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高中数学-2.1《曲线与方程》课件一-新人教A版选修2-1


曲线和方程
—— 1.曲线和方程

? 主要内容:曲线和方程的概念、意 义及曲线和方程的两个基本问题 ? 重点和难点:曲线和方程的概念

分析特例归纳定义

曲线和方程之间有什么对应关系呢?
(1)、求第一、三象限里两轴间夹角平分线的 坐标满足的关系
第一、三象限角平分线

l ? 点的横坐标与纵坐标相等 ? x=y(或x-y=0)
条件 方程

曲线

y

l
0

得出关系:
x-y=0 x (1)

l 上点的坐标都是方程x-y=0的解

(2)以方程x-y=0的解为坐标的点都 在 l上

分析特例归纳定义
2

(2)函数y ? ax

(a>0)的图象是关于y轴对称的抛物线
y

这条抛物线的方程是

y ? ax2 (a>0)

·
M

y ? ax2 (a>0)

0
满足关系:

x

(1)、如果

( x 0 , y0 )

是抛物线上的点,那么

( x0 , y0 ) 一定是这个方程的解

(2)、如果( x0 , y0 ) 是方程 在抛物线上

y ? ax2 (a>0) 的解,那么以它为坐标的点一定

分析特例归纳定义
(3)、说明过A(2,0)平行于y轴的直线与方 程︱x︱=2的关系 ①、直线上的点的坐标都满足方程︱x︱=2 ②、满足方程︱x︱=2的点不一定在直线上 结论:过A(2,0)平行于y轴的直线的 y 方程不是︱x︱=2
A x

0

2

分析特例归纳定义 定义 ? 给定曲线C与二元方程f(x,y)=0,若 满足 ? (1)曲线上的点坐标都是这个方程的解 ? (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲 线上的点 y ? 那么这个方程f(x,y)=0叫做这条曲线 C的方程 x 0 ? 这条曲线C叫做这个方程的曲线
f(x,y)=0

说明:1、曲线的方程——反映的是图形所满足的数量关系 方程的曲线——反映的是数量关系所表示的图形

2、两者间的关系:点在曲线上
? 点的坐标适合于此曲线的方程

通俗地说:无点不是解且无解不是点 或说点不 比解多且解也不比点多

即:曲线上所有点的集合与此曲线的方程 的解集能够一一对应
集合的 观点

3、如果曲线C的方程是f(x,y)=0,那么点

P( x0 , y0 ) 在曲线C上的充要条件 是

f ( x0 , y0 ) ? 0

学习例题巩固定义
例1判断下列结论的正误并说明理由 对 (1)过点A(3,0)且垂直于x轴的直线为x=3 错 (2)到x轴距离为2的点的轨迹方程为y=2 (3)到两坐标轴距离乘积等于1的点的轨迹方程为xy=1 错 例2证明:圆心为坐标原点,半径为5的圆的方程是 并判断

x2 ? y 2 ? 25

y

M1 (3,?4)、M ( , 2) 是否在圆上 2 ?2 5
y 5 y 5 5 x -5 -5 x -5 5

变式训练:写出下列半圆的方程
y 5 y

·
M2

5

0

·
M1

5

x

-5

0

5 x -5

0

5x

变式思维训练,深化理解
(1)举出一个方程与曲线,使 它们之间 的关系符合①而不符合②. (2)举出一个方程与曲线,使 它们之间 的关系符合② 而不符合① . (3) 举出一个方程与曲线,使 它们之间 的关系既符合①又符合②。

例子:(2)画出函数 y ? 2x2(-1≤x≤2) 的图象C.
y 8 y

y ? 2x

2
8

y ? 2x 2

(-1≤x≤2)

-1

O

2

x

-1

O

2

x

符合条件①不符合条件②

符合条件②不符合条件 ①

例子:(2)画出函数 y ? 2x (-1≤x≤2) 的图象C.
2
y 8

y ? 2x (-1≤x≤2)
2

-1

O

2

x

符合条件①、 ②

下列各题中,图3表示的曲线方程是所列出的方程 吗?如果不是,不符合定义中的关系①还是关系②?

(1)曲线C为过点A(1,1),B(-1,1) 的折线,方程为(x-y)(x+y)=0;
(2)曲线C是顶点在原点的抛物线,方 程为x+ =0; (3)曲线C是Ⅰ, Ⅱ象限内到X轴,Y轴 的距离乘积为1的点集,方程为y= 。
y y y 1 1 2 x -2 -1 0 1 2

1
1 x 1

-1

0

-2 -1 0

图3

x

例2 证明以坐标原点为圆心,半径等于5的圆的方程是x2 +y2 = 25,并判断点M1(3,-4),M2(-3,2)是否在这个圆 上.
证明:(1)设M(x0,y0)是圆上任意一点.因为点M到坐标原点 的距离等于5,所以 x0 2 ? y0 2 ? 5, 也就是xo2 +yo2 = 25. 即 (x0,y0) 是方程x2 +y2 = 25的解.
(2)设 (x0,y0) 是方程x2 +y2 = 25的解,那么

x 2 +y 2 = 25
0 0

两边开方取算术根,得

x0 ? y0 ? 5,

2

2

即点M (x0,y0)到坐标原点的距离等于5,点M (x0,y0)是这个圆 上的一点.
由1、2可知, x2 +y2 = 25,是以坐标原点为圆心,半径等于5的圆 的方程.

归纳:

证明已知曲线的方程的方法和步骤
第一步,设M (x0,y0)是曲线C上任一点, 证明(x0,y0)是f(x,y)=0的解; 第二步,设(x0,y0)是f(x,y)=0的解,证明 点M (x0,y0)在曲线C上.

例1、设A、B两点的坐标是(-1,-1)和 (2,3),求线段AB的垂直平分线的方程?

y

B

o
A

x

思考:①如果把这条垂直平分线看成是动点 运动的轨迹,那么这条垂直平分线上任意一 点应该满足怎样的几何条件? ②几何条件能否转化为代数方程?用什么方 法进行转化? ③用新方法求得的直线方程,是否已符合要 求?为什么?(提示:方程与曲线构成对应关 系,必须满足什么条件?)

发散1:已知线段AB长为5,动点P到线段AB两 端点的距离相等,求动点P的轨迹方程。

你能说出它的轨迹吗?
思考1.与例1相比,有什么显著的不同点? 2.你准备如何建立坐标系,为什么? 3.比较所求的轨迹方程有什么区别? 从中得到什么体会?

(1)没有确定坐标系时,要求方程首先必须建立坐标系;
(2)同一条曲线,在不同的坐标系中可能有不同的方程; (3)坐标系选取适当,可以使运算简单,所得的方程也 比较简单。

求曲线方程的一般步骤:
1.建系设点-- 建立适当的直角坐标系,用有
序实数对(x,y)表示曲线上任一点M的坐标;
(如果题目中已确定坐标系就不必再建立)

2.寻找条件-- 写出适合条件P的点M的集合 3.列出方程--用坐标表示条件p(M),列出 方程f(x,y)=0; 4.化简--化方程f(x,y)=0为最简形式;

5.证明--证明以化简后的方程的解为坐标的
点都是曲线上的点。

发散2:△ABC顶点B、C的坐标分别是(0、 0)和(4、0),BC边上的中线长为3,求 顶点A的轨迹方程。

(x-2)2+y2=9 (x≠5且x ≠-1)
y
A

以这个方程的解 为坐标的点是否 都在曲线上?

B

C

x

求曲线方程的一般步骤:
1.建系设点-- 建立适当的直角坐标系,用有
序实数对(x,y)表示曲线上任一点M的坐标;
(如果题目中已确定坐标系就不必再建立)

2.寻找条件-- 写出适合条件P的点M的集合 3.列出方程--用坐标表示条件p(M),列出
方程f(x,y)=0; 4.化简--化方程f(x,y)=0为最简形式;

5.证明--证明以化简后的方程的解为坐标的
点都是曲线上的点。
(不要求证明,但要检验是否产生增解或漏解.)

测试评价
已知点C到直线L的距离为8,若动点P到点C 和直线L的距离相等,求动点P的轨迹方程。
如何建立适当的直角坐标系?

建立坐标系的原则:

一、建立的坐标系有利于求出题目的结果;
二、尽可能多的使图形上的点(或已知点), 落在坐标轴上; 三、充分利用图形本身的对称性;

若曲线是轴对称图形,则可以选它的对称轴为坐标轴 也可以选取曲线上的特殊点为坐标原点.

四、保持图形整体性.

测试评价
已知点C到直线L的距离为8,若动点P到点 C和直线L的距离相等,求动点P的轨迹方程。

过点P(2,4)做两条互相垂直的直线,若 交x轴于A点,交y轴于B点,求线段AB的 中点M的轨迹方程。

判断下列命题的真假: (1)以坐标原点为圆心, 半径为 2 的圆的方程是 y= 4 ? x2 ; (2)方程(x+y-1)· x 2 ? y 2 ? 4 =0 表示的曲线是圆或直线; (3)点 A(-4, 3), B(-3 2 , -4), C( 5 , 2 5 )都在方程 x2+y2=25(x≤0)所表示 的曲线上.

解:(1)假命题.以坐标原点为圆心,半径为 2 的圆的方程应是 x2+y2=4, 而 y= 4 ? x2 表示的只是圆的一部分. (2)假命题. 由(x+y-1)· x 2 ? y 2 ? 4 =0 得
? x ? y ? 1 ? 0, 或 x2+y2-4=0, ? 2 2 ?x ? y ? 4 ? 0 ∴ 表示的是圆或两条射线.

(3)假命题. 把点 A(-4, 3) 的坐标代入方程 x2+y2=25, 满足方程, 且 A 点的横坐标 满足 x≤0, 则点 A 在方程 x2+y2=25(x≤0)所表示的曲线上. 把点 B(-3 2 , -4)的坐标代入 x2+y2=25, ∵ (-3 2 )2+(-4)2=34≠25, ∴ 点 B 不在方程所表示的曲线上. 尽管 C 点坐标满足方程, 但是 C 点的横坐标 ∴ 点 C 不在方程所表示的曲线上.
5 不满足条件 x≤0,

二、曲线与方程关系的应用
已知方程 x2+(y-1)2=10. (1)判断点 P(1, -2), Q( 2 , 3)是否在此方程表示的曲线上; (2)若点 M ? m ,-m ? 在此方程表示的曲线上, 求 m 的值. ? ? 2 ? ? 思路分析:把点的坐标代入方程 x +(y-1) =10,方程成立时, 点在曲 线上,否则点不在曲线上.
2 2

解:(1)∵ 12+(-2-1)2=10, ( 2 )2+(3-1)2=6≠10, ∴ P(1,-2)在方程 x +(y-1) =10 表示的曲线上,Q( 2 ,3)不在此曲线上. m ? 在方程 x2+(y-1)2=10 表示的曲线上, (2)∵ M? ? ,-m ? ?2 ? ∴? m ? +(-m-1)2=10.解得 m=2 或 m=- 18 . ? ? 5 ?2?
2

2

2

1.点 P( 2, -3) 在曲线 x2-ay2=1 上, 则 a 等于( A. 1 B. 1 C.3 3 4 答案:A

) . D.4

解析:将 P(2, -3)的坐标代入方程 x2-ay2=1, 得 a= 1 . 3

2.方程 x +xy=x 的曲线是( ). A.一个点 B.一条直线 C.两条直线 D.一个点和一条直线 答案:C 解析:将 x2+xy=x 变形为 x2+xy-x=0, 即 x(x+y-1)=0, 所以有 x=0 或 x+y-1=0.因此方程 x2+xy=x 的曲线是 两条直线.

2

1.判断点是否在某个方程表示的曲线上, 就是检验 该点的坐标是否是方程的解,是否适合方程.若适合方程, 就说明点在曲 线上; 若不适合, 就说明点不在曲线上. 2.已知点在某曲线上,可将点的坐标代入曲线的方程 ,从而可研究 有关参数的值或范围问题.

三、轨迹方程的求法
已知圆 C:(x-1) +y =1,过原点 O 作圆的任意弦,求所作弦的中点的 轨迹方程. 思路分析:解决本题有多种方法,应充分利用圆的有关性质,恰当地 选取方法.
2 2

解:解法一: 直接法.

如图, 设 OQ 为过 O 点的任意一条弦, P(x, y)为其中点, 则 CP⊥OQ. 因为 OC 的中点为 M ? 1 , 0 ? , ? ? 2 ? ? 故|MP|= 1 |OC|= 1 , 得方程 ? x ? 1 ? +y2= 1 , 由圆的范围知 0<x≤1. ? ? 2 2 4 ? 2?
2

解法二: 定义法. ∵ ∠OPC=90° , ∴ 动点 P 在以点 M ? 1 ,0 ? 为圆心,OC 为直径的圆上,由圆的方程得 ? ? ?2 ? 2 ? 1 ? +y2= 1 (0<x≤1). ?x? ? 4 ? 2?

解法三: 代入法. 设 Q(x1, y1), 则 x1 ? x ? x1 ? 2x, ? ? 2 ?? ? ? y ? 2y. ? y ? y1 ? 1 ? 2 ? 又∵ (x1-1)2+ y12 =1, ∴ (2x-1)2+(2y)2=1(0<x≤1). 解法四: 参数法. 设动弦 OQ 的方程为 y=kx, 代入圆的方程得(x-1)2+k2x2=1, 即 (1+k2)x2-2x=0.设 x1, x2 为该方程的两根, ∴ x= x1 ? x2 ? 1 2 , y=kx= k , 2 1? k 1? k 2 消去 k 即可得到(2x-1)2+(2y)2=1(0<x≤1).

1.到 A(2, -3)和 B(4, -1)距离相等的点的轨迹方程是( A.x-y-1=0 B.x-y+1=0 C.x+y-1=0 D.x+y+1=0 答案:C 解析:设满足条件的点为 M(x,y), 根据题意有

).

整理得 x+y-1=0; 或根据条件可 ( x ? 2)2 ? (y ? 3) 2 ? ( x ? 4) 2 ? (y ? 1) 2 , 知所求轨迹为线段 AB 的垂直平分线, 易知 kAB=1, AB 的中点为(3,-2),故 所求直线为 y+2=-(x-3),即 x+y-1=0.

2.若动点 P 在 y=2x2+1 上移动, 则点 P 与 Q( 0, -1) 连线的中点的轨迹 方程是 . 答案: y=4x2 解析:设 PQ 的中点为 M(x, y), 动点 P 为 P(x0, y0), ? x0 ? 0 x? , ? 则? 2 ? ? y ? y0 ? 1 , ? 2 ? x0 ? 2x, 又∵ 2 ∴? y = 2 +1, x 0 0 ? ? y0 ? 2y ? 1. ∴ 2y+1=8x2+1, 即 y=4x2 为所求的轨迹方程.

3.一个动点到直线 x=8 的距离是它到点 A(2,0)的距离的 2 倍,求该 动点的轨迹方程. 解:设动点 P(x,y),则动点到直线 x=8 的距离为|x-8|,到点 A 的距离为
( x ? 2) ? y .由已知得
2 2

|x-8|=2· ( x ? 2)2 ? y 2 , 化简,得 3x2+4y2=48, 2 2 ∴ 动点的轨迹方程为 3x +4y =48.

按动点的特点求轨迹的方法: ①直接法 如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系 , 或这 些几何条件简单明了且易于表达, 我们只需把这种关系“翻译”成含 x, y 的等式就得到曲线的轨迹方程. ②相关点法(代入法) 有些问题中, 其动点满足的条件不便用等式列出, 但动点是随着另 一动点(称之为相关点)运动的.如果相关点所满足的条件是明显的, 这时 我们可以用动点坐标表示相关点坐标 , 根据相关点所满足的方程即可 求得动点的轨迹方程.

③交轨法 在求动点轨迹时,有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题 ,这类 问题常常通过解方程组得出交点(含参数)的坐标,再消去参数求出所求 轨迹的方程,该法经常与参数法并用. ④定义法 若动点的轨迹满足已知曲线的定义,可先设定方程,再确定其中的 基本量.

1.方程( x-3)2+(y-1)2=0 表示的曲线是( A.圆 B.两条直线

). C.一个点 D.两个点

答案:C 2 2 解析:由(x-3) +(y-1) =0 得 x-3=0 且 y-1=0, x ? 3, ? 即? 所以该方程表示的曲线是一个点(3,1). ? y ? 1.

2.到两个坐标轴距离相等的点的轨迹方程是( A.x-y=0 B.x+y=0 C.|x|-y=0 D.|x|-|y|=0 答案: D 解析: 设动点为(x, y), 根据题意有|x|=|y|, 即|x|-|y|=0. 3.已知曲线方程为 2x2-3y2=6, 有下列各

) .

点: A( 3 , 1) , B( 6 , - 2) , C( - 3, 0) , D( 1, -3) , 其中在给定曲线上的点的个数 是( ) . A.1 B.2 C.3 D.4 答案: B 解析: 将四个点的坐标依次代入曲线方程进行检验, 可知只有 B 点和 C 点坐标适合曲线方程, 它们在曲线上.

4.如果方程 ax2+by2=4 的曲线过点 A(0, -2), B? 1 , 3 ?, 则 ? ? ?2 ? a= ,b= . 答案:4 1
? 4b ? 4, a ? 4, 解析:由已知 ? 得? ? ?1 a ? 3b ? 4, ? b ? 1. ? ?4

5.已知动点 M 到点 A(9, 0)的距离是 M 到点 B(1, 0)的距离的 3 倍, 则动点 M 的轨迹方程是 答案:x2+y2=9 .

解析:设 M(x,y),则|MA|= ( x ? 9) 2 ? y 2 ,|MB|= ( x ? 1)2 ? y 2 . 由|MA|=3|MB|,得 ( x ? 9) 2 ? y 2 =3 ( x ? 1)2 ? y 2 , 化简得 x +y =9.
2 2


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