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2012年全国高中数学联赛模拟试题六


2012 年全国高中数学联赛模拟试题六
一、填空题 1. 从集合 M = {1, 2,3,L , 2009} 中,去掉所有 3 的倍数以及 5 的倍数后,则 M 中剩下的元素个
数为 .

x ? x3 的值域是 (1 + x 2 ) 2 π 2π 4π 7π 3. cos ? cos ? cos + cos = 15 15 15 15

2. 函数 f ( x) =





4. 九个连续正整数自小到大排成一个数列 a1 , a2 ,L , a9 ,若 a1 + a3 + a5 + a7 + a9 的值为一平方 .

数, a2 + a4 + a6 + a8 的值为一立方数,则这九个正整数之和的最小值是

5.现安排 7 名同学去参加 5 个运动项目,要求甲、乙两同学不能参加同一个项目,每个项目都有 人参加,每人只参加一个项目,则满足上述要求的不同安排方案数为 . (用数字作答) 6 .在四面体 ABCD 中,已知 ∠ADB = ∠BDC = ∠CDA = 60° , AD = BD = 3 , CD = 2 ,则四面体 . ABCD 的外接球的半径为 2 7.直线 x ? 2 y ? 1 = 0 与抛物线 y = 4 x 交于 A, B 两点, C 为抛物线上的一点, ∠ACB = 90° ,则点 C 的坐标为 .
n 8.已知 a n = C 200 ? 3 6

( )

200 ? n

? 1 ? ? (n = 1,2, L ,95) ,则数列 {a n } 中整数项的个数为 ?? ? ? ? 2?

n



二、解答题
1. (本小题满分 20 分)作斜率为 的直线 l 与椭圆 C : 且 P(3 2 , 2 ) 在直线 l 的左上方. (1)证明:△ PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上; (2)若 ∠APB = 60° ,求△ PAB 的面积.
1 3

x2 y2 , + = 1 交于 A, B 两点(如图所示) 36 4

y P O A x B

2. ( 25 分)如图, AB 、 CD 、 EF 是一个圆中三条互不相交的弦,以其中每两条弦为一组对 边,各得到一个凸四边形,设这三个四边形的对角线的交点分别为 M , N , P ;证明: M , N , P 三点共 线.
A E D

B F

C

3. (25 分) n 项正整数列 x1 , x2 ,L , xn 的各项之和为 2009 ,如果这 n 个数既可分为和相等的 41 个组,又可分为和相等的 49 个组,求 n 的最小值.


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