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2011.11海淀数学期中试题


海淀区九年级第一学期期中测评 数
学校 班级






成绩

2011.11

姓名

一、选择题(本题共 32 分,每小题 4 分) 下面各题均有四个选项,其中只有一个是符合题意的. .. 1. 下列计算正确的是( A. ) B.

(?5) 2 ? ?5

(?5) 2 ? 5

C.

(?5) 2 ? ?25

D.

(?5) 2 ? 25

2. 已知⊙O1 和⊙O2 的半径分别为 3cm 和 4cm, 且 O1 O2 = 8cm,则⊙O1 与⊙O2 的位置关系 是( A. 外离 ) B. 相交 C. 相切 ) D. 内含

3.一元二次方程 2x2 + 3x +5=0 的根的情况是( A. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根

B. 有两个相等的实数根 D. 无法判断 ) D. 4
A F C

4. 已知 x=1 是方程 x2 -3x+c =0 的一个根, 则 c 的值为 ( A. - 4 B. - 2 C. 2

5.如图,△ABC 绕着点 O 逆时针旋转到△DEF 的位置,则 旋转中心及旋转角分别是( A. 点 B, ?ABO C. 点 B, ?BOE ) B. 点 O, ?AOB D. 点 O, ?AOD )
D

B

O E

6. 用配方法解方程 x2 - 4x +3=0,应该先变形为( A.(x -2)2 =1 B.(x -2)2 = -3

C.(x-2)2=7

D.(x +2)2 =1

7.如图,点 O 为优弧 ? ,点 D ACB 所在圆的圆心,∠AOC=108°
C

在 AB 的延长线上, BD=BC, 则∠ 的度数为( ) D

O
A.20° C.30° B.27° D.54°
F O E B
A B D

8. 如图, 为半圆所在⊙O 的直径, CD 为定长且小于⊙O 的半径(点 A AB 弦 C 与点 A 不重合),CF⊥CD 交 AB 于 F,DE⊥CD 交 AB 于 E, G 为 C

DG
- 1 -

半圆中点, 当点 C 在 ? 上运动时,设 ? 的长为 x ,CF+DE= y,则下列图象中,能 AG AC 表示 y 与 x 的函数关系的图象大致是( )

y

y

y

y

O

x

O

x

O

x

O

x

A

B

C

D

二、填空题(本题共 16 分,每小题 4 分) 9. 已知 3 ? a 在实数范围内有意义, 则 a 的取值范围是 10. 在平面直角坐标系 xOy 中,点(-2, 5) 关于原点 O 的对称点为 11. 如图, A B 为⊙O 的直径, 点 C 在 AB 的延长线上, CD、CE 分别 与⊙O 相切于点 D、E, 若 AD=2, ?DAC=?DCA, 则 CE= 12. 已知如下一元二次方程:
D

. .

.

第 1 个方程: 3x 2 + 2x -1=0; 第 2 个方程: 5x2 + 4x -1=0; 第 3 个方程: 7x2 + 6x -1=0; ?? 按照上述方程的二次项系数、一次项系数、常数项的排列规律,则第 8 个方程 为 其两个实数根为 ;第 n(n 为正整数)个方程为 . ,
A O E B C

三、解答题(本题共 30 分,每小题 5 分) 13.计算: 12 ? (2011)0 ? ( ) ?1 ? | ? 3 | . 解:

1 2

- 2 -

14.解方程:x2+2x-15=0. 解:

15.计算: ( 2 ?1)(3 2 ? 2) . 解:

16. 已知:如图,点 A、E、F、C 在同一条直线上,?A=?C,AB=CD,AE=CF. 求证:BF=DE. 证明:
B

A

F E D

C

17.已知关于 x 的一元二次方程 x2-2x+k-3=0 有两个不相等的实数根, 求 k 的取值范围. 解:

- 3 -

18. 如图, 在⊙O 中, 弦 AB 的长为 8cm, 圆心 O 到 AB 的距离为 3cm, 求⊙O 的半径. 解:
A O B

四、解答题(本题共 20 分, 每小题 5 分) 19. 如图, 已知⊙O. (1)用尺规作正六边形, 使得⊙O 是这个正六边形的外接圆, 并保留作图痕迹; (2)用两种不同的方法把所做的正六边形分割成六个全等的三角形.

解:
O

O

20. 列方程解应用题: 在一次同学聚会中, 每两名同学之间都互送了一件礼物, 所有同学共送了 90 件礼物, 共有多少名同学参加了这次聚会?

- 4 -

21.如图,AB 是⊙O 的直径,点 D 在⊙O 上, OC∥AD 交⊙O 于 E, 点 F 在 CD 延长线 上, 且?BOC+?ADF=90?. (1)求证: ;

(2)求证:CD 是⊙O 的切线. 证明:
B O E C D F A

[21 世纪教育网]

22. 如图, 已知正方形 ABCD, 点 E 在 BC 边上, 将△DCE 绕某点 G 旋转得到△CBF, 点 F 恰好在 AB 边上. (1)请画出旋转中心 G (保留画图痕迹) , 并连接 GF, GE; (2) 若正方形的边长为 2a, 当 CE= 时, S? FGE ? S? FBE ;
A

当 CE=
D

时,

S? FGE ? 3S? FBE .
解: (1)画图:

F
[来源:21 世纪教育网]

B

E

C

(2)CE= CE=

时, S? FGE ? S? FBE ; 时, S? FGE ? 3S? FBE .

- 5 -

五、解答题(本题共 22 分,第 23 题 6 分, 第 24 题 8 分,第 25 题 8 分) 23.已知△DCE 的顶点 C 在?AOB 的平分线 OP 上,CD 交 OA 于 F, CE 交 OB 于 G. (1)如图 1,若 CD ? OA, CE? OB, 则图中有哪些相等的线段, 请直接写出你的结论: ; (2)如图 2, 若?AOB=120?, ?DCE =?AOC, 试判断线段 CF 与线段 CG 的数量关系并 加以证明; (3)若?AOB=?,当?DCE 满足什么条件时,你在(2)中得到的结论仍然成立, 请 直接写出?DCE 满足的条件.
P A C

解:(1)结论:

.
D

F O G E B

(2)

图1

A C

P

F O D

G B E

图2

21 世纪教育网

- 6 -

A P

(3)

C

.
O B

备用图 24.已知关于 x 的两个一元二次方程: 方程①: (1 ? ) x 2 ? (k ? 2) x ? 1 ? 0 ;

k 2

方程②: x 2 ? (2k ? 1) x ? 2k ? 3 ? 0 .

(1)若方程①有两个相等的实数根,求解方程②; (2)若方程①和②中只有一个方程有实数根, 请说明此时哪个方程没有实数根, 并化 简 1?

4k ? 12 ; (k ? 4)2

(3)若方程①和②有一个公共根 a, 求代数式 (a 2 ? 4a ? 2)k ? 3a 2 ? 5a 的值. 解:

- 7 -

25.如图,在直角坐标系 xOy 中,点 A 在 x 轴的正半轴上,点 B 在 y 轴的正半轴上, 以 OB 为直径的⊙C 与 AB 交于点 D, DE 与⊙C 相切交 x 轴于点 E, 且 OA= 12 3 cm, ∠OAB=30° . (1)求点 B 的坐标及直线 AB 的解析式; (2)过点 B 作 BG?EC 于 F, 交 x 轴于点 G, 求 BD 的长及点 F 的坐标; (3)设点 P 从点 A 开始沿 A ?B ?G 的方向以 4cm/s 的速度匀速向点 G 移动,点 Q 同时 从点 A 开始沿 AG 匀速向点 G 移动, 当四边形 CBPQ 为平行四边形时, 求点 Q 的移动 速度.
y B D C O E A x

- 8 -

海淀区九年级第一学期期中练习
数学试卷答案及评分参考
说明: 与参考答案不同, 但解答正确相应给分. 一、选择题(本题共 32 分,每小题 4 分) 1. B 2. A 3. C 4. C 5. D 6. A 7. B 8. B

2011.11

二、填空题(本题共 16 分,每小题 4 分) 9. a?3 10. (2, -5) 11. 2 12. 17x2 +16x -1=0; (1 分) (2n+1)x2 + 2nx -1=0; (1 分)

x1=-1, x2 ?

1 (2 分) 2n ? 1

三、解答题(本题共 30 分,每小题 5 分) 13.解: 原式= 2 3 ? 1 ? 2 ? 3 = 3 ?1 . 14.解法一:a=1, b=2, c=-15, ………………………………………4 分 …………………………………………5 分

? ? 22 ? 4 ?1? (?15) ? 64 >0.
x? ? 2 ? 64 . 2 ?1

…………………………………………2 分 …………………………………………3 分 …………………………………………5 分 …………………………………………3

∴x1 = 3, x2 = -5. 解法二:( x -3 )( x+5 )=0, 分 ∴x1 = 3, x2 = -5. 解法三:x2+2x=15, x2+2x+1=15+1. (x+1)2=42. x+1=?4. ∴x1 = 3, x2 = -5. 15.解: 原式= 6 ? 2 2 ? 3 2 ? 2 =4? 2 .

…………………………………………5 分

…………………………………………2 分 …………………………………………3 分

…………………………………………5 分 …………………………………………4 分 ………………………………………5 分

- 9 -

16.证明:∵ AE=FC, ∴ AE+EF=FC+EF. 即 AF=CE. ……………………………1 分
A

B F E D

C

在△ABF 和△CDE 中,

? AB ? CD, ? ??A ? ?C , ? AF ? CE, ?
∴ △ABF≌△CDE. ∴ BF=DE. ………………………………………………………4 分 ………………………………………………………………5 分

17.解:∵ 关于 x 的一元二次方程 x2-2x+k-3=0 有两个不等的实数根, ∴ ? ? (?2)2 ? 4 ?1? (k ? 3) >0. 即 16-4k>0. 解得 k<4 . ∴ k 的取值范围为 k<4. 18.解:过点 O 作 OC︿AB 于 C, 连接 OA.
1 ∴ AC= AB, OC=3. 2

…………………………………………3 分 …………………………………………4 分 …………………………………………5 分

………………1 分
A C O B

……………………………………3 分

∵ AB= 8, ∴ AC=4. 在 Rt△AOC 中, 由勾股定理得 AO= AC 2 ? OC 2 ? 42 ? 32 ? 5 (cm). ∴ ⊙O 的半径为 5cm.
育网]

…………………………………………5 分

[来源:21 世纪教

四、解答题(本题共 20 分, 每小题 5 分) 19. (1)此问共 2 分, 未保留作图痕迹扣 1 分. (2)此问共 3 分,只对一种分割扣 1 分. 参考答案如右图所示. 说明: 其中有一个图保留作图痕迹即可. 20. 解:设共有 x 名同学参加了聚会. 依题意,得 x(x-1)=90. …………………………………………1 分 …………………………………………2 分
O O

x 2 ? x ? 90 ? 0.
- 10 -

解得 x1=-9, x2=10. x=-9 不符合实际意义, 舍去. ∴ x=10. 答: 共有 10 人参加了聚会.

…………………………………………3 分 …………………………………………4 分

…………………………………………5 分

21. 解:(1)证明:连接 OD. ∵ AD∥OC,
B

∴ ∠BOC=∠OAD, ∠COD =∠ODA. ……………… 1 分 ∵ OA=OD, ∴ ∠OAD=∠ODA. ∴ ∠BOC=∠COD. ∴ . …………………2 分 ……………………………3 分
C E

O A D F

(2)由(1)∠BOC=∠OAD, ∠OAD=∠ODA. ∴ ∠BOC=∠ODA. ∵ ?BOC+?ADF=90?. ∴ ∠ODA +?ADF=90?. 即 ∠ODF=90?. ∵ OD 是⊙O 的半径, ∴ CD 是⊙O 的切线. 22.(1)参考下图:
A DA A D G F E C E CB F B DA A A D G FF EC EC C BB EE CC D D AA G G F B D D A D G

…………………………………………4 分

…………………………………………5 分

G F B E F CB F B

G

G F BE

G

………………2 分
C

E

(2)a ;
[来源:中§ 教§ 网 z§z§s§tep]

2? 2 2? 2 a或 a. 2 2

…………………………………………5 分

21 世纪教育网

五、解答题(本题共 22 分,第 23 题 6 分、第 24 题 8 分,第 25 题 8 分) 23.解:(1)结论: CF=CG, OF=OG. ……………1 分

(2)法一:过点 C 作 CM ︿ OA 于 M, CN︿ OB 于 N. ∵ OC 平分 ?AOB, ∴ CM=CN, ? ?CMF=?CNG=90?, ? …………2 分
- 11 -

?AOC=?BOC. ∵ ?AOB=120?, ∴ ?AOC=?BOC=60?, ?MCN =3 60?-?AOB-?CMF-?CNO =60?. ∴ ?DCE=?AOC =60?. ∴ ?MCN=?FCG. ∴ ?MCN -?FCN =?FCG -?FCN. 即 ?1 =?2. ?

A C 1 2 M F

P

G O D N E B

…………………………………………3 分

…………………………………………4 分

由 ??? 得△CMF≌△CNG. ∴ CF=CG. 法二:在 OB 上截取一点 H, 使得 OH=OC. ∵ OP 平分 ?AOB, ?AOB=120?, ∴ ?1=?2=60?, ?DCE=?1=60?.. ∵ OH=OC, ∴ △OCH 是等边三角形. ∴ CO=CH, ?2=?3 . ? ∴ ?1=?3 . ? ……………………3 分
D F
4 1 2 5 6 3

…………………………………………5 分

A C

P

O

G

H E

B

∴ ?4+?5=180?. 又 ?5+?6=180?, ∴ ?4=?6. ? …………………………………………4 分

由 ??? 得△CFO≌△CGH. ∴ CF=CG. (3) ?DCE=180?- ? . 24.(1)∵方程①有两个相等实数根, …………………………………………5 分 …………………………………………6 分

? k ?1 ? 2 ? 0, ? ∴? ?? ? (k ? 2) 2 ? 4(1 ? k ) ? 0. ? 1 2 ?
由③得 k + 2 ?0, 由④得 (k + 2) (k+4) =0. ∵ k + 2?0,

③ ④

- 12 -

∴ k=-4. 当 k=-4 时, 方程②为: x 2 ? 7 x ? 5 ? 0 . 解得

…………………………1 分

x1 ?

7 ? 29 7 ? 29 , x2 ? ? 2 2

…………………………2 分

(2)由方程②得 ?2= (2k ? 1)2 ? 4(2k ? 3) . 法一????2-?1= (2k ? 1)2 ? 4(2k ? 3) -(k + 2) (k+4) =3k2+6k+5 =3(k+1)2+2>0. ∴ ?2>?1. ∵ 方程①、②只有一个有实数根, ∴ ? 2>0>?? 1. ∴ 此时方程①没有实数根. ………………………………4 分 …………………………………………………3 分

??1 ? (k ? 2)(k ? 4) ? 0, 由 ? 2 2 ?? 2 ? 4k ? 12k ? 13 ? (2k ? 3) ? 4 ? 0,
得 (k + 2) (k+4)<0. ………………………………5 分
2

1?

4k ? 12 (k ? 4) 2 ? (4k ? 12) (k ? 2) 2 ?k ?2? ? ? ? ? ? . 2 2 2 (k ? 4) (k ? 4) (k ? 4) ?k ?4?

∵ (k + 2) (k+4)<0, ∴

1?

4k ? 12 k?2 ?? . 2 k?4 (k ? 4)

………………………………6 分

法二: ∵ ? 2= (2k ? 1)2 ? 4(2k ? 3) ? 4k 2 ? 12k ? 13 ? (2k ? 3)2 ? 4 >0. 因此无论 k 为何值时, 方程②总有实数根. ∵ 方程①、②只有一个方程有实数根, ∴ 此时方程①没有实数根. 下同解法一. ( 3) 法一: ∵ a 是方程①和②的公共根, ∴ (1 ? )a 2 ? (k ? 2)a ? 1 ? 0 ; …………………………………4 分 …………………………………3 分

k 2

a 2 ? (2k ? 1)a ? 2k ? 3 ? 0 .
…………………7 分

∴ (2 ? k )a 2 ? 2(k ? 2)a ? 2 , a 2 ? (2k ? 1)a ? 2k ? 3 .
(a 2 ? 4a ? 2)k ? 3a 2 ? 5a ? (3 ? k )a 2 ? (4k ? 5)a ? 2k ? (2 ? k )a 2 ? 2(k ? 2)a ? a 2 ? (2k ? 1)a ? 2k .

- 13 -

=2+3=5.

……………………………………………8 分

法二: ∵ a 是方程①和②的公共根, ∴ (1 ? )a 2 ? (k ? 2)a ? 1 ? 0 ;

k 2



a 2 ? (2k ? 1)a ? 2k ? 3 ? 0 .




∴(③-④) ? 2 得 ka 2 ? 2(k ? 1)a ? 4k ? 4. 由④得 a 2 ? ?(2k ? 1)a ? 2k ? 3. 将⑤、⑥代入原式,得 原式= ka 2 ? 4ak ? 2k ? 3a 2 ? 5a ⑥

…………………………7 分

= 2(k ? 1)a ? 4k ? 4 ? 4ak ? 2k ? 3(2k ? 1)a ? 6k ? 9 ? 5a =5. ……………………………………………8 分

25. 解:(1)由 OA︿ OB, ∠OAB=30° OA= 12 3 ,可得 AB=2OB. , 在 Rt△AOB 中, 由勾股定理得 OB=12, AB=24. ∴ B(0, 12). ∵ OA= 12 3 , ∴ A ( 12 3 ,0). 可得直线 AB 的解析式为 y ? ? 分 (2)法一:连接 CD, 过 F 作 FM⊥x 轴于点 M,则 CB=CD. ∵ ∠OBA=90° -∠A=60° , ∴ △CBD 是等边三角形. ∴ BD=CB=
y B D F C

…………………………………………1 分

3 x ? 12 . 3

……………………2

1 OB=6, 2

……………………3 分

∠BCD=60° ∠OCD=120° , . ∵ OB 是直径,OA︿ OB, ∴ OA 切⊙C 于 O. ∵ DE 切⊙C 于 D, ∴ ∠COE=∠CDE=90° ∠OEC=∠DEC. , ∴ ∠OED=360°-∠COE-∠CDE -∠OCD = 60° .
G

MO

E

A

x

- 14 -

∴ ∠OEC=∠DEC=30° . ∴ CE=2 CO=12. ∴ 在 Rt△COE 中, 由勾股定理 OE= CE 2 ? CO 2 ? 6 3 . ∵ BG︿EC 于 F, ∴ ∠GFE=90° . ∵ ∠GBO +∠BGO=∠OEC +∠BGO , ∴ ∠GBO=∠OEC =30° . 故可得 FC= FM= ……………………4 分

1 BC=3, EF=FC+CE=15, 2
………………………………………5 分

1 15 3 15 . EF= , ME= FM= 2 3 2 2
15 3 3 3 ?6 3 ? . 2 2

∴ MO= ∴ F( ?

3 3 15 , ). 2 2

………………………………………6 分
y B H F C D

法二:连接 OD, 过 D 作 DH︿ OB 于 H. ∵ OB 是直径, ∴ ∠BDO=90° . ∵∠BOD +∠DOA=∠A +∠DOA, ∴ ∠BOD=∠A =30° . 由(1)OB=12,
1 ∴ BD ? OB ? 6. 2
G

O

E

A

x

……………………………………………………3 分

在 Rt△DOB 中, 由勾股定理得 OD= 6 3 . 在 Rt△DOH 中, 由勾股定理得 HD= 3 3 , OH=9. ∴ D( 3 3 , 9). 可得直线 OD 的解析式为 y ? 3x. 由 BG//DO, B(0, 12), 可得直线 BG 的解析式为 ∵ OB 是直径,OA︿ OB, ∴ OA 切⊙C 于 O.

y ? 3x ? 12.

……………………………………4 分

- 15 -

∵ DE 切⊙C 于 D, ∴ EO=ED. ∵ ∠DOE=∠BOA -∠BOD =60° , ∴ △ODE 是等边三角形. ∴ OE ? OD ? 6 3, E (6 3, 0) . ∴ EA=OA- OE= 6 3 . ∵ OC=CB=6, OE=EA= 6 3 , ∴ C(0, 6), CE//BA. ∴ 直线 CE 的解析式为 y ? ?

3 x ? 6. 3

………………………………………5 分

? 3 3 ? 3 , ?x ? ? x ? 6, ?y ? ? ? 2 解得 ? 3 ? ? y ? 15 . 由 ? y ? 3x ? 12 ? ? ? 2

∴ F( ?

3 3 15 , ). 2 2

……………………………………………………6 分

(3)设点 Q 移动的速度为 vcm/s . (ⅰ)当点 P 运动到 AB 中点,点 Q 运动到 AO 中点时, PQ∥BC,且 PQ=BC,此时四边形 CBPQ 为平行四边形, 点 Q 与点 E 重合.
可得AP ? 12, t ? AP ? 3. 4

∴v ?

AE 6 3 ? ? 2 3 (cm/s). t 3

………………………………………7 分
y B D F P

(ⅱ) 当点 P 运动到 BG 中点,点 Q 运动到 OG 中点时, PQ∥BC,PQ=BC, 此时四边形 CBPQ 为平行四边形. 可得

OG =4 3,

BG= 8 3. 从而 PB= 4 3 ,OQ= 2 3.

C

P

∴ t? ∴ v?

AB ? BP 24 ? 4 3 ? ? 6 ? 3. 4 4

G

Q

O

Q (E)

A

x

AQ 12 3 ? 2 3 28 3 ? 14 ? ? (cm/s). (分母未有理化不扣分) t 11 6? 3
28 3 ? 14 cm/s. 11

………8 分

∴ 点 Q 的速度为 2 3 cm/s 或

- 16 -


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