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【精品】第05讲 集合函数-2009-2017全国高中数学联赛分类汇编


2009-2017 全国高中数学联赛分类汇编第 05 讲:集合函数 1、 (2009 一试 1)若函数 f ? x ? ? 1 10 x 1? x 2 且 f (n) ?x? ? f ? f ? f ? ? n f ? ? x ?? ? ? ,则 f ?99 ? ?1 ? ? . 【答案】 【解析】f ?1 ? ?x? ? f ?x? ? x 1? x 2 ,f ? 2 ? ? x ? ? f ? ? f ? x ?? ? ? x 1? 2x 2 , ……,f ?99 ? ?x? ? x 1 ? 99 x 2 . 故 f ?99 ? ?1 ? ? 1 10 . 2、 (2009 一试 6)若方程 lg k x 【答案】 k ? 0 ? 2 lg ? x ? 1 ? 仅有一个实根,那么 k 的取值范围是 . 或k ? 4 【解析】当且仅当 kx ? 0 x ?1? 0 x ? ?2 ? k ? x ? 1 ? 0 2 ① ② ③ ? 1 ? k ?2? 2? k 2 对③由求根公式得 x1 , x 2 ? ? k 2 ? 4k ? ? ④ ? 4k ≥ 0 ? k ≤ 0 或k ≥ 4. (ⅲ)当 k ? 4 时,由③得 ? ? x1 ? x 2 ? k ? 2 ? 0 ? x1 x 2 ? 1 ? 0 ? x2 , ? 0 所以 x1 , x 2 同为正根,且 x1 ,不合题意,舍去.综上可得 k 或k ? 4 为所求. 3、 (20 10 一试 1)函数 f ( x ) ? 【答案】 [ ? 3 , 3 ] x ? 5 ? 24 ? 3 x 的值域是 . 【解析】易知 f ( x ) 的定义域是 ?5 , 8 ? ,且 f ( x ) 在 ?5 , 8 ? 上是增函数,从而可知 f ( x ) 的值域为 [ ? 3 , 3 ] . 4、 (2010 一试 5)函数 f ( x ) ? a 区间上的最小值是 【答案】 ? 1 4 x 2x ? 3a x ? 2 ( a ? 0 , a ? 1 ) 在区间 x ? [ ? 1,1 ] 上的最大值为 8,则它在这个 . 【解析】令 a ? y , 则原函数化为 g ( y ) ? y ?1 2 ? 3 y ? 2 , g ( y ) 在 (? 3 2 ,+ ? ) 上是递增的. 1 2 当 0 ? a ? 1 时, y ? [ a , a 1 ] , g ( y ) m ax ? a ?2 ? 3a ?1 ?2 ? 8? a ?1 ? 2 ? a ? , 所以 g ( y ) min ? ( ) 2 ? 3 ? 2 1 2 ? 2 ? ? 1 4 ; 2 当 a ? 1 时, y ? [ a ?1 , a ] , g ( y ) m ax ? a ? 3a ? 2 ? 8 ? a ? 2 , 所以 g ( y ) min ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? 1 ? 2 ? ? 1 4 . 1 4 综上 f ( x ) 在 x ? [ ? 1,1 ] 上的最小值为 ? . 5、 (2011 一试 1) 设集合 A 则集合 A ? ? {a 1 , a 2 , a 3 , a 4 } , 若 A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为 B ? { ? 1, 3 , 5 , 8 } , .

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