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2016年3月2016届高三第一次全国大联考(新课标I卷)理数卷(正式考试版)


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绝密★启用前

【学科网学易大联考】2016 年第一次全国大联考【新课标 I 卷】 理科数学试卷
考试时间:120 分钟;满分 150 分

第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的.
1.设集合 A ? ? x | x ? 2? , B ? {x | y ? A. ?1, 2? B.

A.114 B.10 C.150 D.50 8. 执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为-4 时,则条 件框内应 填写( ) A. i ? 3? B. i ? 5? C. i ? 4? D. i ? 4? 9. 已知直线: y ? kx ? k ? 1 与曲线 C : x ? 2 y ? m 恒
2 2

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

x } ,则 A ? B ? ( x ?1
D.



?0, 2?

C. (1, 2]

? ?1, 0 ?

有公共点,则 m 的取值范围是( A. m ? 3 B. m ? 3 C. m ? 3 D. m ? 3

)

2. “ m ? 1 ”是“复数 z ? m 2 ? mi ? 1 为纯虚数”的( ) A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知函数 f ( x) ? sin x 的图象向右平移 m 个单位后得到函数 f ( x) ? cos( x ? 象的零点重合,则 m 不可能的值为( )

10.直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,底面是正三角形,三棱柱 的高为 3 ,若 P 是△ A1 B1C1 中心,且三棱柱的体积为

?
3

) 的图象,两个图

9 ,则 PA 与平面 ABC 所成的角大小是( 4
A.



?
6

B.

?
4

C.

?
3

D.

2? 3
y P

? A. 6

? B. 3

7? C. 6

5? D. ? 6

11. 如图, 已知 F1 、F2 为双曲线 C :

4. 为防止部分学生考试时用搜题软件作弊,命题组指派 5 名教师对数学卷的选择题、填空题和解 答题这 3 种题型进行改编,则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为( ) A. 150 B. 180 C. 200 D. 280 5. 已知函数 g ( x) 是定义在区间 [?3 ? m, m ? m] 上的偶函数( m ? 0 ) ,且
2
2 ? ? x ? 1, ? x ? 0 ? ,则 f ? 2016 ? ? ( ) f ? x? ? ? f x ? | m | , x ? 0 ? ? ? ? ? ? A.1 B. 2 C. 9 D. 10

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的 a 2 b2 左 、 右 焦 点 , 点 P 在 第 一 象 限 , 且 满 足 ???? ? ???? ????? ???? ? 线段 PF2 与双曲线 C 交于 | F2 P |? a , ( F1 P ? F1 F2 ) ? F2 P ? 0 , ???? ? ???? ? 点 Q ,若 F2 P ? 5F2Q ,则双曲线 C 的共轭双曲线 C ' 的渐
近线方程为( A. y ? ? C. y ? ? ) B. y ? ? x D. y ? ?
F1 O

Q F2 x

5 x 5 3 x 2

1 2

6. 如图为某几何体的三视图,求该几何体的内切球的表面积为 ( )

3 x 3

第 11 题图

12. 已知函数 f ( x) ? x2 ? ax ? a ln x(a ? R) ,
4

1 A. π 4

B.3π

C. 4 π

4 D. π 3

g ( x) ? ? x 3 ?
3
正视图

5 2 x ? 2 x ? 6 , g ( x) 在 [1,4] 上的最大值为 b ,当 x ??1, ?? ? 时, f ( x) ? b 恒成 2
C. a ? ?1 D. a ? 0

3
侧视图

? ? x ? y ? 1 ? 0, ? 7. 若 不 等 式 组 ? x ? y ? 1 ? 0, 表 示 的 区 域 Ω , 不 等 式 ? 1 ? y ? ? 0. 2 ?
1? 1 ? 2 向 Ω 区域均匀随机撒 360 ? x ? ? ? y ? 表示的区域为 Γ, 2? 4 ?
颗芝麻,则落在区域 Γ 中芝麻数约为( )
2

立,则 a 的取值范围( ) A. a ? 2 B. a ? 1

第Ⅱ卷(共 90 分)
俯视图

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸 上)
第 6 题图

13. 总体编号为 01,02,…19,20 的 20 个个体组成.利用下面的随机数表选取 5 个个体,选取方法是 从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第 5 个个 体的编号为 . 7816 6572 0802 6314 0214 4319 9714 0198
学易大联考 理科数学 第 2 页 共 6 页

学易大联考 理科数学 第 1 页 共 6 页

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3204

9234

4936

8200

3623

4869

6938

7181

14. 在四边形 ABCD 中, AB / / CD , AB ? BC ? 0 , AB ? 2 BC ? 2CD ? 2 ,则 AD 在 CA 上 的投影为 . 15. 已知数列 {a n }, {bn } 满足 a1 ? 16. 过双曲线

??? ? ??? ?

????

??? ?

(1)求证: AN ∥平面 MEC ; (2)在线段 AM 上是否存在点 P ,使二面角 P ? EC ? D 的大小为

bn 1 , a n ? bn ? 1 , bn ?1 ? , n ? N ? ,则 b2016 ? 2 2 1 ? an

? ?若存在,求出 AP 的长;若不存在,请说明理由. 3



20. (本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,E ', F ' 两点的坐标分别为 0, 3 , 0, 动点 G 满足:直线 E ' G 与直线 F ' G 的斜率之积为 ? (1)求动点 G 的轨迹方程;

(

) (

3 ,

)

离心率为________.

最小值. 21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? ln x , a ? R. (1) 若函数 g ( x) ? 上的最大值; (2) 令 g ( x) ? f ( x) ? x , 是否存在实数 a , 当 x ? (0, e]
2

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.) 17. (本小题满分 12 分)设数列 {an } 满足 a1 ? 2 , an ?1 ? 2an ? n ? 1 , n ? N * ,
(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)若数列 bn ?

x2 1 求 g ( x) 在区间 [ , e] ? ax ? f ( x) , 2 e

1 ,求数列 {bn } 的前 n 项和 S n . n(an ? 2n ?1 ? 2)

( e 是自然常数)时,函数 g ( x ) 的最小值是 3,若存 在,求出 a 的值;若不存在,说明理由.

18. (本小题满分 12 分)某课题组对春晚参加“咻一咻”抢红包活动的同学进行调查,按照使用手 机系统不同(安卓系统和 IOS 系统)分别随机抽取 5 名同学进行问卷调查,发现他们咻得红 包总金额数如下表所示: 手机系统 一 二 三 四 五 2 5 3 20 9 安卓系统(元) IOS 系统(元) 4 3 18 9 7

请考生在第 22,23,24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做 的第一题计分. 22.(本题满分 10 分) 选修 4 ? 1 :几何证明选讲 如图,?ABC 的外接圆的切线 AE 与 BC 的延长线相交 于 点 E , ?BAC 的 平 分 线 与 BC 相 交 于 点 D ,

(1)如果认为“咻”得红包总金额超过 6 元为“咻得多”,否则为“咻得少”,请判断手机系统与咻 得红包总金额的多少是否有关? (2)要从 5 名使用安卓系统的同学中随机选出 2 名参加一项活动,以 X 表示选中的同学中咻 得红包总金额超过 6 元的人数,求随机变量 X 的分布列及数学期望 E ? X ? . 0.15 2.072 0.10 2.706 0.05 3.841
2

AE ? 2 BD ? 2
(1)求证: EA ? ED ; (2)求 DC ? BE 的值.

下面的临界值表供参考:

P( K 2 ? k )
k

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

独立性检验统计量 K 2 ?

n?ad ? bc? , 其中 n ? a ? b ? c ? d . ?a ? b??c ? d ??a ? c??b ? d ?

23. (本题满分 10 分) 选修 4-4:坐标系与参数方程 ? ? x ? 2cos ? ? x ? 2 ? t cos ? 在直角坐标系 xOy 中,设倾斜角为 ? 的直线: ? (t 为参数)与曲线 C : ? ? ? y ? sin ? ? y ? 3 ? t sin ? ( ? 为参数)相交于不同的两点 A ,B . (1)若 ? ?

?
3

,求线段 AB 的长度;
5 ,且有已知点 P(2 , 3) ,求 | PA | ? | PB |?| OP |2 . 4

(2)若直线的斜率为 19.(本小题满分 12 分)在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 是菱形, ADNM 是矩形,平面 ADNM ⊥平面 ABCD , ?DAB ? 600 , AD ? 2, AM ? 1, E 是 AB 的中点.
学易大联考 理科数学 第 3 页 共 6 页

24. (本题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲
学易大联考 理科数学 第 4 页 共 6 页

※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※

x2 y 2 ? 2 ? 1(b ? a ? 0) 的左焦点 F (?c, 0)(c ? 0) 作圆 x 2 ? y 2 ? a 2 的切线,切点为 2 a b ??? ? 1 ??? ? ??? ? E,延长 FE 交抛物线 y 2 ? 4cx 于点 P,O 为坐标原点,若 OE ? (OF ? OP ) ,则双曲线的 2

3 . 4

(2)过点 O 作两条互相垂直的射线,与(1)中的轨迹分别交于 A, B 两点,求△ OAB 面积的

… …… …○ …… …… 外… …… …○ …… …… 装… …… …○ …… …… 订… …… …○ …… …… 线… …… …○…………

… …… …○ …… …… 外… …… …○ …… …… 装… …… …○ …… …… 订… …… …○ …… …… 线… …… …○………… 学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________ … …… …○ …… …… 内… …… …○ …… …… 装… …… …○ …… …… 订… …… …○ …… …… 线… …… …○…………

(1)若不等式 f ? x ? ? 2 的解集为 ? x | x ?

已知函数 f ? x ? ?| x ?1| ? | x ? a | . (a ? 1)

? ? 1 5? 或x ? ? ,求 a 的值; 2 2?

(2) ?x ? R, f ? x ? ? | x ?1|? 1,求实数 a 的取值范围.

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