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2014年高考试题解析几何部分


数 H 单元 解析几何 学 H1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 14. 、[2014· 湖北卷] 设 f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,且 f(x)>0,对任意 a>0,b>0, 若经过点(a,f(a)),(b,-f(b))的直线与 x 轴的交点为(c,0),则称 c 为 a,b 关于函数 f(x) a+b 的平均数,记为 Mf(a,b),例如,当 f(x)=1(x>0)时,可得 Mf(a,b)=c= ,即 Mf(a,b) 2 为 a,b 的算术平均数. (1)当 f(x)=________(x>0)时,Mf(a,b)为 a,b 的几何平均数; 2ab (2)当 f(x)=________(x>0)时,Mf(a,b)为 a,b 的调和平均数 . a+b (以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可) 14.(1) x (2)x(或填(1)k1 x;(2)k2x,其中 k1,k2 为正常数) [解析] 设 A(a,f(a)),B(b,-f(b)),C(c,0),则此三点共线: 0-f(a) 0+f(b) (1)依题意,c= ab,则 = , c-a c-b 0-f(a) 0+f(b) 即 = . ab-a ab-b f(a) f(b) 因为 a>0,b>0,所以化简得 = ,故可以选择 f(x)= x(x>0); a b 0-f(a) 0+f(b) f(a) 2ab (2)依题意,c= ,则 = ,因为 a>0,b>0,所以化简得 = 2ab 2ab a a+b -a -b a+b a+b f(b) ,故可以选择 f(x)=x(x>0). b x2 20.[2014· 江西卷] 如图 17 所示,已知双曲线 C: 2-y2=1(a>0)的右焦点为 F,点 A, a B 分别在 C 的两条渐近线上,AF⊥x 轴,AB⊥OB,BF∥OA(O 为坐标原点). 图 17 (1)求双曲线 C 的方程; x0x (2)过 C 上一点 P(x0,y0)(y0≠0)的直线 l: 2 -y0y=1 与直线 AF 相交于点 M,与直线 x a 3 |MF| = 相交于点 N.证明:当点 P 在 C 上移动时, 恒为定值,并求此定值. 2 |NF| 20.解:(1)设 F(c,0),因为 b=1,所以 c= a2+1. c c? 1 1 由题意,直线 OB 的方程为 y=- x,直线 BF 的方程为 y= (x-c),所以 B? ?2,-2a?. a a 1 又直线 OA 的方程为 y= x, a 第 1 页 共 62 页 c ? c? -?-2a? a c 3 c, ?,所以 kAB= 则 A? = . ? a? c a c- 2 1 3 x2 - ?=-1,解得 a2=3,故双曲线 C 的方程为 -y2=1. 又因为 AB⊥OB,所以 ?? a ? a? 3 x0x-3 x0x (2)由(1)知 a= 3,则直线 l 的方程为 -y0y=1(y0≠0),即 y= (y ≠0). 3 3y0 0 2x0-3? 因为直线 AF 的方程为 x=2,所以直线 l 与 AF 的交点为 M?2, ,直线 l 与直线 3y0 ? ? 3 x -3 3 3 2 0 x= 的交点为 N , , 2 2 3y0 (2x0-3)2 (3y0)2 (2x0-3)2 |MF| 则 = = = 2 2 |NF|2 ?3x0-3? 9y0+9(x0-2)2 ? 4 4 1 ?2 + 4 (3y0)2 2 (2x0-3)2 4 ? 2. 3 3y2 0+3(x0-2) x2 0 又

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