 19 (Ⅱ)由柱状图知,需更换的易损零件数不大于 18 为 0.46,不大于 19 为 0.7, 所以 n 的最小值为 19. …6 分 (Ⅲ)若每台机器都购买 19 个易损零件,则有 70 台的费用为 3800,20 台的费 用为 4300,10 台的费用为 4800,所以 100 台机器购买易损零件费用的 1 平均数为 (3800× 70+4300× 20+4800× 10)=4000. …9 分 100 若每台机器都购买 20 个易损零件,则有 90 台的费用为 4000,10 台的费用 为 4500,所以 100 台机器购买易损零件费用的
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1 (4000× 90+4500× 10)=4050. …11 分 100 比较两个平均数可知,购买 1 台机器的同时应购买 19 个易损零件.…12 分

平均数为

20.解:(Ⅰ)依题 M(0, t),P(

p t2 t2 , t). 所以 N( , t),ON 的方程为 y ? x . t 2p p 2 2 联立 y =2px,消去 x 整理得 y =2ty. 解得 y1=0,y2=2t. …4 分 2 OH 2t 所以 H( ,2t). 所以 N 是 OH 的中点,所以 =2. …6 分 p ON p (Ⅱ)直线 MH 的方程为 y ? t ? x ,联立 y2=2px,消去 x 整理得 y2-4ty+4t2=0. 2t 解得 y1=y2=2t. 即直线 MH 与 C 只有一个交点 H. 所以除 H 以外,直线 MH 与 C 没有其它公共点. …12 分

21.解:(Ⅰ) f '(x)=(x -1)ex+a(2x -2)=(x -1)(ex+2a). x∈R …2 分 (1)当 a≥0 时,在(-∞,1)上,f '(x)<0,f(x)单调递减; 在(1,+∞)上,f '(x)>0,f(x)单调递增. …3 分 (2)当 a<0 时,令 f '(x)=0,解得 x =1 或 x=ln(-2a). e ①若 a= ? ,ln(-2a) =1,f '(x)≥0 恒成立,所以 f(x)在(-∞,+ ∞)上单调递增. 2 e ②若 a> ? ,ln(-2a)<1,在(ln(-2a),1)上,f '(x)<0,f(x)单调递减; 2 在(-∞, ln(-2a))与(1,+∞)上,f '(x)>0,f(x)单调递增. e ③若 a< ? ,ln(-2a)>1,在(1,ln(-2a))上,f '(x)<0,f(x)单调递减; 2 在(-∞,1)与(ln(-2a),+∞)上,f '(x)>0,f(x)单调递增.…7 分 (Ⅱ) (1)当 a=0 时,f(x)=(x -2)ex 只有一个零点,不合要求. …8 分 (2)当 a>0 时,由(Ⅰ)知 f(x)在(-∞,1)上单调递减;在(1,+∞)上单调递增. a a 最小值 f(1)=-e<0,又 f(2)= a>0,若取 b<0 且 b<ln ,eb< . 2 2 a 3 从而 f(b)> (b ? 2) ? a(b ? 1) 2 ? a(b 2 ? b) ? 0 ,所以 f(x)有两个零点. …10 分 2 2 e (3)当 a<0 时,在(-∞,1]上,f(x)<0 恒成立;若 a≥ ? ,由(Ⅰ)知 f(x)在(1,+∞) 2 e 上单调递增, 不存在两个零点.若 a< ? , f(x)在(1,ln(-2a))上单调递减; 在(ln(-2a),+∞) 2 上单调递增,也不存在两个零点. 综上 a 的取值范围是(0,1). …12 分

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2016 年全国高考新课标 1 卷文科数学试题参考答案 第Ⅰ卷 一、选择题,本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设集合 A={1,3,5,7},B={x|2≤x≤5},则 A∩B=( )B A.{1,3} B.{3,5} C.{5,7} D.{1,7} 2.设(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等,其中 a 为实数,则 a=( )A A.-3 B.-2 C .2 D. 3 3.为美化环境,从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 种花种在一个花坛中, 余下的 2 种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是 ( )C 1 1 2 5 A. B. C. D. 3 2 3 6 2 4.ΔABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 a ? 5, c ? 2, cos A ? , 3 则 b=( )D A. 2 B. 3 C.2 D.3 5.直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到 l 的距离为其短轴长的 1 ,则该椭圆的离心率为( )B 4 1 1 2 3 A. B. C. D. 3 2 3 4 ? 1 6.若将函数 y=2sin (2x+ )的图像向右平移 个周期后,所得图像对应的函数为 4 6 ( )D ? ? ? ? A.y=2sin(2x+ ) B.y=2sin(2x+ ) C.y=2sin(2x– ) D.y=2sin(2x– ) 4 3 4 3 7.如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个 28? 圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是 , 3 则它的表面积是( )A A.17π B.18π C.20π D.28π 8.若 a>b>0,0<c<1,则( )B A.logac<logbc B.logca<logcb C.ac<bc D.ca>cb 9.函数 y=2x2–e|x|在[–2,2]的图像大致为( )D
y 1 -2 O 2 x -2 1 O 2 x -2 y 1 O 2 x -2 y 1 O 2 x y

A

B

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D

10.执行右面的程序框图,如果输入的 x=0,y=1,n=1, 则输出 x,y 的值满足( )C A.y=2x B.y=3x C.y=4x D.y=5x n=n+1

开始 输入 x,y,n

x ? x?

n ?1 , y ? ny 2

11.平面 α 过正方体 ABCD-A1B1C1D1 的顶点 A, 否 x2+y2≥36? α//平面 CB1D1,α∩平面 ABCD=m, α∩平面 ABB1A1=n,则 m,n 所成角的正弦值为( )A 是 输出 x,y 1 3 2 3 A. B. C. D. 3 2 2 3 结束 1 12.若函数 f ( x) ? x - sin 2 x ? a sin x 在(-∞,+∞)单调递增,则 a 的取值范围是( 3 1 1 1 A.[-1,1] B.[-1, ] C.[-, ] D.[-1,- ] 3 3 3

)C

第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生 都必须作答,第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在横线上. 2 13.设向量 a=(x,x+1),b=(1,2),且 a⊥b,则 x= . ? 3 π 3 π 4 14.已知 θ 是第四象限角,且 sin(θ+ )= ,则 tan(θ- )= . ? 4 5 4 3 2 2 15.设直线 y=x+2a 与圆 C:x +y -2ay-2=0 相交于 A,B 两点,若|AB|= 2 3 , 则圆 C 的面积为 .4π 16.某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品 A 需要甲材料 1.5kg,乙材料 1kg,用 5 个工时;生产一件产品 B 需要甲材料 0.5kg,乙材料 0.3kg,用 3 个工时,生产一件产品 A 的利润为 2100 元,生产 一件产品 B 的利润为 900 元.该企业现有甲材料 150kg,乙材料 90kg,则在不 超过 600 个工时的条件下,生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为 元.216000 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.只做 6 题,共 70 分. 17.(本题满分 12 分) 1 已知{an}是公差为 3 的等差数列, 数列{bn}满足 b1=1, b2= , anbn+1+bn+1=nbn. 3 (Ⅰ)求{an}的通项公式; (Ⅱ)求{bn}的前 n 项和. 1 解:(Ⅰ)依题 a1b2+b2=b1,b1=1,b2= ,解得 a1=2 …2 分 3 通项公式为 an=2+3(n-1)=3n-1 …6 分
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1 1 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 3nbn+1=nbn,bn+1= bn,所以{bn}是公比为 的等比数列.…9 分 3 3 1 n 1? ( ) 3 ? 3? 1 所以{bn}的前 n 项和 Sn= …12 分 1 2 2 ? 3n ?1 1? 3 18.(本题满分 12 分) 如图, 已知正三棱锥 P-ABC 的侧面是直角三角形, PA=6, 顶点 P 在平面 ABC P 内的正投影为点 D,D 在平面 PAB 内的正投影为点 E, F 连接 PE 并延长交 AB 于点 G. (Ⅰ)证明 G 是 AB 的中点; E A C (Ⅱ)在答题卡第(18)题图中作出点 E 在平面 PAC D G 内的正投影 F(说明作法及理由),并求四面体 PDEF 的体积. B (Ⅰ)证明:PD⊥平面 ABC,∴PD⊥AB. 又 DE⊥平面 PAB,∴DE⊥AB.∴AB⊥平面 PDE. …3 分 又 PG ?平面 PDE,∴AB⊥PG.依题 PA=PB,∴G 是 AB 的中点.…6 分 (Ⅱ)解:在平面 PAB 内作 EF⊥PA(或 EF// PB)垂足为 F, 则 F 是点 E 在平面 PAC 内的正投影. …7 分 理由如下:∵PC⊥PA,PC⊥PB,∴ PC⊥平面 PAB. ∴EF ⊥PC 作 EF⊥PA,∴EF⊥平面 PAC.即 F 是点 E 在平面 PAC 内的正投影.…9 分 连接 CG,依题 D 是正 ΔABC 的重心,∴D 在中线 CG 上,且 CD=2DG. 2 2 易知 DE// PC,PC=PB=PA= 6,∴DE=2,PE= PG ? ? 3 2 ? 2 2 . 3 3 则在等腰直角 ΔPEF 中,PF=EF=2,∴ΔPEF 的面积 S=2. 1 4 所以四面体 PDEF 的体积 V ? S ? DE ? . …12 分 3 3 19.(本小题满分 12 分) 某公司计划购买 1 台机器,该种机器使用三年后即被淘汰. 机器有一易损零 件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个 200 元. 在机器使用 期间,如果备件不足再购买,则每个 500 元.现需决策在购买机器时应同时购买几 个易损零件,为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件 数,得下面柱状图:

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记 x 表示 1 台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y 表示 1 台机器在 购买易损零件上所需的费用(单位:元) ,n 表示购机的同时购买的易损零件数. (Ⅰ)若 n=19,求 y 与 x 的函数解析式; (Ⅱ)若要求―需更换的易损零件数不大于 n‖的频率不小于 0.5, 求 n 的最小值; (Ⅲ)假设这 100 台机器在购机的同时每台都购买 19 个易损零件,或每台都购 买 20 个易损零件,分别计算这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数, 以此作为决策依据,购买 1 台机器的同时应购买 19 个还是 20 个易损零件? 解:(Ⅰ)当 x≤19 时,y=3800;当 x>19 时,y=3800+500(x-19)=500x-5700. x ? 19 ?3800, 所以 y 与 x 的函数解析式为 y ? ? …3 分 ( x ? N *) ?500 x ? 5700, x ? 19 (Ⅱ)由柱状图知,需更换的易损零件数不大于 18 为 0.46,不大于 19 为 0.7, 所以 n 的最小值为 19. …6 分 (Ⅲ)若每台机器都购买 19 个易损零件,则有 70 台的费用为 3800,20 台的费 用为 4300,10 台的费用为 4800,所以 100 台机器购买易损零件费用的 1 平均数为 (3800× 70+4300× 20+4800× 10)=4000. …9 分 100 若每台机器都购买 20 个易损零件,则有 90 台的费用为 4000,10 台的费用 为 4500,所以 100 台机器购买易损零件费用的 1 平均数为 (4000× 90+4500× 10)=4050. …11 分 100 比较两个平均数可知,购买 1 台机器的同时应购买 19 个易损零件.…12 分 20.(本小题满分 12 分) 在直角坐标系 xoy 中, 直线 l: y=t(t≠0)交 y 轴于点 M, 交抛物线 C: y2=2px(p>0) 于点 P,M 关于点 P 的对称点为 N,连结 ON 并延长交 C 于点 H. OH (Ⅰ)求 ; (Ⅱ)除 H 以外,直线 MH 与 C 是否有其它公共点?说明理由. ON
p t2 t2 解:(Ⅰ)依题 M(0, t),P( , t). 所以 N( , t),ON 的方程为 y ? x . t 2p p 2 2 联立 y =2px,消去 x 整理得 y =2ty. 解得 y1=0,y2=2t. …4 分 2 OH 2t 所以 H( ,2t). 所以 N 是 OH 的中点,所以 =2. …6 分 p ON p (Ⅱ)直线 MH 的方程为 y ? t ? x ,联立 y2=2px,消去 x 整理得 y2-4ty+4t2=0. 2t 解得 y1=y2=2t. 即直线 MH 与 C 只有一个交点 H. 所以除 H 以外,直线 MH 与 C 没有其它公共点. …12 分

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21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=(x -2)ex+a(x -1)2. (Ⅰ)讨论 f(x)的单调性; (Ⅱ)若有两个零点,求 a 的取值范围. x 解:(Ⅰ) f '(x)=(x -1)e +a(2x -2)=(x -1)(ex+2a). x∈R …2 分 (1)当 a≥0 时,在(-∞,1)上,f '(x)<0,f(x)单调递减; 在(1,+∞)上,f '(x)>0,f(x)单调递增. …3 分 (2)当 a<0 时,令 f '(x)=0,解得 x =1 或 x=ln(-2a). e ①若 a= ? ,ln(-2a) =1,f '(x)≥0 恒成立,所以 f(x)在(-∞,+ ∞)上单调递增. 2 e ②若 a> ? ,ln(-2a)<1,在(ln(-2a),1)上,f '(x)<0,f(x)单调递减; 2 在(-∞, ln(-2a))与(1,+∞)上,f '(x)>0,f(x)单调递增. e ③若 a< ? ,ln(-2a)>1,在(1,ln(-2a))上,f '(x)<0,f(x)单调递减; 2 在(-∞,1)与(ln(-2a),+∞)上,f '(x)>0,f(x)单调递增.…7 分 (Ⅱ) (1)当 a=0 时,f(x)=(x -2)ex 只有一个零点,不合要求. …8 分 (2)当 a>0 时,由(Ⅰ)知 f(x)在(-∞,1)上单调递减;在(1,+∞)上单调递增. a a 最小值 f(1)=-e<0,又 f(2)= a>0,若取 b<0 且 b<ln ,eb< . 2 2 a 3 从而 f(b)> (b ? 2) ? a(b ? 1) 2 ? a(b 2 ? b) ? 0 ,所以 f(x)有两个零点. …10 分 2 2 e (3)当 a<0 时,在(-∞,1]上,f(x)<0 恒成立;若 a≥ ? ,由(Ⅰ)知 f(x)在(1,+∞) 2 e 上单调递增, 不存在两个零点.若 a< ? , f(x)在(1,ln(-2a))上单调递减; 在(ln(-2a),+∞) 2 上单调递增,也不存在两个零点. 综上 a 的取值范围是(0,1). …12 分 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲
1 如图,ΔOAB 是等腰三角形,∠AOB=120° . 以 O 为圆心, OA 为半径作圆. 2 (Ⅰ)证明:直线 AB 与⊙O 相切; (Ⅱ)点 C,D 在⊙O 上,且 A,B,C,D 四点共圆,证明:AB∥CD. 证明:(Ⅰ)设 E 是 AB 的中点,连接 OE,因为 OA=OB, ∠AOB=120° . 所以 OE⊥AB,∠AOE=60° . …3 分 1 在 RtΔAOE 中,OE= OA. 即圆心 O 到直线 AB 的 2 距离等打半径,所以直线 AB 与⊙O 相切. …5 分

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1 OA,所以 O 不是 A,B,C,D 四点共圆的圆心,故设其圆心为 2 O',则 O'在 AB 的垂直平分线上. 又 O 在 AB 的垂直平分线上,作直线 O O',所以 O O'⊥AB.…8 分 同理可证 O O'⊥CD.所以 AB∥CD. …10 分

(Ⅱ)因为 OD=

23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 ? x ? a cos t 在直线坐标系 xoy 中,曲线 C1 的参数方程为 ? (t 为参数,a>0). ? y ? 1 ? a sin t 在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2:ρ=4cosθ. (Ⅰ)说明 C1 是哪种曲线,并将 C1 的方程化为极坐标方程; (Ⅱ)直线 C3 的极坐标方程为 θ=α0,其中 α0 满足 tanα0=2,若曲线 C1 与 C2 的 公共点都在 C3 上,求 a. 解:(Ⅰ)消去参数 t 得到 C1 的普通方程 x2+(y-1)2=a2. 所以 C1 是以(0,1)为圆心 a 为半径的圆. …3 分 2 2 将 x=?cos?,y=?sin?代入可得 C1 的极坐标方程为? -2? sin?+1-a =0. …5 分 (Ⅱ)联立?2-2? sin?+1-a2=0 与 ρ=4cosθ 消去 ρ 得 16cos2?-8sin? cos?+1-a2=0, 由 tanθ=2 可得 16cos2?-8sin? cos?=0. 从而 1-a2=0,解得 a=1. …8 分 当 a=1 时,极点也是 C1 与 C2 的公共点,且在 C3 上,综上 a=1. …10 分 24.(本小题满分 10 分) ,选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f(x)=| x+1| -|2x-3|. (Ⅰ)在答题卡第 24 题图中画出 y=f(x)的图像; (Ⅱ)求不等式| f(x)|>1 的解集. ? ? x ? 4, x ? ?1 ? 3 ? 解:(Ⅰ) f ( x) ? ?3x ? 2, ? 1 ? x ? 2 ? 3 ? ? x ? 4, x? ? ? 2 y=f(x)的图像如图所示. …5 分 (Ⅱ)由 f(x)的图像和表达式知,当 f(x)=1 时,解得 x=1 或 x=3. 1 当 f(x)=-1 时,解得 x= 或 x=5. 3 1 结合 f(x)的图像可得| f(x)|>1 的解集为{x|x< 或 1< x<3 或 x>5}. 3

…8 分 …10 分

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小题详解 一、选择题,本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设集合 A={1,3,5,7},B={x|2≤x≤5},则 A∩B=( )B A.{1,3} B.{3,5} C.{5,7} D.{1,7} 解:取 A,B 中共有的元素是{3,5},故选 B 2.设(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等,其中 a 为实数,则 a=( )A A.-3 B.-2 C .2 D. 3 解:(1+2i)(a+i)= a-2+(1+2a)i,依题 a-2=1+2a,解得 a=-3,故选 A 3.为美化环境,从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 种花种在一个花坛中, 余下的 2 种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是 ( )C 1 1 2 5 A. B. C. D. 3 2 3 6 解:设红、黄、白、紫 4 种颜色的花分别用 1,2,3,4 来表示,则所有基本事件 有 (12,34),(13,24),(14,23),(23,14),(24,13),(34,12),共 6 个,其中 1 和 4 不 4 2 在同一花坛的事件有 4 个, 其概率为 P= ? ,故选 C 6 3 2 4.ΔABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 a ? 5, c ? 2, cos A ? , 3 则 b=( )D A. 2 B. 3 C.2 D.3 2 解:由余弦定理得:5=4+b2-4b× , 则 3b2-8b-3=0,解得 b=3,故选 D 3 5.直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到 l 的距离为其短轴长的 1 ,则该椭圆的离心率为( )B 4 1 1 2 3 A. B. C. D. 3 2 3 4 1 c 1 解:由直角三角形的面积关系得 bc= ? 2b b 2 ? c 2 ,解得 e ? ? ,故选 B 4 a 2 ? 1 6.若将函数 y=2sin (2x+ )的图像向右平移 个周期后,所得图像对应的函数为 4 6 ( )D ? ? ? ? A.y=2sin(2x+ ) B.y=2sin(2x+ ) C.y=2sin(2x– ) D.y=2sin(2x– ) 4 3 4 3 1 ? ? 解:对应的函数为 y=2sin[ 2(x- ? ? )+ ],即 y=2sin(2x– ),故选 D 4 6 3

2016 年高考全国卷文科数学 14 / 16

7.如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个 28? 圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是 , 3 则它的表面积是( )A A.17π B.18π C.20π D.28π 解:依图可知该几何体是球构成截去了八分之一,其体积 4 7 28? 7 3 V ? ? R3 ? ? ,解得 R=2,表面积 S ? 4? ? 22 ? + ? ? 22 ? 17? ,故选 B 3 8 3 8 4 8.若 a>b>0,0<c<1,则( )B A.logac<logbc B.logca<logcb C.ac<bc D.ca>cb 解:取特值 a=1,b=0.5,c=0.5,可排除 A,C,D,故选 B 9.函数 y=2x2–e|x|在[–2,2]的图像大致为( )D
y 1 -2 O 2 x -2 1 O 2 x -2 y 1 O 2 x -2 y 1 O 2 x y

A D B C x 解:当 0≤x≤2 时,y'=4x–e ,函数先减后增,且 y'|x=0.5>0,最小值在(0,0.5)内. 故选 D 10.执行右面的程序框图,如果输入的 x=0,y=1,n=1, 开始 则输出 x,y 的值满足( )C 输入 x,y,n A.y=2x B.y=3x C.y=4x D.y=5x n ?1 n=n+1 x ? x ? 2 , y ? ny 解:运行程序,循环节内的 n,x,y 依次为 (1,0,1),(2,0.5,2),(3,1.5,6), 输出 x=1.5,y= 6, 否 故选 C x2+y2≥36? 11.平面 α 过正方体 ABCD-A1B1C1D1 的顶点 A, 是 α//平面 CB1D1,α∩平面 ABCD=m,α∩平面 ABB1A1=n, 输出 x,y 则 m,n 所成角的正弦值为( )A 结束 1 3 2 3 A. B. C. D. 3 2 2 3 解: 平面 A1B1C1D1∩平面 CB1D1= B1D1 与 m 平行, 平面 CDD1C1∩平面 CB1D1= CD1 与 n 平行,所以 m,n 所成角就是 B1D1 与 CD1 所成角,而 ΔCB1D1 是等边三 角形,则所成角是 60° ,故选 A 1 12.若函数 f ( x) ? x - sin 2 x ? a sin x 在(-∞,+∞)单调递增,则 a 的取值范围是( )C 3 1 1 1 A.[-1,1] B.[-1, ] C.[-, ] D.[-1,- ] 3 3 3
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2 2 解:? f ( x) ? x - sin x cos x ? a sin x ,? f '( x) ? 1 - (cos 2 x ? sin 2 x) ? a cos x , 3 3 2 依 题 f'(x)≥0 恒 成 立 , 即 acosx≥ cos 2 x ? 1 恒 成 立 , 而 (acosx)min=-|a| , 3 2 1 1 1 1 cos 2 x ? 1 ? ? , ?? | a |? ? ,解得a ? [? , ] ,故选 C 3 3 3 3 3

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在横线上. 2 13.设向量 a=(x,x+1),b=(1,2),且 a⊥b,则 x= . ? 3 2 解:依题 x+2(x+1)=0,解得 x= ? 3 π 3 π 4 14.已知 θ 是第四象限角,且 sin(θ+ )= ,则 tan(θ- )= . ? 4 5 4 3 π π 4 π π 解:依题 θ+ 是第一象限角,cos(θ+ )= ,tan(θ- )=- tan( -θ) 4 4 5 4 4 π π π π π π π π 4 =- tan[ -(θ+ )]=- sin[ -(θ+ )]/cos[ -(θ+ )]=- cos(θ+ )/ sin(θ+ )= ? 2 4 2 4 2 4 4 4 3 2 2 15.设直线 y=x+2a 与圆 C:x +y -2ay-2=0 相交于 A,B 两点,若|AB|= 2 3 , 则圆 C 的面积为 .4π |a| 解: 圆方程可化为 x2+ (y-a)2=a2+2, 圆心 C 到直线距离 d= , 由 d2+3=a2+2, 2 2 解得 a =2,所以圆半径为 2,则圆面积为 4π 16.某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品 A 需要甲材料 1.5kg,乙材料 1kg,用 5 个工时;生产一件产品 B 需要甲材料 0.5kg,乙材料 0.3kg,用 3 个工时,生产一件产品 A 的利润为 2100 元,生产 一件产品 B 的利润为 900 元.该企业现有甲材料 150kg,乙材料 90kg,则在不 超过 600 个工时的条件下,生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为 元.216000 解:设生产 A、B 两种产品各 x 件、y 件,利润之和是 z=2100x+900y, ?1.5 x ? 0.5 y ? 150 ? 3 x ? y ? 300 y ? x ? 0.3 y ? 90 ?10 x ? 3 y ? 900 ? ? 约束条件是 ? ,即 ? 300 ? 5 x ? 3 y ? 600 ? 5 x ? 3 y ? 600 C ? ? 200 ? x ? 0, y ? 0 ? x ? 0, y ? 0 B 作出可行域四边形 OABC,如图. 画出直线 l0:7x+3y =0,平移 l0 到 l, O A ③ x ② 当 l 经过点 B 时 z 最大,联立 10x+3y=900 与 5x+3y=600 ① l0 解得交点 B(60,100),所以 zmax=126000+90000=216000.
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