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全称命题和特称命题的形式及真假判断_图文

全称命题和特称命题的形式及真假 判断

问题提出 1.对于命题p、q,命题p∧q,p∨q, ﹁p的含义分别如何?这些命题与p、q的 真假关系如何?
p∧q:用联结词“且”把命题p和命题q联结 起来得到的命题,当且仅当p、q都是真命题 时,p∧q为真命题. p∨q:用联结词“或”把命题p和命题q联结 起来得到的命题,当且仅当p、q都是假命题 时,p∨q为假命题. ﹁p:命题p的否定,p与﹁p的真假相反.

2.在我们的生活和学习中,常遇到 这样的命题: (1)所有中国公民的合法权利都受到中 华人民共和国宪法的保护; (2)对任意实数x,都有x2≥0; (3)存在有理数x,使x2-2=0; (4) 有些美国国会议员是狗娘养的.等. 对于这类命题,我们将从理论上进行 深层次的认识.

探究(一):全称量词的含义和表示

思考1:下列各组语句是命题吗?两者有 什么关系? ( 1 ) x> 3 ; 对所有的x∈R,x>3. (2)2x+1是整数; 对任意一个x∈Z,2x+1是整数. (3)方程x2+2x+a=0有实根; 任给a<0,方程x2+2x+a=0有实根.

思考2:短语“所有的”“任意一个” “任给”等,在逻辑中通常叫做全称量 词,并用符号“ ? ”表示,你还能列举 一些常见的全称量词吗? “一切”,“每一个”,“全体”等

思考3:含有全称量词的命题叫做全称命 题,如“对所有的x∈R,x>3”,“对 任意一个x∈Z,2x+1是整数”等,你 能列举一个全称命题的实例吗? 思考4:将含有变量x的语句用p(x)、q(x) 、r(x)等表示,变量x的取值范围用M表 示,符号语言“x∈M,p(x)”所表达的数 学意义是什么? “对M中任意一个x,有p(x)成立”

思考5:下列命题是全称命题吗?其真假 如何? 假 (1)所有的素数是奇数; (2) ?x∈R,x2+1≥1; 真

(3)对每一个无理数x,x2也是无理数; 假 (4)所有的正方形都是矩形. 真

思考6:如何判定一个全称命题的真假?
元素x,都有p(x)成立;

?x∈M,p(x)为真:对集合M中每一个

个元素x0,使得p(x0)不成立.

?x∈M,p(x)为假:在集合M中存在一

探究(二):存在量词的含义和表示 思考1:下列各组语句是命题吗?二者有 什么关系? (1)2x+1=3; 存在一个x0∈R,使2x0+1=3. (2)x能被2和3整除; 至少有一个x0∈Z,x0能被2和3整除. (3)|x-1|<1; 有些x0∈R,使|x0-1|<1.

思考2:短语“存在一个”“至少有一 个”“有些”等,在逻辑中通常叫做存 在量词,并用符号“ ? ”表示,你还能 列举一些常见的存在量词吗?
?

“有一个”,“ 对某个”,“有的”等

思考3:含有存在量词的命题叫做特称命 题,如“存在一个x0∈R,使2x0+1= 3”,“至少有一个x0∈Z,x0能被2和3 整除”等,你能列举一个特称命题的实 例吗?
?

思考4:符号语言“ ?x0∈M,p(x0)”所 表达的数学意义是什么?

存在M中的元素x0,使p(x0)成立.

思考5:下列命题是特称命题吗?其真假 如何? 真 (1)有的平行四边形是菱形; 2 (2)有一个实数x0,使 x0 ? 2 x0 ? 3 ? 0 ;假 真 (3)有一个素数不是奇数; (4)存在两个相交平面垂直于同一条直 假 线; 真 (5)有些整数只有两个正因数; (6)有些实数的平方小于0. 假

思考6:如何判定一个特称命题的真假?
出一个元素x0,使p(x0)成立;

? x0∈M,p(x0)为真:能在集合M中找

p(x)成立的元素x不存在. 对?x0 ? M , P( x0 ) 都不成立.

? x0∈M,p(x0)为假:在集合M中,使


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